Контурная линия (также изолиния , изоплета , изокванта или изарифма ) функции двух переменных — это кривая , вдоль которой функция имеет постоянное значение, так что кривая соединяет точки равного значения. [1] [2] Это плоское сечение трехмерного графика функции, параллельное -плоскости . В более общем смысле, контурная линия для функции двух переменных — это кривая, соединяющая точки, в которых функция имеет одно и то же конкретное значение. [2]
В картографии контурная линия (часто называемая просто «контуром») соединяет точки одинаковой высоты (высоты) над заданным уровнем, например, средним уровнем моря . [3] Контурная карта — это карта , иллюстрированная контурными линиями, например топографическая карта , на которой показаны долины и холмы, а также крутизна или пологость склонов. [4] Интервал контурной карты — это разница высот между последовательными контурными линиями. [5]
Градиент функции всегда перпендикулярен контурным линиям . Когда линии расположены близко друг к другу, величина градиента велика: изменение резкое. Множество уровней — это обобщение контурной линии для функций любого числа переменных.
Контурные линии — это изогнутые, прямые или сочетание обеих линий на карте , описывающие пересечение реальной или гипотетической поверхности с одной или несколькими горизонтальными плоскостями. Конфигурация этих контуров позволяет читателям карт сделать вывод об относительном градиенте параметра и оценить этот параметр в определенных местах. Контурные линии могут быть либо прослежены на видимой трехмерной модели поверхности , например, когда фотограмметрист, просматривающий стереомодель, строит контуры высот, либо интерполированы на основе расчетных высот поверхности , например, когда компьютерная программа пропускает контуры через сеть наблюдения. точки центроидов площади. В последнем случае метод интерполяции влияет на достоверность отдельных изолиний и отображение на них уклонов , ям и пиков. [6]
Идея линий, соединяющих точки равного значения, открывалась заново несколько раз. Самая старая известная изобата (контурная линия постоянной глубины) найдена на карте реки Спаарне , недалеко от Харлема , датированной 1584 годом голландцем Питером Бруинсом. [7] В 1701 году Эдмон Галлей использовал такие линии (изогоны) на карте магнитного склонения. [8] Голландский инженер Николас Крукиус нарисовал русло реки Мерведе линиями равной глубины (изобатами) с интервалом в 1 сажень в 1727 году, а Филипп Буаше использовал их с интервалом в 10 саженей на карте Ла -Манша , которая была подготовлено в 1737 году и опубликовано в 1752 году. Такие линии использовались для описания поверхности суши (контурные линии) на карте герцогства Модена и Реджо, составленной Доменико Ванделли в 1746 году, и теоретически они изучались Дукарлой в 1771 году и Чарльзом Хаттоном. использовал их в эксперименте Шихаллиона . В 1791 году на карте Франции Ж. Л. Дюпен-Триэля использовались контурные линии с интервалом 20 метров, штриховки, высоты точек и вертикальный разрез. В 1801 году начальник Французского инженерного корпуса Хаксо использовал контурные линии в более крупном масштабе 1:500 на плане своих проектов для Рокка д'Анфо , ныне находящегося в северной Италии, под властью Наполеона . [9] [10] [11]
Примерно к 1843 году, когда Служба боеприпасов начала регулярно фиксировать контурные линии в Великобритании и Ирландии , они уже широко использовались в европейских странах. Изобаты обычно не использовались на морских картах до тех пор, пока не появились карты России с 1834 года и Великобритании с 1838 года. [9] [12] [13]
Поскольку различные варианты использования этой техники были изобретены независимо, картографы начали осознавать общую тему и обсуждали, как вообще называть эти «линии равной ценности». Слово изограмма (от древнегреческого ἴσος (isos) «равный» и γράμμα (gramma) «письмо, рисование») было предложено Фрэнсисом Гальтоном в 1889 году для линий, обозначающих равенство некоторого физического состояния или количества, [14] хотя изограмма может также относятся к слову без повторяющейся буквы . Еще в 1944 году Джон К. Райт все еще предпочитал изограмму , но она так и не получила широкого распространения. В начале 20-го века изоплет ( πλῆθος , плефос , «количество») использовался к 1911 году в Соединенных Штатах, в то время как изарифм ( ἀριθμός , арифмос , «число») стал обычным явлением в Европе. Также появились дополнительные альтернативы, в том числе греко-английская гибридная изолиния и изометрическая линия ( μέτρον , метрон , «мера»). Несмотря на попытки выбрать единый стандарт, все эти альтернативы сохранились до настоящего времени. [15] [16]
Когда карты с контурными линиями стали обычным явлением, идея распространилась и на другие приложения. Вероятно, последними разработками являются контурные карты качества воздуха и шумового загрязнения , которые впервые появились в Соединенных Штатах примерно в 1970 году, в основном в результате принятия национального законодательства, требующего пространственного разграничения этих параметров.
Контурным линиям часто дают конкретные имена, начинающиеся с « iso- », в зависимости от характера отображаемой переменной, хотя во многих случаях чаще всего используется фраза «контурная линия». Конкретные названия наиболее распространены в метеорологии, где можно одновременно просматривать несколько карт с разными переменными. Префикс « iso- » можно заменить на « isallo- », чтобы указать контурную линию, соединяющую точки, в которых переменная изменяется с одинаковой скоростью в течение заданного периода времени.
Изогон (от древнегреческого γωνία (гония) « угол») — это контурная линия для переменной, измеряющей направление. В метеорологии и геомагнетике термин «изогон» имеет определенные значения, которые описаны ниже. Изоклина ( κλίνειν , klinein , «наклоняться или наклоняться») — это линия, соединяющая точки с одинаковым наклоном . В динамике населения и в геомагнетике термины «изоклина» и «изоклиническая линия» имеют особое значение, которое описано ниже.
Кривая равноудаленных точек — это набор точек, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки , линии или полилинии . В этом случае функция, значение которой сохраняется постоянным вдоль контурной линии, является функцией расстояния .
В 1944 году Джон К. Райт предложил использовать термин «изоплет» для контурных линий, изображающих переменную, которую нельзя измерить в точке, а которую вместо этого необходимо рассчитывать на основе данных, собранных по площади, в отличие от изометрических линий для переменных, которые можно было измерить в точке; с тех пор это различие в целом соблюдается. [16] [17] Примером изоплета является плотность населения , которую можно рассчитать путем деления населения переписного района на площадь поверхности этого района. Предполагается, что каждое рассчитанное значение является значением переменной в центре области, а затем с помощью процесса интерполяции можно нарисовать изоплеты . Идею изоплетной карты можно сравнить с идеей хороплетной карты . [18] [19]
В метеорологии слово изоплет используется для обозначения любого типа контурной линии. [20]
Метеорологические горизонтали основаны на интерполяции точечных данных, полученных с метеостанций и метеорологических спутников . Метеостанции редко располагаются точно на контурной линии (если это так, это указывает на то, что измерения точно равны значению контура). Вместо этого рисуются линии, которые наилучшим образом аппроксимируют расположение точных значений на основе имеющихся разбросанных информационных точек.
Метеорологические контурные карты могут представлять собранные данные, такие как фактическое атмосферное давление в данный момент времени, или обобщенные данные, такие как среднее давление за определенный период времени, или прогнозные данные, такие как прогнозируемое атмосферное давление в какой-то момент в будущем.
В термодинамических диаграммах используются несколько перекрывающихся наборов контуров (включая изобары и изотермы), чтобы представить картину основных термодинамических факторов в погодной системе.
Изобара (от древнегреческого βάρος (барос) « вес») — линия равного или постоянного давления на графике, графике или карте; изоплета или контурная линия давления. Точнее, изобары — это линии, нарисованные на карте, соединяющие места с одинаковым средним атмосферным давлением, приведенным к уровню моря в течение определенного периода времени. В метеорологии показанное барометрическое давление приведено к уровню моря , а не к приземному давлению в местах на карте. [21] Распределение изобар тесно связано с величиной и направлением поля ветра и может использоваться для прогнозирования будущих погодных условий. Изобары обычно используются в телевизионных репортажах о погоде.
Изаллобары — это линии, соединяющие точки одинакового изменения давления в течение определенного интервала времени. [22] Их можно разделить на аналлобары , линии, соединяющие точки равного увеличения давления в течение определенного интервала времени, [23] и каталлобары , линии, соединяющие точки равного уменьшения давления. [24] В целом погодные системы движутся вдоль оси, соединяющей высокие и низкие изаллобарические центры. [25] Изаллобарические градиенты являются важными компонентами ветра, поскольку они усиливают или ослабляют геострофический ветер .
Изопикна – линия постоянной плотности. Изовысота или изогипса — это линия постоянной геопотенциальной высоты на карте поверхности постоянного давления. Изогипса и изовысота — это просто линии, показывающие одинаковое давление на карте.
Изотерма (от древнегреческого θέρμη (thermē) « тепло») — линия, соединяющая точки на карте, имеющие одинаковую температуру . Следовательно, все точки, через которые проходит изотерма, имеют в указанное время одинаковые или равные температуры. [26] [2] Изотерма при 0 °C называется уровнем замерзания . Термин был придуман прусским географом и натуралистом Александром фон Гумбольдтом , который в рамках своих исследований географического распространения растений опубликовал в Париже в 1817 году первую карту изотерм. [27]
Изохайма — линия равной средней зимней температуры, а изотера — линия равной средней летней температуры.
Изогель ( ἥλιος , гелиос , «Солнце») — линия равного или постоянного солнечного излучения .
Изогеотерма – это линия равной температуры под поверхностью Земли.
Изогиета или изогиетальная линия (от древнегреческого ὑετός (huetos) «дождь») — это линия, соединяющая точки с равным количеством осадков на карте в данный период. Карта с изогиетами называется изогиетальной картой .
Изогума — это линия постоянной относительной влажности , а изодротерма (от древнегреческого δρόσος (drosos) «роса» и θέρμη ( therme ) «тепло») — это линия равной или постоянной точки росы .
Изонефа — это линия, обозначающая равную облачность .
Изохалаз — линия постоянной повторяемости града , а изобронта — линия, проведенная через географические точки, в которых одновременно происходила данная фаза грозовой деятельности .
Снежный покров часто изображается в виде контурной карты.
Изотаха (от древнегреческого ταχύς (тахус) « быстрый») — линия, соединяющая точки с постоянной скоростью ветра . В метеорологии термин изогон относится к линии постоянного направления ветра.
Изопектическая линия обозначает равные даты образования льда каждую зиму, а изотака — равные даты таяния.
Контуры — один из нескольких распространенных методов , используемых для обозначения высоты или высоты и глубины на картах . По этим контурам можно определить общее представление о местности . Они используются в различных масштабах: от крупномасштабных инженерных чертежей и архитектурных планов, топографических карт и батиметрических карт до карт континентального масштаба.
«Контурная линия» является наиболее распространенным использованием в картографии , но также используются изобата для подводных глубин на батиметрических картах и изогипса для высот.
В картографии интервал горизонталей — это разница высот между соседними горизонталями. Интервал контуров должен быть одинаковым на одной карте. При расчете как отношение к масштабу карты можно получить представление о холмистости местности.
При интерпретации горизонталей местности следует учитывать несколько правил:
Конечно, чтобы определить разницу высот между двумя точками, необходимо знать интервал горизонталей или расстояние по высоте между двумя соседними горизонталями, и это обычно указывается в ключе карты. Обычно интервалы контуров одинаковы по всей карте, но есть исключения. Иногда на более пологих участках присутствуют промежуточные контуры; это могут быть пунктирные или пунктирные линии на половине отмеченного интервала контуров. Когда контуры используются с гипсометрическими оттенками на мелкомасштабной карте, включающей горы и более плоские низменные территории, обычно на более низких высотах используются меньшие интервалы, чтобы детали отображались во всех областях. И наоборот, для острова, состоящего из плато, окруженного крутыми скалами, по мере увеличения высоты можно использовать меньшие интервалы. [29]
Карта изопотенциала — это мера электростатического потенциала в пространстве, часто изображаемая в двух измерениях, где электростатические заряды создают этот электрический потенциал . Термин «эквипотенциальная линия» или «изопотенциальная линия» относится к кривой постоянного электрического потенциала . По надписям на зарядах можно сделать вывод о том, означает ли пересечение эквипотенциальной линии повышение или понижение потенциала. В трех измерениях эквипотенциальные поверхности могут быть изображены в двухмерном поперечном сечении, показывая эквипотенциальные линии на пересечении поверхностей и поперечного сечения.
Общий набор математических терминов часто используется для описания полного набора точек, имеющих определенный потенциал, особенно в многомерном пространстве.
При изучении магнитного поля Земли термин «изогон» или «изогоническая линия» относится к линии постоянного магнитного склонения , отклонению магнитного севера от географического севера. Через точки нулевого магнитного склонения проведена агоническая линия . Изопорная линия относится к линии постоянного годового изменения магнитного склонения. [30]
Изоклиническая линия соединяет точки равного магнитного падения , а наклонная линия является изоклинической линией нулевого магнитного наклона.
Изодинамическая линия (от δύναμις или dynamis , что означает «сила») соединяет точки с одинаковой интенсивностью магнитной силы.
Помимо глубины океана, океанографы используют контуры для описания диффузных переменных явлений так же, как метеорологи используют атмосферные явления. В частности, изобатитермы — это линии, показывающие глубины воды с одинаковой температурой, изохалины — линии одинаковой солености океана, а изопикны — поверхности с одинаковой плотностью воды.
Различные геологические данные представлены в виде контурных карт в структурной геологии , седиментологии , стратиграфии и экономической геологии . Контурные карты используются для отображения подземной поверхности геологических пластов , поверхностей разломов (особенно пологих надвигов ) и несогласий . На картах изопахит используются изопахиты (линии одинаковой толщины) для иллюстрации изменений мощности геологических единиц.
При обсуждении загрязнения карты плотности могут быть очень полезны для указания источников и районов наибольшего загрязнения. Контурные карты особенно полезны для диффузных форм или масштабов загрязнения. Кислотные осадки обозначаются на картах изоплатами . Некоторые из наиболее распространенных применений контурных карт науки об окружающей среде включают в себя картирование шума окружающей среды (где линии одинакового уровня звукового давления обозначаются изобелями [31] ), загрязнения воздуха , загрязнения почвы , термического загрязнения и загрязнения подземных вод . Контурная посадка и контурная вспашка позволяют существенно снизить скорость стока воды и, следовательно, эрозию почвы ; это особенно важно в прибрежных зонах.
Изофлора — это изоплетный контур , соединяющий области сопоставимого биологического разнообразия. Обычно переменной является количество видов данного рода или семейства, встречающихся в регионе. Таким образом, карты Isoflor используются для отображения моделей и тенденций распределения, таких как центры разнообразия. [32]
В экономике контурные линии могут использоваться для описания характеристик, которые количественно меняются в пространстве. Изохрона показывает линии эквивалентного времени в пути или времени в пути до заданного места и используется при создании карт изохрон . Изотим показывает эквивалентные транспортные затраты от источника сырья, а изодапан показывает эквивалентную стоимость времени в пути.
Контурные линии также используются для отображения негеографической информации в экономике. Кривые безразличия (как показано слева) используются для отображения наборов товаров, которым человек приписал бы равную полезность. Изокванта (на изображении справа) — это кривая равного объема производства для альтернативных комбинаций использования ресурсов , а кривая изокосты (также на изображении справа) показывает альтернативные варианты использования, имеющие равные производственные затраты .
В политологии аналогичный метод используется для понимания коалиций (например, диаграмма в работе Лейвера и Шепсла [33] ).
В динамике численности населения изоклина показывает набор размеров популяции, при которых скорость изменения или частная производная для одной популяции в паре взаимодействующих популяций равна нулю .
В статистике изоденсантные линии [34] или изоденсаны — это линии, соединяющие точки с одинаковым значением плотности вероятности . Изоденсаны используются для отображения двумерных распределений . Например, для двумерного эллиптического распределения линии изоплотности представляют собой эллипсы .
Различные типы графиков в термодинамике , технике и других науках используют изобары (постоянное давление), изотермы (постоянная температура), изохоры (постоянный удельный объем) или другие типы изолиний, хотя эти графики обычно не связаны с картами. Такие изолинии полезны для представления более двух измерений (или величин) на двумерных графиках. Распространенными примерами в термодинамике являются некоторые типы фазовых диаграмм .
Изоклины используются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений .
При интерпретации радиолокационных изображений изодоп — это линия равной доплеровской скорости, а изоэхо — это линия равной радиолокационной отражательной способности.
В случае гибридных контуров показаны энергии гибридных орбиталей и энергии чистых атомных орбиталей. Полученный граф называется гибридным контуром.
Чтобы максимизировать читабельность контурных карт, создатель карты может выбрать несколько вариантов дизайна, в основном вес линий, цвет линий , тип линий и метод числовой маркировки.
Толщина линии — это просто темнота или толщина используемой линии. Этот выбор сделан на основе наименее навязчивой формы контуров, позволяющей читателю расшифровать фоновую информацию самой карты. Если на базовой карте мало или совсем нет содержимого, контурные линии могут быть нарисованы с относительно большой толщиной. Кроме того, для многих форм контуров, таких как топографические карты, обычно варьируется вес и/или цвет линии, так что для определенных числовых значений возникают разные характеристики линии. Например, на топографической карте выше даже стофутовые высоты показаны с другим весом, чем двадцатифутовые интервалы.
Цвет линии — это выбор любого количества пигментов , подходящих к дисплею. Иногда наряду с цветом используется блеск или глянец , чтобы отделить контурные линии от базовой карты. Цвет линии можно варьировать для отображения другой информации.
Тип линии определяет, является ли основная контурная линия сплошной, пунктирной, пунктирной или ломаной по какому-либо другому шаблону для создания желаемого эффекта. Пунктирные или пунктирные линии часто используются, когда базовая карта передает очень важную (или трудночитаемую) информацию. Типы ломаных линий используются, когда определяется местоположение контурной линии.
Цифровая маркировка – это способ обозначения арифметических значений горизонталей. Это можно сделать, разместив числа вдоль некоторых контурных линий, обычно используя интерполяцию для промежуточных линий. В качестве альтернативы можно создать ключ карты, связывающий контуры с их значениями.
Если контурные линии не имеют числовых обозначений и смежные линии имеют одинаковый стиль (с одинаковым весом, цветом и типом), то направление градиента невозможно определить только по контурным линиям. Однако если контурные линии циклически повторяют три или более стилей, то направление градиента можно определить по линиям. Ориентация числовых текстовых меток часто используется для обозначения направления уклона.
Чаще всего контурные линии рисуются на виде сверху или так, как наблюдатель в космосе рассматривает поверхность Земли: обычная карта. Однако некоторые параметры часто могут отображаться в виде профиля, показывая вертикальный профиль сопоставленного параметра. Некоторые из наиболее распространенных параметров, нанесенных на карту в профиле, — это концентрации загрязняющих веществ в воздухе и уровни шума . В каждом из этих случаев может оказаться важным проанализировать (концентрацию загрязняющих веществ в воздухе или уровни звука) на разных высотах, чтобы определить качество воздуха или воздействие шума на здоровье людей, находящихся на разных высотах, например, живущих на разных этажах городского здания. квартира. На самом деле, контурные карты как плана, так и профиля используются при исследованиях загрязнения воздуха и шумового загрязнения .
Надписи являются важным компонентом карт высот. Правильно обозначенная контурная карта помогает читателю быстро интерпретировать форму местности. Если цифры расположены близко друг к другу, это означает, что местность крутая. Этикетки следует размещать вдоль слегка изогнутой линии, «направленной» на вершину или надир, по возможности с нескольких сторон, чтобы облегчить визуальную идентификацию вершины или надира. [35] [36] Контурные этикетки могут быть ориентированы так, чтобы при чтении этикетки читатель смотрел вверх.
Ручное нанесение надписей на контурные карты — трудоемкий процесс, однако существует несколько программных систем, которые могут выполнять эту работу автоматически и в соответствии с картографическими соглашениями, что называется автоматическим размещением надписей .
