Немедленное включение

Солитоны в евклидовом пространстве-времени

Коэффициент dx ¹ ⊗σ ₃ BPST - инстантона на (x ¹ ,x ² ) -срезе R ⁴ , где σ ₃ — третья матрица Паули (вверху слева). Коэффициент dx ² ⊗σ ₃ (вверху справа). Эти коэффициенты определяют ограничение инстантона A BPST с g=2,ρ=1,z=0 на этот срез. Соответствующая напряженность поля сосредоточена вокруг z=0 (внизу слева). Визуальное представление напряженности поля BPST-инстантона с центром z на компактификации S ⁴ из R ⁴ (внизу справа). Инстантон BPST представляет собой классическое инстантонное решение уравнений Янга–Миллса на R ⁴ .

Инстантон (или псевдочастица ^{[1] [2]} [ ^3] ) — понятие, появляющееся в теоретической и математической физике . Инстантон — это классическое решение уравнений движения с конечным, ненулевым действием либо в квантовой механике , либо в квантовой теории поля . Точнее, это решение уравнений движения классической теории поля в евклидовом пространстве-времени . ^[4]

В таких квантовых теориях решения уравнений движения можно рассматривать как критические точки действия . Критическими точками действия могут быть локальные максимумы действия, локальные минимумы или седловые точки . Инстантоны важны в квантовой теории поля , потому что:

• они появляются в интеграле по путям как ведущие квантовые поправки к классическому поведению системы и
• их можно использовать для изучения туннельного поведения в различных системах, таких как теория Янга – Миллса .

Что касается динамики , семейства инстантонов допускают, что инстантоны, т.е. различные критические точки уравнения движения, связаны друг с другом. В физике инстантоны особенно важны, поскольку считается, что конденсация инстантонов (и индуцированных шумом антиинстантонов) является объяснением индуцированной шумом хаотической фазы , известной как самоорганизованная критичность .

Математика

Математически инстантон Янга-Миллса представляет собой самодуальную или антиавтодуальную связность в главном расслоении над четырехмерным римановым многообразием , которое играет роль физического пространства-времени в неабелевой калибровочной теории . Инстантоны — это топологически нетривиальные решения уравнений Янга–Миллса , абсолютно минимизирующие функционал энергии в пределах своего топологического типа. ^[5] Первые такие решения были обнаружены в случае четырехмерного евклидова пространства, компактифицированного в четырехмерную сферу , и оказались локализованными в пространстве-времени, что привело к появлению названий псевдочастица и инстантон .

Инстантоны Янга-Миллса были явно построены во многих случаях с помощью твисторной теории , которая связывает их с алгебраическими векторными расслоениями на алгебраических поверхностях , а также с помощью конструкции ADHM или гиперкэлеровой редукции (см. гиперкэлерово многообразие ), процедуры геометрической теории инвариантов. Новаторская работа Саймона Дональдсона , за которую он позже был награжден медалью Филдса , использовала пространство модулей инстантонов над заданным четырехмерным дифференцируемым многообразием в качестве нового инварианта многообразия, зависящего от его дифференцируемой структуры , и применила его к конструкции гомеоморфных , но не диффеоморфных четырехмногообразий. Многие методы, развитые при изучении инстантонов, были применены и к монополям . Это связано с тем, что магнитные монополи возникают как решения размерной редукции уравнений Янга – Миллса. ^[6]

Квантовая механика

Инстантон можно использовать для расчета вероятности перехода квантовомеханической частицы, туннелирующей через потенциальный барьер. Одним из примеров системы с инстантонным эффектом является частица в двухямном потенциале . В отличие от классической частицы, существует ненулевая вероятность того, что она пересечет область потенциальной энергии, превышающей ее собственную энергию. ^[4]

Мотивация рассмотрения инстантонов

Рассмотрим квантовую механику движения одиночной частицы внутри двухъямного потенциала. Потенциальная энергия принимает минимальное значение при , и они называются классическими минимумами, потому что в классической механике частица имеет тенденцию лежать в одном из них. В классической механике есть два состояния с наименьшей энергией. ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

В квантовой механике мы решаем уравнение Шредингера

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

идентифицировать собственные энергетические состояния. Если мы сделаем это, мы найдём только единственное состояние с наименьшей энергией вместо двух состояний. Волновая функция основного состояния локализуется в обоих классических минимумах, а не только в одном из них из-за квантовой интерференции или квантового туннелирования. ${\displaystyle x=\pm 1}$

Инстантоны — это инструмент, позволяющий понять, почему это происходит в полуклассическом приближении формулировки интеграла по путям в евклидово время. Сначала мы увидим это, используя приближение ВКБ, которое приблизительно вычисляет саму волновую функцию, а затем перейдем к введению инстантонов, используя формулировку интеграла по траекториям.

Приближение ВКБ

Один из способов вычислить эту вероятность — использовать полуклассическое приближение ВКБ , которое требует, чтобы значение было небольшим. Независимое от времени уравнение Шредингера для частицы имеет вид ${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

Если бы потенциал был постоянным, решением была бы плоская волна с точностью до коэффициента пропорциональности:

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

с

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

Это означает, что если энергия частицы меньше потенциальной энергии, то получается экспоненциально убывающая функция. Соответствующая амплитуда туннелирования пропорциональна

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

где a и b — начало и конец туннельной траектории.

Интерпретация интеграла по траекториям через инстантоны

Альтернативно, использование интегралов по траекториям позволяет интерпретировать инстантоны , и с помощью этого подхода можно получить тот же результат. В формулировке интеграла по траектории амплитуда перехода может быть выражена как

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

Следуя процессу вращения Вика (аналитического продолжения) к евклидову пространству-времени ( ), получаем ${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

с евклидовым действием

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

Потенциальная энергия меняет знак при вращении Вика, а минимумы превращаются в максимумы, тем самым обнаруживая два «холма» максимальной энергии. ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

Рассмотрим теперь локальный минимум евклидова действия с двухямным потенциалом и положим просто для простоты вычислений. Поскольку мы хотим знать, как связаны два классических состояния с наименьшей энергией , давайте установим и . Для и мы можем переписать евклидово действие как ${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

Указанное неравенство насыщается решением с условием и . Такие решения существуют, и решение принимает простой вид, когда и . Явная формула для инстантонного решения имеет вид ${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$ ${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$ ${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$ ${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$ ${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

Вот произвольная константа. Поскольку это решение мгновенно перескакивает из одного классического вакуума в другой классический вакуум вокруг , оно называется инстантоном. ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

Явная формула для двухямного потенциала

Явная формула для собственных энергий уравнения Шредингера с двухъямным потенциалом была дана Мюллером-Кирстеном ^[7] с выводом как методом возмущений (плюс граничные условия), примененным к уравнению Шредингера, так и явным выводом из интеграла по путям (и ВКБ). Результат следующий. Определяя параметры уравнения Шрёдингера и потенциала уравнениями

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

и

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

собственные значения для оказываются: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

Очевидно, что эти собственные значения асимптотически ( ) вырождаются, как и ожидалось, вследствие гармонической части потенциала. ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

Полученные результаты

Результаты, полученные с помощью математически четко определенного евклидова интеграла по путям, могут быть повернуты обратно по Вику и дать те же физические результаты, которые были бы получены при соответствующей обработке (потенциально расходящегося) интеграла по путям Минковского. Как видно из этого примера, вычисление вероятности перехода частицы через классически запрещенную область ( ) с помощью интеграла по траектории Минковского соответствует вычислению вероятности перехода частицы через классически разрешенную область (с потенциалом − V ( X ) ) в евклидовом интеграле по траекториям (образно говоря – в евклидовой картине – этот переход соответствует перекатыванию частицы с одного холма двуямного потенциала, стоящего на голове, на другой холм). Это классическое решение евклидовых уравнений движения часто называют «кинк-решением» и является примером инстантона . В этом примере два «вакуума» (т.е. основные состояния) двухъямного потенциала превращаются в холмы в евклидовой версии задачи. ${\displaystyle V(x)}$

Таким образом, решение инстантонного поля (евклидовой, т.е. с мнимым временем) (1 + 1)-мерной теории поля – первое квантованное квантовомеханическое описание – позволяет интерпретировать как эффект туннелирования между двумя вакуумами (основные состояния – высшие состояния). состояния требуют периодических инстантонов) физической (одномерное пространство + реальное время) системы Минковского. В случае двухямного потенциала записано

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

инстантон, т.е. решение

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

(т.е. с энергией ), есть ${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

где евклидово время. ${\displaystyle \tau =it}$

Обратите внимание , что наивная теория возмущений только вокруг одного из этих двух вакуумов (описания Минковского) никогда не продемонстрировала бы этот непертурбативный туннельный эффект , резко меняя картину вакуумной структуры этой квантово-механической системы. Фактически наивная теория возмущений должна быть дополнена граничными условиями, и они обеспечивают непертурбативный эффект, как это видно из приведенной выше явной формулы и аналогичных вычислений для других потенциалов, таких как косинусный потенциал (ср. Функция Матье ) или другие периодические потенциалы. (ср., например, функцию Ламе и сфероидальную волновую функцию ) и независимо от того, используется ли уравнение Шредингера или интеграл по путям . ^[8]

Следовательно, пертурбативный подход не может полностью описать вакуумную структуру физической системы. Это может иметь важные последствия, например, в теории «аксионов» , где нетривиальные вакуумные эффекты КХД (например, инстантоны ) явно нарушают симметрию Печчеи – Куинна и превращают безмассовые бозоны Намбу – Голдстоуна в массивные псевдо-Намбу – Голдстоуна. те .

Периодические инстантоны

В одномерной теории поля или квантовой механике под «инстантоном» понимают конфигурацию поля, которая является решением классического (ньютоновоподобного) уравнения движения с евклидовым временем и конечным евклидовым действием. В контексте теории солитонов соответствующее решение известно как кинк . Ввиду их аналогии с поведением классических частиц такие конфигурации или решения, как и другие, называются псевдочастицами или псевдоклассическими конфигурациями. «Инстантонное» (кинковое) решение сопровождается другим решением, известным как «анти-инстантонное» (анти-кинк), причем инстантон и антиинстантон отличаются «топологическими зарядами» +1 и -1 соответственно, но имеют одинаковые Евклидово действие.

«Периодические инстантоны» являются обобщением инстантонов. ^[9] В явной форме они выражаются через эллиптические функции Якоби , которые являются периодическими функциями (фактически обобщениями тригонометрических функций). В пределе бесконечного периода эти периодические инстантоны, часто известные как «отскоки», «пузыри» и т.п., превращаются в инстантоны.

Устойчивость этих псевдоклассических конфигураций можно исследовать, расширив лагранжиан, определяющий теорию, вокруг конфигурации псевдочастиц, а затем исследовав уравнение малых флуктуаций вокруг нее. Для всех версий потенциалов четвертой степени (двойная яма, перевернутая двойная яма) и периодических потенциалов (Матье) эти уравнения оказались уравнениями Ламе, см. функцию Ламе . ^[10] Собственные значения этих уравнений известны и позволяют в случае неустойчивости рассчитать скорость затухания путем оценки интеграла по траектории. ^[9]

Инстантоны в теории скорости реакции

В контексте теории скорости реакций периодические инстантоны используются для расчета скорости туннелирования атомов в химических реакциях. Ход химической реакции можно описать как движение псевдочастицы по поверхности потенциальной энергии большой размерности (ППЭ). Тогда тепловая константа скорости может быть связана с мнимой частью свободной энергии соотношением ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

где – каноническая статистическая сумма, которая вычисляется путем взятия следа оператора Больцмана в позиционном представлении. ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

Используя вращение фитиля и идентифицируя евклидово время с ним, можно получить интегральное представление статистической суммы в массовых взвешенных координатах. ${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

Затем интеграл по путям аппроксимируется с помощью интегрирования наискорейшего спуска, которое учитывает только вклады классических решений и квадратичные флуктуации вокруг них. Это дает выражение константы скорости в массово-взвешенных координатах

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

где – периодический инстантон, – тривиальное решение покоящейся псевдочастицы, представляющее конфигурацию состояния реагента. ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

Формула перевернутой двойной лунки

Что касается двухъямного потенциала, то можно получить собственные значения для обращенного двухъямного потенциала. Однако в этом случае собственные значения являются комплексными. Определение параметров по уравнениям

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

собственные значения, данные Мюллером-Кирстеном, равны: ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

Мнимая часть этого выражения согласуется с известным результатом Бендера и Ву. ^[11] В своих обозначениях ${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

Квантовая теория поля

При изучении квантовой теории поля (КТП) вакуумная структура теории может привлечь внимание к инстантонам. Как показывает квантовомеханическая система с двойной ямой, наивный вакуум может не быть истинным вакуумом теории поля. Более того, истинный вакуум теории поля может представлять собой «перекрытие» нескольких топологически неэквивалентных секторов, так называемый « топологический вакуум ».

Хорошо понятный и наглядный пример инстантона и его интерпретации можно найти в контексте КТП с неабелевой калибровочной группой , ^{[примечание 2]} теории Янга – Миллса . Для теории Янга–Миллса эти неэквивалентные сектора могут быть (в соответствующей калибровке) классифицированы третьей гомотопической группой SU (2) (групповое многообразие которой является 3-сферой ). Определенный топологический вакуум («сектор» истинного вакуума) помечается неизменным преобразованием — индексом Понтрягина . Поскольку было обнаружено, что третья гомотопическая группа представляет собой набор целых чисел , ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle (S^{3})=}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$

существует бесконечно много топологически неэквивалентных вакуумов, обозначаемых , где – соответствующий им индекс Понтрягина. Инстантон — это конфигурация поля, удовлетворяющая классическим уравнениям движения в евклидовом пространстве-времени, что интерпретируется как эффект туннелирования между этими различными топологическими вакуумами . Он снова помечен целым числом, его индексом Понтрягина, . Можно представить себе инстантон с индексом для количественной оценки туннелирования между топологическим вакуумом и . Если Q = 1, конфигурация называется BPST-инстантон в честь ее первооткрывателей Александра Белавина , Александра Полякова , Альберта С. Шварца и Ю. С. Тюпкин. Истинный вакуум теории обозначается «углом» тэты и представляет собой перекрытие топологических секторов: ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle |N+Q\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

Джерард 'т Хофт впервые выполнил теоретико-полевые расчеты эффектов BPST-инстантона в теории, связанной с фермионами, в [1]. Он показал, что нулевые моды уравнения Дирака на инстантонном фоне приводят к непертурбативному мультифермионному взаимодействию в низкоэнергетическом эффективном воздействии.

Теория Янга – Миллса

Классическое действие Янга–Миллса на главном расслоении со структурной группой G , базой M , связностью A и кривизной (тензором поля Янга–Миллса) F имеет вид

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

где находится форма объема на . Если скалярное произведение на , алгебра Ли которого принимает значения, задается формой Киллинга на , то это можно обозначить как , поскольку ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

Например, в случае калибровочной группы U(1) F будет тензором электромагнитного поля . Из принципа стационарного действия следуют уравнения Янга–Миллса. Они есть

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

Первое из них — тождество, поскольку d F = d ² A = 0, а второе — уравнение в частных производных второго порядка для связи A , и если вектор тока Минковского не обращается в нуль, то нуль в правой части. второго уравнения заменяется на . Но обратите внимание, насколько похожи эти уравнения; они отличаются звездой Ходжа . Таким образом, решение более простого (нелинейного) уравнения первого порядка ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

автоматически также является решением уравнения Янга – Миллса. Это упрощение происходит на 4-х многообразиях с : так что на 2-формах. Такие решения обычно существуют, хотя их точный характер зависит от размерности и топологии базового пространства M, главного расслоения P и калибровочной группы G. ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle *^{2}=+1}$

В неабелевых теориях Янга–Миллса, и где D — внешняя ковариантная производная . Более того, тождество Бьянки ${\displaystyle DF=0}$ ${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

удовлетворен.

В квантовой теории поля инстантон — это топологически нетривиальная конфигурация поля в четырёхмерном евклидовом пространстве (рассматриваемая как виковское вращение пространства - времени Минковского ). В частности, это относится к калибровочному полю Янга – Миллса A , которое приближается к чистой калибровке на пространственной бесконечности . Это означает, что напряженность поля

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

исчезает в бесконечности. Название инстантон происходит от того факта, что эти поля локализованы в пространстве и (евклидовом) времени – другими словами, в определенный момент.

Случай инстантонов в двумерном пространстве легче визуализировать, поскольку он допускает простейший случай калибровочной группы , а именно U(1), то есть абелевой группы . В этом случае поле A можно представить просто как векторное поле . Инстантон — это конфигурация, в которой, например, стрелки направлены в сторону от центральной точки (т. е. состояние «ежа»). В евклидовом четырехмерном пространстве абелевы инстантоны невозможны. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Конфигурация поля инстантона сильно отличается от конфигурации поля вакуума . Из-за этого инстантоны нельзя изучать с помощью диаграмм Фейнмана , которые включают только пертурбативные эффекты. Инстантоны принципиально непертурбативны .

Энергия Янга – Миллса определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

где ∗ — двойственный Ходжу . Если мы будем настаивать на том, что решения уравнений Янга–Миллса имеют конечную энергию , то кривизна решения на бесконечности (взятая за предел ) должна быть равна нулю. Это означает, что инвариант Черна–Саймонса может быть определен на границе трехмерного пространства. По теореме Стокса это эквивалентно взятию интеграла

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

Это гомотопический инвариант, который говорит нам, к какому гомотопическому классу принадлежит инстантон.

Поскольку интеграл от неотрицательного подынтегрального выражения всегда неотрицательен,

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

для всех действительных θ. Итак, это означает

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

Если эта граница насыщена, то решением является состояние BPS . Для таких состояний либо ∗ F = F , либо ∗ F = − F в зависимости от знака гомотопического инварианта .

В Стандартной модели ожидается присутствие инстантонов как в электрослабом секторе , так и в хромодинамическом секторе, однако их существование пока не подтверждено экспериментально. ^[12] Эффекты инстантона важны для понимания образования конденсатов в вакууме квантовой хромодинамики (КХД) и для объяснения массы так называемой «эта-первичной частицы», голдстоуновского бозона ^{[примечание 3],} которая приобрела массы через аномалию аксиального тока КХД. Заметим, что иногда в теории с одним дополнительным измерением пространства имеется и соответствующий солитон . Недавние исследования инстантонов связывают их с такими темами, как D-браны и черные дыры и, конечно же, с вакуумной структурой КХД. Например, в ориентированных теориях струн Dp-брана — это инстантон калибровочной теории в мировой объёмной ( p  +5)-мерной U ( N ) калибровочной теории на стопке N D( p  +4)-бран.

Различное количество размеров

Инстантоны играют центральную роль в непертурбативной динамике калибровочных теорий. Вид физического возбуждения, вызывающего инстантон, зависит от количества измерений пространства-времени, но, что удивительно, формализм для работы с этими инстантонами относительно не зависит от размерности.

В 4-мерных калибровочных теориях, как описано в предыдущем разделе, инстантоны представляют собой калибровочные расслоения с нетривиальным характеристическим классом четырех форм . Если калибровочная симметрия является унитарной группой или специальной унитарной группой , то этот характеристический класс является вторым классом Чженя , который обращается в нуль в случае калибровочной группы U(1). Если калибровочная симметрия является ортогональной группой, то этот класс является первым классом Понтрягина .

В трехмерных калибровочных теориях с полями Хиггса роль инстантонов играют монополи 'т Хофта–Полякова . В своей статье 1977 года «Удержание кварков и топология калибровочных групп» Александр Поляков продемонстрировал, что инстантонные эффекты в трехмерной КЭД в сочетании со скалярным полем приводят к появлению массы фотона .

В двумерных абелевых калибровочных теориях инстантоны мирового листа представляют собой магнитные вихри . Они ответственны за многие непертурбативные эффекты в теории струн, играя центральную роль в зеркальной симметрии .

В одномерной квантовой механике инстантоны описывают туннелирование , невидимое в теории возмущений.

4d суперсимметричные калибровочные теории

Суперсимметричные калибровочные теории часто подчиняются теоремам о неперенормировке , которые ограничивают виды разрешенных квантовых поправок. Многие из этих теорем применимы только к поправкам, вычисляемым в теории возмущений , и поэтому инстантоны, которые не наблюдаются в теории возмущений, обеспечивают единственные поправки к этим величинам.

Теоретико-полевые методы расчета инстантонов в суперсимметричных теориях широко изучались в 1980-х годах несколькими авторами. Поскольку суперсимметрия гарантирует отмену фермионных и бозонных ненулевых мод на инстантонном фоне, задействованное вычисление Т-Хофтом седловой точки инстантона сводится к интегрированию по нулевым модам.

В  суперсимметричных калибровочных теориях с N = 1 инстантоны могут изменять суперпотенциал , иногда поднимая весь вакуум. В 1984 году Ян Аффлек , Майкл Дайн и Натан Зайберг рассчитали инстантонные поправки к суперпотенциалу в своей статье «Динамическое нарушение суперсимметрии в суперсимметричной КХД». Точнее, они смогли выполнить расчет только тогда, когда теория содержит на один аромат киральной материи меньше , чем количество цветов в специальной унитарной калибровочной группе, потому что при наличии меньшего количества ароматов ненарушенная неабелева калибровочная симметрия приводит к инфракрасной расходимости. а в случае большего количества вкусов вклад равен нулю. Для этого особого выбора киральной материи значения вакуумного ожидания скалярных полей материи могут быть выбраны так, чтобы полностью нарушить калибровочную симметрию при слабой связи, что позволяет продолжить надежный квазиклассический расчет седловой точки. Рассмотрев затем возмущения, вызванные различными массовыми членами, они смогли вычислить суперпотенциал в присутствии произвольного числа цветов и ароматов, действительный даже тогда, когда теория больше не является слабосвязанной.

В суперсимметричных калибровочных теориях N  = 2 суперпотенциал не получает квантовых поправок. Однако в ряде работ была вычислена поправка к метрике пространства модулей вакуума от инстантонов. Во-первых, одноинстантонная поправка была рассчитана Натаном Зайбергом в книге «Суперсимметрия и непертурбативные бета-функции». Полный набор поправок к SU (2) теории Янга – Миллса был рассчитан Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном в работе «Электро-магнитный дуализм, монопольная конденсация и конфайнмент в N = 2 суперсимметричной теории Янга – Миллса» в процессе создания предмет, который сегодня известен как теория Зайберга-Виттена . Они распространили свои вычисления на калибровочные теории SU(2) с фундаментальной материей в монополях, дуальностью и нарушением киральной симметрии в N=2 суперсимметричной КХД. Позднее эти результаты были распространены на различные калибровочные группы и содержания материи, при этом в большинстве случаев также был получен прямой вывод калибровочной теории. Для калибровочных теорий с калибровочной группой U (N) геометрия Зайберга – Виттена была получена из калибровочной теории с использованием статистической суммы Некрасова в 2003 году Никитой Некрасовым и Андреем Окуньковым и независимо Хираку Накадзимой и Котой Ёсиокой.

В суперсимметричных калибровочных теориях N  = 4 инстантоны не приводят к квантовым поправкам к метрике в пространстве модулей вакуума.

Явные решения на ℝ 4

Анзац , предоставленный Корриганом и Фэрли , обеспечивает решение антисамодвойственных уравнений Янга – Миллса с калибровочной группой SU (2) из ​​любой гармонической функции на . ^{[13] [14]} Анзац дает явные выражения для калибровочного поля и может использоваться для построения решений с сколь угодно большим числом инстантонов. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Определение антисимметричных объектов со значениями как ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$

$${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},}$$

${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}}$

$${\displaystyle A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )}$$

${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} }$

В четырех измерениях фундаментальное решение уравнения Лапласа находится при любом фиксированном . Их суперпозиция дает -солитонные решения вида ${\displaystyle |x-y|^{-2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \rho (x)=\sum _{p=1}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.}$$

Смотрите также

• Инстантонная жидкость  – приближение непертурбативного интеграла по траекториям
• Калорон  - инстантон конечной температуры.
• Сидни Коулман  – американский физик (1937–2007).
• Метод Гольштейна – Херринга  - эффективный способ получения расщепления обменной энергии асимптотически вырожденных энергетических состояний в молекулярных системах.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гравитационный инстантон  - четырехмерное полное риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна.
• Квазиклассическая теория переходного состояния  - Теория скорости химических реакций
• Уравнения Янга – Миллса  - уравнения в частных производных, решениями которых являются инстантоны.
• Калибровочная теория (математика)  - Исследование векторных расслоений, главных расслоений и расслоений.

Ссылки и примечания

Примечания

1. Поскольку эта проекция конформна , кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги: кривые, пересекающие <0,0,0,1>, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).
2. См. Также: Неабелева калибровочная теория.
3. См. Также: Псевдо-Голдстоун-бозон.

Цитаты

1. Инстантоны в калибровочных теориях. Под редакцией Михаила А. Шифмана. Всемирный научный, 1994.
2. Взаимодействие между заряженными частицами в магнитном поле. Грачья Нерсисян, Кристиан Топффер, Гюнтер Цвикнагель. Спрингер, 19 апреля 2007 г. стр. 23.
3. Поведение большого порядка теории возмущений. Под редакцией Ж. К. Ле Гийу, Ж. Зинн-Жюстина. Elsevier, 2 декабря 2012 г. Стр. 170.
4. Вайнштейн, А.И.; Захаров Валентин Иванович; Новиков Виктор А.; Шифман, Михаил А. (30 апреля 1982 г.). «Азбука инстантонов». Успехи советской физики . 25 (4): 195. doi :10.1070/PU1982v025n04ABEH004533. ISSN  0038-5670.
5. "Инстантон Янга-Миллса в nLab" . ncatlab.org . Проверено 11 апреля 2023 г.
6. См., например, статью Найджела Хитчина «Уравнения самодуальности на римановой поверхности».
7. HJW Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд. (World Scientific, 2012), ISBN 978-981-4397-73-5 ; формула (18.175б), с. 525. 
8. HJW Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траектории, 2-е изд., World Scientific, 2012, ISBN 978-981-4397-73-5 . 
9. Харальд Дж. В. Мюллер-Кирстен, Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд., World Scientific (Сингапур, 2012).
10. Лян, Цзю-Цин; Мюллер-Кирстен, HJW; Чракян, Д.Х. (1992). «Солитоны, отскоки и сфалероны на окружности». Буквы по физике Б. Эльзевир Б.В. 282 (1–2): 105–110. Бибкод : 1992PhLB..282..105L. дои : 10.1016/0370-2693(92)90486-н. ISSN  0370-2693.
11. Бендер, Карл М.; Ву, Тай Цун (15 марта 1973 г.). «Ангармонический осциллятор. II. Исследование теории возмущений в большом порядке». Физический обзор D . Американское физическое общество (APS). 7 (6): 1620–1636. Бибкод : 1973PhRvD...7.1620B. doi :10.1103/physrevd.7.1620. ISSN  0556-2821.
12. Аморосо, Симона; Кар, Дипак; Шотт, Матиас (2021). «Как обнаружить инстантоны КХД на БАК». Европейский физический журнал C . 81 (7): 624. arXiv : 2012.09120 . Бибкод : 2021EPJC...81..624A. doi : 10.1140/epjc/s10052-021-09412-1. S2CID  229220708.
13. Корриган, Э.; Фэрли, Д.Б. (март 1977 г.). «Скалярная теория поля и точные решения классической калибровочной теории SU (2)». Буквы по физике Б. 67 (1): 69–71. дои : 10.1016/0370-2693(77)90808-5.
14. Дунайский, Мацей (2010). Солитоны, инстантоны и твисторы . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 123. ИСБН 9780198570639.

Общий

• Инстантоны в калибровочных теориях , сборник статей об инстантонах под редакцией Михаила А. Шифмана , doi : 10.1142/2281
• Солитоны и инстантоны , Р. Раджараман (Амстердам: Северная Голландия, 1987), ISBN 0-444-87047-4 
• Использование инстантонов , Сидни Коулман в Proc. Межд. Школа субъядерной физики (Эрике, 1977); и в «Аспектах симметрии» с. 265, Сидни Коулман, издательство Кембриджского университета, 1985, ISBN 0-521-31827-0 ; и в инстантонах в калибровочных теориях 
• Солитоны, инстантоны и твисторы . М. Дунайски, Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-857063-9 . 
• Геометрия четырехмногообразий , С. К. Дональдсон, П. Б. Кронхаймер, Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8 . 

Внешние ссылки

• Словарное определение инстантона в Викисловаре