Поле (физика)

Физические величины, принимающие значения в каждой точке пространства и времени.

Иллюстрация электрического поля, окружающего положительный (красный) и отрицательный (синий) заряды.

В физике поле — это физическая величина , представленная скаляром , вектором или тензором , которая имеет значение для каждой точки пространства и времени . ^{[1] [2] [3]} Например, на карте погоды температура поверхности описывается путем присвоения номера каждой точке на карте; температуру можно рассматривать в определенный момент времени или за некоторый интервал времени, чтобы изучить динамику изменения температуры. Карта приземного ветра ^[4] , на которой каждой точке на карте присвоена стрелка , описывающая скорость и направление ветра в этой точке, является примером векторного поля , т.е. одномерного (ранга 1) тензорного поля. Теории поля, математические описания того, как значения поля изменяются в пространстве и времени, широко распространены в физике. Например, электрическое поле представляет собой еще одно тензорное поле первого ранга, а электродинамику можно сформулировать в терминах двух взаимодействующих векторных полей в каждой точке пространства-времени или в виде однорангового 2-тензорного поля. ^{[5] [6] [7]}

В современных рамках квантовой теории поля , даже без ссылки на пробную частицу, поле занимает пространство, содержит энергию, и его присутствие исключает классический «истинный вакуум». ^[8] Это привело физиков к рассмотрению электромагнитных полей как физической сущности, что сделало концепцию поля опорной парадигмой здания современной физики. «Тот факт, что электромагнитное поле может обладать импульсом и энергией, делает его очень реальным... частица создает поле, и поле действует на другую частицу, и поле имеет такие знакомые свойства, как содержание энергии и импульс, точно так же, как частицы могут иметь." ^[9] На практике сила большинства полей уменьшается с расстоянием и в конечном итоге становится необнаружимой. Например, сила многих соответствующих классических полей, таких как гравитационное поле в теории гравитации Ньютона или электростатическое поле в классическом электромагнетизме, обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника (т. е. они подчиняются закону Гаусса ).

Поле можно классифицировать как скалярное поле , векторное поле , спинорное поле или тензорное поле в зависимости от того, является ли представленная физическая величина скаляром , вектором , спинором или тензором соответственно. Поле имеет последовательный тензорный характер, где бы оно ни было определено: т.е. поле не может быть где-то скалярным, а где-то векторным. Например, гравитационное поле Ньютона является векторным полем: для указания его значения в точке пространства-времени требуется три числа — компоненты вектора гравитационного поля в этой точке. При этом внутри каждой категории (скаляр, вектор, тензор) поле может быть либо классическим , либо квантовым полем , в зависимости от того, характеризуется ли оно числами или квантовыми операторами соответственно. В этой теории эквивалентным представлением поля является частица поля , например бозон . ^[10]

История

Для Исаака Ньютона его закон всемирного тяготения просто выражал силу гравитации , действующую между любой парой массивных объектов. При рассмотрении движения многих тел, взаимодействующих друг с другом, например, планет Солнечной системы , рассмотрение силы между каждой парой тел по отдельности быстро становится вычислительно неудобным. В восемнадцатом веке была изобретена новая величина, чтобы упростить учет всех этих гравитационных сил. Эта величина, гравитационное поле , придавала в каждой точке пространства полное гравитационное ускорение, которое ощущал бы небольшой объект в этой точке. Это никак не изменило физику: не имело значения, были ли все гравитационные силы, действующие на объект, рассчитаны индивидуально, а затем сложены вместе, или все вклады сначала были сложены вместе как гравитационное поле, а затем приложены к объекту. ^[11]

Разработка самостоятельного понятия поля действительно началась в XIX веке с развитием теории электромагнетизма . На ранних стадиях Андре-Мари Ампер и Шарль-Огюстен де Кулон могли обойтись законами Ньютона, которые выражали силы между парами электрических зарядов или электрических токов . Однако стало гораздо более естественным использовать полевой подход и выразить эти законы через электрические и магнитные поля ; в 1849 году Майкл Фарадей первым ввел термин «поле». ^[11]

Независимая природа поля стала более очевидной после открытия Джеймсом Клерком Максвеллом того, что волны в этих полях, называемые электромагнитными волнами , распространяются с конечной скоростью. Следовательно, силы, действующие на заряды и токи, уже не только зависели от положений и скоростей других зарядов и токов одновременно, но и от их положений и скоростей в прошлом. ^[11]

Максвелл поначалу не принял современную концепцию поля как фундаментальной величины, которая могла бы существовать независимо. Вместо этого он предположил, что электромагнитное поле выражает деформацию некоторой основной среды — светоносного эфира — во многом подобно напряжению резиновой мембраны. Если бы это было так, наблюдаемая скорость электромагнитных волн должна была бы зависеть от скорости наблюдателя относительно эфира. Несмотря на большие усилия, никаких экспериментальных подтверждений такого эффекта обнаружено не было; ситуация была разрешена введением специальной теории относительности Альберта Эйнштейна в 1905 году. Эта теория изменила способ связи точек зрения движущихся наблюдателей друг с другом. Они стали связаны друг с другом таким образом, что скорость электромагнитных волн в теории Максвелла была бы одинаковой для всех наблюдателей. Устранив необходимость в фоновой среде, это открытие открыло физикам возможность начать думать о полях как о действительно независимых объектах. ^[11]

В конце 1920-х годов новые правила квантовой механики были впервые применены к электромагнитному полю. В 1927 году Поль Дирак использовал квантовые поля , чтобы успешно объяснить, как распад атома до более низкого квантового состояния привел к спонтанному излучению фотона — кванта электромагнитного поля. Вскоре за этим последовало осознание (после работ Паскуаля Йордана , Юджина Вигнера , Вернера Гейзенберга и Вольфганга Паули ), что все частицы, включая электроны и протоны , можно понимать как кванты некоего квантового поля, возводя поля в статус из наиболее фундаментальных объектов природы. ^[11] Тем не менее, Джон Уиллер и Ричард Фейнман серьезно рассматривали дополевую концепцию действия Ньютона на расстоянии (хотя они отложили ее в сторону из-за продолжающейся полезности концепции поля для исследований в области общей теории относительности и квантовой электродинамики ).

Классические поля

Есть несколько примеров классических полей . Классические теории поля остаются полезными везде, где не возникают квантовые свойства, и могут быть активными областями исследований. Упругость материалов, гидродинамика и уравнения Максвелла являются яркими примерами.

Некоторые из простейших физических полей являются векторными силовыми полями. Исторически впервые поля были восприняты всерьез при описании силовых линий Фарадея при описании электрического поля . Затем аналогичным образом было описано гравитационное поле .

Ньютоновская гравитация

В классической гравитации масса является источником притягивающего гравитационного поля g .

Классической теорией поля, описывающей гравитацию, является ньютоновская гравитация , которая описывает гравитационную силу как взаимное взаимодействие двух масс .

Любое тело массы М связано с гравитационным полем g , которое описывает его влияние на другие тела с массой. Гравитационное поле M в точке r в пространстве соответствует соотношению между силой F , которую M оказывает на небольшую или пренебрежимо малую пробную массу m , расположенную в r , и самой пробной массой: ^[12]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

Условие, что m намного меньше, чем M, гарантирует, что присутствие m оказывает незначительное влияние на поведение M .

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона , F ( r ) определяется выражением ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

где — единичный вектор , лежащий вдоль линии, соединяющей M и m и указывающей от M до m . Следовательно, гравитационное поле M равно ^[12] ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Экспериментальное наблюдение того, что инертная масса и гравитационная масса равны с беспрецедентным уровнем точности, приводит к тождеству, что напряженность гравитационного поля идентична ускорению, испытываемому частицей. Это отправная точка принципа эквивалентности , который ведет к общей теории относительности .

Поскольку гравитационная сила F консервативна , гравитационное поле g можно переписать через градиент скалярной функции, гравитационного потенциала Φ( r ):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$

Электромагнетизм

Майкл Фарадей впервые осознал важность поля как физической величины во время своих исследований магнетизма . Он понял, что электрические и магнитные поля — это не только силовые поля, определяющие движение частиц, но также обладающие независимой физической реальностью, поскольку они переносят энергию.

Эти идеи в конечном итоге привели к созданию Джеймсом Клерком Максвеллом первой единой теории поля в физике с введением уравнений для электромагнитного поля . Современная версия этих уравнений называется уравнениями Максвелла .

Электростатика

На заряженную пробную частицу с зарядом q действует сила F , основанная исключительно на ее заряде. Мы можем аналогичным образом описать электрическое поле E так , что F = qE . Использование этого закона и закона Кулона говорит нам, что электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

Электрическое поле консервативно и, следовательно, может быть описано скалярным потенциалом V ( r ):

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Магнитостатика

Постоянный ток I, текущий по пути ℓ , создаст поле B, которое оказывает на близлежащие движущиеся заряженные частицы силу, количественно отличную от силы электрического поля, описанной выше. Сила, действующая со стороны I на близлежащий заряд q со скоростью v , равна

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

где B ( r ) — магнитное поле , которое определяется из I по закону Био–Савара :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

Магнитное поле вообще не консервативно и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать через векторный потенциал A ( r ):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

Поля E и поля B обусловлены электрическими зарядами (черный/белый) и магнитными полюсами ( красный/синий). ^{[13] [14]} Вверху: электрическое поле, обусловленное электрическим дипольным моментом d . Внизу слева: поле B , создаваемое математическим магнитным диполем m , образованным двумя магнитными монополями. Внизу справа: поле B , возникающее из-за чистого магнитного дипольного момента m , обнаруженного в обычном веществе ( не в монополях).

Электродинамика

В общем, при наличии как плотности заряда ρ( r , t ), так и плотности тока J ( r , t ), будет существовать как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла — набором дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают E и B с ρ и J. ^[15]

Альтернативно можно описать систему через ее скалярный и векторный потенциалы V и A. Набор интегральных уравнений, известных как запаздывающие потенциалы , позволяет рассчитать V и A по ρ и J ^{[примечание 1]} , и оттуда электрические и магнитные поля определяются посредством соотношений ^[16]

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

В конце XIX века под электромагнитным полем понимали совокупность двух векторных полей в пространстве. Сегодня это воспринимают как единое антисимметричное тензорное поле 2-го ранга в пространстве-времени.

Поля E и поля B обусловлены электрическими зарядами (черный/белый) и магнитными полюсами ( красный/синий). ^{[13] [14] Поля} E из-за стационарных электрических зарядов и поля B из-за стационарных магнитных зарядов (обратите внимание, что в природе монополи N и S не существуют). В движении ( скорость v ) электрический заряд индуцирует поле B , тогда как магнитный заряд (не встречающийся в природе) индуцирует поле E. Используется обычный ток .

Гравитация в общей теории относительности

В общей теории относительности масса-энергия искажает пространство-время ( тензор Эйнштейна G ) ^[17] и вращающиеся асимметричные распределения массы-энергии с угловым моментом J генерируют ГЭМ-поля H ^[18]

Теория гравитации Эйнштейна, называемая общей теорией относительности , является еще одним примером теории поля. Здесь главным полем является метрический тензор — симметричное тензорное поле 2-го ранга в пространстве-времени . Это заменяет закон всемирного тяготения Ньютона .

Волны как поля

Волны могут быть сконструированы как физические поля из-за их конечной скорости распространения и причинной природы , когда задана упрощенная физическая модель изолированной замкнутой системы ^{[ необходимы пояснения ]} . Они также подчиняются закону обратных квадратов .

Для электромагнитных волн существуют оптические поля и такие термины, как пределы дифракции в ближнем и дальнем поле . Однако на практике полевые теории оптики заменяются теорией электромагнитного поля Максвелла.

Квантовые поля

Сейчас считается, что квантовая механика должна лежать в основе всех физических явлений, так что классическая теория поля должна, по крайней мере в принципе, допускать ее переосмысление в терминах квантовой механики; успех приводит к созданию соответствующей квантовой теории поля . Например, квантование классической электродинамики дает квантовую электродинамику . Квантовая электродинамика, пожалуй, самая успешная научная теория; экспериментальные данные подтверждают ее предсказания с более высокой точностью (до более значащих цифр ), чем любая другая теория. ^[19] Двумя другими фундаментальными квантовыми теориями поля являются квантовая хромодинамика и электрослабая теория .

Поля, обусловленные цветными зарядами , как в кварках ( G — тензор напряженности поля глюонов ). Это «бесцветные» сочетания. Вверху: Цветовой заряд имеет «тройные нейтральные состояния», а также бинарную нейтральность (аналог электрического заряда ). Внизу: комбинации кварков и антикварков. ^{[13] [14]}

В квантовой хромодинамике линии цветового поля связаны на коротких расстояниях глюонами , которые поляризуются полем и выстраиваются в линию с ним. Этот эффект усиливается на небольшом расстоянии (около 1 фм от окрестности кварков), вызывая увеличение силы цвета на небольшом расстоянии, удерживая кварки внутри адронов . Поскольку силовые линии плотно стягиваются глюонами, они не «выгибаются» наружу так сильно, как электрическое поле между электрическими зарядами. ^[20]

Все эти три квантовые теории поля могут быть выведены как частные случаи так называемой стандартной модели физики элементарных частиц . Общая теория относительности , теория гравитации Эйнштейна, еще не получила успешного квантования. Однако расширение, теория теплового поля , имеет дело с квантовой теорией поля при конечных температурах , что редко рассматривается в квантовой теории поля.

В БРСТ-теории речь идет о нечетных полях, например, призраках Фаддеева–Попова . Существуют различные описания нечетных классических полей как на градуированных многообразиях, так и на супермногообразиях .

Как и выше в случае с классическими полями, к их квантовым аналогам можно подойти с чисто математической точки зрения, используя те же методы, что и раньше. Уравнения, управляющие квантовыми полями, на самом деле являются УЧП (в частности, релятивистскими волновыми уравнениями (РВУ)). Таким образом, можно говорить о полях Янга–Миллса , Дирака , Клейна–Гордона и Шрёдингера как о решениях соответствующих уравнений. Возможная проблема заключается в том, что эти RWE могут иметь дело со сложными математическими объектами с экзотическими алгебраическими свойствами (например, спиноры не являются тензорами , поэтому может потребоваться исчисление спинорных полей ), но теоретически они все равно могут быть подвергнуты аналитическим методам при условии соответствующего математического обобщения .

Теория поля

Теория поля обычно относится к построению динамики поля, т. е. к описанию того, как поле изменяется со временем или по отношению к другим независимым физическим переменным, от которых зависит поле. Обычно это делается путем записи лагранжиана или гамильтониана поля и рассмотрения его как классической или квантово-механической системы с бесконечным числом степеней свободы . Полученные теории поля называются классическими или квантовыми теориями поля.

Динамика классического поля обычно задается плотностью Лагранжа через компоненты поля; динамику можно получить, используя принцип действия .

Можно построить простые поля без каких-либо предварительных знаний физики, используя только математику из исчисления многих переменных , теорию потенциала и уравнения в частных производных (PDE). Например, скалярные PDE могут учитывать такие величины, как амплитуда, плотность и поля давления для волнового уравнения и гидродинамики ; Поля температуры/концентрации для уравнений теплопроводности / диффузии . Помимо собственно физики (например, радиометрии и компьютерной графики), существуют даже световые поля . Все эти предыдущие примеры являются скалярными полями . Точно так же и для векторов существуют векторные УЧП для полей смещения, скорости и завихренности в (прикладной математической) гидродинамике, но теперь может потребоваться дополнительно векторное исчисление, являющееся исчислением для векторных полей (как и эти три величины, а также для векторных УЧП). в общем). В более общем плане проблемы механики сплошной среды могут включать, например, направленную упругость (от которой происходит термин « тензор» , происходящий от латинского слова, обозначающего растяжение), сложные потоки жидкости или анизотропную диффузию , которые оформляются как матрично-тензорные УЧП и затем требуют матриц. или тензорные поля, следовательно, матричное или тензорное исчисление . Скаляры (и, следовательно, векторы, матрицы и тензоры) могут быть действительными или комплексными, поскольку оба являются полями в абстрактно-алгебраическом/ теоретико-кольцевом смысле.

В общем случае классические поля описываются сечениями расслоений , а их динамика формулируется в терминах струйных многообразий ( ковариантная классическая теория поля ). ^[21]

В современной физике наиболее часто изучаемыми полями являются те, которые моделируют четыре фундаментальные силы , которые однажды могут привести к созданию Единой теории поля .

Симметрии полей

Удобный способ классификации поля (классического или квантового) — по симметрии, которой оно обладает. Физические симметрии обычно бывают двух типов:

Симметрии пространства-времени

Поля часто классифицируют по их поведению при трансформациях пространства-времени . В этой классификации используются следующие термины:

• скалярные поля (например, температура ), значения которых задаются одной переменной в каждой точке пространства. Эта величина не меняется при трансформациях пространства.
• векторные поля (например, величина и направление силы в каждой точке магнитного поля ), которые задаются путем присоединения вектора к каждой точке пространства. Компоненты этого вектора преобразуются между собой контравариантно при вращениях в пространстве. Аналогично, двойственное (или со-) векторное поле присоединяет двойственный вектор к каждой точке пространства, и компоненты каждого двойственного вектора преобразуются ковариантно.
• тензорные поля (например, тензор напряжений кристалла), заданные тензором в каждой точке пространства. При вращениях в пространстве компоненты тензора преобразуются более общим образом, который зависит от количества ковариантных индексов и контравариантных индексов.
• спинорные поля (такие как спинор Дирака ) возникают в квантовой теории поля для описания частиц со спином , которые преобразуются как векторы, за исключением одного из их компонентов; другими словами, когда векторное поле вращается на 360 градусов вокруг определенной оси, векторное поле поворачивается само на себя; однако в том же случае спиноры обратились бы к своим негативам.

Внутренние симметрии

Поля могут иметь внутреннюю симметрию в дополнение к симметрии пространства-времени. Во многих ситуациях нужны поля, которые представляют собой список скаляров пространства-времени: (φ ₁ , φ ₂ , ... φ _N ). Например, в предсказании погоды это могут быть температура, давление, влажность и т. д. В физике элементарных частиц цветовая симметрия взаимодействия кварков является примером внутренней симметрии, симметрии сильного взаимодействия . Другими примерами являются изоспин , слабый изоспин , странность и любая другая симметрия вкуса .

Если существует симметрия задачи, не затрагивающая пространство-время, при которой эти компоненты переходят друг в друга, то этот набор симметрий называется внутренней симметрией . Можно также провести классификацию зарядов полей по внутренним симметриям.

Статистическая теория поля

Статистическая теория поля пытается расширить теоретико-полевую парадигму на системы многих тел и статистическую механику . Как и выше, к этому можно подойти с помощью обычного аргумента о бесконечном числе степеней свободы.

Подобно тому, как статистическая механика в некоторой степени пересекается между квантовой и классической механикой, статистическая теория поля связана как с квантовой, так и с классической теориями поля, особенно с первой, с которой она разделяет многие методы. Одним из важных примеров является теория среднего поля .

Непрерывные случайные поля

Классические поля, описанные выше, такие как электромагнитное поле , обычно являются бесконечно дифференцируемыми функциями, но в любом случае они почти всегда дважды дифференцируемы. Напротив, обобщенные функции не являются непрерывными. При внимательном рассмотрении классических полей при конечной температуре используются математические методы непрерывных случайных полей, поскольку термически флуктуирующие классические поля нигде не дифференцируемы . Случайные поля — это индексированные наборы случайных величин ; непрерывное случайное поле — это случайное поле, которое имеет набор функций в качестве набора индексов. В частности, часто математически удобно взять непрерывное случайное поле, чтобы в качестве набора индексов было пространство Шварца функций, и в этом случае непрерывное случайное поле представляет собой умеренное распределение .

В (очень) грубом смысле мы можем думать о непрерывном случайном поле как об обычной функции, которая присутствует почти везде, но такая, что когда мы берем средневзвешенное значение всех бесконечностей в любой конечной области, мы получаем конечный результат. Бесконечности не определены четко; но конечные значения могут быть связаны с функциями, используемыми в качестве весовых функций для получения конечных значений, и это может быть четко определено. Мы можем достаточно хорошо определить непрерывное случайное поле как линейное отображение пространства функций в действительные числа . ${\displaystyle \pm \infty }$

Смотрите также

• Конформная теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля
• Напряженность поля
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля
• Скалярная теория поля
• Поле скорости

Примечания

1. Это зависит от правильного выбора калибра . V и A не полностью определяются ρ и J ; скорее, они определяются только с точностью до некоторой скалярной функции f ( r , t ), известной как калибровка. Формализм запаздывающего потенциала требует выбора калибровки Лоренца .

Рекомендации

1. Джон Гриббин (1998). Q означает «Квант: физика элементарных частиц от А до Я ». Лондон: Вайденфельд и Николсон. п. 138. ИСБН 0-297-81752-3.
2. Ричард Фейнман (1970). Лекции Фейнмана по физике Том II. Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 978-0-201-02115-8. «Поле» — это любая физическая величина, принимающая разные значения в разных точках пространства.
3. Эрнан Макмаллин (2002). «Истоки концепции поля в физике» (PDF) . Физ. Перспектива . 4 (1): 13–39. Бибкод : 2002PhP.....4...13M. дои : 10.1007/s00016-002-8357-5. S2CID  27691986.
4. ЮВ, Виндити. «Ветрено, как и прогнозировалось». Windy.com/ . Проверено 25 июня 2021 г.
5. Лекция 1 | Квантовые запутанности, часть 1 (Стэнфорд), Леонард Сасскинд, Стэнфорд, видео, 25 сентября 2006 г.
6. Ричард П. Фейнман (1970). Лекции Фейнмана по физике Том I. Аддисон Уэсли Лонгман.
7. Ричард П. Фейнман (1970). Лекции Фейнмана по физике Том II. Эддисон Уэсли Лонгман.
8. Джон Арчибальд Уилер (1998). Геоны, черные дыры и квантовая пена: жизнь в физике . Лондон: Нортон. п. 163. ИСБН 9780393046427.
9. Ричард П. Фейнман (1970). Лекции Фейнмана по физике Том I. Аддисон Уэсли Лонгман.
10. Стивен Вайнберг (7 ноября 2013 г.). «Физика: что мы делаем и чего не знаем». Нью-Йоркское обозрение книг .
11. Вайнберг, Стивен (1977). «В поисках единства: заметки по истории квантовой теории поля». Дедал . 106 (4): 17–35. JSTOR  20024506.
12. Клеппнер, Дэниел; Коленков, Роберт. Введение в механику . п. 85.
13. Паркер, CB (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 0-07-051400-3.
14. М. Мэнсфилд; К. О'Салливан (2011). Понимание физики (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-47-0746370.
15. Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику (3-е изд.). п. 326.
16. Вангснесс, Роальд. Электромагнитные поля (2-е изд.). п. 469.
17. Дж. А. Уилер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
18. И. Чуфолини; Дж. А. Уиллер (1995). Гравитация и инерция . Принстонская серия по физике. ISBN 0-691-03323-4.
19. Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовые поля. Вествью Пресс. п. 198. ИСБН 0-201-50397-2.. См. также прецизионные тесты QED .
20. Р. Резник; Р. Айсберг (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 684. ИСБН 978-0-471-87373-0.
21. Джачетта, Г., Манджиаротти, Л., Сарданашвили, Г. (2009) Передовая классическая теория поля . Сингапур: World Scientific, ISBN 978-981-283-895-7 ( arXiv : 0811.0331) 

дальнейшее чтение

• «Поля». Принципы физической науки . Том. 25 (15-е изд.). 1994. с. 815. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
• Ландау, Лев Д. и Лифшиц, Евгений М. (1971). Классическая теория полей (3-е изд.). Лондон: Пергамон. ISBN 0-08-016019-0 . Том. 2 курса теоретической физики . 
• Джепсен, Кэтрин (18 июля 2013 г.). «Реальный разговор: все сделано из полей» (PDF) . Журнал «Симметрия» .

Внешние ссылки

• Теории поля частиц и полимеров