В математике правильный 4-мерный многогранник или правильный полихор — это правильный четырехмерный многогранник . Они являются четырехмерными аналогами правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.
Существует шесть выпуклых и десять звездчатых правильных 4-мерных многогранников, что в сумме дает шестнадцать.
Выпуклые правильные 4-мерные многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. [1] Он обнаружил, что существует ровно шесть таких фигур.
Шлефли также нашел четыре правильных звездных 4-многогранника: большой 120-ячейковый , большой звёздчатый 120-ячейковый , большой 600-ячейковый и большой звёздчатый 120-ячейковый . Он пропустил оставшиеся шесть, потому что не допускал форм, которые не соответствовали характеристике Эйлера на ячейках или вершинных фигурах (для торов с нулевым отверстием: F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как большой додекаэдр {5, 5/2 } и малый звездчатый додекаэдр { 5/2 ,5}.
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 года Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .
Существование правильного 4-мерного многогранника ограничивается существованием правильных многогранников , которые образуют его ячейки, и ограничением на двугранный угол
чтобы гарантировать, что ячейки соединятся и образуют замкнутую 3-мерную поверхность.
Описанные шесть выпуклых и десять звездчатых многогранников являются единственными решениями этих ограничений.
Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, которые имеют допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r} и проходят двугранный тест, но не создают конечные фигуры: {3, 5/2 ,3}, {4,3, 5/2 }, { 5/2 ,3,4}, { 5/2 ,3, 5/2 }.
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников в двух измерениях.
Каждый выпуклый правильный 4-политоп ограничен набором 3-мерных ячеек , которые все являются Платоновыми телами одного типа и размера. Они подогнаны друг к другу вдоль своих соответствующих граней (лицом к лицу) регулярным образом, образуя поверхность 4 -политопа, которая является замкнутым, искривленным 3-мерным пространством (аналогично тому, как поверхность Земли является замкнутым, искривленным 2-мерным пространством).
Как и их 3-мерные аналоги, выпуклые правильные 4-многогранники могут быть естественным образом упорядочены по размеру как мера 4-мерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, заключая больше содержимого в том же радиусе. [2] 4-симплекс (5-ячейка) имеет наименьшее содержимое, а 120-ячейка — наибольшее.
В следующей таблице перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Коксетера и даны в обозначениях, описанных в этой статье. Число, следующее за именем группы, является порядком группы.
Джон Конвей предлагал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), тетраплекс или политетраэдр (pT) и додекаплекс или полидодекаэдр (pD). [3]
Норман Джонсон отстаивал названия n-ячейка, или пентахорон, гексадекахорон, тессеракт или октахорон, икоситетрахорон, гексакосихорон и гекатонико-сахорон (или додекаконтахорон), придумав термин полихорон, являющийся 4-мерной аналогией 3-мерного многогранника и 2-мерного многоугольника, образованного от греческих корней поли («много») и хорос («комната» или «пространство»). [4] [5]
Характеристика Эйлера для всех 4-многогранников равна нулю, мы имеем 4-мерный аналог многогранной формулы Эйлера:
где N k обозначает количество k -граней в многограннике (вершина — это 0-грань, ребро — это 1-грань и т. д.).
Топология любого заданного 4-мерного многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [6]
Правильный 4-многогранник может быть полностью описан как матрица конфигурации, содержащая количество ее составляющих элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (сверху слева направо вниз) говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или в нем. Например, в каждом ребре есть 2 вершины (каждое ребро имеет 2 вершины), и 2 ячейки встречаются на каждой грани (каждая грань принадлежит 2 ячейкам) в любом правильном 4-многограннике. Конфигурация для двойственного многогранника может быть получена путем поворота матрицы на 180 градусов. [7] [8]
В следующей таблице показаны некоторые 2-мерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. Графики диаграмм Коксетера-Дынкина также приведены под символом Шлефли .
Четырехмерные многогранники Шлефли–Гесса представляют собой полный набор из 10 правильных самопересекающихся звездчатых многогранников ( четырехмерных многогранников ). [10] Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса . Каждый из них представлен символом Шлефли { p , q , r }, в котором одно из чисел равно 5/2 . Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера–Пуансо , которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.
Их имена, приведенные здесь, были даны Джоном Конвеем , расширяющим имена Кэли для многогранников Кеплера–Пуансо : наряду со звездчатым и большим он добавляет модификатор grand . Конвей предложил следующие рабочие определения:
Джон Конвей называет 10 форм из 3 правильных 4-ячеистых многогранников: pT = политетраэдр {3,3,5} (тетраэдрический 600-ячеистый ), pI = полиикосаэдр {3,5, 5/2 } ( икосаэдрический 120-ячеечный ), и pD=полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдрический 120-ячеечный ), с префиксными модификаторами: g , a , и s для great, (ag)grand и stellated. Последняя звездчатая форма, большой великий звездчатый полидодекаэдр, содержит их все как gaspD .
Все десять полихор имеют [3,3,5] ( H 4 ) гексакосихорическую симметрию . Они генерируются из 6 связанных групп симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].
Каждая группа имеет 2 правильных звездных полихора, за исключением двух групп, которые являются самодвойственными, имея только один. Таким образом, среди десяти правильных звездных полихоров имеется 4 дуальных пары и 2 самодвойственные формы.
Примечание:
Ячейки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные реберные фигуры и многогранные вершинные фигуры идентифицируются их символами Шлефли .
