В геометрии звездчатость — это процесс расширения многоугольника в двух измерениях , многогранника в трех измерениях или , вообще, многогранника в n измерениях для образования новой фигуры. Начиная с исходной фигуры, процесс расширяет определенные элементы, такие как ее края или плоскости граней, обычно симметрично, пока они снова не встретятся друг с другом, чтобы сформировать замкнутую границу новой фигуры. Новая фигура представляет собой звездочку оригинала. Слово «звездчатка» происходит от латинского слова « stellātus » — «звездчатый», которое, в свою очередь, происходит от латинского слова «stella» — «звезда». Звездчатость – это обратный или двойной процесс огранки .
В 1619 году Кеплер определил звездчатость многоугольников и многогранников как процесс удлинения ребер или граней до тех пор, пока они не сойдутся и не образуют новый многоугольник или многогранник.
Он звёздчатый правильный додекаэдр , чтобы получить два правильных звёздчатых многогранника: малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр . Он также звездообразно изобразил правильный октаэдр , чтобы получить звезду октангулы , правильное соединение двух тетраэдров.
Симметричное расположение правильного многоугольника в форме звезды создает правильный звездчатый многоугольник или составное многоугольное соединение . Эти многоугольники характеризуются тем, сколько раз m граница многоугольника обвивается вокруг центра фигуры. Как и у всех правильных многоугольников, их вершины лежат на окружности. m также соответствует количеству вершин вокруг круга, которое нужно пройти от одного конца данного ребра до другого, начиная с 1.
Правильный звездчатый многоугольник представлен его символом Шлефли { n / m }, где n — количество вершин, m — шаг, используемый при упорядочивании ребер вокруг него, а m и n взаимно просты (не имеют общего множителя ) . Случай m = 1 дает выпуклый многоугольник { n }. m также должно быть меньше половины n ; в противном случае линии будут либо параллельны, либо расходятся, что не позволит фигуре когда-либо закрыться.
Если n и m имеют общий делитель, то фигура представляет собой правильное соединение. Например, {6/2} — это правильное соединение двух треугольников {3} или гексаграммы , а {10/4} — это соединение двух пентаграмм {5/2}.
Некоторые авторы используют для таких регулярных соединений символ Шлефли. Другие считают, что этот символ указывает на один путь, который проходит m раз вокруг.н/мточки вершин, такие, что одно ребро накладывается на другое, и каждая точка вершины посещается m раз. В этом случае для соединения может использоваться модифицированный символ, например 2{3} для гексаграммы и 2{5/2} для правильного соединения двух пентаграмм.
Правильный n -угольник имеетн – 4/2звездочки, если n четно (при условии , что соединения нескольких вырожденных двуугольников не рассматриваются), ин – 3/2звездочки, если n нечетно .
Как и семиугольник , восьмиугольник также имеет две октаграммные звездочки: одна, {8/3}, представляет собой звездный многоугольник , а другая, {8/2}, представляет собой соединение двух квадратов .
Многогранник формируется звездчатым путем удлинения ребер или граней многогранника до тех пор, пока они снова не встретятся, образуя новый многогранник или соединение. Внутренность нового многогранника разделена гранями на ряд ячеек. Граневые плоскости многогранника могут разделить пространство на множество таких ячеек, и по мере продолжения звездчатого процесса все больше этих ячеек будет заключено в них. Для симметричного многогранника эти ячейки будут распадаться на группы или наборы конгруэнтных ячеек — мы говорим, что ячейки в таком конгруэнтном наборе относятся к одному и тому же типу. Обычный метод поиска звездочек включает выбор одного или нескольких типов клеток.
Это может привести к огромному количеству возможных форм, поэтому часто вводятся дополнительные критерии, чтобы свести набор к тем созвездиям, которые в некотором роде значимы и уникальны.
Совокупность клеток, образующих замкнутый слой вокруг ее ядра, называется оболочкой. Оболочка симметричного многогранника может состоять из одного или нескольких типов ячеек.
На основе таких идей было выявлено несколько ограничительных категорий интересов.
Мы также можем выделить некоторые другие категории:
Архимедовы тела и их двойники также могут быть звездчатыми. Сюда мы обычно добавляем правило, согласно которому в звездчатке должны присутствовать все исходные грани, т.е. мы не рассматриваем частичные звездчатые формы. Например, куб обычно не считают звездчаткой кубооктаэдра .
Обобщая правила Миллера, можно выделить:
Семнадцать невыпуклых однородных многогранников представляют собой звездочки архимедовых тел.
В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» Дж. К. П. Миллер предложил набор правил для определения того, какие звездчатые формы следует считать «должно значимыми и отличными».
Эти правила были адаптированы для использования со звездчатыми формами многих других многогранников. По правилам Миллера мы находим:
Многие «звездочки Миллера» невозможно получить непосредственно методом Кеплера. Например, многие из них имеют полые центры, в которых полностью отсутствуют исходные грани и края основного многогранника: звездчатости не осталось. С другой стороны, метод Кеплера также дает звездчатые формы, которые запрещены правилами Миллера, поскольку их ячейки соединены ребрами или вершинами, хотя их грани представляют собой одиночные многоугольники. Это несоответствие не привлекало реального внимания до Инчбальда (2002).
Правила Миллера ни в коем случае не представляют собой «правильный» способ перечисления созвездий. Они основаны на объединении частей звездчатой диаграммы определенными способами и не учитывают топологию получаемых граней. Таким образом, есть несколько вполне разумных звёздчаток икосаэдра, которые не входят в их список – одна из них была обнаружена Джеймсом Бриджем в 1974 году, в то время как некоторые «звёздочки Миллера» вызывают сомнения относительно того, следует ли их вообще рассматривать как звёздчатые формы – одна из икосаэдрический набор состоит из нескольких совершенно разрозненных ячеек, симметрично плавающих в пространстве.
Альтернативный свод правил, учитывающий это, еще полностью не разработан. Наибольший прогресс был достигнут на основе представления о том, что звездчатость — это обратный или двойной процесс фасетированию , при котором части многогранника удаляются без создания новых вершин. Для каждой звездчатости некоторого многогранника существует двойственная огранка двойственного многогранника , и наоборот. Изучая грани двойственного, мы получаем понимание звездообразования оригинала. Бридж нашел свою новую звездчатость икосаэдра, изучая грани его двойника, додекаэдра.
Некоторые многогранники придерживаются мнения, что звездчатость - это двусторонний процесс, так что любые два многогранника, имеющие одни и те же грани, являются звездчатыми формами друг друга. Это понятно, если разрабатывается общий алгоритм, подходящий для использования в компьютерной программе, но в противном случае это не особенно полезно.
Множество примеров созвездий можно найти в списке моделей созвездий Веннингера .
Процесс звездчатости можно применять и к многогранникам более высокой размерности. Звездчатая диаграмма n -многогранника существует в ( n − 1)-мерной гиперплоскости данной грани .
Например, в 4-мерном пространстве великий звёздчатый 120-ячеечный является заключительным созвездием обычного 4-мерного многогранника со 120 ячейками .
Первым систематическим наименованием звездчатых многогранников было наименование Кэли правильных звездчатых многогранников (ныне известных как многогранники Кеплера-Пуансо ). Эта система широко, но не всегда систематически, применялась для других многогранников и высших многогранников.
Джон Конвей разработал терминологию для звездчатых многоугольников , многогранников и многохор (Coxeter 1974). В этой системе процесс удлинения ребер для создания новой фигуры называется звездчатостью , удлинение граней — увеличением , а расширение ячеек — увеличением (последнее не относится к многогранникам). Это позволяет систематически использовать такие слова, как «звездчатый», «великий» и «великий», при разработке названий получившихся фигур. Например, Конвей предложил некоторые незначительные вариации названий многогранников Кеплера-Пуансо .
Веннингер заметил, что некоторые многогранники, например куб, не имеют конечных звездочек. Однако звездчатые ячейки можно построить в виде призм, простирающихся до бесконечности. Фигуру, состоящую из этих призм, можно назвать звездочкой до бесконечности . Однако согласно большинству определений многогранника эти звездчатые формы не являются строго многогранниками.
Фигуры Веннингера возникли как двойники однородных полумногогранников , где грани, проходящие через центр, направлены в вершины «на бесконечности».
Помимо своего вклада в математику, Магнус Веннингер в контексте взаимоотношений математики и искусства описывается как создатель «особенно красивых» моделей сложных звездчатых многогранников. [1]
Итальянский художник эпохи Возрождения Паоло Уччелло создал напольную мозаику, изображающую небольшой звездчатый додекаэдр в базилике Святого Марка в Венеции, ок. 1430. Изображение Уччелло было использовано в качестве символа Венецианской биеннале 1986 года на тему «Искусство и наука». [2] Одно и то же созвездие занимает центральное место в двух литографиях М. К. Эшера : «Контраст (Порядок и Хаос») , 1950 г., и «Гравитация» , 1952 г. [3]