Квантовая запутанность

Корреляция между квантовыми системами

Спонтанный параметрический процесс понижения частоты может расщеплять фотоны на пары фотонов типа II с взаимно перпендикулярной поляризацией.

Квантовая запутанность — это явление, при котором группа частиц генерируется, взаимодействует или разделяет пространственную близость таким образом, что квантовое состояние каждой частицы группы не может быть описано независимо от состояния других, в том числе, когда частицы разделены большим расстоянием. Тема квантовой запутанности лежит в основе несоответствия между классической и квантовой физикой : запутанность — это основная черта квантовой механики, отсутствующая в классической механике. ^{[1] :  867}

Измерения физических свойств, таких как положение , импульс , спин и поляризация, выполненные на запутанных частицах, в некоторых случаях могут оказаться идеально коррелированными . Например, если пара запутанных частиц генерируется таким образом, что их общий спин, как известно, равен нулю, и обнаруживается, что одна частица имеет спин по часовой стрелке на первой оси, то спин другой частицы, измеренный на той же оси, оказывается против часовой стрелки. Однако такое поведение приводит к, казалось бы, парадоксальным эффектам: любое измерение свойств частицы приводит к кажущемуся и необратимому коллапсу волновой функции этой частицы и изменяет исходное квантовое состояние. В случае запутанных частиц такие измерения влияют на запутанную систему в целом.

Такие явления были предметом статьи 1935 года Альберта Эйнштейна , Бориса Подольского и Натана Розена [ ^2] и нескольких статей Эрвина Шредингера вскоре после этого ^{[3] [4],} описывающих то, что стало известно как парадокс ЭПР . Эйнштейн и другие считали такое поведение невозможным, поскольку оно нарушает локально-реалистический взгляд на причинность (Эйнштейн называл его «жутким действием на расстоянии ») ^[5] и утверждали, что принятая формулировка квантовой механики должна быть поэтому неполной.

Однако позднее контринтуитивные предсказания квантовой механики были проверены ^{[6] [7] [8]} в тестах, где поляризация или спин запутанных частиц измерялись в отдельных местах, статистически нарушая неравенство Белла . В более ранних тестах нельзя было исключить, что результат в одной точке мог быть тонко передан в удаленную точку, влияя на результат во втором месте. ^[8] Однако с тех пор проводились так называемые «безбрежные» тесты Белла, где места были достаточно разнесены, что связь со скоростью света заняла бы больше времени — в одном случае в 10 000 раз больше — чем интервал между измерениями. ^{[7] [6]}

Запутанность создает корреляцию между измерениями, взаимная информация между запутанными частицами может быть использована, но любая передача информации со скоростью, превышающей скорость света, невозможна. ^{[9] [10]} Квантовая запутанность не может быть использована для связи со скоростью, превышающей скорость света . ^[11]

Квантовая запутанность была экспериментально продемонстрирована на фотонах , ^{[12] [13]} электронах , ^{[14] [15]} топ-кварках, ^[16] молекулах ^[17] и даже небольших алмазах. ^[18] Использование запутанности в коммуникациях , вычислениях и квантовой радиолокации является активной областью исследований и разработок.

История

Заголовок статьи, посвященной парадоксу Эйнштейна-Подольского-Розена (ЭПР) , в выпуске The New York Times от 4 мая 1935 года

В 1935 году Альберт Эйнштейн , Борис Подольский и Натан Розен опубликовали статью о контринтуитивных предсказаниях, которые квантовая механика делает для пар объектов, подготовленных вместе определенным образом. ^[2] В этом исследовании трое сформулировали парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена (парадокс ЭПР), мысленный эксперимент , который пытался показать, что « квантово-механическое описание физической реальности, заданное волновыми функциями, не является полным». ^[2] Однако трое ученых не придумали слово запутанность и не обобщили особые свойства квантового состояния, которое они рассматривали. После статьи ЭПР Эрвин Шредингер написал письмо Эйнштейну на немецком языке , в котором он использовал слово Verschränkung (переведенное им самим как запутанность ) «для описания корреляций между двумя частицами, которые взаимодействуют, а затем разделяются, как в эксперименте ЭПР». ^[19] Однако Шредингер обсуждал это явление еще в 1932 году. ^[20]

Вскоре после этого Шредингер опубликовал основополагающую статью, в которой определялось и обсуждалось понятие «запутанности». В статье он признавал важность этой концепции и утверждал: ^[3] «Я бы не назвал [запутанность] таковой , а скорее характерной чертой квантовой механики, той, которая обусловливает ее полное отклонение от классических линий мышления». Как и Эйнштейн, Шредингер был недоволен концепцией запутанности, поскольку она, по-видимому, нарушала ограничение скорости передачи информации, подразумеваемое в теории относительности . ^[21] Позже Эйнштейн высмеял запутанность, назвав ее « spukhafte Fernwirkung » ^[22] или « жутким действием на расстоянии ».

Статья ЭПР вызвала значительный интерес среди физиков, что побудило к обширным дискуссиям об основах квантовой механики и интерпретации Бома в частности, но породило относительно мало других опубликованных работ. Несмотря на интерес, слабое место в аргументе ЭПР не было обнаружено до 1964 года, когда Джон Стюарт Белл доказал, что одно из их ключевых предположений, принцип локальности , в применении к интерпретации скрытых переменных, на которую надеялся ЭПР, математически несовместимо с предсказаниями квантовой теории.

В частности, Белл продемонстрировал верхний предел, видимый в неравенстве Белла , относительно силы корреляций, которые могут быть получены в любой теории, подчиняющейся локальному реализму , и показал, что квантовая теория предсказывает нарушения этого предела для определенных запутанных систем. ^[23] Его неравенство экспериментально проверяемо, и было проведено множество соответствующих экспериментов , начиная с пионерской работы Стюарта Фридмана и Джона Клаузера в 1972 году ^[24] и экспериментов Алена Аспекта в 1982 году. ^[25]

Ранний экспериментальный прорыв был достигнут Карлом Кохером ^{[12] [13]} , который уже в 1967 году представил аппарат, в котором было показано, что два фотона, последовательно испускаемые атомом кальция, запутаны — первый случай запутанного видимого света. Два фотона прошли диаметрально расположенные параллельные поляризаторы с большей вероятностью, чем предсказывалось классически, но с корреляциями в количественном согласии с квантово-механическими расчетами. Он также показал, что корреляция изменялась как квадрат косинуса угла между настройками поляризатора ^[13] и уменьшалась экспоненциально с задержкой по времени между испускаемыми фотонами. ^[26] Аппарат Кохера, оснащенный лучшими поляризаторами, использовался Фридманом и Клаузером, которые смогли подтвердить зависимость косинуса от квадрата и использовать ее для демонстрации нарушения неравенства Белла для набора фиксированных углов. ^[24] Все эти эксперименты показали согласие с квантовой механикой, а не с принципом локального реализма.

В течение десятилетий каждый из них оставлял открытым по крайней мере одну лазейку , с помощью которой можно было усомниться в обоснованности результатов. Однако в 2015 году был проведен эксперимент, который одновременно закрыл как лазейки обнаружения, так и лазейки локальности, и был объявлен «без лазеек»; этот эксперимент с уверенностью исключил большой класс теорий локального реализма. ^[27] Аспект пишет, что «... ни один эксперимент ... нельзя назвать полностью без лазеек», но он говорит, что эксперименты «устраняют последние сомнения в том, что мы должны отказаться» от локальных скрытых переменных, и называет примеры оставшихся лазеек «надуманными» и «чуждыми обычному способу рассуждения в физике». ^[28]

Работа Белла подняла вопрос о возможности использования этих сверхсильных корреляций в качестве ресурса для коммуникации. Это привело к открытию в 1984 году протоколов квантового распределения ключей , наиболее известными из которых являются BB84 Чарльза Х. Беннета и Жиля Брассара ^[29] и E91 Артура Экерта . ^[30] Хотя BB84 не использует запутанность, протокол Экерта использует нарушение неравенства Белла в качестве доказательства безопасности.

В 2022 году Нобелевская премия по физике была присуждена Алену Аспекту , Джону Клаузеру и Антону Цайлингеру «за эксперименты с запутанными фотонами, установившие нарушение неравенств Белла и ставшие пионерами в области квантовой информатики». ^[31]

Концепция

Значение слова «запутанность»

Запутанную систему можно определить как систему, квантовое состояние которой не может быть разложено на составляющие как произведение состояний ее локальных составляющих; то есть они не являются отдельными частицами, а представляют собой неразделимое целое. В запутанности одна составляющая не может быть полностью описана без рассмотрения другой(их). Состояние составной системы всегда выражается как сумма или суперпозиция произведений состояний локальных составляющих; она запутана, если эту сумму нельзя записать как один термин произведения.

Квантовые системы могут стать запутанными посредством различных типов взаимодействий. Некоторые способы, которыми запутанность может быть достигнута в экспериментальных целях, см. в разделе ниже о методах. Запутанность разрушается, когда запутанные частицы декогерируют посредством взаимодействия с окружающей средой; например, когда проводится измерение. ^[32]

В качестве примера запутывания: субатомная частица распадается на запутанную пару других частиц. События распада подчиняются различным законам сохранения , и в результате результаты измерений одной дочерней частицы должны быть сильно коррелированы с результатами измерений другой дочерней частицы (так что общие импульсы, угловые моменты, энергия и т. д. остаются примерно одинаковыми до и после этого процесса). Например, частица со спином -0 может распасться на пару частиц со спином -1/2. Поскольку общий спин до и после этого распада должен быть равен нулю (сохранение углового момента), всякий раз, когда измеряется, что первая частица имеет спин вверх на какой-то оси, другая, при измерении на той же оси, всегда оказывается со спином вниз . (Это называется случаем спиновой антикоррелированности; и если априорные вероятности измерения каждого спина равны, говорят, что пара находится в синглетном состоянии .)

Вышеуказанный результат может быть воспринят как удивительный, а может и нет. Классическая система продемонстрировала бы то же свойство, и для этого, безусловно, потребовалась бы теория скрытых переменных , основанная на сохранении углового момента как в классической, так и в квантовой механике. Разница в том, что классическая система имеет определенные значения для всех наблюдаемых все время, в то время как квантовая система — нет. В некотором смысле, который будет обсуждаться ниже, рассматриваемая здесь квантовая система, по-видимому, приобретает распределение вероятностей для результата измерения спина вдоль любой оси другой частицы при измерении первой частицы. Это распределение вероятностей в целом отличается от того, каким оно было бы без измерения первой частицы. Это, безусловно, может быть воспринято как удивительное в случае пространственно разделенных запутанных частиц.

Парадокс

Парадокс заключается в том, что измерение, выполненное на любой из частиц, по-видимому, разрушает состояние всей запутанной системы — и делает это мгновенно, до того, как какая-либо информация о результате измерения могла быть передана другой частице (предполагая, что информация не может распространяться быстрее света ) и, следовательно, гарантировать «правильный» результат измерения другой части запутанной пары. В копенгагенской интерпретации результат измерения спина на одной из частиц — это коллапс (волновой функции) в состояние, в котором каждая частица имеет определенный спин (либо вверх, либо вниз) вдоль оси измерения. Результат считается случайным, причем каждая возможность имеет вероятность 50%. Однако, если оба спина измеряются вдоль одной и той же оси, они оказываются антикоррелированными. Это означает, что случайный результат измерения, выполненного на одной частице, по-видимому, передается другой, так что она может сделать «правильный выбор», когда ее тоже измеряют. ^[33]

Расстояние и время измерений можно выбрать так, чтобы сделать интервал между двумя измерениями пространственноподобным , следовательно, любой причинный эффект, связывающий события, должен был бы распространяться быстрее света. Согласно принципам специальной теории относительности , никакая информация не может распространяться между двумя такими измерительными событиями. Невозможно даже сказать, какое из измерений произошло первым. Для двух пространственноподобных разделенных событий x ₁ и x ₂ существуют инерциальные системы отсчета , в которых x ₁ является первым, и другие, в которых x ₂ является первым. Следовательно, корреляция между двумя измерениями не может быть объяснена тем, что одно измерение определяет другое: разные наблюдатели не будут иметь согласия относительно роли причины и следствия.

Теория скрытых переменных

Возможным решением парадокса является предположение, что квантовая теория неполна, а результат измерений зависит от предопределенных «скрытых переменных». ^[34] Состояние измеряемых частиц содержит некоторые скрытые переменные , значения которых эффективно определяют, прямо с момента разделения, какими будут результаты спиновых измерений. Это означало бы, что каждая частица несет с собой всю необходимую информацию, и ничего не нужно передавать от одной частицы к другой во время измерения. Эйнштейн и другие (см. предыдущий раздел) изначально считали, что это единственный выход из парадокса, и принятое квантово-механическое описание (со случайным результатом измерения) должно быть неполным.

Нарушения неравенства Белла

Однако теории локальных скрытых переменных терпят неудачу, когда рассматриваются измерения спина запутанных частиц вдоль разных осей. Если проводится большое количество пар таких измерений (на большом количестве пар запутанных частиц), то статистически, если бы локальный реалистический взгляд или взгляд на скрытые переменные были верны, результаты всегда удовлетворяли бы неравенству Белла . Ряд экспериментов показали на практике, что неравенство Белла не выполняется. Однако до 2015 года все эти эксперименты имели проблемы-лазейки, которые считались наиболее важными сообществом физиков. ^{[35] [36]} Когда измерения запутанных частиц проводятся в движущихся релятивистских системах отсчета, в которых каждое измерение (в своем собственном релятивистском временном интервале) происходит раньше другого, результаты измерений остаются коррелированными. ^{[37] [38]}

Фундаментальная проблема измерения спина вдоль разных осей заключается в том, что эти измерения не могут иметь определенные значения одновременно — они несовместимы в том смысле, что максимальная одновременная точность этих измерений ограничена принципом неопределенности . Это противоречит тому, что обнаружено в классической физике, где любое количество свойств может быть измерено одновременно с произвольной точностью. Было математически доказано, что совместимые измерения не могут показывать корреляции, нарушающие неравенство Белла, ^[39] и, таким образом, запутанность является принципиально неклассическим явлением.

Известные экспериментальные результаты, подтверждающие квантовую запутанность

Первый эксперимент, подтвердивший жуткое действие Эйнштейна на расстоянии (запутанность), был успешно подтвержден в лаборатории Цзянь-Шюн У и его коллегой И. Шахновым в 1949 году и опубликован в первый день нового года в 1950 году. Результат, в частности, доказал квантовые корреляции пары фотонов. ^[40] В экспериментах 2012 и 2013 годов поляризационная корреляция была создана между фотонами, которые никогда не сосуществовали во времени. ^{[41] [42]} Авторы утверждали, что этот результат был достигнут путем обмена запутанностью между двумя парами запутанных фотонов после измерения поляризации одного фотона ранней пары, и что это доказывает, что квантовая нелокальность применима не только к пространству, но и ко времени.

В трех независимых экспериментах в 2013 году было показано, что классически сообщаемые разделяемые квантовые состояния могут использоваться для переноса запутанных состояний. ^[43] Первый тест Белла без лазеек был проведен Рональдом Хансоном из Делфтского технического университета в 2015 году, подтвердив нарушение неравенства Белла. ^[44]

В августе 2014 года бразильский исследователь Габриэла Баррето Лемос из Венского университета и ее команда смогли «сделать снимки» объектов, используя фотоны, которые не взаимодействовали с субъектами, но были запутаны с фотонами, которые взаимодействовали с такими объектами. ^[45] Идея была адаптирована для создания инфракрасных изображений с использованием только стандартных камер, которые нечувствительны к инфракрасному излучению. ^[46]

Возникновение времени из квантовой запутанности

Существует фундаментальный конфликт, называемый проблемой времени , между тем, как понятие времени используется в квантовой механике , и той ролью, которую оно играет в общей теории относительности . В стандартных квантовых теориях время действует как независимый фон, через который развиваются состояния, при этом оператор Гамильтона действует как генератор бесконечно малых трансляций квантовых состояний во времени. ^[47]

Напротив, общая теория относительности рассматривает время как динамическую переменную , которая напрямую связана с материей и, более того, требует, чтобы гамильтоново ограничение исчезло. В квантованной общей теории относительности квантовая версия гамильтонового ограничения, использующая метрические переменные, приводит к уравнению Уиллера–ДеВитта :

${\displaystyle {\hat {H}}(x)|\psi \rangle =0}$

где — гамильтонианское ограничение, а — волновая функция вселенной . Оператор действует на гильбертово пространство волновых функций, но это не то же самое гильбертово пространство, что и в нерелятивистском случае. Этот гамильтониан больше не определяет эволюцию системы, поскольку уравнение Шредингера : , перестает быть действительным. Это свойство известно как безвременье. Были предприняты различные попытки включить время в полностью квантовую структуру, начиная с механизма Пейджа и Вуттерса и других последующих предложений. ^{[48] [49]} ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\partial \over {\partial t}}|\psi \rangle }$

Было также предложено, что возникновение времени возникает из квантовых корреляций между развивающейся системой и эталонной системой квантовых часов; вводится концепция системно-временной запутанности как квантификатора действительной различимой эволюции, претерпеваемой системой. ^{[50] [51] [52] [53]}

Возникающая гравитация

Основываясь на соответствии AdS/CFT , Марк Ван Раамсдонк предположил, что пространство-время возникает как эмерджентное явление квантовых степеней свободы, которые запутаны и живут на границе пространства-времени. ^[54] Индуцированная гравитация может возникнуть из первого закона запутанности. ^{[55] [56]}

Нелокальность и запутанность

В СМИ и популярной науке квантовая нелокальность часто изображается как эквивалент запутанности. Хотя это верно для чистых двусоставных квантовых состояний, в общем случае запутанность необходима только для нелокальных корреляций, но существуют смешанные запутанные состояния, которые не производят таких корреляций. ^[57] Одним из примеров являются состояния Вернера , которые запутаны для определенных значений , но всегда могут быть описаны с использованием локальных скрытых переменных. ^[58] Более того, было показано, что для произвольного числа частиц существуют состояния, которые действительно запутаны, но допускают локальную модель. ^[59] ${\displaystyle p_{sym}}$

Упомянутые доказательства существования локальных моделей предполагают, что в каждый момент времени доступна только одна копия квантового состояния. Если частицам разрешено выполнять локальные измерения на многих копиях таких состояний, то многие, по-видимому, локальные состояния (например, состояния Вернера кубита) больше не могут быть описаны локальной моделью. Это, в частности, верно для всех дистиллируемых состояний. Однако остается открытым вопрос, становятся ли все запутанные состояния нелокальными при наличии достаточного количества копий. ^[60]

Запутанность состояния, разделяемого двумя частицами, необходима, но не достаточна для того, чтобы это состояние было нелокальным. Запутанность чаще рассматривается как алгебраическая концепция, известная тем, что является предпосылкой для нелокальности, а также для квантовой телепортации и сверхплотного кодирования , тогда как нелокальность определяется в соответствии с экспериментальной статистикой и гораздо больше связана с основами и интерпретациями квантовой механики . ^[61]

Квантово-механическая структура

Следующие подразделы предназначены для тех, кто хорошо знаком с формальным, математическим описанием квантовой механики, включая знакомство с формализмом и теоретической основой, разработанной в статьях: скобочная нотация и математическая формулировка квантовой механики .

Чистые состояния

Рассмотрим две произвольные квантовые системы A и B с соответствующими гильбертовыми пространствами H _A и H _B. Гильбертово пространство составной системы — это тензорное произведение

${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

Если первая система находится в состоянии , а вторая в состоянии , то состояние составной системы равно ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.}$

Состояния составной системы, которые можно представить в таком виде, называются разделимыми состояниями, или состояниями-продуктами .

Не все состояния являются разделимыми состояниями (и, следовательно, состояниями-продуктами). Зафиксируем базис для H _A и базис для H _B . Наиболее общее состояние в H _A ⊗ H _B имеет вид ${\displaystyle \{|i\rangle _{A}\}}$ ${\displaystyle \{|j\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}}$.

Это состояние разделимо, если существуют векторы такие, что и Оно неразделимо, если для любых векторов хотя бы для одной пары координат имеем Если состояние неразделимо, оно называется «запутанным состоянием». ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ ${\displaystyle c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},}$ ${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$ ${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$ ${\displaystyle [c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]}$ ${\displaystyle c_{i}^{A},c_{j}^{B}}$ ${\displaystyle c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.}$

Например, если заданы два базисных вектора H A _и два базисных вектора H B _, то следующее состояние является запутанным: ${\displaystyle \{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}}$ ${\displaystyle \{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).}$

Если составная система находится в этом состоянии, то невозможно приписать ни системе A , ни системе B определенное чистое состояние . Другими словами, в то время как энтропия фон Неймана всего состояния равна нулю (как и для любого чистого состояния), энтропия подсистем больше нуля. В этом смысле системы «запутаны». Это имеет определенные эмпирические последствия для интерферометрии. ^[62] Приведенный выше пример является одним из четырех состояний Белла , которые являются (максимально) запутанными чистыми состояниями (чистыми состояниями пространства H _A ⊗ H _B , но которые нельзя разделить на чистые состояния каждого H _A и H _B ).

Теперь предположим, что Алиса является наблюдателем для системы A , а Боб — наблюдателем для системы B. Если в запутанном состоянии, приведенном выше, Алиса делает измерение в собственном базисе A , есть два возможных результата, происходящих с равной вероятностью: ^[63] ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$

1. Алиса измеряет 0, и состояние системы сжимается до . ${\displaystyle |0\rangle _{A}|1\rangle _{B}}$
2. Алиса измеряет 1, и состояние системы сжимается до . ${\displaystyle |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}}$

Если происходит первое, то любое последующее измерение, выполненное Бобом, в том же базисе, всегда будет возвращать 1. Если происходит второе (Алиса измеряет 1), то измерение Боба с уверенностью вернет 0. Таким образом, система B была изменена Алисой, выполняющей локальное измерение в системе A. Это остается верным, даже если системы A и B пространственно разделены. Это основа парадокса ЭПР.

Результат измерения Алисы случаен. Алиса не может решить, в какое состояние свернуть составную систему, и, следовательно, не может передать информацию Бобу, воздействуя на свою систему. Таким образом, в этой конкретной схеме сохраняется причинность. Для общего аргумента см. теорему об отсутствии связи .

Ансамбли

Как упоминалось выше, состояние квантовой системы задается единичным вектором в гильбертовом пространстве. В более общем случае, если у вас мало информации о системе, то вы называете ее «ансамблем» и описываете ее матрицей плотности , которая является положительно-полуопределенной матрицей , или классом следа , когда пространство состояний бесконечномерно и имеет след 1. Опять же, по спектральной теореме , такая матрица принимает общую форму:

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,}$

где w _i — положительно значимые вероятности (в сумме они дают 1), векторы α _i — единичные векторы, и в бесконечномерном случае мы бы взяли замыкание таких состояний в норме следа. Мы можем интерпретировать ρ как представление ансамбля, где — доля ансамбля, состояния которого . Когда смешанное состояние имеет ранг 1, оно, следовательно, описывает «чистый ансамбль». Когда информации о состоянии квантовой системы меньше, чем полная, нам нужны матрицы плотности для представления состояния. ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$

Экспериментально смешанный ансамбль может быть реализован следующим образом. Рассмотрим аппарат «черный ящик», который выплевывает электроны в сторону наблюдателя. Гильбертовы пространства электронов идентичны . Аппарат может производить электроны, которые находятся в одном и том же состоянии; в этом случае электроны, полученные наблюдателем, являются чистым ансамблем. Однако аппарат может производить электроны в разных состояниях. Например, он может производить две популяции электронов: одну с состоянием со спинами, выровненными в положительном направлении z , и другую с состоянием со спинами, выровненными в отрицательном направлении y . Как правило, это смешанный ансамбль, поскольку может быть любое количество популяций, каждая из которых соответствует другому состоянию. ${\displaystyle |\mathbf {z} +\rangle }$ ${\displaystyle |\mathbf {y} -\rangle }$

Следуя определению выше, для двудольной составной системы смешанные состояния являются просто матрицами плотности на H _A ⊗ H _B. То есть, она имеет общую форму

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]}$

где w _i — положительно оцененные вероятности, , а векторы — единичные векторы. Это самосопряженный и положительный вектор, имеющий след 1. ${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$

Расширяя определение отделимости от чистого случая, мы говорим, что смешанное состояние отделимо, если его можно записать как ^{[64] : 131–132}

${\displaystyle \rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},}$

где w _i — положительно оцененные вероятности, а 's и 's сами по себе являются смешанными состояниями (операторами плотности) в подсистемах A и B соответственно. Другими словами, состояние является разделимым, если оно является распределением вероятностей по некоррелированным состояниям или состояниям-произведениям. Записывая матрицы плотности как суммы чистых ансамблей и расширяя, мы можем предположить без потери общности, что и сами являются чистыми ансамблями. Тогда говорят, что состояние является запутанным, если оно не является разделимым. ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{A}}$ ${\displaystyle \rho _{i}^{B}}$

В общем случае, выяснение того, является ли смешанное состояние запутанным, считается трудным. Было показано, что общий двудольный случай является NP-трудным . ^[65] Для случаев 2 × 2 и 2 × 3 необходимый и достаточный критерий разделимости дается известным условием положительной частичной транспозиции (PPT) . ^[66]

Матрицы пониженной плотности

Идея редуцированной матрицы плотности была введена Полем Дираком в 1930 году. ^[67] Рассмотрим, как и выше, системы A и B, каждая из которых имеет гильбертово пространство H _A , H _B . Пусть состояние составной системы будет

${\displaystyle |\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.}$

Как указано выше, в общем случае нет способа связать чистое состояние с компонентной системой A. Однако все еще возможно связать матрицу плотности. Пусть

${\displaystyle \rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |}$.

который является оператором проекции на это состояние. Состояние A является частичным следом ρ _T по базису системы B :

${\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.}$

Сумма происходит по и оператор тождества в . ρ _A иногда называют приведенной матрицей плотности ρ на подсистеме A. Проще говоря, мы «отслеживаем» систему B , чтобы получить приведенную матрицу плотности на A. ${\displaystyle N_{B}:=\dim(H_{B})}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle H_{A}}$

Например, приведенная матрица плотности A для запутанного состояния

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),}$

обсуждаемый выше

${\displaystyle \rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right).}$

Это показывает, что, как и ожидалось, приведенная матрица плотности для запутанного чистого ансамбля является смешанным ансамблем. Также неудивительно, что матрица плотности A для чистого состояния продукта, обсуждаемого выше, равна ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$

${\displaystyle \rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}}$.

В общем случае двухчастичное чистое состояние ρ является запутанным тогда и только тогда, когда его редуцированные состояния являются смешанными, а не чистыми.

Два приложения, которые их используют

Приведенные матрицы плотности были явно рассчитаны в различных спиновых цепочках с уникальным основным состоянием. Примером является одномерная спиновая цепочка AKLT : ^[68] основное состояние можно разделить на блок и окружение. Приведенная матрица плотности блока пропорциональна проектору на вырожденное основное состояние другого гамильтониана.

Приведенная матрица плотности также была оценена для спиновых цепочек XY , где она имеет полный ранг. Было доказано, что в термодинамическом пределе спектр приведенной матрицы плотности большого блока спинов является точной геометрической последовательностью ^[69] в этом случае.

Запутанность как ресурс

В квантовой теории информации запутанные состояния считаются «ресурсом», т. е. чем-то дорогостоящим для производства и позволяющим осуществлять ценные преобразования. ^{[70] [71]} Обстановка, в которой эта перспектива наиболее очевидна, — это «отдаленные лаборатории», т. е. две квантовые системы, обозначенные как «A» и «B», на каждой из которых могут выполняться произвольные квантовые операции , но которые не взаимодействуют друг с другом квантово-механически. Единственное разрешенное взаимодействие — это обмен классической информацией, который в сочетании с наиболее общими локальными квантовыми операциями порождает класс операций, называемых LOCC (локальные операции и классическая коммуникация). Эти операции не позволяют производить запутанные состояния между системами A и B. Но если A и B обеспечены запасом запутанных состояний, то они вместе с операциями LOCC могут обеспечить более широкий класс преобразований. Например, взаимодействие между кубитом A и кубитом B может быть реализовано путем первой телепортации кубита A в B, затем позволения ему взаимодействовать с кубитом B (что теперь является операцией LOCC, поскольку оба кубита находятся в лаборатории B), а затем телепортации кубита обратно в A. В этом процессе используются два максимально запутанных состояния двух кубитов. Таким образом, запутанные состояния являются ресурсом, который позволяет реализовать квантовые взаимодействия (или квантовые каналы) в условиях, когда доступны только LOCC, но они расходуются в процессе. Существуют и другие приложения, где запутанность можно рассматривать как ресурс, например, частная связь или различение квантовых состояний. ^[1]

Классификация запутанности

Не все квантовые состояния одинаково ценны как ресурс. Для количественной оценки этой ценности можно использовать различные меры запутанности (см. ниже), которые присваивают численное значение каждому квантовому состоянию. Однако часто бывает интересно остановиться на более грубом способе сравнения квантовых состояний. Это приводит к различным схемам классификации. Большинство классов запутанности определяются на основе того, можно ли преобразовать состояния в другие состояния с помощью LOCC или подкласса этих операций. Чем меньше набор разрешенных операций, тем тоньше классификация. Важные примеры:

• Если два состояния могут быть преобразованы друг в друга локальной унитарной операцией, то говорят, что они находятся в одном классе LU . Это лучший из обычно рассматриваемых классов. Два состояния в одном классе LU имеют одинаковое значение для мер запутанности и одинаковое значение как ресурс в условиях удаленных лабораторий. Существует бесконечное число различных классов LU (даже в простейшем случае двух кубитов в чистом состоянии). ^{[72] [73]}
• Если два состояния могут быть преобразованы друг в друга с помощью локальных операций, включая измерения с вероятностью больше 0, то говорят, что они находятся в одном и том же «классе SLOCC» («стохастическом LOCC»). Качественно, два состояния и в одном и том же классе SLOCC одинаково мощны (поскольку я могу преобразовать одно в другое, а затем сделать все, что оно мне позволяет), но поскольку преобразования и могут быть успешными с разной вероятностью, они больше не являются одинаково ценными. Например, для двух чистых кубитов существует только два класса SLOCC: запутанные состояния (которые содержат как (максимально запутанные) состояния Белла, так и слабо запутанные состояния, такие как ) и разделимые (т. е. состояния-произведения, такие как ). ^{[74] [75]} ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}\to \rho _{1}}$ ${\displaystyle |00\rangle +0.01|11\rangle }$ ${\displaystyle |00\rangle }$
• Вместо рассмотрения преобразований отдельных копий состояния (например , ) можно определить классы, основанные на возможности многокопийных преобразований. Например, есть примеры, когда невозможно по LOCC, но возможно. Очень важная (и очень грубая) классификация основана на свойстве, возможно ли преобразовать произвольно большое количество копий состояния в хотя бы одно чистое запутанное состояние. Состояния, обладающие этим свойством, называются дистиллируемыми. Эти состояния являются наиболее полезными квантовыми состояниями, поскольку при наличии достаточного их количества они могут быть преобразованы (с помощью локальных операций) в любое запутанное состояние и, следовательно, допускают все возможные использования. Первоначально стало неожиданностью, что не все запутанные состояния являются дистиллируемыми, те, которые не являются таковыми, называются « связанными запутанными ». ^{[76] [1]} ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho }$

Другая классификация запутанности основана на том, что квантовые корреляции, присутствующие в состоянии, позволяют делать A и B: различают три подмножества запутанных состояний: (1) нелокальные состояния , которые производят корреляции, которые не могут быть объяснены локальной моделью скрытых переменных и, таким образом, нарушают неравенство Белла, (2) управляемые состояния , которые содержат достаточно корреляций для A, чтобы модифицировать («управлять») локальными измерениями условное редуцированное состояние B таким образом, что A может доказать B, что состояние, которым они обладают, действительно запутано, и, наконец, (3) те запутанные состояния, которые не являются ни нелокальными, ни управляемыми. Все три множества непусты. ^[77]

Энтропия

В этом разделе обсуждается энтропия смешанного состояния, а также то, как ее можно рассматривать как меру квантовой запутанности.

Определение

График зависимости энтропии фон Неймана от собственного значения для двухчастичного 2-уровневого чистого состояния. Когда собственное значение равно 0,5, энтропия фон Неймана максимальна, что соответствует максимальной запутанности.

В классической теории информации H , энтропия Шеннона , связана с распределением вероятностей следующим образом: ^[78] ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}}$

${\displaystyle H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.}$

Поскольку смешанное состояние ρ представляет собой распределение вероятностей по ансамблю, это естественным образом приводит к определению энтропии фон Неймана :

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).}$

В общем случае функциональное исчисление Бореля используется для вычисления неполиномиальной функции, такой как log ₂ ( ρ ) . Если неотрицательный оператор ρ действует в конечномерном гильбертовом пространстве и имеет собственные значения , log ₂ ( ρ ) оказывается не более чем оператором с теми же собственными векторами, но собственными значениями . Тогда энтропия Шеннона равна: ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})}$

${\displaystyle S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}}$.

Поскольку событие с вероятностью 0 не должно вносить вклад в энтропию, и учитывая, что

${\displaystyle \lim _{p\to 0}p\log p=0,}$

принимается соглашение 0 log(0) = 0. Это распространяется и на бесконечномерный случай: если ρ имеет спектральное разрешение

${\displaystyle \rho =\int \lambda dP_{\lambda },}$

примите те же самые соглашения при расчете

${\displaystyle \rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda dP_{\lambda }.}$

Как и в статистической механике , чем большей неопределенностью (числом микросостояний) должна обладать система, тем больше энтропия. Например, энтропия любого чистого состояния равна нулю, что неудивительно, поскольку нет никакой неопределенности относительно системы в чистом состоянии. Энтропия любой из двух подсистем запутанного состояния, обсуждаемого выше, равна log(2) (что можно показать как максимальную энтропию для 2 × 2 смешанных состояний).

Как мера запутанности

Энтропия предоставляет один инструмент, который может быть использован для количественной оценки запутанности, хотя существуют и другие меры запутанности. ^{[79] [80]} Если общая система является чистой, энтропия одной подсистемы может быть использована для измерения ее степени запутанности с другими подсистемами. Для двухчастичных чистых состояний энтропия фон Неймана приведенных состояний является уникальной мерой запутанности в том смысле, что это единственная функция на семействе состояний, которая удовлетворяет определенным аксиомам, требуемым от меры запутанности. ^[81]

Классический результат заключается в том, что энтропия Шеннона достигает своего максимума при и только при равномерном распределении вероятностей {1/ n ,...,1/ n }. Поэтому двудольное чистое состояние ρ ∈ H _A ⊗ H _B называется максимально запутанным состоянием, если редуцированное состояние каждой подсистемы ρ является диагональной матрицей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.}$

Для смешанных состояний уменьшенная энтропия фон Неймана не является единственной разумной мерой запутанности.

Кстати, определение теории информации тесно связано с энтропией в смысле статистической механики ^[82] (сравнивая два определения в настоящем контексте, принято считать постоянную Больцмана k = 1 ). Например, по свойствам функционального исчисления Бореля мы видим, что для любого унитарного оператора U ,

${\displaystyle S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).}$

Действительно, без этого свойства энтропия фон Неймана не была бы четко определена.

В частности, U может быть оператором временной эволюции системы, т.е.

${\displaystyle U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),}$

где H — гамильтониан системы. Здесь энтропия неизменна.

Энтропия Реньи также может быть использована как мера запутанности. ^[83]

Меры по запутыванию

Меры запутанности количественно определяют величину запутанности в (часто рассматриваемом как двухчастичное) квантовом состоянии. Как упоминалось выше, энтропия запутанности является стандартной мерой запутанности для чистых состояний (но больше не является мерой запутанности для смешанных состояний). Для смешанных состояний в литературе ^[79] есть несколько мер запутанности , и ни одна из них не является стандартной.

• Стоимость запутывания
• Дистиллируемая запутанность
• Запутанность формации
• Согласие
• Относительная энтропия запутанности
• Раздавленная запутанность
• Логарифмическая отрицательность

Большинство (но не все) из этих мер запутанности сводятся для чистых состояний к энтропии запутанности и их трудно ( NP-трудно ) вычислить для смешанных состояний, поскольку размерность запутанной системы растет. ^[84]

Квантовая теория поля

Теорему Риха -Шлидера квантовой теории поля иногда рассматривают как аналог квантовой запутанности.

Приложения

Запутанность имеет множество применений в квантовой теории информации . С помощью запутанности можно решать невыполнимые в противном случае задачи.

Среди наиболее известных применений запутанности — сверхплотное кодирование и квантовая телепортация. ^[85]

Большинство исследователей полагают, что запутанность необходима для реализации квантовых вычислений (хотя некоторые это оспаривают). ^[86]

Запутанность используется в некоторых протоколах квантовой криптографии , ^{[87] [88]} но для доказательства безопасности квантового распределения ключей (QKD) при стандартных предположениях запутанность не требуется. ^[89] Однако показана аппаратно-независимая ^{безопасность QKD, использующая запутанность между партнерами по коммуникации. [90]}

Запутанные состояния

Существует несколько канонических запутанных состояний, которые часто встречаются в теории и экспериментах.

Для двух кубитов состояния Белла следующие :

${\displaystyle |\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$

${\displaystyle |\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).}$

Эти четыре чистых состояния максимально запутаны (согласно энтропии запутанности ) и образуют ортонормированный базис (линейную алгебру) гильбертова пространства двух кубитов. Они играют фундаментальную роль в теореме Белла .

Для M>2 кубитов состояние GHZ равно

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},}$

что сводится к состоянию Белла для . Традиционное состояние GHZ было определено для . Состояния GHz иногда расширяются до кудитов , т. е. систем d , а не 2 измерений. ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle M=2}$ ${\displaystyle M=3}$

Также для M>2 кубитов существуют спин-сжатые состояния , класс сжатых когерентных состояний, удовлетворяющих определенным ограничениям на неопределенность спиновых измерений, которые обязательно запутаны. ^[91] Спин-сжатые состояния являются хорошими кандидатами для повышения точности измерений с использованием квантовой запутанности. ^[92]

Для двух бозонных мод состояние ПОЛДЕНЬ равно

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}},\,}$

Это похоже на состояние Белла, за исключением того, что базисные кеты 0 и 1 заменены на « N фотонов находятся в одной моде» и « N фотонов находятся в другой моде». ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$

Наконец, существуют также состояния-близнецы Фока для бозонных мод, которые могут быть созданы путем подачи состояния Фока в два плеча, ведущих к светоделителю. Они являются суммой нескольких состояний NOON и могут использоваться для достижения предела Гейзенберга. ^[93]

Для правильно выбранных мер запутанности состояния Белла, GHZ и NOON максимально запутаны, в то время как спин-сжатые и состояния близнецов Фока запутаны лишь частично. Частично запутанные состояния, как правило, легче приготовить экспериментально.

Методы создания запутанности

Запутанность обычно создается прямым взаимодействием между субатомными частицами. Эти взаимодействия могут принимать многочисленные формы. Одним из наиболее часто используемых методов является спонтанное параметрическое понижение частоты для генерации пары фотонов, запутанных в поляризации. ^{[1] [94]} Другие методы включают использование волоконного соединителя для ограничения и смешивания фотонов, фотонов, испускаемых из каскада распада биэкситона в квантовой точке , ^[95] использование эффекта Хонга-У-Манделя и т. д. Квантовая запутанность частицы и ее античастицы , такой как электрон и позитрон , может быть создана путем частичного перекрытия соответствующих квантовых волновых функций в интерферометре Харди . ^{[96] [97]} В самых ранних тестах теоремы Белла запутанные частицы генерировались с использованием атомных каскадов . ^[24]

Также возможно создать запутанность между квантовыми системами, которые никогда напрямую не взаимодействовали, с помощью обмена запутанностью . Две независимо подготовленные, идентичные частицы также могут быть запутаны, если их волновые функции просто пространственно перекрываются, по крайней мере частично. ^[98]

Тестирование системы на запутанность

Матрица плотности ρ называется разделимой, если ее можно записать в виде выпуклой суммы состояний-произведений, а именно с вероятностями. По определению, состояние является запутанным, если оно неразделимо. $${\displaystyle {\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}}$$ ${\displaystyle 0\leq p_{j}\leq 1}$

Для систем 2-кубит и кубит-кутрит (2 × 2 и 2 × 3 соответственно) простой критерий Переса–Городецки обеспечивает как необходимый, так и достаточный критерий для разделимости, и, таким образом, — непреднамеренно — для обнаружения запутанности. Однако для общего случая критерий является просто необходимым для разделимости, поскольку проблема становится NP-трудной при обобщении. ^{[99] [100]} Другие критерии разделимости включают (но не ограничиваются) критерий диапазона , критерий редукции и те, которые основаны на соотношениях неопределенности. ^{[101] [102] [103] [104]} См. ^[105] для обзора критериев разделимости в дискретно-переменных системах и ^[106] для обзора методов и проблем экспериментальной сертификации запутанности в дискретно-переменных системах.

Численный подход к проблеме предложен Йоном Магне Лейнаасом , Яном Мирхеймом и Эйриком Оврумом в их статье «Геометрические аспекты запутывания». ^[107] Лейнаас и др. предлагают численный подход, итеративно уточняя оцененное разделимое состояние в направлении целевого состояния, которое необходимо протестировать, и проверяя, действительно ли целевое состояние может быть достигнуто. Реализацией алгоритма (включая встроенное тестирование критерия Переса-Городецки ) является веб-приложение «StateSeparator».

В системах с непрерывными переменными также применяется критерий Переса-Городецки. В частности, Саймон ^[108] сформулировал конкретную версию критерия Переса-Городецки в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -mode гауссовых состояний (см. Ref. ^[109] для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позднее было обнаружено ^[110] , что условие Саймона также необходимо и достаточно для -mode гауссовых состояний, но уже недостаточно для -mode гауссовых состояний. Условие Саймона можно обобщить, приняв во внимание моменты более высокого порядка канонических операторов ^{[111] [112]} или используя энтропийные меры. ^{[113] [114]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

16 августа 2016 года с космодрома Цзюцюань в Китае был запущен первый в мире квантовый спутник связи , миссия Quantum Experiments at Space Scale (QUESS), названная « Micius » в честь древнего китайского философа. Спутник был призван продемонстрировать возможность квантовой связи между Землей и космосом и проверить квантовую запутанность на беспрецедентных расстояниях. ^[115]

В выпуске журнала Science от 16 июня 2017 года Инь и др. сообщают об установлении нового рекорда расстояния квантовой запутанности в 1203 км, демонстрируя выживание пары двух фотонов и нарушение неравенства Белла, достигая значения CHSH 2,37 ± 0,09 при строгих условиях локальности Эйнштейна, от спутника Micius до баз в Лицзяне, Юньнань и Дэлингхе, Куинхай, что на порядок увеличивает эффективность передачи по сравнению с предыдущими экспериментами по оптоволокну. ^{[116] [117]}

Естественно запутанные системы

Электронные оболочки многоэлектронных атомов всегда состоят из запутанных электронов. Правильная энергия ионизации может быть рассчитана только с учетом запутанности электронов. ^[118]

Запутанность топ-кварков

В 2023 году LHC , используя методы квантовой томографии, измерил запутанность при самой высокой на сегодняшний день энергии, ^{[119] [120] [121]} редкое пересечение квантовой информации и физики высоких энергий, основанное на теоретической работе, впервые предложенной в 2021 году. ^[122] Эксперимент был проведен детектором ATLAS , измеряющим спин рождения пары топ-кварков, и эффект наблюдался с более чем 5 σ уровня значимости, топ-кварк является самой тяжелой известной частицей и, следовательно, имеет очень короткое время жизни ( ), будучи единственным кварком, который распадается до того, как подвергнется адронизации ( ) и спиновой декорреляции ( ), поэтому спиновая информация передается без больших потерь продуктам лептонных распадов, которые будут уловлены детектором. ^[123] Спиновая поляризация и корреляция частиц были измерены и проверены на запутанность с согласованием , а также критерием Переса–Городецки , и впоследствии эффект был подтвержден также в детекторе CMS . ^{[124] [125]} ${\displaystyle \tau \sim 10^{-25}s}$ ${\displaystyle \sim 10^{-23}s}$ ${\displaystyle \sim 10^{-21}s}$

Запутывание макроскопических объектов

В 2020 году исследователи сообщили о квантовой запутанности между движением механического осциллятора размером с миллиметр и разрозненной удаленной спиновой системой облака атомов. ^{[126] [127]} Более поздняя работа дополнила эту работу квантовой запутанностью двух механических осцилляторов. ^{[128] [129] [130]}

Запутанность элементов живых систем

В октябре 2018 года физики сообщили о создании квантовой запутанности с использованием живых организмов , в частности, между фотосинтетическими молекулами внутри живых бактерий и квантованным светом . ^{[131] [132]}

Живые организмы (зеленые серные бактерии) изучались в качестве посредников для создания квантовой запутанности между невзаимодействующими световыми модами, показывая высокую запутанность между световыми и бактериальными модами и, в некоторой степени, даже запутанность внутри бактерий. ^[133]

Смотрите также

• Связанная запутанность
• Согласие
• CNOT-ворота
• Мысленные эксперименты Эйнштейна
• Перегонка запутанности
• Свидетель запутывания
• ЭР = ЭПР
• Связь быстрее скорости света
• Многочастичная запутанность
• Нормально распределенные и некоррелированные не означают независимость
• Принцип исключения Паули
• Квантовая когерентность
• Квантовые вычисления
• Квантовый диссонанс
• Квантовая запутанность обмена
• Квантовая сеть
• Квантовый фазовый переход
• Квантовая псевдотелепатия
• Квантовая телепортация
• Ретропричинность
• Разделимое состояние
• Спонтанное параметрическое понижение частоты
• Раздавленная запутанность
• Эксперимент Штерна–Герлаха
• Амплитуда вероятности Уорда

• Физический портал

Ссылки

1. Городецкий, Рышард; Городецкий, Павел; Городецкий, Михал; Городецкий, Кароль (2009). «Квантовая запутанность». Обзоры современной физики . 81 (2): 865–942. arXiv : Quant-ph/0702225 . Бибкод : 2009RvMP...81..865H. doi : 10.1103/RevModPhys.81.865. S2CID  59577352.
2. Эйнштейн, Альберт ; Подольский, Борис ; Розен, Натан (1935). «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?». Phys. Rev. 47 ( 10): 777–780. Bibcode : 1935PhRv...47..777E. doi : 10.1103/PhysRev.47.777 .
3. Шредингер, Эрвин (1935). «Обсуждение вероятностных отношений между разделенными системами». Математические труды Кембриджского философского общества . 31 (4): 555–563. Bibcode :1935PCPS...31..555S. doi :10.1017/S0305004100013554. S2CID  121278681.
4. Шредингер, Эрвин (1936). «Вероятностные отношения между разделенными системами». Математические труды Кембриджского философского общества . 32 (3): 446–452. Bibcode :1936PCPS...32..446S. doi :10.1017/S0305004100019137. S2CID  122822435.
5. Физик Джон Белл описывает лагерь Эйнштейна в этом споре в своей статье под названием «Носки Бертлмана и природа реальности», стр. 143 книги « Выразимое и невыразимое в квантовой механике » : «Для ЭПР это было бы немыслимым «жутким действием на расстоянии». Чтобы избежать такого действия на расстоянии, они должны приписывать рассматриваемым областям пространства-времени реальные свойства до наблюдения, коррелированные свойства, которые предопределяют результаты этих конкретных наблюдений. Поскольку эти реальные свойства, зафиксированные до наблюдения, не содержатся в квантовом формализме, этот формализм для ЭПР неполон. Он может быть правильным, насколько это возможно, но обычный квантовый формализм не может быть всей историей». И снова на стр. 144 Белл говорит: «Эйнштейн без труда признал, что события в разных местах могут быть коррелированы. Чего он не мог принять, так это того, что вмешательство в одном месте могло немедленно повлиять на события в другом». Загружено 5 июля 2011 г. с сайта Bell, JS (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике (PDF) . CERN . ISBN 0521334950. Архивировано из оригинала (PDF) 12 апреля 2015 г. . Получено 14 июня 2014 г. .
6. Yin, Juan; Cao, Yuan; Yong, Hai-Lin; Ren, Ji-Gang; et al. (2013). «Ограничение скорости «жуткого действия на расстоянии». Physical Review Letters . 110 (26): 260407. arXiv : 1303.0614 . Bibcode : 2013PhRvL.110z0407Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.260407. PMID  23848853. S2CID  119293698.
7. Matson, John (13 августа 2012 г.). «Квантовая телепортация достигнута на рекордные расстояния». Nature News . doi :10.1038/nature.2012.11163. S2CID  124852641.
8. Francis, Matthew (30 октября 2012 г.). «Квантовая запутанность показывает, что реальность не может быть локальной». Ars Technica . Получено 22 августа 2023 г. .
9. Пенроуз, Роджер (2004). Дорога к реальности: полное руководство по законам вселенной . Лондон: Jonathan Cape. стр. 603. ISBN 978-0-224-04447-9.
10. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8..
11. Сигел, Итан. «Нет, мы все еще не можем использовать квантовую запутанность для общения быстрее света». Forbes . Получено 6 января 2023 г.
12. Kocher, CA; Commins, ED (1967). «Поляризационная корреляция фотонов, испускаемых в атомном каскаде». Physical Review Letters . 18 (15): 575–577. Bibcode : 1967PhRvL..18..575K. doi : 10.1103/PhysRevLett.18.575.
13. Кохер, Карл Элвин (1 мая 1967 г.). Поляризационная корреляция фотонов, испускаемых в атомном каскаде (диссертация на соискание ученой степени доктора философии). Калифорнийский университет.
14. Хенсен, Б.; и др. (21 октября 2015 г.). «Нарушение неравенства Белла без лазеек с использованием электронных спинов, разделенных 1,3 километра». Nature . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode :2015Natur.526..682H. doi :10.1038/nature15759. hdl :2117/79298. PMID  26503041. S2CID  205246446.См. также бесплатную онлайн-версию.
15. Маркофф, Джек (21 октября 2015 г.). «Извините, Эйнштейн. Квантовое исследование предполагает, что «жуткое действие» реально». The New York Times . Получено 21 октября 2015 г.
16. «Квантовая запутанность, наблюдаемая в топ-кварках». 11 октября 2023 г.
17. Голландия, Коннор М.; Лу, Юкай; Чеук, Лоуренс В. (8 декабря 2023 г.). «Запутывание молекул по требованию в реконфигурируемом оптическом пинцете». Наука . 382 (6675): 1143–1147. arXiv : 2210.06309 . Бибкод : 2023Sci...382.1143H. doi : 10.1126/science.adf4272. ISSN  0036-8075. ПМИД  38060644.
18. Ли, К. К.; Спраг, М. Р.; Сассман, Б. Дж.; Нанн, Дж.; и др. (2 декабря 2011 г.). «Запутывание макроскопических алмазов при комнатной температуре». Science . 334 (6060): 1253–1256. Bibcode :2011Sci...334.1253L. doi :10.1126/science.1211914. PMID  22144620. S2CID  206536690.
19. Кумар, М., Quantum , Icon Books, 2009, стр. 313.
20. Christandl, Matthias (2006). Структура двудольных квантовых состояний – выводы из теории групп и криптографии (диссертация на соискание степени доктора философии). Кембриджский университет. стр. vi, iv. arXiv : quant-ph/0604183 . Bibcode :2006PhDT.......289C.
21. Алиса Бокулич, Грегг Йегер, Философия квантовой информации и запутанности , Cambridge University Press, 2010, стр. xv.
22. Письмо Эйнштейна Максу Борну, 3 марта 1947 г.; Письма Борна и Эйнштейна; Переписка Альберта Эйнштейна с Максом и Хедвиг Борн с 1916 по 1955 г. , Уокер, Нью-Йорк, 1971 г. Цитируется в Hobson, MP; et al. (1998). «Квантовая запутанность и сложность связи». SIAM J. Comput . 30 (6): 1829–1841. CiteSeerX 10.1.1.20.8324 . )
23. Белл, Дж. С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Полдольского-Розена». Physics Physique Физика . 1 (3): 195–200. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
24. Freedman, Stuart J.; Clauser, John F. (1972). «Экспериментальная проверка локальных теорий скрытых переменных». Physical Review Letters . 28 (14): 938–941. Bibcode :1972PhRvL..28..938F. doi : 10.1103/PhysRevLett.28.938 .
25. Аспект, Ален; Гранжье, Филипп; Роджер, Жерар (1982). «Экспериментальная реализация мысленного эксперимента Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома: новое нарушение неравенств Белла». Physical Review Letters . 49 (2): 91–94. Bibcode :1982PhRvL..49...91A. doi : 10.1103/PhysRevLett.49.91 .
26. Кохер, CA (1971). «Временные корреляции при обнаружении последовательно испускаемых фотонов». Annals of Physics . 65 (1): 1–18. Bibcode : 1971AnPhy..65....1K. doi : 10.1016/0003-4916(71)90159-X.
27. Хансон, Рональд (2015). «Нарушение неравенства Белла без лазеек с использованием электронных спинов, разделенных 1,3 километра». Nature . 526 (7575): 682–686. arXiv : 1508.05949 . Bibcode :2015Natur.526..682H. doi :10.1038/nature15759. PMID  26503041. S2CID  205246446.
28. Аспект, Ален (16 декабря 2015 г.). «Закрытие двери в квантовый спор Эйнштейна и Бора». Физика . 8 : 123. Bibcode : 2015PhyOJ...8..123A. doi : 10.1103/Physics.8.123 .
29. CH Bennett и G. Brassard. «Квантовая криптография: распределение открытого ключа и подбрасывание монеты». В Трудах Международной конференции IEEE по компьютерам, системам и обработке сигналов , том 175, стр. 8. Нью-Йорк, 1984. http://researcher.watson.ibm.com/researcher/files/us-bennetc/BB84highest.pdf Архивировано 30 января 2020 г. на Wayback Machine
30. Экерт, АК (1991). «Квантовая криптография на основе теоремы Белла». Phys. Rev. Lett . 67 (6): 661–663. Bibcode : 1991PhRvL..67..661E. doi : 10.1103/PhysRevLett.67.661. ISSN  0031-9007. PMID  10044956. S2CID  27683254.
31. "Нобелевская премия по физике 2022 года". Нобелевская премия (пресс-релиз). Королевская шведская академия наук . 4 октября 2022 г. Получено 5 октября 2022 г.
32. Эшер Перес, Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, 1993; ISBN 0-7923-2549-4 , стр. 115. 
33. Андерсон, Руперт В. (28 марта 2015 г.). Космический сборник: Межзвездные путешествия (первое издание). Космический сборник. стр. 100. ISBN 9781329022027.
34. Гибни, Элизабет (2017). «Космический тест подтверждает теорию Эйнштейна «жуткое действие на расстоянии»». Scientific American .
35. Gerhardt, I.; Liu, Q.; Lamas-Linares, A.; Skaar, J.; Scarani, V.; Makarov, V.; Kurtsiefer, C. (2011). «Экспериментальная подделка нарушения неравенств Белла». Physical Review Letters . 107 (17): 170404. arXiv : 1106.3224 . Bibcode :2011PhRvL.107q0404G. doi :10.1103/PhysRevLett.107.170404. PMID  22107491. S2CID  16306493.
36. Сантос, Э. (2004). «Неспособность выполнить проверку неравенства Белла без лазеек подтверждает локальный реализм». Основы физики . 34 (11): 1643–1673. Bibcode : 2004FoPh...34.1643S. doi : 10.1007/s10701-004-1308-z. S2CID  123642560.
37. Zbinden, H.; et al. (2001). "Экспериментальная проверка нелокальных квантовых корреляций в релятивистских конфигурациях". Phys. Rev. A. 63 ( 2): 22111. arXiv : quant-ph/0007009 . Bibcode : 2001PhRvA..63b2111Z. doi : 10.1103/PhysRevA.63.022111. S2CID  44611890.
38. Часть истории обоих упомянутых экспериментов Збиндена и др. представлена ​​в книге Гилдера, Л., «Эпоха запутанности» , Vintage Books, 2008, стр. 321–324.
39. Cirel'son, BS (1980). "Квантовые обобщения неравенства Белла". Письма в математическую физику . 4 (2): 93–100. Bibcode :1980LMaPh...4...93C. doi :10.1007/BF00417500. S2CID  120680226.
40. Wu, C. 's.; Shaknov, I. (1950). "Угловая корреляция рассеянного аннигиляционного излучения". Physical Review . 77 (1): 136. Bibcode : 1950PhRv...77..136W. doi : 10.1103/PhysRev.77.136.
41. Ma, Xiao-song; Zotter, Stefan; Kofler, Johannes; Ursin, Rupert; Jennewein, Thomas; Brukner, Časlav; Zeilinger, Anton (26 апреля 2012 г.). "Экспериментальный обмен запутанностью с отложенным выбором". Nature Physics . 8 (6): 480–485. arXiv : 1203.4834 . Bibcode :2012NatPh...8..480M. doi :10.1038/nphys2294. S2CID  119208488.
42. Megidish, E.; Halevy, A.; Shacham, T.; Dvir, T.; Dovrat, L.; Eisenberg, HS (2013). «Обмен запутанностью между фотонами, которые никогда не сосуществовали». Physical Review Letters . 110 (21): 210403. arXiv : 1209.4191 . Bibcode : 2013PhRvL.110u0403M. doi : 10.1103/physrevlett.110.210403. PMID  23745845. S2CID  30063749.
43. "Классический носитель может создавать запутанность". physicsworld.com. 11 декабря 2013 г. Получено 14 июня 2014 г.
44. "Loophole-free Bell test | Ronald Hanson". Архивировано из оригинала 4 июля 2018 года . Получено 24 октября 2015 года .
45. Гибни, Элизабет (2014). «Запутанные фотоны создают картину парадокса». Nature . doi : 10.1038/nature.2014.15781 . S2CID  124976589 . Получено 13 октября 2014 г. .
46. Пирс, Эмма; Джеммелл, Натан Р.; Флорес, Джефферсон; Динг, Джиайе; Оултон, Руперт Ф.; Кларк, Алекс С.; Филлипс, Крис К. (15 ноября 2023 г.). «Практическая квантовая визуализация с необнаруженными фотонами». Optics Continuum . 2 (11): 2386. doi :10.1364/OPTCON.507154. ISSN  2770-0208.
47. Сакурай, Дж. Дж.; Наполитано, Джим Дж. (14 июля 2010 г.). Современная квантовая механика (2-е изд.). Пирсон. стр. 68. ISBN 978-0-8053-8291-4.
48. Page, Don N.; Wootters, William K. (15 июня 1983 г.). «Эволюция без эволюции: динамика, описываемая стационарными наблюдаемыми». Physical Review D. 27 ( 12): 2885–2892. Bibcode : 1983PhRvD..27.2885P. doi : 10.1103/PhysRevD.27.2885.
49. Ровелли, Карло (15 октября 1990 г.). «Квантовая механика без времени: модель». Physical Review D. 42 ( 8): 2638–2646. Bibcode : 1990PhRvD..42.2638R. doi : 10.1103/PhysRevD.42.2638. PMID  10013133.
50. Морева, Екатерина (2014). «Время из квантовой запутанности: экспериментальная иллюстрация». Physical Review A. 89 ( 5): 052122. arXiv : 1310.4691 . Bibcode : 2014PhRvA..89e2122M. doi : 10.1103/PhysRevA.89.052122. S2CID  118638346.
51. Джованнетти, Витторио; Ллойд, Сет; Макконе, Лоренцо (26 августа 2015 г.). «Квантовое время». Physical Review D. 92 ( 4): 045033. arXiv : 1504.04215 . Bibcode : 2015PhRvD..92d5033G. doi : 10.1103/PhysRevD.92.045033. hdl : 1721.1/98287. S2CID  85537706.
52. Boette, A.; Rossignoli, R.; Gigena, N.; Cerezo, M. (27 июня 2016 г.). «Системно-временная запутанность в модели с дискретным временем». Physical Review A. 93 ( 6): 062127. arXiv : 1512.07313 . Bibcode : 2016PhRvA..93f2127B. doi : 10.1103/PhysRevA.93.062127. S2CID  119245348.
53. Boette, A.; Rossignoli, R. (12 сентября 2018 г.). «История состояний систем и операторов». Physical Review A. 98 ( 3): 032108. arXiv : 1806.00956 . Bibcode : 2018PhRvA..98c2108B. doi : 10.1103/PhysRevA.98.032108. S2CID  56101730.
54. Ван Раамсдонк, Марк (19 июня 2010 г.). «Построение пространства-времени с квантовой запутанностью». Общая теория относительности и гравитация . 42 (10): 2323–2329. arXiv : 1005.3035 . Bibcode : 2010GReGr..42.2323V. doi : 10.1007/s10714-010-1034-0. ISSN  0001-7701. S2CID  189843725.
55. Ли, Джэ-Вон; Ким, Хён-Чан; Ли, Чонджай (2013). «Гравитация из квантовой информации». Журнал Корейского физического общества . 63 (5): 1094–1098. arXiv : 1001.5445 . Bibcode : 2013JKPS...63.1094L. doi : 10.3938/jkps.63.1094. ISSN  0374-4884. S2CID  118494859.
56. Swingle, Brian; Van Raamsdonk, Mark (12 мая 2014 г.). «Универсальность гравитации из запутанности». arXiv : 1405.2933 [hep-th].
57. Бруннер, Николас; Кавальканти, Даниэль; Пиронио, Стефано; Скарани, Валерио; Венер, Стефани (2014). «Нелокальность Белла». Обзоры современной физики . 86 (2): 419–478. arXiv : 1303.2849 . Bibcode :2014RvMP...86..419B. doi :10.1103/RevModPhys.86.419. S2CID  119194006.
58. Вернер, РФ (1989). «Квантовые состояния с корреляциями Эйнштейна–Подольского–Розена, допускающие модель со скрытыми переменными». Physical Review A. 40 ( 8): 4277–4281. Bibcode : 1989PhRvA..40.4277W. doi : 10.1103/PhysRevA.40.4277. PMID  9902666.
59. Augusiak, R.; Demianowicz, M.; Tura, J.; Acín, A. (2015). «Запутанность и нелокальность неэквивалентны для любого числа сторон». Physical Review Letters . 115 (3): 030404. arXiv : 1407.3114 . Bibcode :2015PhRvL.115c0404A. doi :10.1103/PhysRevLett.115.030404. hdl :2117/78836. PMID  26230773. S2CID  29758483.
60. Вертези, Тамас; Бруннер, Николас (2014). «Опровержение гипотезы Переса путем демонстрации нелокальности Белла из связанной запутанности». Nature Communications . 5 (1): 5297. arXiv : 1405.4502 . Bibcode :2014NatCo...5.5297V. doi :10.1038/ncomms6297. PMID  25370352. S2CID  5135148.
61. В литературе «нелокальность» иногда используется для характеристики концепций, которые отличаются от несуществования локальной модели скрытых переменных, например, могут ли состояния быть различены локальными измерениями и которые могут также иметь место для незапутанных состояний; см., например, Bennett, Charles H.; DiVincenzo, David P.; Fuchs, Christopher A.; Mor, Tal; Rains, Eric; Shor, Peter W.; Smolin, John A.; Wootters, William K. (1999). «Квантовая нелокальность без запутанности». Phys. Rev. A . 59 (2): 1070–1091. arXiv : quant-ph/9804053 . Bibcode :1999PhRvA..59.1070B. doi :10.1103/PhysRevA.59.1070. S2CID  15282650.Это нестандартное использование термина здесь не обсуждается.
62. Jaeger G, Shimony A, Vaidman L (1995). "Две интерферометрические дополнительности". Phys. Rev. 51 ( 1): 54–67. Bibcode :1995PhRvA..51...54J. doi :10.1103/PhysRevA.51.54. PMID  9911555.
63. Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Cambridge University Press . С. 112–113. ISBN 978-0-521-63503-5.
64. Laloe, Franck (2001). «Действительно ли мы понимаем квантовую механику». American Journal of Physics . 69 (6): 655–701. arXiv : quant-ph/0209123 . Bibcode : 2001AmJPh..69..655L. doi : 10.1119/1.1356698. S2CID  123349369.
65. Гурвиц, Л. (2003). "Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность". Труды тридцать пятого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений . стр. 10. arXiv : quant-ph/0303055 . doi :10.1145/780542.780545. ISBN 978-1-58113-674-6. S2CID  5745067.
66. Horodecki M, Horodecki P, Horodecki R (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Physics Letters A . 223 (1): 210. arXiv : quant-ph/9605038 . Bibcode :1996PhLA..223....1H. CiteSeerX 10.1.1.252.496 . doi :10.1016/S0375-9601(96)00706-2. S2CID  10580997. 
67. Дирак, Поль Адриен Морис (1930). "Заметка о явлениях обмена в атоме Томаса" (PDF) . Математические труды Кембриджского философского общества . 26 (3): 376–385. Bibcode :1930PCPS...26..376D. doi : 10.1017/S0305004100016108 .
68. Fan, H; Korepin V; Roychowdhury V (2004). "Запутывание в твердом состоянии валентных связей". Physical Review Letters . 93 (22): 227203. arXiv : quant-ph/0406067 . Bibcode : 2004PhRvL..93v7203F. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.227203. PMID  15601113. S2CID  28587190.
69. Franchini, F.; Its, AR; Korepin, VE; Takhtajan, LA (2010). «Спектр матрицы плотности большого блока спинов модели XY в одном измерении». Quantum Information Processing . 10 (3): 325–341. arXiv : 1002.2931 . doi :10.1007/s11128-010-0197-7. S2CID  6683370.
70. Читамбар, Эрик; Гур, Гилад (2019). «Теории квантовых ресурсов». Обзоры современной физики . 91 (2): 025001. arXiv : 1806.06107 . Bibcode : 2019RvMP...91b5001C. doi : 10.1103/RevModPhys.91.025001. S2CID  119194947.
71. Георгиев, Данко Д.; Гуддер, Стэнли П. (2022). «Чувствительность мер запутанности в двухчастичных чистых квантовых состояниях». Modern Physics Letters B . 36 (22): 2250101–2250255. arXiv : 2206.13180 . Bibcode :2022MPLB...3650101G. doi :10.1142/S0217984922501019. S2CID  250072286.
72. Grassl, M.; Rötteler, M.; Beth, T. (1998). «Вычисление локальных инвариантов квантово-битовых систем». Phys. Rev. A. 58 ( 3): 1833–1839. arXiv : quant-ph/9712040 . Bibcode : 1998PhRvA..58.1833G. doi : 10.1103/PhysRevA.58.1833. S2CID  15892529.
73. Краус, Барбара (2010). "Локальная унитарная эквивалентность многочастичных чистых состояний". Physical Review Letters . 104 (2): 020504. arXiv : 0909.5152 . Bibcode :2010PhRvL.104b0504K. doi :10.1103/PhysRevLett.104.020504. PMID  20366579. S2CID  29984499.
74. Нильсен, МА (1999). «Условия для класса преобразований запутывания». Physical Review Letters . 83 (2): 436. arXiv : quant-ph/9811053 . Bibcode : 1999PhRvL..83..436N. doi : 10.1103/PhysRevLett.83.436. S2CID  17928003.
75. Gour, G.; Wallach, NR (2013). "Классификация многочастичной запутанности всех конечных размерностей". Phys. Rev. Lett . 111 (6): 060502. arXiv : 1304.7259 . Bibcode : 2013PhRvL.111f0502G. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.060502. PMID  23971544. S2CID  1570745.
76. Horodecki, M.; Horodecki, P.; Horodecki, R. (1998). «Запутанность смешанного состояния и дистилляция: существует ли связанная запутанность в природе?». Phys. Rev. Lett . 80 (1998): 5239–5242. arXiv : quant-ph/9801069 . Bibcode :1998PhRvL..80.5239H. doi :10.1103/PhysRevLett.80.5239. S2CID  111379972.
77. Wiseman, HM; Jones, SJ; Doherty, AC (2007). «Управление, запутанность, нелокальность и парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена». Physical Review Letters . 98 (14): 140402. arXiv : quant-ph/0612147 . Bibcode : 2007PhRvL..98n0402W. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.140402. PMID  17501251. S2CID  30078867.
78. Серф, Николас Дж.; Клив, Ричард. «Информационно-теоретическая интерпретация квантовых кодов исправления ошибок» (PDF) .
79. Plenio, Martin B.; Virmani, Shashank (2007). «Введение в меры запутанности». Quant. Inf. Comp . 1 : 1–51. arXiv : quant-ph/0504163 . Bibcode :2005quant.ph..4163P.
80. Ведрал, Влатко (2002). «Роль относительной энтропии в квантовой теории информации». Reviews of Modern Physics . 74 (1): 197–234. arXiv : quant-ph/0102094 . Bibcode :2002RvMP...74..197V. doi :10.1103/RevModPhys.74.197. S2CID  6370982.
81. Хилл, С.; Вуттерс, В.К. (1997). «Запутанность пары квантовых битов». Phys. Rev. Lett . 78 (26): 5022–5025. arXiv : quant-ph/9703041 . Bibcode : 1997PhRvL..78.5022H. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.5022. S2CID  9173232.
82. Перес, Эшер (1993). Квантовая теория: концепции и методы . Клювер . стр. 260–270. ISBN 0-7923-2549-4. OCLC  28854083.
83. Ван, Ю-Синь; Му, Лян-Чжу; Ведрал, Влатко; Фань, Хэн (17 февраля 2016 г.). «Запутанность α-энтропии Реньи». Физический обзор А. 93 (2): 022324. arXiv : 1504.03909 . Бибкод : 2016PhRvA..93b2324W. doi : 10.1103/PhysRevA.93.022324. ISSN  2469-9926.
84. Хуан, Ичен (21 марта 2014 г.). «Вычисление квантового разногласия NP-полно». New Journal of Physics . 16 (3): 033027. arXiv : 1305.5941 . Bibcode : 2014NJPh...16c3027H. doi : 10.1088/1367-2630/16/3/033027. S2CID  118556793.
85. Баумистер, Дик; Пан, Цзянь-Вэй; Мэттл, Клаус; Эйбл, Манфред; Вайнфуртер, Харальд и Цайлингер, Антон (1997). «Экспериментальная квантовая телепортация» (PDF) . Природа . 390 (6660): 575–579. arXiv : 1901.11004 . Бибкод : 1997Natur.390..575B. дои : 10.1038/37539. S2CID  4422887.
86. Jozsa, Richard; Linden, Noah (2002). «О роли запутанности в ускорении квантовых вычислений». Труды Королевского общества A: Математические, физические и инженерные науки . 459 (2036): 2011–2032. arXiv : quant-ph/0201143 . Bibcode : 2003RSPSA.459.2011J. CiteSeerX 10.1.1.251.7637 . doi : 10.1098/rspa.2002.1097. S2CID  15470259. 
87. Экерт, Артур К. (1991). «Квантовая криптография на основе теоремы Белла». Physical Review Letters . 67 (6): 661–663. Bibcode : 1991PhRvL..67..661E. doi : 10.1103/PhysRevLett.67.661. PMID  10044956. S2CID  27683254.
88. Инь, Хуан; Ю-Хуай Ли; Шэн-Кай Ляо; Мэн Ян; Юань Цао; Лян Чжан; Джи-Ган Рен; Вэнь-Цай Цай; Вэй-Юэ Лю; Шуан-Лин Ли; Ронг Шу; Юн-Мэй Хуан; Лэй Дэн; Ли Ли; Цян Чжан; Най-Ле Лю; Ю-Ао Чен; Чао-Ян Лу; Сян-Бин Ван; Фэйху Сюй; Цзянь-Ю Ван; Ченг-Чжи Пэн; Артур К. Экерт; Цзянь-Вэй Пан (2020). «Безопасная квантовая криптография на основе запутанности на расстоянии более 1120 километров». Природа . 582 (7813): 501–505. Бибкод : 2020Natur.582..501Y. дои : 10.1038/s41586-020-2401-y. PMID  32541968. S2CID  219692094.
89. Реннер, Р.; Гизин, Н.; Краус, Б. (2005). «Информационно-теоретическое доказательство безопасности для протоколов QKD». Physical Review A. 72 : 012332. arXiv : quant-ph/0502064 . doi : 10.1103/PhysRevA.72.012332. S2CID  119052621.
90. Пирандола, С.; УЛ Андерсен; Л. Банки; М. Берта; Д. Бунандар; Р. Колбек; Д. Энглунд; Т. Геринг; К. Лупо; К. Оттавиани; Х.Л. Перейра; М. Разави; Дж. Шамсул Шаари; М. Томамичел; В.Ц. Усенко; Г. Валлоне; П. Виллорези; П. Уоллден (2020). «Достижения квантовой криптографии». Адв. Опция Фотон . 12 (4): 1012–1236. arXiv : 1906.01645 . Бибкод : 2020AdOP...12.1012P. дои : 10.1364/AOP.361502. S2CID  174799187.
91. Китагава, Масахиро; Уэда, Масахито (1993). «Сжатые спиновые состояния» (PDF) . Physical Review A . 47 (6): 5138–5143. Bibcode :1993PhRvA..47.5138K. doi :10.1103/physreva.47.5138. hdl : 11094/77656 . PMID  9909547.
92. Wineland, DJ; Bollinger, JJ; Itano, WM; Moore, FL; Heinzen, DJ (1992). «Сжатие спина и снижение квантового шума в спектроскопии». Physical Review A. 46 ( 11): R6797–R6800. Bibcode : 1992PhRvA..46.6797W. doi : 10.1103/PhysRevA.46.R6797. PMID  9908086.
93. Холланд, М. Дж.; Бернетт, К. (1993). «Интерферометрическое обнаружение оптических фазовых сдвигов на пределе Гейзенберга». Physical Review Letters . 71 (9): 1355–1358. Bibcode :1993PhRvL..71.1355H. doi :10.1103/PhysRevLett.71.1355. PMID  10055519.
94. Shadbolt, PJ; Verde, MR; Peruzzo, A.; Politi, A.; Laing, A.; Lobino, M.; Matthews, JCF; Thompson, MG; O'Brien, JL (2012). «Создание, манипулирование и измерение запутывания и смешивания с помощью реконфигурируемой фотонной схемы». Nature Photonics . 6 (1): 45–59. arXiv : 1108.3309 . Bibcode :2012NaPho...6...45S. doi :10.1038/nphoton.2011.283. S2CID  56206588.
95. Акопян, Н. (2006). "Запутанные пары фотонов из полупроводниковых квантовых точек". Physical Review Letters . 96 (2): 130501. arXiv : quant-ph/0509060 . Bibcode : 2006PhRvL..96b0501D. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.020501. PMID  16486553. S2CID  22040546.
96. Харди, Люсьен (1992). «Квантовая механика, локальные реалистические теории и лоренц-инвариантные реалистические теории». Physical Review Letters . 68 (20): 2981–2984. Bibcode :1992PhRvL..68.2981H. doi :10.1103/PhysRevLett.68.2981. PMID  10045577.
97. Георгиев, Данко; Коэн, Элиаху (2022). «Меры запутанности для двухчастичных квантовых историй». Physical Review A. 106 ( 6): 062437. arXiv : 2212.07502 . Bibcode : 2022PhRvA.106f2437G. doi : 10.1103/PhysRevA.106.062437. S2CID  254685902.
98. Lo Franco, Rosario; Compagno, Giuseppe (14 июня 2018 г.). «Неразличимость элементарных систем как ресурса для квантовой обработки информации». Physical Review Letters . 120 (24): 240403. arXiv : 1712.00706 . Bibcode : 2018PhRvL.120x0403L. doi : 10.1103/PhysRevLett.120.240403. PMID  29957003. S2CID  49562954.
99. Гурвиц, Л., Классическая детерминированная сложность проблемы Эдмондса и квантовая запутанность, в Трудах 35-го симпозиума ACM по теории вычислений, ACM Press, Нью-Йорк, 2003.
100. Гарибян, Севаг (2010). «Сильная NP-трудность проблемы квантовой разделимости». Квантовая информация и вычисления . 10 (3&4): 343–360. arXiv : 0810.4507 . doi : 10.26421/QIC10.3-4-11. S2CID  621887.
101. Хофманн, Хольгер Ф.; Такеучи, Шигеки (22 сентября 2003 г.). «Нарушение локальных соотношений неопределенности как признак запутанности». Physical Review A. 68 ( 3): 032103. arXiv : quant-ph/0212090 . Bibcode : 2003PhRvA..68c2103H. doi : 10.1103/PhysRevA.68.032103. S2CID  54893300.
102. Гюне, Отфрид (18 марта 2004 г.). «Характеристика запутанности через соотношения неопределенности». Physical Review Letters . 92 (11): 117903. arXiv : quant-ph/0306194 . Bibcode : 2004PhRvL..92k7903G. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173. S2CID  5696147.
103. Гюне, Отфрид; Левенштейн, Мачей (24 августа 2004 г.). «Энтропийные соотношения неопределенности и запутанность». Physical Review A. 70 ( 2): 022316. arXiv : quant-ph/0403219 . Bibcode : 2004PhRvA..70b2316G. doi : 10.1103/PhysRevA.70.022316. S2CID  118952931.
104. Хуан, Ичен (29 июля 2010 г.). «Критерии запутанности с помощью соотношений неопределенности вогнутой функции». Physical Review A. 82 ( 1): 012335. Bibcode : 2010PhRvA..82a2335H. doi : 10.1103/PhysRevA.82.012335.
105. Гюне, Отфрид; Тот, Геза (2009). «Обнаружение запутанности». Physics Reports . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR...474....1G. doi : 10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
106. Фриис, Николай; Витальяно, Джузеппе; Малик, Мехул; Хубер, Маркус (2019). «Сертификация запутанности от теории к эксперименту». Nature Reviews Physics . 1 : 72–87. arXiv : 1906.10929 . doi :10.1038/s42254-018-0003-5. ISSN  2522-5820. S2CID  125658647.
107. Leinaas, Jon Magne; Myrheim, Jan; Ovrum, Eirik (2006). "Геометрические аспекты запутанности". Physical Review A. 74 ( 1): 012313. arXiv : quant-ph/0605079 . Bibcode : 2006PhRvA..74a2313L. doi : 10.1103/PhysRevA.74.012313. S2CID  119443360.
108. Simon, R. (2000). «Критерий разделимости Переса-Городецки для систем с непрерывными переменными». Physical Review Letters . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph/9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
109. Дуань, Лу-Мин; Гидке, Г.; Сирак, ДЖИ; Цоллер, П. (2000). «Критерий неразделимости для систем с непрерывными переменными». Physical Review Letters . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph/9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
110. Вернер, RF; Вольф, MM (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Physical Review Letters . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph/0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
111. Щукин, Э.; Фогель, В. (2005). "Критерии неразделимости для непрерывных двудольных квантовых состояний". Physical Review Letters . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph/0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
112. Хиллери, Марк; Зубайри, М.Сухаил (2006). «Условия запутывания для двухмодовых состояний». Physical Review Letters . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph/0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
113. Walborn, S.; Taketani, B.; Salles, A.; Toscano, F.; de Matos Filho, R. (2009). «Критерии энтропической запутанности для непрерывных переменных». Physical Review Letters . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
114. Хуан, Ичен (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и критерии энтропии Шеннона». Труды IEEE по теории информации . 59 (10): 6774–6778. doi :10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
115. "Китай запускает первый в мире квантовый научный спутник". physicsworld.com . 16 августа 2016 г. Получено 7 декабря 2021 г.
116. Инь, Хуан; Цао, Юань; Ли, Юй-Хуай; Ляо, Шэн-Кай; и др. (2017). «Распределение запутанности на основе спутников на расстоянии 1200 километров». Science . 356 (6343): 1140–1144. arXiv : 1707.01339 . doi : 10.1126/science.aan3211 . PMID  28619937.
117. «Китайский квантовый спутник совершил «жуткое действие» на рекордном расстоянии». 14 июня 2017 г.
118. Фрэнк Дженсен. Введение в вычислительную химию. Wiley, 2007, ISBN 978-0-470-01187-4 . 
119. Аад, Г.; Эбботт, Б.; Абелинг, К.; Абихт, Нью-Джерси; Абиди, Ш.; Абулхорма, А.; Абрамович, Х.; Абреу, Х.; Абулаити, Ю.; Ачарья, Б.С.; Бурдариос, К. Адам; Адамчик, Л.; Аддепалли, СВ; Аддисон, MJ; Адельман, Дж. (сентябрь 2024 г.). «Наблюдение квантовой запутанности с топ-кварками на детекторе ATLAS». Природа . 633 (8030): 542–547. arXiv : 2311.07288 . Бибкод : 2024Natur.633..542A. doi : 10.1038/s41586-024-07824-z. ISSN  1476-4687. PMC 11410654. PMID  39294352 . 
120. "ATLAS достигает обнаружения квантовой запутанности при самых высоких энергиях". ATLAS . 28 сентября 2023 г. . Получено 21 сентября 2024 г. .
121. "Эксперименты LHC в ЦЕРНе наблюдают квантовую запутанность при самой высокой энергии на сегодняшний день". ЦЕРН . 18 сентября 2024 г. Получено 21 сентября 2024 г.
122. Афик, Йоав; де Нова, Хуан Рамон Муньос (3 сентября 2021 г.). «Запутанность и квантовая томография с топ-кварками на LHC». The European Physical Journal Plus . 136 (9): 907. arXiv : 2003.02280 . Bibcode : 2021EPJP..136..907A. doi : 10.1140/epjp/s13360-021-01902-1. ISSN  2190-5444.
123. Вебинары IFT (13 января 2022 г.). Хуан Рамон Муньос де Нова (Университет Комплутенсе) о запутанности и квантовой томографии с топ-кварками . Получено 28 сентября 2024 г. – через YouTube.
124. CMS Collaboration (6 июня 2024 г.). «Наблюдение квантовой запутанности при рождении пары топ-кварков в столкновениях протонов при $\sqrt{s}$ = 13 ТэВ». arXiv : 2406.03976 [hep-ex].
125. CMS Collaboration (17 сентября 2024 г.). «Измерения поляризации и спиновой корреляции и наблюдение запутывания в парах топ-кварков с использованием событий лептон+струи из протон-протонных столкновений при $\sqrt{s}$ = 13 ТэВ». arXiv : 2409.11067 [hep-ex].
126. "Квантовая запутанность, реализованная между удаленными большими объектами". phys.org . Получено 9 октября 2020 г. .
127. Томас, Родриго А.; Парняк, Михал; Остфельдт, Кристоффер; Мёллер, Кристоффер Б.; и др. (21 сентября 2020 г.). «Запутывание между отдаленными макроскопическими механическими и спиновыми системами». Nature Physics . 17 (2): 228–233. arXiv : 2003.11310 . doi :10.1038/s41567-020-1031-5. ISSN  1745-2481. S2CID  214641162 . Получено 9 октября 2020 г. .
128. "Вибрирующие барабанные мембраны запутаны квантово-механически". Physics World . 17 мая 2021 г. Получено 14 июня 2021 г.
129. Lépinay, Laure Mercier de; Ockeloen-Korppi, Caspar F.; Woolley, Matthew J.; Sillanpää, Mika A. (7 мая 2021 г.). «Квантовая механика–свободная подсистема с механическими осцилляторами». Science . 372 (6542): 625–629. arXiv : 2009.12902 . Bibcode :2021Sci...372..625M. doi :10.1126/science.abf5389. ISSN  0036-8075. PMID  33958476. S2CID  221971015 . Получено 14 июня 2021 г. .
130. Котлер, Шломи; Петерсон, Габриэль А.; Шоджаи, Эзад; Лекок, Флоран; и др. (7 мая 2021 г.). «Прямое наблюдение детерминированной макроскопической запутанности». Наука . 372 (6542): 622–625. arXiv : 2004.05515 . Бибкод : 2021Sci...372..622K. doi : 10.1126/science.abf2998. ISSN  0036-8075. PMID  33958475. S2CID  233872863 . Проверено 14 июня 2021 г.
131. Марлетто, К.; Коулз, Д.М.; Фэрроу, Т.; Ведрал, В. (2018). «Запутывание между живыми бактериями и квантованным светом, засвидетельствованное расщеплением Раби». Journal of Physics Communications . 2 (10): 101001. arXiv : 1702.08075 . Bibcode : 2018JPhCo...2j1001M. doi : 10.1088/2399-6528/aae224 . S2CID  119236759.
132. О'Каллаган, Джонатан (29 октября 2018 г.). «"Бактерия Шредингера" может стать важной вехой в квантовой биологии — недавний эксперимент, возможно, поместил живые организмы в состояние квантовой запутанности». Scientific American . Получено 29 октября 2018 г.
133. Кришнанда, Т.; Марлетто, К.; Ведрал, В.; Патерностро, М.; Патерек, Т. (2018). «Исследование квантовых особенностей фотосинтезирующих организмов». npj Quantum Information . 4 : 60. arXiv : 1711.06485 . Bibcode : 2018npjQI...4...60K. doi : 10.1038/s41534-018-0110-2 .

Дальнейшее чтение

• Альберт, Дэвид З.; Галчен, Ривка (2009). «Был ли Эйнштейн неправ?: Квантовая угроза специальной теории относительности». Scientific American . 300 (3): 32–39. doi :10.1038/scientificamerican0309-32. PMID  19253771.
• Бенгтссон, И.; Жычковский, К. (2006). «Геометрия квантовых состояний». Введение в квантовую запутанность . Кембридж, Англия: Cambridge University Press.второе, переработанное издание (2017)
• Баб, Джеффри (2019). «Квантовая запутанность и информация». Стэнфордская энциклопедия философии . Стэнфорд, Калифорния: Стэнфордский университет.
• Крамер, Дж. Г. (2015). Квантовое рукопожатие: запутанность, нелокальность и транзакции . Springer Verlag. ISBN 978-3-319-24642-0.
• Дуарте, Ф. Дж. (2019). Основы квантовой запутанности . Бристоль, Соединенное Королевство: Институт физики. ISBN 978-0-7503-2226-3.
• Gühne O, Tóth G (2009). "Обнаружение запутанности". Physics Reports . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Bibcode : 2009PhR...474....1G. doi : 10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
• Bhaskara VS, Panigrahi PK (2017). "Обобщенная мера согласованности для точной количественной оценки многочастичной запутанности чистого состояния с использованием тождества Лагранжа и клинового произведения". Quantum Information Processing . 16 (5): 118. arXiv : 1607.00164 . Bibcode :2017QuIP...16..118B. doi :10.1007/s11128-017-1568-0. S2CID  43754114.
• Swain SN, Bhaskara VS, Panigrahi PK (2022). "Обобщенная мера запутанности для систем с непрерывными переменными". Physical Review A. 105 ( 5): 052441. arXiv : 1706.01448 . Bibcode : 2022PhRvA.105e2441S. doi : 10.1103/PhysRevA.105.052441. S2CID  239885759.
• Jaeger, G. (2009). Запутанность, информация и интерпретация квантовой механики . Гейдельберг, Германия: Springer. ISBN 978-3-540-92127-1.
• Стюард, Э.Г. (2008). Квантовая механика: ее раннее развитие и путь к запутыванию . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-978-4.

Внешние ссылки

• Пояснительное видео от журнала Scientific American
• Эксперимент по запутыванию с парами фотонов – интерактивный
• Аудио – Каин/Гей (2009) Астрономия В ролях Запутанность
• «Жуткие действия на расстоянии?»: лекция Оппенгеймера, проф. Дэвид Мермин (Корнелльский университет), Калифорнийский университет, Беркли, 2008 г. Популярная нематематическая лекция на YouTube, опубликованная в марте 2008 г.
• «Квантовая запутанность против классической корреляции» (интерактивная демонстрация)