Квадратный корень

Число, квадрат которого равен данному числу

Обозначение (главного) квадратного корня из x .

Например, √ 25 = 5 , так как 25 = 5 ⋅ 5 , или 5 ² (5 в квадрате).

В математике квадратный корень числа x — это число y, такое что ; другими словами, число y , квадрат которого (результат умножения числа на себя, или ) равен x . ^[1] Например, 4 и −4 являются квадратными корнями из 16, потому что . ${\displaystyle y^{2}=x}$ ${\displaystyle y\cdot y}$ ${\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}$

Каждое неотрицательное действительное число x имеет уникальный неотрицательный квадратный корень, называемый главным квадратным корнем или просто квадратным корнем (с определенным артиклем, см. ниже), который обозначается как , где символ " " называется знаком радикала ^[2] или radix . Например, чтобы выразить тот факт, что главный квадратный корень числа 9 равен 3, мы пишем . Член (или число), квадратный корень которого рассматривается, называется подкоренным выражением . Подкоренное выражение — это число или выражение под знаком радикала, в данном случае 9. Для неотрицательных x главный квадратный корень также можно записать в экспоненциальной записи, как . ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {~^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ ${\displaystyle x^{1/2}}$

Каждое положительное число x имеет два квадратных корня: (который положительный) и (который отрицательный). Два корня можно записать более кратко, используя знак ± как . Хотя главный квадратный корень положительного числа является только одним из его двух квадратных корней, обозначение « квадратный корень» часто используется для обозначения главного квадратного корня. ^{[3] [4]} ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$

Квадратные корни отрицательных чисел можно обсуждать в рамках комплексных чисел . В более общем смысле, квадратные корни можно рассматривать в любом контексте, в котором определено понятие « квадрата » математического объекта. К ним относятся функциональные пространства и квадратные матрицы , среди других математических структур .

История

YBC 7289 глиняная табличка

Глиняная табличка YBC 7289 из Йельской вавилонской коллекции была создана между 1800 и 1600 годами до н. э., на ней изображены и соответственно числа 1;24,51,10 и 0;42,25,35 с основанием 60 на квадрате, пересеченном двумя диагоналями. ^[5] (1;24,51,10) с основанием 60 соответствует 1,41421296, что верно до 5 знаков после запятой (1,41421356...). ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Математический папирус Ринда представляет собой копию, датированную 1650 г. до н. э., более раннего Берлинского папируса и других текстов, возможно, папируса Кахуна  , который показывает, как египтяне извлекали квадратные корни методом обратной пропорции. ^[6]

В Древней Индии знание теоретических и прикладных аспектов квадрата и квадратного корня было по крайней мере таким же древним, как и Сульба-сутры , датируемые примерно 800–500 гг. до н. э. (возможно, намного раньше). ^[7] Метод нахождения очень хороших приближений к квадратным корням из 2 и 3 приведен в Баудхаяна-Сульба-сутре . ^[8] Апастамба, который датируется примерно 600 г. до н. э., дал поразительно точное значение, которое является верным с точностью до пяти знаков после запятой, как . ^{[9] [10] [11]} Арьябхата в Арьябхатия (раздел 2.4) дал метод нахождения квадратного корня из чисел, имеющих много цифр. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}}$

Древним грекам было известно, что квадратные корни из положительных целых чисел , которые не являются полными квадратами , всегда являются иррациональными числами : числами, не выражаемыми как отношение двух целых чисел (то есть их нельзя записать точно как , где m и n — целые числа). Это теорема Евклида X, 9 , почти наверняка принадлежащая Теэтету и датируемая примерно  380 г. до н. э . [ ^12] Открытие иррациональных чисел, включая частный случай квадратного корня из 2 , широко ассоциируется со школой Пифагора. ^{[13] [14]} Хотя некоторые источники приписывают открытие Гиппасу , конкретный вклад остается неопределенным из-за нехватки первоисточников и секретного характера братства. ^{[15] [16]} Это в точности длина диагонали квадрата со стороной 1 . ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$

В китайском математическом труде «Письма о счете» , написанном между 202 г. до н. э. и 186 г. до н. э. во времена ранней династии Хань , квадратный корень аппроксимируется с помощью метода «избытка и недостатка», который гласит: «...объединить избыток и недостаток в качестве делителя; (взяв) числитель недостатка, умноженный на знаменатель избытка, и числитель избытка, умноженный на знаменатель недостатка, объединить их в качестве делимого». ^[17]

Символ для квадратных корней, записанный как сложная буква R, был изобретен Региомонтаном (1436–1476). R также использовалось для обозначения основания системы счисления в Ars Magna Джероламо Кардано . [ ^18]

По словам историка математики Д. Э. Смита , метод Ариабхаты для нахождения квадратного корня был впервые представлен в Европе Катанео в 1546 году.

Согласно Джеффри А. Оуксу, арабы использовали букву jīm/ĝīm ( ج ), первую букву слова " جذر " (по-разному транслитерируемую как jaḏr , jiḏr , ǧaḏr или ǧiḏr , "корень"), помещенную в ее начальной форме ( ﺟ ) над числом, чтобы указать его квадратный корень. Буква jīm напоминает современную форму квадратного корня. Ее использование восходит к концу двенадцатого века в работах марокканского математика Ибн аль-Ясамина . ^[19]

Символ «√» для квадратного корня впервые был использован в печати в 1525 году в произведении Кристофа Рудольфа « Косс » . ^[20]

Свойства и применение

График функции f ( x ) = √ x , состоящий из половины параболы с вертикальной направляющей

Основная функция квадратного корня (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция , которая отображает множество неотрицательных действительных чисел на себя. В геометрических терминах функция квадратного корня отображает площадь квадрата в длину его стороны. ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

Квадратный корень из x является рациональным числом тогда и только тогда, когда x является рациональным числом , которое можно представить в виде отношения двух полных квадратов. (См. квадратный корень из 2 для доказательства того, что это иррациональное число, и квадратное иррациональное для доказательства для всех неквадратных натуральных чисел.) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа , причем последние являются надмножеством рациональных чисел).

Для всех действительных чисел x ( см. абсолютное значение ). $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Для всех неотрицательных действительных чисел x и y , и $${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$$ $${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}$$

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных x и дифференцируема для всех положительных x . Если f обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется как: $${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$$

Ряд Тейлора относительно x = 0 сходится при | x | ≤ 1 и задается формулой ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,}$$

Квадратный корень неотрицательного числа используется в определении евклидовой нормы (и расстояния ), а также в обобщениях, таких как гильбертовы пространства . Он определяет важное понятие стандартного отклонения, используемое в теории вероятностей и статистике . Он имеет основное применение в формуле для решений квадратного уравнения . Квадратичные поля и кольца квадратичных целых чисел , которые основаны на квадратных корнях, важны в алгебре и используются в геометрии. Квадратные корни часто появляются в математических формулах в других местах, а также во многих физических законах.

Квадратные корни положительных целых чисел

Положительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный, которые противоположны друг другу. Когда говорят о квадратном корне из положительного целого числа, обычно имеют в виду положительный квадратный корень.

Квадратные корни целого числа являются алгебраическими целыми числами , а точнее, квадратными целыми числами .

Квадратный корень из положительного целого числа есть произведение корней его простых множителей, потому что квадратный корень из произведения есть произведение квадратных корней множителей. Так как необходимы только корни тех простых чисел, которые имеют нечетную степень в факторизации . Точнее, квадратный корень из факторизации равен ${\textstyle {\sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ $${\displaystyle {\sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}\cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}\dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}\dots p_{n}^{e_{n}}{\sqrt {p_{1}\dots p_{k}}}.}$$

Как десятичные расширения

Квадратные корни полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами . Во всех остальных случаях квадратные корни положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся десятичные дроби в своих десятичных представлениях . Десятичные приближения квадратных корней первых нескольких натуральных чисел приведены в следующей таблице.

Как расширения в других системах счисления

Как и прежде, квадратные корни полных квадратов (например, 0, 1, 4, 9, 16) являются целыми числами. Во всех остальных случаях квадратные корни положительных целых чисел являются иррациональными числами и, следовательно, имеют неповторяющиеся цифры в любой стандартной позиционной системе счисления.

Квадратные корни из небольших целых чисел используются в хеш-функциях SHA-1 и SHA-2 , чтобы не давать никаких скрытых чисел .

Как периодические цепные дроби

Один из самых интригующих результатов изучения иррациональных чисел как цепных дробей был получен Жозефом Луи Лагранжем около  1780 года . Лагранж обнаружил, что представление квадратного корня любого неквадратного положительного целого числа в виде цепной дроби является периодическим . То есть, определенная последовательность частичных знаменателей повторяется бесконечно в цепной дроби. В некотором смысле эти квадратные корни являются простейшими иррациональными числами, потому что их можно представить с помощью простой повторяющейся последовательности целых чисел.

Обозначение квадратных скобок, использованное выше, является сокращенной формой для цепной дроби. Записанная в более наводящей на размышления алгебраической форме, простая цепная дробь для квадратного корня из 11, [3; 3, 6, 3, 6, ...], выглядит следующим образом: $${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+\ddots }}}}}}}}}}}$$

где двузначный шаблон {3, 6} повторяется снова и снова в частичных знаменателях. Поскольку 11 = 3 ² + 2 , вышесказанное также идентично следующим обобщенным непрерывным дробям :

$${\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+{\cfrac {2}{6+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {6}{20-1-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-{\cfrac {1}{20-\ddots }}}}}}}}}}.}$$

Вычисление

Квадратные корни положительных чисел не являются в общем рациональными числами , и поэтому не могут быть записаны как конечное или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому в общем любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют клавишу квадратного корня. Компьютерные электронные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением 1), для вычисления квадратного корня положительного действительного числа. ^{[21] [22]} При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или логарифмических линеек можно использовать тождества, где ln и log ₁₀ являются натуральными и десятичными логарифмами . $${\displaystyle {\sqrt {a}}=e^{(\ln a)/2}=10^{(\log _{10}a)/2},}$$

Методом проб и ошибок ^[23] можно возвести оценку в квадрат и повысить или понизить ее до тех пор, пока она не будет соответствовать достаточной точности. Для этой техники разумно использовать тождество , поскольку оно позволяет скорректировать оценку x на некоторую величину c и измерить квадрат корректировки в терминах исходной оценки и ее квадрата. ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ $${\displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$$

Наиболее распространенный итерационный метод вычисления квадратного корня вручную известен как « вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа первого века Герона Александрийского , который впервые описал его. ^[24] Метод использует ту же итеративную схему, которую дает метод Ньютона–Рафсона при применении к функции y = f ( x ) = x ² − a , используя тот факт, что ее наклон в любой точке равен dy / dx = f ′ ( x ) = 2 x , но предшествует ему на много столетий. ^[25] Алгоритм заключается в повторении простого вычисления, которое приводит к числу, более близкому к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда оно повторяется с его результатом в качестве новых входных данных. Мотивация заключается в том, что если x является завышенной оценкой по отношению к квадратному корню неотрицательного действительного числа a , то a / x будет заниженной оценкой, и поэтому среднее значение этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство арифметических и геометрических средних показывает, что это среднее значение всегда является завышенной оценкой квадратного корня (как отмечено ниже), и поэтому оно может служить новой завышенной оценкой, с которой можно повторить процесс, который сходится вследствие того, что последовательные завышенные и заниженные оценки становятся ближе друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти x :

1. Начните с произвольного положительного начального значения x . Чем ближе к квадратному корню из a , тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
2. Замените x на среднее значение ( x + a / x ) / 2 между x и a / x .
3. Повторите действия с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения x .

То есть, если произвольное предположение для равно x ₀ , и x _{n + 1} = ( x _n + a / x _n ) / 2 , то каждое x _n является приближением , которое лучше для больших n , чем для малых n . Если a положительно, сходимость квадратичная , что означает, что при приближении к пределу количество правильных цифр примерно удваивается в каждой следующей итерации. Если a = 0 , сходимость только линейная; однако, поэтому в этом случае итерация не нужна. ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=0}$

Используя тождество, вычисление квадратного корня положительного числа можно свести к вычислению числа в диапазоне [1, 4) . Это упрощает нахождение начального значения для итерационного метода, близкого к квадратному корню, для которого можно использовать полиномиальное или кусочно-линейное приближение . $${\displaystyle {\sqrt {a}}=2^{-n}{\sqrt {4^{n}a}},}$$

Временная сложность вычисления квадратного корня с точностью n знаков эквивалентна временной сложности умножения двух n -значных чисел.

Другим полезным методом вычисления квадратного корня является алгоритм сдвига n-го корня, применяемый для n = 2 .

Название функции квадратного корня варьируется от языка программирования к языку программирования, при этом sqrt^[26] (часто произносится как «сквирт» ^[27] ) является общепринятым и используется в языках C и производных от него, таких как C++ , JavaScript , PHP и Python .

Квадратные корни отрицательных и комплексных чисел

Квадрат любого положительного или отрицательного числа положителен, а квадрат 0 равен 0. Следовательно, ни одно отрицательное число не может иметь действительный квадратный корень. Однако можно работать с более инклюзивным набором чисел, называемых комплексными числами , которые содержат решения для квадратного корня отрицательного числа. Это делается путем введения нового числа, обозначаемого i (иногда j , особенно в контексте электричества , где i традиционно представляет электрический ток) и называемого мнимой единицей , которая определяется таким образом, что i ² = −1 . Используя эту нотацию, мы можем думать о i как о квадратном корне из −1, но мы также имеем (− i ) ² = i ² = −1 и поэтому − i также является квадратным корнем из −1. По соглашению, главный квадратный корень из −1 равен i , или, в более общем смысле, если x — любое неотрицательное число, то главный квадратный корень из − x равен $${\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}.}$$

Правая часть (как и ее отрицательная часть) действительно является квадратным корнем из − x , поскольку $${\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}$$

Для каждого ненулевого комплексного числа z существуют ровно два числа w, такие что w ² = z : главный квадратный корень из z (определен ниже) и его отрицательное число.

Главный квадратный корень комплексного числа

Геометрическое представление корней 2-й и 6-й степени комплексного числа z в полярной форме re ^iφ  , где r = | z  | и φ = arg z . Если z действительное, φ = 0 или π . Главные корни показаны черным цветом.

Чтобы найти определение квадратного корня, которое позволяет нам последовательно выбирать одно значение, называемое главным значением , мы начнем с наблюдения, что любое комплексное число можно рассматривать как точку на плоскости, выраженную с помощью декартовых координат . Эту же точку можно переосмыслить с помощью полярных координат как пару , где — расстояние точки от начала координат, а — угол, который линия от начала координат до точки образует с положительной действительной осью ( ). В комплексном анализе местоположение этой точки обычно записывается следующим образом: Если то ${\displaystyle x+iy}$ ${\displaystyle (x,y),}$ ${\displaystyle (r,\varphi ),}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle re^{i\varphi }.}$ $${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,}$$Главный квадратный корень определяетсяследующим образом: Таким образом, функция главного квадратного корня определяется с использованием неположительной вещественной оси в качестверазреза ветви. Если— неотрицательное вещественное число (что происходит тогда и только тогда, когда), то главный квадратный корень—другими словами, главный квадратный корень неотрицательного вещественного числа — это просто обычный неотрицательный квадратный корень. Важно, что,поскольку, например,(так что), то главный квадратный корень — это , но использованиевместо этого даст другой квадратный корень ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{i\varphi /2}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi =0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\sqrt {r}}e^{i(0)/2}={\sqrt {r}};}$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$ ${\displaystyle z=-2i}$ ${\displaystyle \varphi =-\pi /2}$ $${\displaystyle {\sqrt {-2i}}={\sqrt {2e^{i\varphi }}}={\sqrt {2}}e^{i\varphi /2}={\sqrt {2}}e^{i(-\pi /4)}=1-i}$$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:=\varphi +2\pi =3\pi /2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}e^{i{\tilde {\varphi }}/2}={\sqrt {2}}e^{i(3\pi /4)}=-1+i=-{\sqrt {-2i}}.}$

Основная функция квадратного корня голоморфна всюду, за исключением множества неположительных действительных чисел (на строго отрицательных действительных числах она даже не непрерывна ). Вышеуказанный ряд Тейлора для остается справедливым для комплексных чисел с ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<1.}$

Вышесказанное можно также выразить через тригонометрические функции : $${\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right).}$$

Алгебраическая формула

Квадратные корни из i

Когда число выражается с использованием его действительной и мнимой частей, для главного квадратного корня можно использовать следующую формулу: ^{[28] [29]}

$${\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}+x{\bigr )}}}+i\operatorname {sgn}(y){\sqrt {{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\sqrt {\textstyle x^{2}+y^{2}}}-x{\bigr )}}},}$$

где sgn( y ) = 1, если y ≥ 0 , и sgn( y ) = −1 в противном случае. ^[30] В частности, мнимые части исходного числа и главное значение его квадратного корня имеют одинаковый знак. Действительная часть главного значения квадратного корня всегда неотрицательна.

Например, главные квадратные корни ± i определяются по формуле:

$${\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}},\qquad {\sqrt {-i}}={\frac {1-i}{\sqrt {2}}}.}$$

Примечания

Далее комплекс z и w можно выразить как:

• ${\displaystyle z=|z|e^{i\theta _{z}}}$
• ${\displaystyle w=|w|e^{i\theta _{w}}}$

где и . ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}\leq \pi }$ ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}\leq \pi }$

Из-за прерывистого характера функции квадратного корня в комплексной плоскости следующие законы в общем случае неверны .

• ${\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 и w = −1
  Это равенство справедливо только тогда, когда ${\displaystyle -\pi <\theta _{z}+\theta _{w}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: w = 1 и z = −1
  Это равенство справедливо только тогда, когда ${\displaystyle -\pi <\theta _{w}-\theta _{z}\leq \pi }$
• ${\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}$
  Контрпример для главного квадратного корня: z = −1 )
  Это равенство справедливо только тогда, когда ${\displaystyle \theta _{z}\neq \pi }$

Аналогичная проблема возникает и с другими сложными функциями с ветвями, например, с комплексным логарифмом и соотношениями log z + log w = log( zw ) или log( z ^* ) = log( z ) ^{* ,} которые в общем случае неверны.

Ошибочное предположение одного из этих законов лежит в основе нескольких ошибочных «доказательств», например, следующего, показывающего, что −1 = 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}-1&=i\cdot i\\&={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\\&={\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\\&={\sqrt {1}}\\&=1.\end{aligned}}}$$

Третье равенство не может быть обосновано (см. недействительное доказательство ). ^{[31] : Глава VI, Раздел I, Подраздел 2 Заблуждение, что +1 = -1} Его можно заставить соблюдать, изменив значение √ так, чтобы оно больше не представляло главный квадратный корень (см. выше), а выбирало ветвь для квадратного корня, содержащего Левая часть становится либо , если ветвь включает + i , либо , если ветвь включает − i , в то время как правая часть становится , где последнее равенство является следствием выбора ветви при переопределении √ . ${\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {-1}}.}$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=(-i)\cdot (-i)=-1}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=-1,}$$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=-1,}$

нкорни и полиномиальные корни

Определение квадратного корня как числа такого, что было обобщено следующим образом. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=x}$

Кубический корень — это число , такое что ; оно обозначается ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{3}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}.}$

Если n — целое число, большее двух, то корень степени n — это число , такое что ; оно обозначается ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}.}$

Для любого многочлена p корень p — это число y такое, что p ( y ) = 0. Например, корни степени n из x являются корнями многочлена (по y ) ${\displaystyle y^{n}-x.}$

Теорема Абеля–Руффини утверждает, что в общем случае корни многочлена пятой степени или выше не могут быть выражены через корни n- й степени.

Квадратные корни матриц и операторов

Если A — положительно определенная матрица или оператор, то существует ровно одна положительно определенная матрица или оператор B с B ² = A ; тогда мы определяем A ^1/2 = B . В общем случае матрицы могут иметь несколько квадратных корней или даже бесконечное их количество. Например, единичная матрица 2 × 2 имеет бесконечное количество квадратных корней, ^[32] хотя только один из них положительно определен.

В целостных областях, включая поля

Каждый элемент области целостности имеет не более 2 квадратных корней. Тождество разности двух квадратов u ² − v ² = ( u − v )( u + v ) доказывается с помощью коммутативности умножения . Если u и v являются квадратными корнями одного и того же элемента, то u ² − v ² = 0 . Поскольку делителей нуля нет, это подразумевает u = v или u + v = 0 , где последнее означает, что два корня являются аддитивными обратными друг другу. Другими словами, если существует элемент a квадратный корень u элемента a , то единственными квадратными корнями a являются u и −u . Единственный квадратный корень из 0 в области целостности — это сам 0.

В поле характеристики  2 элемент либо имеет один квадратный корень, либо не имеет вообще, поскольку каждый элемент является своим собственным аддитивным обратным, так что − u = u . Если поле конечно характеристики 2, то каждый элемент имеет уникальный квадратный корень. В поле любой другой характеристики любой ненулевой элемент либо имеет два квадратных корня, как объяснено выше, либо не имеет ни одного.

Дано нечетное простое число p , пусть q = p ^e для некоторого положительного целого числа e . Ненулевой элемент поля F q с q элементами является квадратичным вычетом , если он имеет квадратный корень в F _q . В противном случае это квадратичный невычет. Существует ( q − 1)/2 квадратичных вычетов и ( q − 1)/2 квадратичных невычетов; ноль не учитывается ни в одном из классов. Квадратичные вычеты образуют группу относительно умножения. Свойства квадратичных вычетов широко используются в теории чисел .

В кольцах вообще

В отличие от целостной области, квадратный корень в произвольном (унитальном) кольце не обязательно должен быть уникальным с точностью до знака. Например, в кольце целых чисел по модулю 8 (которое коммутативно, но имеет делители нуля) элемент 1 имеет четыре различных квадратных корня: ±1 и ±3. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Другой пример — кольцо кватернионов , которое не имеет делителей нуля, но не является коммутативным. Здесь элемент −1 имеет бесконечно много квадратных корней , включая ± i , ± j и ± k . Фактически, множество квадратных корней −1 — это в точности ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$ $${\displaystyle \{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}.}$$

Квадратный корень из 0 равен либо 0, либо делителю нуля. Таким образом, в кольцах, где делителей нуля не существует, он однозначно равен 0. Однако кольца с делителями нуля могут иметь несколько квадратных корней из 0. Например, в любом кратном n есть квадратный корень из 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} ,}$

Геометрическое построение квадратного корня

Построение длины , учитывая и единичную длину ${\displaystyle x={\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

Спираль Феодора до треугольника с гипотенузой √ 17

Построение Джеем Хэмбиджем последовательных квадратных корней с использованием корневых прямоугольников

Квадратный корень из положительного числа обычно определяется как длина стороны квадрата , площадь которого равна данному числу. Но для этого форма квадрата не обязательна: если один из двух подобных плоских евклидовых объектов имеет площадь в a раз больше другого, то отношение их линейных размеров равно . ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Квадратный корень можно построить с помощью циркуля и линейки. В своих «Началах » Евклид ( около 300 г. до н. э.) дал построение геометрического среднего двух величин в двух разных местах: Предложение II.14 и Предложение VI.13. Поскольку геометрическое среднее a и b равно , можно построить, просто взяв b = 1 . ${\displaystyle {\sqrt {ab}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$

Эту конструкцию также приводит Декарт в своей «Геометрии» , см. рис. 2 на стр. 2. Однако Декарт не претендовал на оригинальность, и его аудитория, должно быть, была хорошо знакома с Евклидом.

Второе доказательство Евклида в Книге VI основано на теории подобных треугольников . Пусть AHB — отрезок прямой длиной a + b с AH = a и HB = b . Построим окружность с AB в качестве диаметра, и пусть C — одно из двух пересечений перпендикулярной хорды в точке H с окружностью, и обозначим длину CH как h . Затем, используя теорему Фалеса и, как в доказательстве теоремы Пифагора с помощью подобных треугольников , треугольник AHC подобен треугольнику CHB (как, впрочем, оба треугольника ACB, хотя нам это не нужно, но это суть доказательства теоремы Пифагора), так что AH:CH подобно HC:HB, т. е. a / h = h / b , из чего мы заключаем перекрестным умножением, что h ² = ab , и, наконец, что . Если отметить середину O отрезка AB и провести радиус OC длиной ( a + b )/2 , то очевидно, что OC > CH, т.е. (с равенством тогда и только тогда, когда a = b ), что является неравенством среднего арифметического и геометрического для двух переменных и, как отмечено выше, лежит в основе древнегреческого понимания «метода Герона». ${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$ ${\textstyle {\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}}$

Другой метод геометрического построения использует прямоугольные треугольники и индукцию : можно построить, и после построения, прямоугольный треугольник с катетами 1 и гипотенузой . Построение последовательных квадратных корней таким образом дает спираль Феодора, изображенную выше. ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}}$

Смотрите также

• Апотом (математика)
• Кубический корень
• Функциональный квадратный корень
• Целый квадратный корень
• Вложенный радикал
• Корень степени N
• Корень единства
• Решение квадратных уравнений с цепными дробями
• Задача на сумму квадратного корня
• Принцип квадратного корня
• Квантовый вентиль § Квадратный корень из вентиля НЕ (√НЕ)

Примечания

1. Гельфанд, стр. 120 Архивировано 2016-09-02 на Wayback Machine
2. "Квадраты и квадратные корни". www.mathsisfun.com . Получено 28.08.2020 .
3. Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик (2008). Первый курс комплексного анализа с приложениями (2-е изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Архивировано из оригинала 2016-09-01.Выдержка из страницы 78 Архивировано 01.09.2016 на Wayback Machine
4. Weisstein, Eric W. "Квадратный корень". mathworld.wolfram.com . Получено 28.08.2020 .
5. "Анализ YBC 7289". ubc.ca . Получено 19 января 2015 г. .
6. Anglin, WS (1994). Математика: краткая история и философия . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
7. Seidenberg, A. (1961). "Ритуальное происхождение геометрии". Архив History of Exact Sciences . 1 (5): 488–527. doi :10.1007/bf00327767. ISSN  0003-9519. S2CID  119992603. Seidenberg (стр. 501-505) предлагает: "Это различие между использованием и происхождением". [По аналогии] "КЕПЛЕРУ нужен был эллипс, чтобы описать пути планет вокруг Солнца; он, однако, не изобрел эллипс, а использовал кривую, которая лежала около 2000 лет". Таким образом, Seidenberg утверждает: "Хотя дата рукописи или текста не может дать нам возраст практик, которые он раскрывает, тем не менее доказательства содержатся в рукописях". Зайденберг цитирует Тибо из 1875 года: «Что касается времени, в которое могли быть составлены Сульвасутры, невозможно дать более точную информацию, чем мы можем дать о дате Кальпасутр. Но каким бы ни был период, в течение которого Кальпасутры и Сульвасутры были составлены в той форме, в которой мы сейчас находимся, мы должны иметь в виду, что они дают лишь систематически организованное описание жертвенных обрядов, которые практиковались в течение долгих предшествующих эпох». Наконец, Зайденберг резюмирует: «В 1899 году Тибо рискнул назначить четвертый или третий век до нашей эры как самую позднюю возможную дату для составления Сульвасутр (понимается, что это относится к кодификации гораздо более древнего материала)».
8. Иосиф, гл.8.
9. Дутта, Бибхутибхусан (1931). «О происхождении индуистских терминов для «корня»». The American Mathematical Monthly . 38 (7): 371–376. doi :10.2307/2300909. JSTOR  2300909. Получено 30 марта 2024 г.
10. Синтия Дж. Хаффман; Скотт В. Туонг (2015). "Ancient Indian Rope Geometry in the Classroom - Approximating the Square Root of 2". www.maa.org . Получено 30 марта 2024 г. . Увеличьте меру на ее треть, а эту треть на ее собственную четвертую часть, за вычетом тридцать четвертой части этой четвертой части. Это значение с избытком особого количества.
11. JJ O'Connor; EF Robertson (ноябрь 2020 г.). "Apastamba". www.mathshistory.st-andrews.ac.uk . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 30 марта 2024 г. .
12. Хит, сэр Томас Л. (1908). Тринадцать книг «Начал», т. 3. Cambridge University Press. стр. 3.
13. Крейг Сморински (2007). История математики: Приложение (иллюстрированное, аннотированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 49. ISBN 978-0-387-75480-2.Выдержка из страницы 49
14. Брайан Э. Бланк; Стивен Джордж Кранц (2006). Исчисление: одна переменная, том 1 (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 71. ISBN 978-1-931914-59-8.Выдержка из страницы 71
15. Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (2011). История математики (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. стр. 51–53. ISBN 978-0470525487.
16. Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история (3-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. С. 14–15. ISBN 978-1441960528.
17. Даубен (2007), стр. 210.
18. "Развитие алгебры - 2". maths.org . Архивировано из оригинала 24 ноября 2014 года . Получено 19 января 2015 года .
19. Оукс, Джеффри А. (2012). Алгебраический символизм в средневековой арабской алгебре (PDF) (диссертация). Philosophica. стр. 36. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-12-03.
20. Мангель, Альберто (2006). «Сделано на бумаге: двойственная природа чисел и страницы». Жизнь чисел . Taric, SA ISBN 84-86882-14-1.
21. Паркхерст, Дэвид Ф. (2006). Введение в прикладную математику для наук об окружающей среде . Springer. С. 241. ISBN 9780387342283.
22. Солоу, Анита Э. (1993). Обучение через открытие: лабораторное руководство по исчислению. Cambridge University Press. С. 48. ISBN 9780883850831.
23. Эйткен, Майк; Бродхерст, Билл; Хладкий, Стивен (2009). Математика для биологов. Garland Science. стр. 41. ISBN 978-1-136-84393-8. Архивировано из оригинала 2017-03-01.Выдержка из страницы 41 Архивировано 01.03.2017 на Wayback Machine
24. Хит, сэр Томас Л. (1921). История греческой математики, т. 2. Оксфорд: Clarendon Press. С. 323–324.
25. Мюллер, Жан-Мик (2006). Элементарные функции: алгоритмы и реализация. Springer. С. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Глава 5, стр. 92 Архивировано 01.09.2016 в Wayback Machine
26. "Function sqrt". CPlusPlus.com . Сеть ресурсов C++. 2016. Архивировано из оригинала 22 ноября 2012 г. Получено 24 июня 2016 г.
27. Оверленд, Брайан (2013). C++ для нетерпеливых. Addison-Wesley. стр. 338. ISBN 9780133257120. OCLC  850705706. Архивировано из оригинала 1 сентября 2016 г. Получено 24 июня 2016 г.
28. Абрамовиц, Милтон; Стиган, Ирен А. (1964). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами. Courier Dover Publications. стр. 17. ISBN 0-486-61272-4. Архивировано из оригинала 2016-04-23., Раздел 3.7.27, стр. 17 Архивировано 10.09.2009 на Wayback Machine
29. Кук, Роджер (2008). Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование. John Wiley and Sons. стр. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. Архивировано из оригинала 2016-04-23.
30. Эта знаковая функция отличается от обычной знаковой функции своим значением в 0 .
31. Максвелл, EA (1959). Заблуждения в математике. Cambridge University Press. ISBN 9780511569739.
32. Митчелл, Дуглас У., «Использование пифагорейских троек для генерации квадратных корней из I ₂ », Mathematical Gazette 87, ноябрь 2003 г., 499–500.

Ссылки

• Добен, Джозеф В. (2007). «Китайская математика I». В Katz, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама. Принстон: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Гельфанд, Израиль М. ; Шен, Александр (1993). Алгебра (3-е изд.). Биркхойзер. п. 120. ИСБН 0-8176-3677-3.
• Джозеф, Джордж (2000). Гребень павлина. Принстон: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
• Смит, Дэвид (1958). История математики . Том 2. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Селин, Хелайн (2008), Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах, Springer, Bibcode :2008ehst.book.....S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

Внешние ссылки

• Алгоритмы, реализации и многое другое – веб-страница Пола Шея о квадратных корнях
• Как вручную найти квадратный корень
• Избранная колонка AMS, «Арифметика Галилея» Тони Филипса – включает раздел о том, как Галилей находил квадратные корни