Конформная теория поля

Квантовая теория поля, обладающая конформной симметрией

Конформная теория поля ( КТП ) — это квантовая теория поля , которая инвариантна относительно конформных преобразований . В двух измерениях существует бесконечномерная алгебра локальных конформных преобразований, и конформные теории поля иногда могут быть точно решены или классифицированы.

Конформная теория поля имеет важные приложения ^[1] к физике конденсированного состояния , статистической механике , квантовой статистической механике и теории струн . Статистические и конденсированные системы действительно часто конформно инвариантны в своих термодинамических или квантовых критических точках .

Масштабная инвариантность против конформной инвариантности

В квантовой теории поля масштабная инвариантность является общей и естественной симметрией, поскольку любая фиксированная точка группы перенормировки по определению масштабно инвариантна. Конформная симметрия сильнее масштабной инвариантности, и нужны дополнительные предположения ^[2] , чтобы утверждать, что она должна появляться в природе. Основная идея, лежащая в основе ее правдоподобия, заключается в том, что локальные масштабно инвариантные теории имеют свои токи, заданные как , где — вектор Киллинга , а — сохраняющийся оператор (тензор напряжения) размерности ровно . Для того чтобы связанные симметрии включали масштабные, но не конформные преобразования, след должен быть ненулевой полной производной, подразумевающей, что существует несохраняющийся оператор размерности ровно . ${\displaystyle T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$ ${\displaystyle d-1}$

При некоторых предположениях можно полностью исключить этот тип неперенормировки и, следовательно, доказать, что масштабная инвариантность подразумевает конформную инвариантность в квантовой теории поля, например, в унитарных компактных конформных теориях поля в двух измерениях.

Хотя квантовая теория поля может быть масштабно-инвариантной, но не конформно-инвариантной, примеры этого редки. ^[3] По этой причине эти термины часто используются взаимозаменяемо в контексте квантовой теории поля.

Два измерения против большего количества измерений

Число независимых конформных преобразований бесконечно в двух измерениях и конечно в более высоких измерениях. Это делает конформную симметрию гораздо более ограничительной в двух измерениях. ^{[ необходимо разъяснение ]} Все конформные теории поля разделяют идеи и методы конформного бутстрапа . Но полученные уравнения более эффективны в двух измерениях, где они иногда точно решаемы (например, в случае минимальных моделей ), в отличие от более высоких измерений, где доминируют численные подходы.

Развитие конформной теории поля началось раньше и стало более глубоким в двумерном случае, в частности, после статьи Белавина, Полякова и Замолодчикова 1983 года. ^[4] Термин конформная теория поля иногда использовался в значении двумерной конформной теории поля , как в названии учебника 1997 года. ^[5] Конформные теории поля более высоких размерностей стали более популярными с появлением AdS/CFT-соответствия в конце 1990-х годов и развитием численных методов конформной загрузки в 2000-х годах.

Глобальная и локальная конформная симметрия в двух измерениях

Глобальная конформная группа сферы Римана — это группа преобразований Мёбиуса , которая является конечномерной. С другой стороны, бесконечно малые конформные преобразования образуют бесконечномерную алгебру Витта : конформные уравнения Киллинга в двух измерениях сводятся к уравнениям Коши-Римана, бесконечность мод произвольных аналитических преобразований координат приводит к бесконечности векторных полей Киллинга . ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~}$ ${\displaystyle \partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})}$ ${\displaystyle \xi (z)}$ ${\displaystyle z^{n}\partial _{z}}$

Строго говоря, двумерная конформная теория поля может быть локальной (в смысле наличия тензора напряжения), при этом демонстрируя инвариантность только относительно глобального . Это оказывается уникальным для неунитарных теорий; примером является бигармонический скаляр. ^[6] Это свойство следует рассматривать как даже более специальное, чем масштаб без конформной инвариантности, поскольку оно требует, чтобы оно было полной второй производной. ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

Глобальная конформная симметрия в двух измерениях является частным случаем конформной симметрии в более высоких измерениях и изучается с помощью тех же методов. Это делается не только в теориях, которые имеют глобальную, но не локальную конформную симметрию, но также и в теориях, которые имеют локальную конформную симметрию, с целью проверки методов или идей из более многомерной CFT. В частности, методы численного бутстрапа можно проверить, применив их к минимальным моделям и сравнив результаты с известными аналитическими результатами, которые следуют из локальной конформной симметрии.

Конформные теории поля с алгеброй симметрии Вирасоро

В конформно-инвариантной двумерной квантовой теории алгебра Витта бесконечно малых конформных преобразований должна быть центрально расширена . Таким образом, квантовая алгебра симметрии — это алгебра Вирасоро , которая зависит от числа, называемого центральным зарядом . Это центральное расширение также можно понимать в терминах конформной аномалии .

Александр Замолодчиков показал , что существует функция, которая монотонно убывает под действием потока ренормгруппы двумерной квантовой теории поля и равна центральному заряду для двумерной конформной теории поля. Это известно как C-теорема Замолодчикова и говорит нам, что поток ренормгруппы в двух измерениях необратим. ^[7]

Помимо того, что она является центрально расширенной, алгебра симметрии конформно-инвариантной квантовой теории должна быть комплексифицирована, что приводит к двум копиям алгебры Вирасоро. В евклидовой CFT эти копии называются голоморфными и антиголоморфными. В лоренцевой CFT они называются лево-движущимися и право-движущимися. Обе копии имеют одинаковый центральный заряд.

Пространство состояний теории является представлением произведения двух алгебр Вирасоро. Это пространство является гильбертовым пространством , если теория унитарна. Это пространство может содержать вакуумное состояние или, в статистической механике, тепловое состояние. Если только центральный заряд не обращается в нуль, не может существовать состояние, которое оставляет всю бесконечномерную конформную симметрию ненарушенной. Лучшее, что мы можем иметь, — это состояние, которое инвариантно относительно генераторов алгебры Вирасоро, базисом которой является . Оно содержит генераторы глобальных конформных преобразований. Остальная часть конформной группы спонтанно нарушена. ${\displaystyle L_{n\geq -1}}$ ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}$

Конформная симметрия

Определение и якобиан

Для заданного пространства-времени и метрики конформное преобразование — это преобразование, сохраняющее углы. Мы сосредоточимся на конформных преобразованиях плоского -мерного евклидова пространства или пространства Минковского . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1}}$

Если — конформное преобразование, то якобиан имеет вид ${\displaystyle x\to f(x)}$ ${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}}$

${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),}$

где — масштабный коэффициент, а — поворот (т.е. ортогональная матрица) или преобразование Лоренца. ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle R_{\nu }^{\mu }(x)}$

Конформная группа

Конформная группа локально изоморфна (евклидовой) или (минковской). Это включает в себя переносы, вращения (евклидовы) или преобразования Лоренца (минковской), а также растяжения, т.е. масштабные преобразования ${\displaystyle SO(1,d+1)}$ ${\displaystyle SO(2,d)}$

${\displaystyle x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.}$

Это также включает специальные конформные преобразования. Для любого перевода существует специальное конформное преобразование ${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$

${\displaystyle S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,}$

где инверсия такая, что ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.}$

В сфере инверсия меняется на . Трансляции оставляют неподвижными, а специальные конформные преобразования оставляют неподвижными. ${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle 0}$

Конформная алгебра

Коммутационные соотношения соответствующей алгебры Ли имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

где генерирует трансляции , генерирует дилатации, генерирует специальные конформные преобразования и генерирует вращения или преобразования Лоренца. Тензор — это плоская метрика. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Глобальные проблемы в пространстве Минковского

В пространстве Минковского конформная группа не сохраняет причинность . Такие наблюдаемые, как корреляционные функции, инвариантны относительно конформной алгебры, но не относительно конформной группы. Как показали Люшер и Мак, можно восстановить инвариантность относительно конформной группы, расширив плоское пространство Минковского до лоренцева цилиндра. ^[8] Исходное пространство Минковского конформно эквивалентно области цилиндра, называемой пятном Пуанкаре. В цилиндре глобальные конформные преобразования не нарушают причинность: вместо этого они могут перемещать точки за пределы пятна Пуанкаре.

Корреляционные функции и конформный бутстрап

В подходе конформного бутстрапа конформная теория поля представляет собой набор корреляционных функций, которые подчиняются ряду аксиом.

Функция корреляции точек является функцией позиций и других параметров полей . В подходе бутстрапа сами поля имеют смысл только в контексте функций корреляции и могут рассматриваться как эффективные обозначения для записи аксиом для функций корреляции. Функции корреляции линейно зависят от полей, в частности . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle O_{1},\dots ,O_{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle }$

Мы фокусируемся на CFT на евклидовом пространстве . В этом случае корреляционные функции являются функциями Швингера . Они определены для и не зависят от порядка полей. В пространстве Минковского корреляционные функции являются функциями Вайтмана . Они могут зависеть от порядка полей, поскольку поля коммутируют, только если они пространственноподобно разделены. Евклидова CFT может быть связана с CFT Минковского поворотом Вика , например, благодаря теореме Остервальдера-Шрадера . В таких случаях корреляционные функции Минковского получаются из евклидовых корреляционных функций с помощью аналитического продолжения, которое зависит от порядка полей. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$

Поведение при конформных преобразованиях

Любое конформное преобразование действует линейно на поля , так что является представлением конформной группы, а корреляционные функции инвариантны: ${\displaystyle x\to f(x)}$ ${\displaystyle O(x)\to \pi _{f}(O)(x)}$ ${\displaystyle f\to \pi _{f}}$

${\displaystyle \left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

Первичные поля — это поля, которые преобразуются в себя посредством . Поведение первичного поля характеризуется числом, называемым его конформной размерностью , и представлением вращения или группы Лоренца. Для первичного поля мы тогда имеем ${\displaystyle \pi _{f}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{where}}\ x'=f^{-1}(x).}$

Здесь и — масштабный коэффициент и поворот, связанные с конформным преобразованием . Представление тривиально в случае скалярных полей, которые преобразуются как . Для векторных полей представление является фундаментальным представлением, и мы будем иметь . ${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')}$

Первичное поле, характеризующееся конформной размерностью и представлением, ведет себя как вектор с наибольшим весом в индуцированном представлении конформной группы из подгруппы, порожденной дилатациями и вращениями. В частности, конформная размерность характеризует представление подгруппы дилатаций. В двух измерениях тот факт, что это индуцированное представление является модулем Верма, появляется во всей литературе. Для более многомерных ККТ (в которых максимально компактная подалгебра больше подалгебры Картана ) недавно было признано, что это представление является параболическим или обобщенным модулем Верма . ^[9] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Delta }$

Производные (любого порядка) первичных полей называются полями-потомками . Их поведение при конформных преобразованиях более сложно. Например, если — первичное поле, то — линейная комбинация и . Корреляционные функции полей-потомков могут быть выведены из корреляционных функций первичных полей. Однако даже в общем случае, когда все поля являются либо первичными, либо их потомками, поля-потомки играют важную роль, поскольку конформные блоки и операторные разложения произведений включают суммы по всем полям-потомкам. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }O}$ ${\displaystyle O}$

Совокупность всех первичных полей , характеризующихся их масштабными размерностями и представлениями , называется спектром теории. ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle \Delta _{p}}$ ${\displaystyle \rho _{p}}$

Зависимость от полевых позиций

Инвариантность корреляционных функций относительно конформных преобразований жестко ограничивает их зависимость от положений поля. В случае двух- и трехточечных функций эта зависимость определяется с точностью до конечного числа постоянных коэффициентов. Более высокоточечные функции имеют большую свободу и определяются только с точностью до функций конформно-инвариантных комбинаций положений.

Двухточечная функция двух первичных полей обращается в нуль, если их конформные размерности различаются.

${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.}$

Если оператор расширения диагонализуем (т.е. если теория не логарифмическая), то существует базис первичных полей такой, что двухточечные функции диагональны, т.е. В этом случае двухточечная функция скалярного первичного поля равна ^[10] ${\displaystyle i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

где мы выбираем нормализацию поля так, что постоянный коэффициент, который не определяется конформной симметрией, равен единице. Аналогично, двухточечные функции нескалярных первичных полей определяются с точностью до коэффициента, который можно установить равным единице. В случае симметричного бесследового тензора ранга двухточечная функция равна ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

где тензор определяется как ${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)}$

${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.}$

Трехточечная функция трех скалярных первичных полей имеет вид

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

где , а — трехточечная структурная константа . С первичными полями, которые не обязательно являются скалярами, конформная симметрия допускает конечное число тензорных структур, и для каждой тензорной структуры существует структурная константа. В случае двух скалярных полей и симметричного бесследового тензора ранга существует только одна тензорная структура, а трехточечная функция равна ${\displaystyle x_{ij}=x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle C_{123}}$ ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

где мы вводим вектор

${\displaystyle V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

Четырехточечные функции скалярных первичных полей определяются с точностью до произвольных функций двух перекрестных отношений ${\displaystyle g(u,v)}$

${\displaystyle u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

Тогда четырехточечная функция равна ^[11]

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).}$

Расширение продукта оператора

Операторное разложение продукта (OPE) более мощно в конформной теории поля, чем в более общих квантовых теориях поля. Это происходит потому, что в конформной теории поля радиус сходимости операторного разложения продукта конечен (т.е. он не равен нулю). ^[12] При условии, что позиции двух полей достаточно близки, операторное разложение продукта переписывает произведение этих двух полей как линейную комбинацию полей в заданной точке, которую можно выбрать для технического удобства. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

Операторное расширение произведения двух полей принимает вид

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

где — некоторая коэффициентная функция, а сумма в принципе пробегает все поля в теории. (Эквивалентно, по соответствию состояние-поле, сумма пробегает все состояния в пространстве состояний.) Некоторые поля могут фактически отсутствовать, в частности, из-за ограничений симметрии: конформной симметрии или дополнительных симметрий. ${\displaystyle c_{12k}(x)}$

Если все поля являются первичными или дочерними, то сумму по полям можно свести к сумме по первичным полям, переписав вклады любого потомка через вклад соответствующего первичного поля:

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),}$

где все поля являются первичными, а — трехточечная структурная константа (которая по этой причине также называется коэффициентом OPE ). Дифференциальный оператор — это бесконечный ряд по производным, который определяется конформной симметрией и, следовательно, в принципе известен. ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle C_{12p}}$ ${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Рассмотрение OPE как отношения между корреляционными функциями показывает, что OPE должно быть ассоциативным. Более того, если пространство евклидово, OPE должно быть коммутативным, поскольку корреляционные функции не зависят от порядка полей, т. е . . ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})}$

Существование операторного расширения продукта является фундаментальной аксиомой конформного бутстрапа. Однако, как правило, нет необходимости вычислять операторные расширения продукта и, в частности, дифференциальные операторы . Скорее, требуется разложение корреляционных функций на структурные константы и конформные блоки. OPE в принципе может использоваться для вычисления конформных блоков, но на практике существуют более эффективные методы. ${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$

Конформные блоки и перекрестная симметрия

Используя OPE , четырехточечную функцию можно записать как комбинацию трехточечных структурных констант и конформных блоков s-канала , ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).}$

Конформный блок представляет собой сумму вкладов первичного поля и его потомков. Он зависит от полей и их положений. Если трехточечные функции или включают несколько независимых тензорных структур, структурные константы и конформные блоки зависят от этих тензорных структур, а первичное поле вносит вклад в несколько независимых блоков. Конформные блоки определяются конформной симметрией и известны в принципе. Для их вычисления существуют рекурсивные соотношения ^[9] и интегрируемые методы. ^[13] ${\displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})}$ ${\displaystyle O_{p}}$ ${\displaystyle O_{i}}$ ${\displaystyle \left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$ ${\displaystyle O_{p}}$

Используя OPE или , та же четырехточечная функция записывается в терминах конформных блоков t-канала или конформных блоков u-канала , ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})}$ ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

Равенство разложений по s-, t- и u-каналам называется перекрестной симметрией : ограничением на спектр первичных полей и на константы трехточечной структуры.

Конформные блоки подчиняются тем же ограничениям конформной симметрии, что и четырехточечные функции. В частности, конформные блоки s-канала можно записать в терминах функций перекрестных отношений. В то время как OPE сходится только если , конформные блоки можно аналитически продолжить до всех (не совпадающих попарно) значений позиций. В евклидовом пространстве конформные блоки являются однозначными вещественно-аналитическими функциями позиций, за исключением случая, когда четыре точки лежат на окружности, но в однократно транспонированном циклическом порядке [1324], и только в этих исключительных случаях разложение на конформные блоки не сходится. ${\displaystyle g_{p}^{(s)}(u,v)}$ ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$ ${\displaystyle |x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)}$ ${\displaystyle x_{i}}$

Конформная теория поля в плоском евклидовом пространстве , таким образом, определяется ее спектром и коэффициентами OPE (или константами трехточечной структуры) , удовлетворяя ограничению, что все четырехточечные функции являются кросс-симметричными. Из спектра и коэффициентов OPE (совместно именуемых данными CFT ) можно вычислить корреляционные функции произвольного порядка. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \{(\Delta _{p},\rho _{p})\}}$ ${\displaystyle \{C_{pp'p''}\}}$

Функции

Унитарность

Конформная теория поля является унитарной, если ее пространство состояний имеет положительно определенное скалярное произведение , такое что оператор растяжения является самосопряженным. Тогда скалярное произведение наделяет пространство состояний структурой гильбертова пространства .

В евклидовых конформных теориях поля унитарность эквивалентна положительности отражения корреляционных функций: одна из аксиом Остервальдера-Шрадера . ^[11]

Унитарность подразумевает, что конформные измерения первичных полей являются действительными и ограниченными снизу. Нижняя граница зависит от размерности пространства-времени и от представления вращения или группы Лоренца, в которой преобразуется первичное поле. Для скалярных полей граница унитарности равна ^[11] ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).}$

В унитарной теории константы трехточечной структуры должны быть действительными, что в свою очередь подразумевает, что четырехточечные функции подчиняются определенным неравенствам. Мощные числовые методы бутстрапа основаны на использовании этих неравенств.

Компактность

Конформная теория поля компактна , если она подчиняется трем условиям: ^[14]

• Все конформные измерения реальны.
• Для любого существует конечное число состояний, размерность которых меньше . ${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Существует уникальное состояние с размерностью , и это состояние вакуума , т.е. соответствующее поле является полем тождества . ${\displaystyle \Delta =0}$

(Поле тождественности — это поле, включение которого в корреляционные функции не изменяет их, т.е. .) Название происходит от того факта, что если двумерная конформная теория поля также является сигма-моделью , она будет удовлетворять этим условиям тогда и только тогда, когда ее целевое пространство компактно. ${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle }$

Считается, что все унитарные конформные теории поля компактны в размерности . С другой стороны, без унитарности можно найти ККТ в размерности четыре ^[15] и в размерности ^[16] , которые имеют непрерывный спектр. А в размерности два теория Лиувилля унитарна, но не компактна. ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 4-\epsilon }$

Дополнительные симметрии

Конформная теория поля может иметь дополнительные симметрии в дополнение к конформной симметрии. Например, модель Изинга имеет симметрию, а суперконформные теории поля имеют суперсимметрию. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Примеры

Теория среднего поля

Обобщенное свободное поле — это поле, корреляционные функции которого выводятся из его двухточечной функции по теореме Вика . Например, если — скалярное первичное поле размерности , его четырехточечная функция имеет вид ^[17] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.}$

Например, если есть два скалярных первичных поля, такие что (что имеет место, в частности, если ), то мы имеем четырехточечную функцию ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$ ${\displaystyle \langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0}$ ${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}}$

${\displaystyle {\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.}$

Теория среднего поля — это общее название для конформных теорий поля, которые строятся из обобщенных свободных полей. Например, теория среднего поля может быть построена из одного скалярного первичного поля . Тогда эта теория содержит , его поля-потомки и поля, которые появляются в OPE . Первичные поля, которые появляются в , могут быть определены путем разложения четырехточечной функции на конформные блоки: ^[17] их конформные размерности принадлежат : в теории среднего поля конформная размерность сохраняется по модулю целых чисел. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \phi }$ ${\displaystyle \phi \phi }$ ${\displaystyle \langle \phi \phi \phi \phi \rangle }$ ${\displaystyle 2\Delta +2\mathbb {N} }$

Аналогично, можно построить теории среднего поля, начиная с поля с нетривиальным спином Лоренца. Например, 4d теория Максвелла (в отсутствие полей заряженной материи) является теорией среднего поля, построенной из антисимметричного тензорного поля с масштабной размерностью . ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \Delta =2}$

Теории среднего поля имеют лагранжево описание в терминах квадратичного действия, включающего лапласиан, возведенный в произвольную действительную степень (которая определяет масштабную размерность поля). Для общей масштабной размерности степень лапласиана нецелая. Соответствующая теория среднего поля тогда нелокальна (например, она не имеет сохраняющегося оператора тензора напряжений). ^{[ необходима цитата ]}

Критическая модель Изинга

Критическая модель Изинга — это критическая точка модели Изинга на гиперкубической решетке в двух или трех измерениях. Она имеет глобальную симметрию, соответствующую перевороту всех спинов. Двумерная критическая модель Изинга включает минимальную модель Вирасоро , которая может быть решена точно. В размерностях нет ККТ Изинга . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,3)}$ ${\displaystyle d\geq 4}$

Критическая модель Поттса

Критическая модель Поттса с цветами — это унитарная ККТ, инвариантная относительно группы перестановок . Она является обобщением критической модели Изинга, которая соответствует . Критическая модель Поттса существует в диапазоне размерностей в зависимости от . ${\displaystyle q=2,3,4,\cdots }$ ${\displaystyle S_{q}}$ ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle q}$

Критическая модель Поттса может быть построена как континуальный предел модели Поттса на d -мерной гиперкубической решетке. В переформулировке Фортуина-Кастелейна в терминах кластеров модель Поттса может быть определена для , но она не является унитарной, если не является целым числом. ${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle q}$

Критическая модель O(N)

Критическая модель O(N) является инвариантной CFT относительно ортогональной группы . Для любого целого числа она существует как взаимодействующая, унитарная и компактная CFT в размерностях (и для также в двух измерениях). Она является обобщением критической модели Изинга, которая соответствует O(N) CFT при . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle N=1}$

O(N) CFT может быть построена как континуальный предел решетчатой ​​модели со спинами, которые являются N -векторами, обсуждаемыми здесь .

В качестве альтернативы, критическая модель может быть построена как предел неподвижной точки Уилсона-Фишера в размерностях. При неподвижная точка Уилсона-Фишера становится тензорным произведением свободных скаляров с размерностью . Поскольку рассматриваемая модель неунитарна. ^[18] ${\displaystyle O(N)}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 1}$ ${\displaystyle d=4-\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Delta =1}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$

При большом N модель O(N) может быть решена пертурбативно в расширении 1/N с помощью преобразования Хаббарда–Стратоновича . В частности, предел критической модели O(N) хорошо изучен. ${\displaystyle N\to \infty }$

Конформные калибровочные теории

Некоторые конформные теории поля в трех и четырех измерениях допускают лагранжево описание в форме калибровочной теории , как абелевой, так и неабелевой. Примерами таких ККТ являются конформная КЭД с достаточным количеством заряженных полей в или фиксированная точка Бэнкса-Закса в . ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle d=4}$

Приложения

Непрерывные фазовые переходы

Непрерывные фазовые переходы (критические точки) классических систем статистической физики с D пространственными измерениями часто описываются евклидовыми конформными теориями поля. Необходимым условием для этого является то, что критическая точка должна быть инвариантной относительно пространственных вращений и трансляций. Однако это условие недостаточно: некоторые исключительные критические точки описываются масштабно-инвариантными, но не конформно-инвариантными теориями. Если классическая система статистической физики является отражательно-положительной, соответствующая евклидова CFT, описывающая ее критическую точку, будет унитарной.

Непрерывные квантовые фазовые переходы в системах конденсированных сред с D пространственными измерениями могут быть описаны лоренцевскими D+1 размерными конформными теориями поля (связанными вращением Вика с евклидовыми CFT в D+1 измерениях). Помимо инвариантности относительно трансляции и вращения, дополнительным необходимым условием для этого является то, что динамический критический показатель z должен быть равен 1. CFT, описывающие такие квантовые фазовые переходы (в отсутствие подавленного беспорядка), всегда унитарны.

Теория струн

Описание теории струн на мировом листе включает двумерную ККТ, связанную с динамической двумерной квантовой гравитацией (или супергравитацией в случае теории суперструн). Согласованность моделей теории струн накладывает ограничения на центральный заряд этой ККТ, который должен быть c=26 в теории бозонных струн и c=10 в теории суперструн. Координаты пространства-времени, в котором живет теория струн, соответствуют бозонным полям этой ККТ.

Соответствие AdS/CFT

Конформные теории поля играют важную роль в соответствии AdS/CFT , в котором гравитационная теория в анти-де-ситтеровском пространстве (AdS) эквивалентна конформной теории поля на границе AdS. Известными примерами являются d  = 4, N = 4 суперсимметричная теория Янга–Миллса , которая дуальна струнной теории типа IIB на AdS ₅  × S ⁵ , и d  = 3, N  = 6 супер- теория Черна–Саймонса , которая дуальна М-теории на AdS ₄  × S ⁷ . (Префикс «супер» обозначает суперсимметрию , N обозначает степень расширенной суперсимметрии, которой обладает теория, а d — число измерений пространства-времени на границе.)

Смотрите также

• Логарифмическая конформная теория поля
• Соответствие AdS/CFT
• Расширение продукта оператора
• Критическая точка
• Граничная конформная теория поля
• Основное поле
• Суперконформная алгебра
• Конформная алгебра
• Конформный бутстрап
• История конформной теории поля

Ссылки

1. Пол Гинспарг (1989), Прикладная конформная теория поля . arXiv : hep-th/9108028. Опубликовано в Ecole d'Eté de Physique Théorique: Champs, cordes et phénomènes critiques/Поля, струны и критические явления (Les Houches), изд. Э. Брезин и Дж . Зинн-Джастин , Elsevier Science Publishers BV
2. Полчински, Джозеф (1988). «Масштабная и конформная инвариантность в квантовой теории поля». Nuclear Physics B. 303 ( 2). Elsevier BV: 226–236. Bibcode : 1988NuPhB.303..226P. doi : 10.1016/0550-3213(88)90179-4. ISSN  0550-3213.
3. Одним из физических примеров является теория упругости в двух и трех измерениях (также известная как теория векторного поля без калибровочной инвариантности). См. Riva V, Cardy J (2005). "Scale and conformal in field theory: a physical counteremple". Phys. Lett. B . 622 (3–4): 339–342. arXiv : hep-th/0504197 . Bibcode :2005PhLB..622..339R. doi :10.1016/j.physletb.2005.07.010. S2CID  119175109.
4. Белавин, АА; Поляков, А.М.; Замолодчиков, А.Б. (1984). "Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля" (PDF) . Nuclear Physics B . 241 (2): 333–380. Bibcode :1984NuPhB.241..333B. doi :10.1016/0550-3213(84)90052-X. ISSN  0550-3213.
5. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN 0-387-94785-X 
6. MA Rajabpour (2011). "Конформная симметрия в нелокальных теориях поля". JHEP . 06 (76): 76. arXiv : 1103.3625 . Bibcode :2011JHEP...06..076R. doi :10.1007/JHEP06(2011)076. S2CID  118397215.
7. Замолодчиков, AB (1986). ""Необратимость" потока ренормгруппы в двумерной теории поля" (PDF) . Письма в ЖЭТФ . 43 : 730–732. Bibcode :1986JETPL..43..730Z. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-03-26 . Получено 2021-05-03 .
8. Люшер, М.; Мак, Г. (1975). «Глобальная конформная инвариантность в квантовой теории поля». Communications in Mathematical Physics . 41 (3): 203–234. Bibcode :1975CMaPh..41..203L. doi :10.1007/BF01608988. ISSN  0010-3616. S2CID  120910626.
9. Пенедонес, Жуан; Тревизани, Эмилио; Ямазаки, Масахито (2016). «Рекурсивные соотношения для конформных блоков». Журнал физики высоких энергий . 2016 (9): 70. arXiv : 1509.00428 . Bibcode :2016JHEP...09..070P. doi : 10.1007/JHEP09(2016)070 . ISSN  1029-8479.
10. Франческо, Филипп (1997). Конформная теория поля. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. стр. 104. ISBN 978-1-4612-2256-9.
11. Poland, David; Rychkov, Slava; Vichi, Alessandro (2019). «Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения». Reviews of Modern Physics . 91 (1): 15002. arXiv : 1805.04405 . Bibcode : 2019RvMP...91a5002P. doi : 10.1103/RevModPhys.91.015002. ISSN  0034-6861. S2CID  119317682.
12. Паппадопуло, Дуччо; Рычков, Слава; Эспин, Джонни; Раттацци, Риккардо (31.08.2012). "Сходимость разложения операторного произведения в конформной теории поля". Physical Review D. 86 ( 10): 105043. arXiv : 1208.6449v3 . Bibcode : 2012PhRvD..86j5043P. doi : 10.1103/PhysRevD.86.105043. S2CID  119155687.
13. Исаченков, Михаил; Шомерус, Волкер (2018). "Интегрируемость конформных блоков. Часть I. Теория рассеяния Калоджеро-Сазерленда". Журнал физики высоких энергий . 2018 (7): 180. arXiv : 1711.06609 . Bibcode : 2018JHEP...07..180I. doi : 10.1007/JHEP07(2018)180 . ISSN  1029-8479.
14. Биндер, Дэймон; Рычков, Слава (2020), «Категории Делиня в решеточных моделях и квантовой теории поля, или понимание симметрии O(N) с нецелым числом N», Журнал физики высоких энергий , 2020 (4): 117, arXiv : 1911.07895 , Bibcode : 2020JHEP...04..117B, doi : 10.1007/JHEP04(2020)117, S2CID  208158396
15. Леви, Т.; Оз, Й. (2018). «Лиувиллевские конформные теории поля в высших измерениях». JHEP . 1806 (6): 119. arXiv : 1804.02283 . Bibcode :2018JHEP...06..119L. doi :10.1007/JHEP06(2018)119. S2CID  119441506.
16. Цзи, Яо; Манашов, Александр Н (2018). «О смешивании операторов в фермионных ККТ в нецелочисленной размерности». Physical Review . D98 (10): 105001. arXiv : 1809.00021 . Bibcode :2018PhRvD..98j5001J. doi :10.1103/PhysRevD.98.105001. S2CID  59401427.
17. Fitzpatrick, A. Liam; Kaplan, Jared; Poland, David; Simmons-Duffin, David (2013). "Аналитический бутстрап и локальность супергоризонта AdS". Journal of High Energy Physics . 2013 (12): 004. arXiv : 1212.3616 . Bibcode :2013JHEP...12..004F. doi :10.1007/jhep12(2013)004. ISSN  1029-8479. S2CID  45739036.
18. Hogervorst, Matthijs; Rychkov, Slava; van Rees, Balt C. (2016-06-20). "Нарушение унитарности в фиксированной точке Вильсона-Фишера в 4 − ε измерениях". Physical Review D. 93 ( 12): 125025. arXiv : 1512.00013 . Bibcode : 2016PhRvD..93l5025H. doi : 10.1103/PhysRevD.93.125025. ISSN  2470-0010. S2CID  55817425.

Дальнейшее чтение

• Рычков, Слава (2016). "EPFL Lectures on Conformal Field Theory in D ≥ 3 Dimensions". SpringerBriefs in Physics . arXiv : 1601.05000 . doi :10.1007/978-3-319-43626-5. ISBN 978-3-319-43625-8. S2CID  119192484.
• Мартин Шоттенлохер, Математическое введение в конформную теорию поля , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, 1997. ISBN 3-540-61753-1 , 2-е издание 2008, ISBN 978-3-540-68625-5 .  

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Конформная теория поля на Wikimedia Commons