В физике , физической химии и инженерии гидродинамика — это раздел механики жидкости , описывающий поток жидкостей и газов . Она включает в себя несколько разделов, включая аэродинамику (изучение движения воздуха и других газов) и гидродинамику ( изучение движения жидкостей). Гидродинамика имеет широкий спектр приложений, включая расчет сил и моментов на самолетах , определение массового расхода нефти по трубопроводам , прогнозирование погодных условий , изучение туманностей в межзвездном пространстве и моделирование детонации ядерного оружия .
Гидродинамика предлагает систематическую структуру, которая лежит в основе этих практических дисциплин , которая охватывает эмпирические и полуэмпирические законы, полученные из измерения потока и используемые для решения практических задач. Решение проблемы гидродинамики обычно включает в себя расчет различных свойств жидкости, таких как скорость потока , давление , плотность и температура , как функций пространства и времени.
До двадцатого века гидродинамика была синонимом динамики жидкости. Это до сих пор отражено в названиях некоторых разделов динамики жидкости, таких как магнитогидродинамика и гидродинамическая устойчивость , которые также могут быть применены к газам. [1]
Основополагающими аксиомами динамики жидкости являются законы сохранения , в частности, сохранение массы , сохранение импульса и сохранение энергии (также известные как Первый закон термодинамики ). Они основаны на классической механике и модифицированы в квантовой механике и общей теории относительности . Они выражаются с помощью теоремы Рейнольдса о переносе .
В дополнение к вышесказанному предполагается, что жидкости подчиняются предположению континуума . В малых масштабах все жидкости состоят из молекул, которые сталкиваются друг с другом и твердыми объектами. Однако предположение континуума предполагает, что жидкости непрерывны, а не дискретны. Следовательно, предполагается, что такие свойства, как плотность, давление, температура и скорость потока, четко определены в бесконечно малых точках пространства и непрерывно изменяются от одной точки к другой. Тот факт, что жидкость состоит из дискретных молекул, игнорируется.
Для жидкостей, которые достаточно плотны, чтобы быть сплошной средой, не содержат ионизированных частиц и имеют скорости потока, малые по сравнению со скоростью света, уравнения импульса для ньютоновских жидкостей — это уравнения Навье–Стокса , представляющие собой нелинейный набор дифференциальных уравнений , описывающих поток жидкости, напряжение которой линейно зависит от градиентов скорости потока и давления. Неупрощенные уравнения не имеют общего решения в замкнутой форме , поэтому они в основном используются в вычислительной гидродинамике . Уравнения можно упростить несколькими способами, и все они упрощают их решение. Некоторые упрощения позволяют решать некоторые простые задачи гидродинамики в замкнутой форме. [ требуется ссылка ]
В дополнение к уравнениям сохранения массы, импульса и энергии, для полного описания проблемы требуется термодинамическое уравнение состояния, которое дает давление как функцию других термодинамических переменных. Примером этого может служить уравнение состояния идеального газа :
где p — давление , ρ — плотность , T — абсолютная температура , R u — газовая постоянная , M — молярная масса для конкретного газа. Также может быть полезным конститутивное соотношение .
Для решения задач динамики жидкости используются три закона сохранения, которые могут быть записаны в интегральной или дифференциальной форме. Законы сохранения могут быть применены к области потока, называемой контрольным объемом . Контрольный объем — это дискретный объем в пространстве, через который, как предполагается, протекает жидкость. Интегральные формулировки законов сохранения используются для описания изменения массы, импульса или энергии в пределах контрольного объема. Дифференциальные формулировки законов сохранения применяют теорему Стокса для получения выражения, которое можно интерпретировать как интегральную форму закона, примененного к бесконечно малому объему (в точке) внутри потока.
В приведенной выше интегральной формулировке этого уравнения член слева представляет собой чистое изменение импульса внутри объема. Первый член справа представляет собой чистую скорость, с которой импульс конвектируется в объем. Второй член справа представляет собой силу, обусловленную давлением на поверхности объема. Первые два члена справа отрицаются, поскольку импульс, входящий в систему, учитывается как положительный, а нормаль противоположна направлению скорости u и сил давления. Третий член справа представляет собой чистое ускорение массы внутри объема из-за любых сил тела (здесь представленных как f body ). Поверхностные силы , такие как силы вязкости, представлены как F surf , чистая сила из-за сил сдвига, действующих на поверхность объема. Баланс импульса также можно записать для движущегося контрольного объема. [3]
Ниже представлена дифференциальная форма уравнения сохранения импульса. Здесь объем сведен к бесконечно малой точке, а поверхностные и объемные силы учтены в одной общей силе F. Например, F можно разложить в выражение для сил трения и гравитации, действующих в точке потока.
Все жидкости сжимаемы в определенной степени; то есть изменения давления или температуры вызывают изменения плотности. Однако во многих ситуациях изменения давления и температуры достаточно малы, так что изменения плотности незначительны. В этом случае поток можно смоделировать как несжимаемый поток . В противном случае необходимо использовать более общие уравнения сжимаемого потока .
Математически несжимаемость выражается тем, что плотность ρ порции жидкости не изменяется при ее движении в поле потока, то есть:
где Д/Д т — материальная производная , которая является суммой локальных и конвективных производных . Это дополнительное ограничение упрощает основные уравнения, особенно в случае, когда жидкость имеет однородную плотность.
Для потока газов, чтобы определить, использовать ли динамику сжимаемой или несжимаемой жидкости, оценивается число Маха потока. В качестве грубого ориентира, сжимаемые эффекты можно игнорировать при числах Маха ниже примерно 0,3. Для жидкостей, справедливость предположения о несжимаемости зависит от свойств жидкости (в частности, критического давления и температуры жидкости) и условий потока (насколько близко к критическому давлению становится фактическое давление потока). Акустические проблемы всегда требуют учета сжимаемости, поскольку звуковые волны являются волнами сжатия, включающими изменения давления и плотности среды, через которую они распространяются.
Все жидкости, за исключением сверхтекучих , являются вязкими, что означает, что они оказывают некоторое сопротивление деформации: соседние порции жидкости, движущиеся с разными скоростями, оказывают друг на друга вязкие силы. Градиент скорости называется скоростью деформации ; он имеет размерность T −1 . Исаак Ньютон показал, что для многих известных жидкостей, таких как вода и воздух , напряжение, вызванное этими вязкими силами, линейно связано со скоростью деформации. Такие жидкости называются ньютоновскими жидкостями . Коэффициент пропорциональности называется вязкостью жидкости; для ньютоновских жидкостей это свойство жидкости, которое не зависит от скорости деформации.
Неньютоновские жидкости имеют более сложное, нелинейное поведение напряжения-деформации. Субдисциплина реологии описывает поведение напряжения-деформации таких жидкостей, которые включают эмульсии и суспензии , некоторые вязкоупругие материалы, такие как кровь и некоторые полимеры , и липкие жидкости, такие как латекс , мед и смазочные материалы . [5]
Динамика частиц жидкости описывается с помощью второго закона Ньютона . Ускоряющаяся частица жидкости подвержена инерционным эффектам.
Число Рейнольдса — безразмерная величина , характеризующая величину инерционных эффектов по сравнению с величиной вязких эффектов. Низкое число Рейнольдса ( Re ≪ 1 ) указывает на то, что вязкие силы очень велики по сравнению с инерционными силами. В таких случаях инерционными силами иногда пренебрегают; такой режим течения называется стоксовым или ползучим течением .
Напротив, высокие числа Рейнольдса ( Re ≫ 1 ) указывают на то, что инерционные эффекты оказывают большее влияние на поле скорости, чем вязкие (трение). В потоках с высокими числами Рейнольдса поток часто моделируется как невязкий поток , приближение, в котором вязкость полностью пренебрегается. Исключение вязкости позволяет упростить уравнения Навье–Стокса до уравнений Эйлера . Интеграция уравнений Эйлера вдоль линии тока в невязком потоке дает уравнение Бернулли . Когда, в дополнение к тому, что поток невязкий, он везде безвихревой , уравнение Бернулли может полностью описать поток везде. Такие потоки называются потенциальными потоками , потому что поле скорости может быть выражено как градиент выражения потенциальной энергии.
Эта идея может работать довольно хорошо, когда число Рейнольдса велико. Однако такие проблемы, как те, которые связаны с твердыми границами, могут потребовать включения вязкости. Вязкостью нельзя пренебрегать вблизи твердых границ, поскольку условие отсутствия скольжения создает тонкую область большой скорости деформации, пограничный слой , в котором доминируют эффекты вязкости и который, таким образом, создает завихренность . Поэтому для расчета чистых сил на телах (таких как крылья) необходимо использовать уравнения вязкого потока: теория невязкого потока не может предсказать силы сопротивления , ограничение, известное как парадокс Даламбера .
Обычно используемая [6] модель, особенно в вычислительной гидродинамике , заключается в использовании двух моделей потока: уравнений Эйлера вдали от тела и уравнений пограничного слоя в области, близкой к телу. Затем два решения можно сопоставить друг с другом, используя метод согласованных асимптотических разложений .
Поток, который не является функцией времени, называется установившимся потоком . Установившийся поток относится к состоянию, при котором свойства жидкости в точке системы не изменяются со временем. Поток, зависящий от времени, известен как неустановившийся (также называется переходным [8] ). Является ли конкретный поток установившимся или неустановившимся, может зависеть от выбранной системы отсчета. Например, ламинарный поток над сферой установится в системе отсчета, которая стационарна относительно сферы. В системе отсчета, которая стационарна относительно фонового потока, поток будет неустановившимся.
Турбулентные потоки нестационарны по определению. Однако турбулентный поток может быть статистически стационарным . Случайное поле скорости U ( x , t ) статистически стационарно, если все статистики инвариантны относительно сдвига во времени. [9] : 75 Это примерно означает, что все статистические свойства постоянны во времени. Часто объектом интереса является среднее поле , и оно также постоянно в статистически стационарном потоке.
Стационарные потоки часто более податливы, чем в остальном похожие нестационарные потоки. Управляющие уравнения стационарной задачи имеют на одно измерение меньше (время), чем управляющие уравнения той же задачи, не используя преимущества стабильности поля потока.
Турбулентность — это поток, характеризующийся рециркуляцией, завихрениями и кажущейся хаотичностью . Поток, в котором турбулентность не проявляется, называется ламинарным . Наличие завихрений или рециркуляции само по себе не обязательно указывает на турбулентный поток — эти явления могут присутствовать и в ламинарном потоке. Математически турбулентный поток часто представляется с помощью разложения Рейнольдса , в котором поток разлагается на сумму среднего компонента и компонента возмущения.
Считается, что турбулентные потоки можно хорошо описать с помощью уравнений Навье–Стокса . Прямое численное моделирование (DNS), основанное на уравнениях Навье–Стокса, позволяет моделировать турбулентные потоки при умеренных числах Рейнольдса. Ограничения зависят от мощности используемого компьютера и эффективности алгоритма решения. Было обнаружено, что результаты DNS хорошо согласуются с экспериментальными данными для некоторых потоков. [10]
Большинство интересующих нас потоков имеют слишком высокие числа Рейнольдса для DNS, чтобы быть жизнеспособным вариантом, [9] : 344, учитывая состояние вычислительной мощности на ближайшие несколько десятилетий. Любой летательный аппарат, достаточно большой, чтобы перевозить человека ( L > 3 м), движущийся быстрее 20 м/с (72 км/ч; 45 миль/ч), находится далеко за пределами моделирования DNS ( Re = 4 миллиона). Крылья транспортных самолетов (например, Airbus A300 или Boeing 747 ) имеют числа Рейнольдса 40 миллионов (на основе размера хорды крыла). Решение этих реальных проблем потока требует моделей турбулентности в обозримом будущем. Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье-Стокса (RANS) в сочетании с моделированием турбулентности обеспечивают модель эффектов турбулентного потока. Такое моделирование в основном обеспечивает дополнительную передачу импульса напряжениями Рейнольдса , хотя турбулентность также усиливает тепло- и массопередачу . Еще одной перспективной методологией является моделирование крупных вихрей (LES), особенно в форме моделирования отсоединенных вихрей (DES) — комбинации моделирования турбулентности LES и RANS.
Существует большое количество других возможных приближений к задачам динамики жидкости. Некоторые из наиболее часто используемых перечислены ниже.
В то время как многие потоки (например, поток воды через трубу) происходят при низких числах Маха ( дозвуковые потоки), многие потоки, представляющие практический интерес в аэродинамике или в турбомашинах, происходят при высоких долях M = 1 ( трансзвуковые потоки ) или превышающих его ( сверхзвуковые или даже гиперзвуковые потоки ). В этих режимах возникают новые явления, такие как неустойчивости в трансзвуковом потоке, ударные волны для сверхзвукового потока или неравновесное химическое поведение из-за ионизации в гиперзвуковых потоках. На практике каждый из этих режимов потока рассматривается отдельно.
Реактивные потоки — это потоки, которые являются химически реактивными, что находит применение во многих областях, включая сгорание ( двигатель внутреннего сгорания ), движители ( ракеты , реактивные двигатели и т. д.), детонацию , пожары и угрозы безопасности, а также астрофизику. В дополнение к сохранению массы, импульса и энергии, необходимо вывести сохранение отдельных видов (например, массовая доля метана при сгорании метана), где скорость производства/истощения любого вида получается путем одновременного решения уравнений химической кинетики .
Магнитогидродинамика — это междисциплинарное исследование течения электропроводящих жидкостей в электромагнитных полях. Примерами таких жидкостей являются плазма , жидкие металлы и соленая вода . Уравнения течения жидкости решаются одновременно с уравнениями электромагнетизма Максвелла .
Релятивистская гидродинамика изучает макроскопическое и микроскопическое движение жидкости на больших скоростях, сравнимых со скоростью света . [11] Эта ветвь гидродинамики учитывает релятивистские эффекты как из специальной теории относительности , так и из общей теории относительности . Управляющие уравнения выводятся в римановой геометрии для пространства-времени Минковского .
Эта ветвь гидродинамики дополняет стандартные гидродинамические уравнения стохастическими потоками, которые моделируют тепловые флуктуации. [12] Как сформулировали Ландау и Лифшиц , [13] вклад белого шума, полученный из теоремы флуктуации-диссипации статистической механики, добавляется к тензору вязких напряжений и тепловому потоку .
Концепция давления является центральной для изучения как статики жидкости, так и динамики жидкости. Давление может быть определено для каждой точки в теле жидкости, независимо от того, находится ли жидкость в движении или нет. Давление может быть измерено с помощью анероида, трубки Бурдона, ртутного столба или различными другими методами.
Часть терминологии, которая необходима при изучении динамики жидкости, не встречается в других подобных областях изучения. В частности, часть терминологии, используемой в динамике жидкости, не используется в статике жидкости .
Безразмерные числа (или характеристические числа ) играют важную роль в анализе поведения жидкостей и их течения, а также в других явлениях переноса . [14] К ним относятся числа Рейнольдса и, которые описывают в виде отношений относительную величину характеристик жидкости и физической системы, таких как плотность , вязкость , скорость звука и скорость потока .
Для сравнения реальной ситуации (например, самолета ) с маломасштабной моделью необходимо сохранить важные характерные числа одинаковыми. Названия и формулировка этих чисел были стандартизированы в ISO 31-12 и ISO 80000-11 .Понятия полного давления и динамического давления вытекают из уравнения Бернулли и имеют важное значение при изучении всех потоков жидкости. (Эти два давления не являются давлениями в обычном смысле — их нельзя измерить с помощью анероида, трубки Бурдона или ртутного столба.) Чтобы избежать потенциальной двусмысленности при упоминании давления в гидродинамике, многие авторы используют термин статическое давление , чтобы отличить его от полного давления и динамического давления. Статическое давление идентично давлению и может быть определено для каждой точки в поле потока жидкости.
Точка в потоке жидкости, в которой поток остановился (то есть скорость равна нулю рядом с некоторым твердым телом, погруженным в поток жидкости), имеет особое значение. Она настолько важна, что ей дано специальное название — точка торможения . Статическое давление в точке торможения имеет особое значение и носит собственное название — давление торможения . В несжимаемых потоках давление торможения в точке торможения равно общему давлению во всем поле потока.
В сжимаемой жидкости удобно определить общие условия (также называемые условиями стагнации) для всех термодинамических свойств состояния (таких как общая температура, общая энтальпия, общая скорость звука). Эти общие условия потока являются функцией скорости жидкости и имеют разные значения в системах отсчета с разным движением.
Чтобы избежать потенциальной двусмысленности при упоминании свойств жидкости, связанных с состоянием жидкости, а не с ее движением, обычно используется префикс «статический» (например, статическая температура и статическая энтальпия). Если префикс отсутствует, свойство жидкости — это статическое состояние (поэтому «плотность» и «статическая плотность» означают одно и то же). Статические условия не зависят от системы отсчета.
Поскольку общие условия потока определяются изоэнтропическим приведением жидкости в состояние покоя, нет необходимости различать общую энтропию и статическую энтропию, поскольку они всегда равны по определению. Таким образом, энтропию чаще всего называют просто «энтропией».
