коэффициент Пуассона

Мера деформации материала перпендикулярно нагрузке

Коэффициент Пуассона материала определяет отношение поперечной деформации (направление x) к осевой деформации (направление y).

В материаловедении и механике твердого тела коэффициент Пуассона ( nu ) является мерой эффекта Пуассона , деформации (расширения или сжатия) материала в направлениях, перпендикулярных определенному направлению нагрузки . Значение коэффициента Пуассона является отрицательным значением отношения поперечной деформации к осевой деформации . Для небольших значений этих изменений величина поперечного удлинения делится на величину осевого сжатия . Большинство материалов имеют значения коэффициента Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Для мягких материалов, ^[1] таких как резина, у которых модуль объемной деформации намного выше модуля сдвига, коэффициент Пуассона составляет около 0,5. Для полимерных пенопластов с открытыми порами коэффициент Пуассона близок к нулю, поскольку ячейки имеют тенденцию разрушаться при сжатии. Многие типичные твердые вещества имеют коэффициент Пуассона в диапазоне 0,2–0,3. Соотношение названо в честь французского математика и физика Симеона Пуассона . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Источник

Коэффициент Пуассона — это мера эффекта Пуассона, явления, при котором материал имеет тенденцию расширяться в направлениях, перпендикулярных направлению сжатия. И наоборот, если материал растягивается, а не сжимается, он обычно имеет тенденцию сжиматься в направлениях, поперечных направлению растяжения. Обычное наблюдение: когда резинку растягивают, она становится заметно тоньше. Опять же, коэффициент Пуассона будет отношением относительного сжатия к относительному расширению и будет иметь то же значение, что и выше. В некоторых редких случаях ^[2] материал фактически сжимается в поперечном направлении при сжатии (или расширяется при растяжении), что приводит к отрицательному значению коэффициента Пуассона.

Коэффициент Пуассона стабильного, изотропного , линейно- эластичного материала должен находиться в диапазоне от -1,0 до +0,5 из-за требования, чтобы модуль Юнга , модуль сдвига и модуль объемного сжатия имели положительные значения. ^[3] Большинство материалов имеют коэффициент Пуассона в диапазоне от 0,0 до 0,5. Совершенно несжимаемый изотропный материал, упруго деформируемый при малых деформациях, будет иметь коэффициент Пуассона ровно 0,5. Большинство сталей и жестких полимеров при использовании в расчетных пределах (до предела текучести ) имеют значения около 0,3, увеличиваясь до 0,5 при деформации после текучести, которая происходит в основном при постоянном объеме. ^[4] Резина имеет коэффициент Пуассона около 0,5. Коэффициент Пуассона Корка близок к 0, демонстрируя очень небольшое поперечное расширение при сжатии, а коэффициент Пуассона составляет от 0,18 до 0,30. Некоторые материалы, например некоторые полимерные пенопласты, складки оригами, ^{[5] [6]} и некоторые ячейки, могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона и называются ауксетическими материалами . Если эти ауксетики растянуть в одном направлении, они станут толще в перпендикулярном направлении. Напротив, некоторые анизотропные материалы, такие как углеродные нанотрубки , сложенные листовые материалы на основе зигзага ^{[7] [8]} и сотовые ауксетические метаматериалы ^[9] , и это лишь некоторые из них, могут демонстрировать один или несколько коэффициентов Пуассона выше 0,5 в определенных направлениях.

Предполагая, что материал растягивается или сжимается только в одном направлении (ось X на диаграмме ниже):

${\displaystyle \nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}}$

где

• ${\displaystyle \nu }$- результирующий коэффициент Пуассона,
• ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {trans} }}$поперечная деформация
• ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {axial} }}$осевая деформация

и положительная деформация указывает на растяжение, а отрицательная деформация указывает на сокращение.

Коэффициент Пуассона от изменения геометрии

Изменение длины

Рисунок 1: Куб со сторонами длиной L из изотропного линейно упругого материала, подверженного растяжению вдоль оси x, с коэффициентом Пуассона 0,5. Зеленый куб не деформирован, красный расширяется в направлении x на Δ L из-за напряжения и сжимается в направлениях y и z на Δ L' .

Для куба, растянутого в направлении x (см. рисунок 1) с увеличением длины в направлении x и уменьшением длины в направлениях y и z , бесконечно малые диагональные деформации определяются выражением ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \Delta L'}$

${\displaystyle d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}}\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.}$

Если коэффициент Пуассона постоянен из-за деформации, интегрирование этих выражений и использование определения коэффициента Пуассона дает

${\displaystyle -\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.}$

Решение и возведение в степень, отношения между и тогда ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \Delta L'}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.}$

Для очень малых значений и приближение первого порядка дает: ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \Delta L'}$

${\displaystyle \nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.}$

Объемное изменение

Теперь можно рассчитать относительное изменение объема Δ V / V куба из-за растяжения материала. Использование и : ${\displaystyle V=L^{3}}$ ${\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1}$

Используя полученную выше связь между и : ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \Delta L'}$

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1}$

а для очень малых значений и приближение первого порядка дает: ${\displaystyle \Delta L}$ ${\displaystyle \Delta L'}$

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}}$

Для изотропных материалов можно использовать соотношение Ламе ^[10]

${\displaystyle \nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}}$

где – модуль объемного сжатия , – модуль Юнга . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Изменение ширины

Рисунок 2: Синий наклон представляет собой упрощенную формулу (верхняя в легенде), которая хорошо работает для умеренных деформаций ∆ L примерно до ±3. Зеленая кривая представляет собой формулу, лучше подходящую для более крупных деформаций.

Если стержень диаметром (или шириной, или толщиной) d и длиной L подвергнут растяжению так, что его длина изменится на Δ L , то его диаметр d изменится на:

${\displaystyle {\Delta d \over d}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}}$

Приведенная выше формула справедлива только в случае малых деформаций; если деформации большие, то можно использовать следующую (более точную) формулу:

${\displaystyle \Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)}$

где

• ${\displaystyle d}$исходный диаметр
• ${\displaystyle \Delta d}$изменение диаметра стержня
• ${\displaystyle \nu }$это коэффициент Пуассона
• ${\displaystyle L}$исходная длина до растяжения
• ${\displaystyle \Delta L}$это изменение длины.

Значение отрицательное, поскольку оно уменьшается с увеличением длины.

Характерные материалы

изотропный

Для линейного изотропного материала, подвергающегося только сжимающим (то есть нормальным) силам, деформация материала в направлении одной оси приведет к деформации материала вдоль другой оси в трех измерениях. Таким образом, можно обобщить закон Гука (для сжимающих сил) на три измерения:

${\displaystyle \varepsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]}$

${\displaystyle \varepsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{zz}\right)\right]}$

${\displaystyle \varepsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]}$

где:

• ${\displaystyle \varepsilon _{xx}}$, , и – деформации в направлении , и оси ${\displaystyle \varepsilon _{yy}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{zz}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \sigma _{xx}}$, , и – напряжения в направлении , и оси ${\displaystyle \sigma _{yy}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle E}$– модуль Юнга (одинаков во всех направлениях: , , и для изотропных материалов) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \nu }$– коэффициент Пуассона (одинаков во всех направлениях: , и для изотропных материалов) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

все эти уравнения могут быть синтезированы следующим образом:

${\displaystyle \varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

В самом общем случае касательные напряжения будут сохраняться так же, как и нормальные напряжения, а полное обобщение закона Гука дается формулой:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]}$

где находится дельта Кронекера . Обычно принимаются обозначения Эйнштейна : ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}}$

записать уравнение просто так:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]}$

Анизотропный

Для анизотропных материалов коэффициент Пуассона зависит от направления растяжения и поперечной деформации.

${\displaystyle \nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }}$

${\displaystyle E^{-1}(\mathbf {n} )=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }}$

Здесь – коэффициент Пуассона, – модуль Юнга , – единичный вектор, направленный вдоль направления растяжения, – единичный вектор, направленный перпендикулярно направлению растяжения. Коэффициент Пуассона имеет различное количество особых направлений в зависимости от типа анизотропии. ^{[11] [12]} ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} }$

ортотропный

Ортотропные материалы имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии в своих материальных свойствах. Примером может служить древесина, которая наиболее жесткая (и прочная) вдоль волокон и менее жесткая в других направлениях.

Тогда закон Гука можно выразить в матричной форме как ^{[13] [14]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

где

• ${\displaystyle E_{i}}$- модуль Юнга вдоль оси ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle G_{ij}}$- модуль сдвига по направлению в плоскости, нормаль которой лежит в направлении ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \nu _{ij}}$— это коэффициент Пуассона, который соответствует сжатию в направлении , когда расширение применяется в направлении . ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

Коэффициент Пуассона ортотропного материала различен в каждом направлении (x, y и z). Однако симметрия тензоров напряжений и деформаций подразумевает, что не все шесть коэффициентов Пуассона в уравнении независимы. Существует только девять независимых свойств материала: три модуля упругости, три модуля сдвига и три коэффициента Пуассона. Остальные три коэффициента Пуассона можно получить из соотношений

${\displaystyle {\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}~,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}~,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}}$

Из приведенных выше соотношений мы видим, что если то . Больший коэффициент Пуассона (в данном случае ) называется главным коэффициентом Пуассона , а меньший (в данном случае ) называется малым коэффициентом Пуассона . Аналогичные отношения мы можем найти и между другими коэффициентами Пуассона. ${\displaystyle E_{x}>E_{y}}$ ${\displaystyle \nu _{xy}>\nu _{yx}}$ ${\displaystyle \nu _{xy}}$ ${\displaystyle \nu _{yx}}$

Трансверсально изотропный

Трансверсально-изотропные материалы имеют плоскость изотропии , в которой упругие свойства изотропны. Если предположить, что эта плоскость изотропии равна , то закон Гука примет вид ^[15] ${\displaystyle y-z}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}$

где мы использовали плоскость изотропии для уменьшения числа констант, т. е. . ${\displaystyle y-z}$ ${\displaystyle E_{y}=E_{z},~\nu _{xy}=\nu _{xz},~\nu _{yx}=\nu _{zx}}$

Из симметрии тензоров напряжений и деформаций следует, что

${\displaystyle {\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}~,~~\nu _{yz}=\nu _{zy}~.}$

В результате у нас остается шесть независимых констант . Однако поперечная изотропия порождает дополнительное ограничение между и которое ${\displaystyle E_{x},E_{y},G_{xy},G_{yz},\nu _{xy},\nu _{yz}}$ ${\displaystyle G_{yz}}$ ${\displaystyle E_{y},\nu _{yz}}$

${\displaystyle G_{yz}={\frac {E_{y}}{2(1+\nu _{yz})}}~.}$

Таким образом, существует пять независимых свойств упругого материала, два из которых являются коэффициентами Пуассона. Для предполагаемой плоскости симметрии больший из и является основным коэффициентом Пуассона. Остальные основные и второстепенные коэффициенты Пуассона равны. ${\displaystyle \nu _{xy}}$ ${\displaystyle \nu _{yx}}$

Значения коэффициента Пуассона для разных материалов

Влияние добавок выбранных компонентов стекла на коэффициент Пуассона конкретного базового стекла. ^[16]

Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона

Некоторые материалы, известные как ауксетики , имеют отрицательный коэффициент Пуассона. При воздействии положительной деформации по продольной оси поперечная деформация материала фактически будет положительной (т. е. она увеличит площадь поперечного сечения). Для этих материалов это обычно происходит из-за уникально ориентированных шарнирных молекулярных связей. Чтобы эти связи могли растягиваться в продольном направлении, петли должны «открываться» в поперечном направлении, эффективно демонстрируя положительную деформацию. ^[19] Это также можно сделать структурированным образом и привести к новым аспектам в дизайне материалов, например, в отношении механических метаматериалов .

Исследования показали, что некоторые породы твердой древесины демонстрируют отрицательный коэффициент Пуассона исключительно во время испытания на ползучесть при сжатии . ^{[20] [21]} Первоначально испытание на ползучесть при сжатии показывает положительные коэффициенты Пуассона, но постепенно уменьшается, пока не достигнет отрицательных значений. Следовательно, это также показывает, что коэффициент Пуассона для древесины зависит от времени при постоянной нагрузке, а это означает, что деформации в осевом и поперечном направлениях не увеличиваются с одинаковой скоростью.

Среды с искусственно созданной микроструктурой могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона. В простом случае ауксетичность достигается удалением материала и созданием периодической пористой среды. ^[22] Решетки могут достигать более низких значений коэффициента Пуассона, ^[23] которые могут быть бесконечно близки к предельному значению -1 в изотропном случае. ^[24]

Более трехсот кристаллических материалов имеют отрицательный коэффициент Пуассона. ^{[25] [26] [27]} Например, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS и другие. ${\displaystyle _{2}}$

Функция Пуассона

При конечных деформациях взаимосвязь между поперечными и осевыми деформациями обычно плохо описывается коэффициентом Пуассона. Фактически, коэффициент Пуассона часто считают функцией приложенной деформации в режиме большой деформации. В таких случаях коэффициент Пуассона заменяется функцией Пуассона, для которой существует несколько конкурирующих определений. ^[28] Определение поперечного растяжения и осевого растяжения , где поперечное растяжение является функцией осевого растяжения (т. е. ), наиболее распространенными являются функции Хенки, Био, Грина и Альманси. ${\displaystyle \varepsilon _{\text{trans}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\text{axial}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{trans}}=\varepsilon _{\text{trans}}+1}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{axial}}=\varepsilon _{\text{axial}}+1}$ ${\displaystyle \lambda _{\text{trans}}=\lambda _{\text{trans}}(\lambda _{\text{axial}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[6pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[6pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}}$

Приложения эффекта Пуассона

Одной из областей, на которую эффект Пуассона оказывает значительное влияние, является поток в трубах под давлением. Когда воздух или жидкость внутри трубы находится под высоким давлением, они оказывают равномерное воздействие на внутреннюю часть трубы, что приводит к кольцевому напряжению в материале трубы. Из-за эффекта Пуассона это окружное напряжение приведет к увеличению диаметра трубы и небольшому уменьшению ее длины. Уменьшение длины, в частности, может оказать заметное влияние на соединения труб, поскольку эффект будет накапливаться для каждой секции трубы, соединенной последовательно. Зафиксированный сустав может быть разорван или иным образом подвержен разрушению. ^{[ нужна цитата ]}

Другая область применения эффекта Пуассона находится в области структурной геологии . Камни, как и большинство материалов, в состоянии стресса подвержены эффекту Пуассона. В геологическом масштабе времени чрезмерная эрозия или седиментация земной коры может либо создать, либо устранить большие вертикальные напряжения в подстилающих породах. Эта порода будет расширяться или сжиматься в вертикальном направлении в результате приложенного напряжения, а также деформироваться в горизонтальном направлении в результате эффекта Пуассона. Это изменение деформации в горизонтальном направлении может повлиять на трещины и дремлющие напряжения в породе или сформировать их. ^[29]

Хотя исторически пробка выбиралась для запечатывания винной бутылки по другим причинам (включая ее инертную природу, непроницаемость, гибкость, герметичность и устойчивость), ^[30] нулевой коэффициент Пуассона пробки дает еще одно преимущество. Когда пробка вставляется в бутылку, еще не вставленная верхняя часть не расширяется в диаметре, поскольку сжимается в осевом направлении. Сила, необходимая для вставки пробки в бутылку, возникает только за счет трения между пробкой и бутылкой из-за радиального сжатия пробки. Если бы стопор был изготовлен, например, из резины (с коэффициентом Пуассона около 1/2), для преодоления радиального расширения верхней части резинового стопора потребовалась бы относительно большая дополнительная сила.

Большинству автомехаников известно, что трудно стянуть резиновый шланг (например, шланг охлаждающей жидкости) с патрубка металлической трубы, так как натяжение приводит к уменьшению диаметра шланга и плотному захвату патрубка. (Это тот же эффект, что и в китайской ловушке для пальцев .) Шланги легче снять с заглушек, используя вместо этого широкое плоское лезвие.

Смотрите также

• Линейная эластичность
• Закон Гука
• Техника импульсного возбуждения
• Ортотропный материал
• Модуль сдвига
• Модуль для младших
• Коэффициент температурного расширения

Рекомендации

1. Для мягких материалов модуль объемного сжатия (K) обычно больше по сравнению с модулем сдвига (G), поэтому их можно считать несжимаемыми, поскольку легче изменить форму, чем сжать. Это приводит к тому, что модуль Юнга (E) равен и, следовательно , . Ястржебский, Д. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (изд. Wiley International). Джон Уайли и сыновья, Inc. ${\displaystyle E=3G}$ ${\displaystyle \nu =0.5}$
2. Лейкс, Р. и Войцеховски, К.В., 2008. Отрицательная сжимаемость, отрицательный коэффициент Пуассона и стабильность. Physica Status Solidi B, 245(3), стр.545-551.
3. Герчек, Х. (январь 2007 г.). «Значения коэффициента Пуассона для горных пород». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 44 (1): 1–13. Бибкод : 2007IJRMM..44....1G. doi :10.1016/j.ijrmms.2006.04.011.
4. Парк, RJT. Сейсмические характеристики бетонных свай в стальной оболочке
5. Марк, Шенк (2011). Складчатые оболочечные конструкции, кандидатская диссертация (PDF) . Кембриджский университет, Клэр-колледж.
6. Вэй, З.Ы.; Го, З.В.; Дудте, Л.; Лян, Хай; Махадеван, Л. (21 мая 2013 г.). «Геометрическая механика периодического плиссированного оригами» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (21): 215501. arXiv : 1211.6396 . Бибкод : 2013PhRvL.110u5501W. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.215501. PMID  23745895. S2CID  9145953.
7. Эйдини, Марьям; Паулино, Главио Х. (2015). «Раскрытие свойств метаматериала в сложенных зигзагообразных листах». Достижения науки . 1 (8): e1500224. arXiv : 1502.05977 . Бибкод : 2015SciA....1E0224E. doi : 10.1126/sciadv.1500224. ISSN  2375-2548. ПМЦ 4643767 . ПМИД  26601253. 
8. Эйдини, Марьям (2016). «Зигзагообразные листовые ячеистые механические метаматериалы со складками». Письма по экстремальной механике . 6 : 96–102. arXiv : 1509.08104 . doi :10.1016/j.eml.2015.12.006. S2CID  118424595.
9. Мусанежад, Давуд; Бабаи, Сахаб; Эбрахими, Хамид; Гош, Ранаджай; Хамуда, Абдельмагид Салем; Бертольди, Катя; Вазири, Ашкан (16 декабря 2015 г.). «Иерархические сотовые ауксетические метаматериалы». Научные отчеты . 5 : 18306. Бибкод : 2015NatSR...518306M. дои : 10.1038/srep18306. ISSN  2045-2322. ПМЦ 4680941 . ПМИД  26670417. 
10. Мотт, PH; Роланд, CM (3 апреля 2012 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах - общий результат для произвольной деформации». Физика Скрипта . Химический отдел Военно-морской исследовательской лаборатории. 87 (5): 055404. arXiv : 1204.3859 . дои : 10.1088/0031-8949/87/05/055404. S2CID  55920779.
11. Епишин, А.И.; Лисовенко, Д.С. (2016). «Предельные значения коэффициента Пуассона кубических кристаллов». Техническая физика . 61 (10): 1516–1524. Бибкод : 2016JTePh..61.1516E. doi :10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID  140493258.
12. Городцов, В.А.; Лисовенко, Д.С. (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов . 134 : 1–8. doi :10.1016/j.mechmat.2019.03.017. S2CID  140493258.
13. Борези, А.П., Шмидт, Р.Дж. и Сайдботтом, О.М., 1993, Передовая механика материалов , Wiley.
14. Лехницкий, С.Г. (1981). Теория упругости анизотропного упругого тела. Издательство «Мир». п. 36.
15. Тан, SC, 1994, Концентрация напряжений в ламинированных композитах , Technomic Publishing Company, Ланкастер, Пенсильвания.
16. Флюгель, Александр. «Расчет коэффициента Пуассона для очков». www.glassproperties.com . Архивировано из оригинала 23 октября 2017 года . Проверено 28 апреля 2018 г.
17. PH Мотт; CM Роланд (20 октября 2009 г.). «Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах» (PDF) . Физический обзор B . 80 (13): 132104. arXiv : 0909.4697 . Бибкод : 2009PhRvB..80m2104M. doi : 10.1103/PhysRevB.80.132104. Архивировано (PDF) из оригинала 31 октября 2014 г. Проверено 24 сентября 2014 г.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
18. Журнал прикладной физики 110, 053521 (2011).
19. Озера, Род. «Отрицательный коэффициент Пуассона». silver.neep.wisc.edu . Архивировано из оригинала 16 февраля 2018 года . Проверено 28 апреля 2018 г.
20. Озыхар, Томаш; Геринг, Стефан; Нимц, Питер (март 2013 г.). «Вязкоупругие характеристики древесины: зависимость ортотропной податливости при растяжении и сжатии от времени». Журнал реологии . 57 (2): 699–717. Бибкод : 2013JRheo..57..699O. дои : 10.1122/1.4790170 . ISSN  0148-6055.
21. Цзян, Цзяли; Эрик Валентайн, Бахтиар; Лу, Цзяньсюн; Нимц, Питер (01 ноября 2016 г.). «Зависимость от времени модулей Юнга ортотропного сжатия и коэффициентов Пуассона древесины китайской ели» (PDF) . Хольцфоршунг . 70 (11): 1093–1101. doi : 10.1515/hf-2016-0001. hdl : 20.500.11850/122097 . ISSN  1437-434X. S2CID  137799672.
22. Карта, Джорджио; Брун, Мишель; Балди, Антонио (2016). «Проектирование пористого материала с изотропным отрицательным коэффициентом Пуассона». Механика материалов . 97 : 67–75. doi :10.1016/j.mechmat.2016.02.012.
23. Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2016). «Класс ауксетических трехмерных решеток». Журнал механики и физики твердого тела . 91 : 56–72. arXiv : 1506.04919 . Бибкод : 2016JMPSo..91...56C. дои : 10.1016/j.jmps.2016.02.010. S2CID  85547530.
24. Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2014). «Ауксетические двумерные решетки с коэффициентом Пуассона, сколь угодно близким к -1». Труды Королевского общества А. 470 (2172): 20140538.arXiv : 1407.5679 . Бибкод : 2014RSPSA.47040538C. дои : 10.1098/rspa.2014.0538. S2CID  119321604.
25. Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2013). «Классификация кубических ауксетиков». Физический статус Solidi B. 250 (10): 2038–2043. Бибкод : 2013ПССБР.250.2038Г. дои : 10.1002/pssb.201384233. S2CID  117802510.
26. Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2011). «Изменчивость упругих свойств гексагональных ауксетиков». Доклады Физики . 56 (12): 602–605. дои : 10.1134/S1028335811120019. S2CID  120998323.
27. Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С.; Волков, М.А. (2015). «Ауксетики среди 6-константных тетрагональных кристаллов». Письма о материалах . 5 (4): 409–413. дои : 10.22226/2410-3535-2015-4-409-413 .
28. Михай, Луизиана ; Гориели, А. (3 ноября 2017 г.). «Как охарактеризовать нелинейно-упругий материал? Обзор нелинейных основных параметров изотропной конечной упругости». Труды Королевского общества А. 473 (2207): 20170607. Бибкод : 2017RSPSA.47370607M. дои : 10.1098/rspa.2017.0607. ПМК 5719638 . ПМИД  29225507. 
29. «Конспекты лекций по структурной геологии - эффективное напряжение» . Проверено 03 июля 2019 г.
30. Сильва и др. «Пробка: свойства, возможности и применение». Архивировано 9 августа 2017 г. на Wayback Machine , дата обращения 4 мая 2017 г.

Внешние ссылки

• Значение коэффициента Пуассона
• Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона
• Подробнее о материалах с отрицательным коэффициентом Пуассона (ауксетики). Архивировано 8 февраля 2018 г. на Wayback Machine.