Классическая теория поля

Физическая теория, описывающая классические поля

Классическая теория поля — это физическая теория , которая предсказывает, как одно или несколько полей в физике взаимодействуют с материей посредством уравнений поля , без учета эффектов квантования ; Теории, включающие в себя квантовую механику, называются квантовыми теориями поля . В большинстве случаев «классическая теория поля» специально предназначена для описания электромагнетизма и гравитации , двух фундаментальных сил природы.

Физическое поле можно рассматривать как задание физической величины в каждой точке пространства и времени . Например, в прогнозе погоды скорость ветра над страной в течение дня описывается путем присвоения вектора каждой точке пространства. Каждый вектор представляет направление движения воздуха в этой точке, поэтому набор всех векторов ветра на территории в данный момент времени представляет собой векторное поле . В течение дня направления векторов меняются по мере изменения направления ветра.

Первые теории поля, ньютоновская гравитация и уравнения электромагнитных полей Максвелла были разработаны в классической физике до появления теории относительности в 1905 году, и их пришлось пересмотреть, чтобы они соответствовали этой теории. Следовательно, классические теории поля обычно делятся на нерелятивистские и релятивистские . Современные теории поля обычно выражаются с использованием математики тензорного исчисления . Более поздний альтернативный математический формализм описывает классические поля как части математических объектов, называемых расслоениями .

Нерелятивистские теории поля

Некоторые из простейших физических полей являются векторными силовыми полями. Исторически впервые поля были восприняты всерьез при описании силовых линий Фарадея при описании электрического поля . Затем аналогичным образом было описано гравитационное поле .

Ньютоновская гравитация

Первой полевой теорией гравитации была теория гравитации Ньютона, в которой взаимное взаимодействие двух масс подчиняется закону обратных квадратов . Это было очень полезно для предсказания движения планет вокруг Солнца.

Any massive body M has a gravitational field g which describes its influence on other massive bodies. The gravitational field of M at a point r in space is found by determining the force F that M exerts on a small test mass m located at r, and then dividing by m:^[1]

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$$

mMmM

According to Newton's law of universal gravitation, F(r) is given by^[1]

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$unit vectorMmGgravitational constantM^[1]

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

The experimental observation that inertial mass and gravitational mass are equal to unprecedented levels of accuracy leads to the identification of the gravitational field strength as identical to the acceleration experienced by a particle. This is the starting point of the equivalence principle, which leads to general relativity.

For a discrete collection of masses, M_i, located at points, r_i, the gravitational field at a point r due to the masses is

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$$

If we have a continuous mass distribution ρ instead, the sum is replaced by an integral,

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$$

Note that the direction of the field points from the position r to the position of the masses r_i; this is ensured by the minus sign. In a nutshell, this means all masses attract.

In the integral form Gauss's law for gravity is

$${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$$

Therefore, the gravitational field g can be written in terms of the gradient of a gravitational potential φ(r):

$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$$

Fconservative

Electromagnetism

Electrostatics

На заряженную пробную частицу с зарядом q действует сила F , основанная исключительно на ее заряде. Мы можем аналогичным образом описать электрическое поле E , создаваемое зарядом источника Q , так что F = qE :

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{q}}.}$$

Используя этот закон и закон Кулона, электрическое поле, создаваемое одной заряженной частицей, равно

$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\,.}$$

Электрическое поле консервативно и, следовательно, определяется градиентом скалярного потенциала V ( r )

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$$

Закон Гаусса для электричества имеет интегральную форму.

$${\displaystyle \iint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{0}}}\,.}$$

Магнитостатика

Постоянный ток I, текущий по пути ℓ , будет оказывать на близлежащие заряженные частицы силу, количественно отличающуюся от силы электрического поля, описанной выше. Сила, действующая со стороны I на близлежащий заряд q со скоростью v , равна

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$$

Brмагнитное полеIзакону Био–Савара

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times d{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$$

Магнитное поле вообще не консервативно и, следовательно, обычно не может быть записано в терминах скалярного потенциала. Однако его можно записать через векторный потенциал A ( r ):

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$$

Закон Гаусса для магнетизма в интегральной форме:

$${\displaystyle \iint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0.}$$

Физическая интерпретация состоит в том, что магнитных монополей не существует .

Электродинамика

В общем, при наличии как плотности заряда ρ ( r , t ), так и плотности тока J ( r , t ), будет существовать как электрическое, так и магнитное поле, и оба будут меняться во времени. Они определяются уравнениями Максвелла , набором дифференциальных уравнений, которые напрямую связывают E и B с плотностью электрического заряда (заряд на единицу объема) ρ и плотностью тока (электрический ток на единицу площади ) J. ^[2]

Альтернативно можно описать систему через ее скалярный и векторный потенциалы V и A. Набор интегральных уравнений, известных как запаздывающие потенциалы , позволяет рассчитать V и A по ρ и J ^{[примечание 1]} , и оттуда электрические и магнитные поля определяются посредством соотношений ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Механика сплошных сред

Динамика жидкостей

В гидродинамике есть поля давления, плотности и скорости потока, которые связаны законами сохранения энергии и импульса. Уравнение неразрывности массы — это уравнение неразрывности, представляющее сохранение массы.

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

уравнения Навье – Стокса

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +p\mathbf {I} )=\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \mathbf {b} }$$

ρpтензор девиаторных напряжений τb . скорости u

Другие примеры

В 1839 году Джеймс МакКаллах представил уравнения поля для описания отражения и преломления в «Очерке динамической теории кристаллического отражения и преломления». ^[4]

Потенциальная теория

Термин « теория потенциала » возник из-за того, что в физике XIX века считалось, что фундаментальные силы природы возникают из скалярных потенциалов , которые удовлетворяют уравнению Лапласа . Пуассон обратился к вопросу устойчивости планетных орбит , который уже был решен Лагранжем в первой степени приближения от сил возмущения, и вывел уравнение Пуассона , названное в его честь. Общий вид этого уравнения:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\sigma }$$

где σ — функция источника (как плотность, количество на единицу объема), а ø — скалярный потенциал, который необходимо найти.

В ньютоновской гравитации; массы являются источниками поля, поэтому силовые линии заканчиваются на объектах, имеющих массу. Точно так же заряды являются источниками и стоками электростатических полей: положительные заряды испускают линии электрического поля, а силовые линии оканчиваются отрицательными зарядами. Эти концепции поля также проиллюстрированы в общей теореме о дивергенции , в частности, в законе Гаусса для гравитации и электричества. Для случаев не зависящей от времени гравитации и электромагнетизма поля представляют собой градиенты соответствующих потенциалов.

$${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi _{g}\,,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi _{e}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho _{g}\,,\quad \nabla ^{2}\phi _{e}=4\pi k_{e}\rho _{e}=-{\rho _{e} \over \varepsilon _{0}}}$$

где ρ _g — плотность массы , ρ _e — плотность заряда , G — гравитационная постоянная и k _e = 1/4πε ₀ — электрическая силовая константа.

Между прочим, это сходство возникает из-за сходства закона тяготения Ньютона и закона Кулона .

В случае, когда нет исходного члена (например, вакуума или парных зарядов), эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа :

$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0.}$$

Для распределения массы (или заряда) потенциал можно разложить в ряд сферических гармоник , причем n- й член ряда можно рассматривать как потенциал, возникающий из 2 ⁿ -моментов (см. мультипольное разложение ). Для многих целей в расчетах необходимы только монопольные, дипольные и квадрупольные члены.

Релятивистская теория поля

Современные формулировки классических теорий поля обычно требуют лоренц-ковариации , поскольку теперь она признана фундаментальным аспектом природы. Теория поля имеет тенденцию выражаться математически с использованием лагранжианов . Это функция, которая, будучи подчинена принципу действия , приводит к уравнениям поля и закону сохранения теории. Действие представляет собой скаляр Лоренца , из которого можно легко вывести уравнения поля и симметрии.

Везде мы используем такие единицы измерения, что скорость света в вакууме равна 1, т.е. c = 1. ^{[примечание 2]}

Лагранжева динамика

Учитывая тензор поля , скаляр, называемый плотностью Лагранжа ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$$

${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$$

Где находится объемная форма в искривленном пространстве-времени. ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle (g\equiv \det(g_{\mu \nu }))}$

Следовательно, сам лагранжиан равен интегралу от плотности лагранжа по всему пространству.

Тогда, применяя принцип действия , получаются уравнения Эйлера – Лагранжа

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$$

Релятивистские поля

Ниже описаны две наиболее известные лоренц-ковариантные классические теории поля.

Электромагнетизм

Исторически первыми (классическими) теориями поля были теории, описывающие электрическое и магнитное поля (отдельно). После многочисленных экспериментов было установлено, что эти два поля связаны между собой, или, по сути, являются двумя аспектами одного и того же поля: электромагнитного поля . Теория электромагнетизма Максвелла описывает взаимодействие заряженной материи с электромагнитным полем. Первая формулировка этой теории поля использовала векторные поля для описания электрических и магнитных полей. С появлением специальной теории относительности была найдена более полная формулировка с использованием тензорных полей. Вместо использования двух векторных полей, описывающих электрическое и магнитное поля, используется тензорное поле, представляющее эти два поля вместе.

Электромагнитный четырехпотенциал определяется как A _a = (− φ , A ) и электромагнитный четырехток j _a = (− ρ , j ) . Электромагнитное поле в любой точке пространства-времени описывается антисимметричным тензором электромагнитного поля (0,2)-ранга.

$${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$$

Лагранжиан

Чтобы получить динамику этого поля, мы пытаемся построить скаляр из поля. В вакууме мы имеем

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}\,.}$$

Мы можем использовать теорию калибровочного поля , чтобы получить член взаимодействия, и это дает нам

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{ab}F_{ab}-j^{a}A_{a}\,.}$$

Уравнения

Чтобы получить уравнения поля, электромагнитный тензор в лагранжевой плотности необходимо заменить его определением в терминах 4-потенциала A , и именно этот потенциал входит в уравнения Эйлера-Лагранжа. ЭМ поле F в уравнениях ЭЛ не меняется. Поэтому,

$${\displaystyle \partial _{b}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{b}A_{a}\right)}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}\,.}$$

Вычисление производной плотности Лагранжа по компонентам поля

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{a}}}=\mu _{0}j^{a}\,,}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{b}A_{a})}}=F^{ab}\,,}$$

уравнения Максвелла

$${\displaystyle \partial _{b}F^{ab}=\mu _{0}j^{a}\,.}$$

FAтождество Бьянки^[5]

$${\displaystyle 6F_{[ab,c]}\,=F_{ab,c}+F_{ca,b}+F_{bc,a}=0.}$$

где запятая указывает на частную производную .

Гравитация

После того, как ньютоновская гравитация оказалась несовместимой со специальной теорией относительности , Альберт Эйнштейн сформулировал новую теорию гравитации, названную общей теорией относительности . Здесь гравитация рассматривается как геометрическое явление («искривленное пространство-время »), вызванное массами, и математически представляет гравитационное поле в виде тензорного поля , называемого метрическим тензором . Уравнения поля Эйнштейна описывают , как возникает эта кривизна. Ньютоновская гравитация теперь заменена общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация рассматривается как результат искривления пространства-времени , вызванного массами. Уравнения поля Эйнштейна,

$${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$$

G _abтензор Эйнштейна

$${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$$

_{записанные}тензора Риччи Rabскаляра Риччи R = Rabgab ,— _тензор-импульса _, ^а κ = 8/ c4 —^. уравнения вакуумного поля

$${\displaystyle G_{ab}=0}$$

действия Эйнштейна – Гильберта

$${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$$

gопределительтензора g ^abвакуумными решениямиАртуром Эддингтоном ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$

Дальнейшие примеры

Дальнейшие примеры лоренц-ковариантных классических теорий поля:

• Теория Клейна-Гордона для действительных или комплексных скалярных полей
• Теория Дирака для спинорного поля Дирака
• Теория Янга–Миллса для неабелева калибровочного поля

Попытки объединения

Попытки создать единую теорию поля на основе классической физики — это классические единые теории поля. В годы между двумя мировыми войнами идею объединения гравитации с электромагнетизмом активно продвигали несколько математиков и физиков, таких как Альберт Эйнштейн , Теодор Калуца , ^[6] Герман Вейль , ^[7] Артур Эддингтон , ^[8] Густав Ми ^{[ 9]} и Эрнст Райхенбахер. ^[10]

Ранние попытки создания такой теории были основаны на включении электромагнитных полей в геометрию общей теории относительности . В 1918 году аргументы в пользу первой геометризации электромагнитного поля были предложены Германом Вейлем. ^[11] В 1919 году идею пятимерного подхода предложил Теодор Калуца . ^[11] На основе этого была разработана теория под названием « Теория Калуцы-Клейна» . Он пытается объединить гравитацию и электромагнетизм в пятимерном пространстве-времени . Существует несколько способов расширения репрезентативной структуры единой теории поля, которые рассматривались Эйнштейном и другими исследователями. Эти расширения в целом основаны на двух вариантах. ^[11] Первый вариант основан на смягчении условий, наложенных на исходную формулировку, а второй — на введении в теорию других математических объектов. ^[11] Примером первого варианта является ослабление ограничений на четырехмерное пространство-время путем рассмотрения многомерных представлений. ^[11] Это используется в теории Калуцы-Клейна . Во-вторых, наиболее ярким примером является концепция аффинной связи , которая была введена в общую теорию относительности главным образом благодаря работам Туллио Леви-Чивита и Германа Вейля . ^[11]

Дальнейшее развитие квантовой теории поля изменило фокус поиска единой теории поля с классического описания на квантовое. Из-за этого многие физики-теоретики отказались от поисков классической единой теории поля. ^[11] Квантовая теория поля предполагает объединение двух других фундаментальных сил природы : сильного и слабого ядерного взаимодействия , действующих на субатомном уровне. ^{[12] [13]}

Смотрите также

• Релятивистские волновые уравнения
• Квантовая теория поля
• Классические единые теории поля
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Поле Хиггса (классическое)
• Лагранжиан (теория поля)
• Гамильтонова теория поля
• Ковариантная гамильтонова теория поля

Примечания

1. Это зависит от правильного выбора калибра . φ и A не определяются однозначно ρ и J ; скорее, они определяются только с точностью до некоторой скалярной функции f ( r , t ), известной как калибровка. Формализм запаздывающего потенциала требует выбора калибровки Лоренца .
2. Это эквивалентно выбору единиц измерения расстояния и времени: световых секунд и секунд или световых лет и лет. Выбор c = 1 позволяет упростить уравнения. Например, E = mc ² сводится к E = m (поскольку c ² = 1, без учета единиц измерения). Это снижает сложность выражений, сохраняя при этом внимание к основным принципам. Эту «хитрость» необходимо учитывать при выполнении реальных численных расчетов.

Рекомендации

Цитаты

1. Клеппнер, Дэвид; Коленков, Роберт. Введение в механику . п. 85.
2. Гриффитс, Дэвид. Введение в электродинамику (3-е изд.). п. 326.
3. Вангснесс, Роальд. Электромагнитные поля (2-е изд.). п. 469.
4. Джеймс МакКаллах (1839) Очерк динамической теории кристаллического отражения и преломления, Transactions, Королевская ирландская академия 21
5. "Личность Бьянки".
6. Калуца, Теодор (1921). «Zum Unitätsproblem in der Physik». Зитцунгсбер. Пройсс. Акад. Висс. Берлин. (Математика и физика) : 966–972. Бибкод : 1921SPAW.......966K.
7. Вейль, Х. (1918). «Гравитация и электричество». Ситц. Пройсс. Акад. Висс. : 465.
8. Эддингтон, AS (1924). Математическая теория относительности, 2-е изд . Кембриджский университет. Нажимать.
9. Ми, Г. (1912). «Grundlagen einer Theorie der Materie». Анна. Физ . 37 (3): 511–534. Бибкод : 1912АнП...342..511М. дои : 10.1002/andp.19123420306.
10. Райхенбахер, Э. (1917). «Основы теории электричества и гравитации». Анна. Физ . 52 (2): 134–173. Бибкод : 1917АнП...357..134Р. дои : 10.1002/andp.19173570203.
11. Зауэр, Тилман (май 2014 г.), «Программа единой теории поля Эйнштейна», в Янссен, Мишель; Ленер, Кристоф (ред.), Кембриджский спутник Эйнштейна , Cambridge University Press, ISBN 9781139024525
12. Гадзирайи Ньямбуя, Золотой (октябрь 2007 г.). «Единая теория поля - Статья I, Гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие» (PDF) . Апейрон . 14 (4): 321 . Проверено 30 декабря 2017 г.
13. Де Бур, В. (1994). «Теории Великого объединения и суперсимметрия в физике элементарных частиц и космологии» (PDF) . Прогресс в области физики элементарных частиц и ядерной физики . 33 : 201–301. arXiv : hep-ph/9402266 . Бибкод :1994ПрПНП..33..201Д. дои : 10.1016/0146-6410(94)90045-0. S2CID  119353300 . Проверено 30 декабря 2017 г.

Источники

• Трусделл, К. ; Тупен, Р.А. (1960). «Классические теории поля». Во Флюгге, Зигфрид (ред.). Принципы классической механики и теории поля / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie . Handbuch der Physik (Энциклопедия физики). Том. III/1. Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 226–793. Збл  0118.39702.

Внешние ссылки

• Тиде, Бо . «Теория электромагнитного поля» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2003 г. Проверено 14 февраля 2006 г.
• Кэрролл, Шон М. (1997). «Конспекты лекций по общей теории относительности». arXiv : gr-qc/9712019 . Бибкод : 1997gr.qc....12019C. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Бинни, Джеймс Дж. «Конспекты лекций по классическим областям» (PDF) . Проверено 30 апреля 2007 г.
• Сарданашвили, Г. (ноябрь 2008 г.). «Передовая классическая теория поля». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 5 (7): 1163–1189. arXiv : 0811.0331 . Бибкод : 2008IJGMM..05.1163S. дои : 10.1142/S0219887808003247. ISBN 978-981-283-895-7. S2CID  13884729.