Правильный 4-многогранник

Четырехмерные аналоги правильных многогранников в трех измерениях

Тессеракт — один из 6 выпуклых правильных 4-многогранников .

В математике правильный 4-многогранник или правильный полихорон — это правильный четырёхмерный многогранник . Это четырехмерные аналоги правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.

Всего имеется шесть выпуклых и десять звездчатых правильных четырехмерных многогранников, всего шестнадцать.

История

Выпуклые правильные 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. ^[1] Он обнаружил, что таких фигур ровно шесть.

Шлефли также обнаружил четыре правильных звездчатых 4-клеточных многогранника: большой 120-ячеечный , большой звездчатый 120-ячеечный , большой 600-ячеечный и большой большой звездчатый 120-ячеечный . Он пропустил оставшиеся шесть, потому что не допускал форм, не удовлетворяющих эйлеровой характеристике в ячейках или фигурах вершин (для торов с нулевыми отверстиями: F  -  E  +  V  = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как большой додекаэдр {5,5/2} и маленький звездчатый додекаэдр {5/2,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 года Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .

Строительство

Существование правильного 4-многогранника ограничено существованием правильных многогранников , образующих его ячейки, и ограничением на двугранный угол. ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}<\cos {\frac {\pi }{q}}}$

чтобы гарантировать, что ячейки встречаются, образуя замкнутую 3-поверхность.

Описанные шесть выпуклых и десять звездчатых многогранников являются единственными решениями этих ограничений.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, которые имеют допустимые ячейки {p,q} и фигуры вершин {q,r} и проходят тест на двугранность, но не могут создать конечные фигуры: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

Правильные выпуклые 4-многогранники

Правильные выпуклые 4-многогранники являются четырехмерными аналогами платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников в двух измерениях.

Каждый выпуклый правильный 4-многогранник ограничен набором трехмерных ячеек , которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Они соединяются вместе вдоль своих соответствующих граней (лицом к лицу) регулярным образом, образуя поверхность 4 -многогранника, который представляет собой замкнутое искривленное трехмерное пространство (аналогично тому, как поверхность Земли представляет собой замкнутое, искривленное двумерное пространство).

Характеристики

Как и их трехмерные аналоги, выпуклые правильные 4-многогранники можно естественным образом упорядочить по размеру как мере четырехмерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше контента ^[2] в пределах того же радиуса. 4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой. Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку.

В следующей таблице перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Все группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Кокстера и заданы в обозначениях, описанных в этой статье. Число, следующее за названием группы, является порядком группы.

Джон Конвей пропагандировал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), тетраплекс или политетраэдр (pT), а также додекаплекс или полидодекаэдр (pD). ^[3]

Норман Джонсон пропагандировал названия n-клетка, или пентахорон, гексадекахорон, тессеракт или октахорон, икоситетрахорон, гексакосихорон и гекатоникосахорон (или додекаконтахорон), придумывая термин полихорон , являющийся четырехмерной аналогией трехмерного многогранника и двумерного многоугольника, выраженного от греческого корни поли («много») и choros («комната» или «пространство»). ^{[4] [5]}

Эйлерова характеристика для всех 4-многогранников равна нулю, мы имеем 4-мерный аналог многогранной формулы Эйлера:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}$

где N _k обозначает количество k -граней в многограннике (вершина — 0-грань, ребро — 1-грань и т. д.).

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[6]

В качестве конфигураций

Правильный 4-многогранник можно полностью описать как конфигурационную матрицу , содержащую количество составляющих его элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (слева вверху и справа внизу) показывают, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Например, в каждом ребре по 2 вершины (в каждом ребре по 2 вершины), а на каждой грани сходятся по 2 клетки (каждая грань принадлежит 2 клеткам) в любом правильном 4-многограннике. Конфигурацию двойного многогранника можно получить, повернув матрицу на 180 градусов. ^{[7] [8]}

Визуализация

В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. Графики диаграмм Коксетера -Дынкина также приведены под символом Шлефли .

Правильная звезда (Шлефли – Гесса) 4-многогранник

Это показывает отношения между четырехмерными звездными многогранниками. Две выпуклые формы и 10 звездчатых форм можно рассматривать в 3D как вершины кубооктаэдра . ^[9]

Подмножество отношений между 8 формами из 120-ячеечного полидодекаэдра (pD). Три операции {a,g,s} перестановочны, определяя кубическую структуру. В вертикальном положении можно увидеть семь плотностей , причем две двойные формы имеют одинаковую плотность.

4-многогранники Шлефли – Гесса представляют собой полный набор из 10 правильных самопересекающихся звездчатых полихор ( четырехмерных многогранников ). ^[10] Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса . Каждый представлен символом Шлефли { p , q , r }, в котором одно из чисел равно5/2. Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера – Пуансо , которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.

Имена

Их имена, приведенные здесь, были даны Джоном Конвеем , расширяя имена Кэли для многогранников Кеплера-Пуансо : наряду со звездчатыми и великими он добавляет модификатор grand . Конвей предложил следующие рабочие определения:

1. звездчатость – заменяет края более длинными краями в тех же линиях. (Пример: пятиугольник превращается в пентаграмму )
2. укрупнение – заменяет грани на крупные в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр превращается в большой икосаэдр )
3. увеличение – заменяет ячейки на большие в тех же трехмерных пространствах. (Пример: 600-ячейка увеличивается в большую 600-ячейку )

Джон Конвей называет 10 форм из 3 правильных ячеек 4-многогранника: pT=политетраэдр {3,3,5} (тетраэдр из 600 ячеек ), pI = полиикошедр {3,5,5/2} ( икосаэдр из 120 ячеек ) и pD=полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдр из 120 ячеек ) с модификаторами префикса: g , a и s для великого, (ag)грандиозного и звездчатого. Последняя звездчатая форма, большой звездчатый полидодекаэдр, содержит их всех как gaspD .

Симметрия

Все десять полихор обладают [3,3,5]( H 4 ) гексакосихорной симметрией . Они генерируются из 6 связанных тетраэдров Гурса групп симметрии рационального порядка : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5 ,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

В каждой группе имеется по 2 правильные звезды-полихоры, за исключением двух самодвойственных групп, имеющих только одну. Итак, среди десяти правильных звездчатых полихор имеются 4 дуальные пары и 2 самодвойственные формы.

Характеристики

Примечание:

• Существует 2 уникальных расположения вершин , соответствующих 120-ячеечному и 600-ячеечному .
• Существует 4 уникальных расположения ребер , которые показаны в виде каркасных ортогональных проекций .
• Существует семь уникальных вариантов расположения граней , показанных в виде сплошных (цветных) ортогональных проекций.

Ячейки (многогранники), их грани (многоугольники), фигуры ребер многоугольников и фигуры вершин многогранников идентифицируются их символами Шлефли .

Смотрите также

• Правильный многогранник
• Список правильных многогранников
• Бесконечные правильные 4-многогранники:
  • Одна обычная евклидова сота: {4,3,4}
  • Четыре компактные правильные гиперболические соты: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
  • Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3 ,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
• Абстрактные правильные 4-многогранники:
  • 11-ячеечный {3,5,3}
  • 57-ячеечный {5,3,5}
• Равномерные 4-многогранники, равномерные 4-многогранники, построенные из этих 6 правильных форм.
• Платоново твердое тело
• Многогранники Кеплера-Пуансо — правильный звездчатый многогранник.
• Звездчатый многоугольник — правильные звездчатые многоугольники.
• 4-многогранник
• 5-многогранник
• 6-многогранник

Рекомендации

Цитаты

1. Коксетер 1973, с. 141, §7-х. Исторические замечания.
2. Coxeter 1973, стр. 292–293, Таблица I (ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях: [Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.]
3. Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс 2008, гл. 26. Еще выше
4. «Выпуклые и абстрактные многогранники», Программа и рефераты, Массачусетский технологический институт, 2005 г.
5. Джонсон, Норман В. (2018). «§ 11.5 Сферические группы Кокстера». Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета. стр. 246–. ISBN 978-1-107-10340-5.
6. Ричесон, Дэвид С. (2012). «23. Анри Пуанкаре и господство топологии». Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии. Издательство Принстонского университета. стр. 256–. ISBN 978-0-691-15457-2.
7. Коксетер 1973, § 1.8 Конфигурации
8. Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
9. Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс 2008, стр. 406, рис 26.2
10. Коксетер, Звездные многогранники и функция Шлефли f(α,β,γ) с. 122 2. Многогранники Шлефли-Гесса.

Библиография

• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-50458-0.
• ДМИ Соммервилль (2020) [1930]. «X. Правильные многогранники». Введение в геометрию n измерений . Курьер Дувр. стр. 159–192. ISBN 978-0-486-84248-6.
• Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «26. Правильные звезды-многогранники». Симметрии вещей . стр. 404–8. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Гесс, Эдмунд (1883). «Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder».
• Гесс, Эдмунд (1885). «Uber die Regular Polytope Höherer Art». Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg : 31–57.
• Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Уайли. ISBN 978-0-471-01003-6.
  • (Документ 10) Коксетер, HSM (1989). «Звездные многогранники и функция Шлафли f (α, β, γ)». Элементы математики . 44 (2): 25–36.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-39490-1.
• Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002). «Абстрактные правильные многогранники» (PDF) .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Регулярный полихорон». Математический мир .
• Джонатан Бауэрс, 16 правильных 4-многогранников
• Обычные развертки 4D-многогранников
• Каталог изображений многогранников Коллекция стереографических проекций 4-многогранников.
• Каталог однородных многогранников
• Dimensions 2-часовой фильм о четвертом измерении (содержит стереографические проекции всех правильных 4-многогранников)
• Правильный многогранник
• Обычная звездная полихора
• Гипертела