В гиперболической геометрии квартика Клейна , названная в честь Феликса Клейна , является компактной римановой поверхностью рода 3 с группой автоморфизмов наивысшего возможного порядка для этого рода, а именно, порядка 168 сохраняющих ориентацию автоморфизмов и 168 × 2 = 336 автоморфизмов , если ориентация может быть изменена на противоположную. Таким образом, квартика Клейна является поверхностью Гурвица наименьшего возможного рода; см. теорему Гурвица об автоморфизмах . Ее (сохраняющая ориентацию) группа автоморфизмов изоморфна PSL(2, 7) , второй по величине неабелевой простой группе после знакопеременной группы A 5 . Квартика была впервые описана в (Klein 1878b).
Квартика Клейна встречается во многих разделах математики, в таких контекстах, как теория представлений , теория гомологии , Великая теорема Ферма и теорема Штарка–Хегнера о мнимых квадратичных числовых полях класса один ; обзор свойств см. в (Levy 1999).
Первоначально «квартика Клейна» относилась конкретно к подмножеству комплексной проективной плоскости P 2 ( C ), определяемому алгебраическим уравнением. Она имеет конкретную риманову метрику (которая делает ее минимальной поверхностью в P 2 ( C ) ), при которой ее гауссова кривизна не является постоянной. Но чаще (как в этой статье) теперь ее понимают как любую риманову поверхность, которая конформно эквивалентна этой алгебраической кривой, и особенно ту, которая является фактором гиперболической плоскости H 2 по определенной кокомпактной группе G , которая действует свободно на H 2 изометриями. Это дает квартике Клейна риманову метрику постоянной кривизны −1 , которую она наследует от H 2 . Этот набор конформно эквивалентных римановых поверхностей в точности совпадает со всеми компактными римановыми поверхностями рода 3, группа конформных автоморфизмов которых изоморфна единственной простой группе порядка 168. Эта группа также известна как PSL(2, 7) , а также как изоморфная группа PSL(3, 2) . Согласно теории покрывающего пространства , группа G, упомянутая выше, изоморфна фундаментальной группе компактной поверхности рода 3 .
Важно различать две различные формы квартики. Закрытая квартика — это то, что обычно подразумевается в геометрии; топологически она имеет род 3 и является компактным пространством . Открытая или «проколотая» квартика представляет интерес в теории чисел; топологически это поверхность рода 3 с 24 проколами, а геометрически эти проколы являются каспами . Открытая квартика может быть получена (топологически) из закрытой квартики путем прокалывания 24 центров мозаики правильными семиугольниками, как обсуждается ниже. Открытая и закрытая квартики имеют разные метрики, хотя они обе гиперболические и полные [1] — геометрически каспы являются «точками на бесконечности», а не дырками, поэтому открытая квартика по-прежнему полна.
Квартику Клейна можно рассматривать как проективную алгебраическую кривую над комплексными числами C , определяемую следующим уравнением четвертой степени в однородных координатах [ x : y : z ] на P2 ( C ) :
Геометрическое место этого уравнения в P 2 ( C ) представляет собой исходную риманову поверхность, описанную Клейном.
Компактная квартика Клейна может быть построена как фактор гиперболической плоскости по действию подходящей фуксовой группы Γ( I ), которая является главной конгруэнтной подгруппой , связанной с идеалом в кольце целых алгебраических чисел Z ( η ) поля Q ( η ) , где η = 2 cos(2 π /7) . Обратите внимание на тождество
представляющий 2 – η как простой множитель числа 7 в кольце целых алгебраических чисел.
Группа Γ( I ) является подгруппой группы гиперболического треугольника (2,3,7) . А именно, Γ( I ) является подгруппой группы элементов единичной нормы в кватернионной алгебре, порожденной как ассоциативная алгебра генераторами i,j и соотношениями
Выбирается подходящий порядок кватерниона Гурвица в кватернионной алгебре, тогда Γ( I ) является группой элементов нормы 1 в . Наименьшее абсолютное значение следа гиперболического элемента в Γ( I ) равно , что соответствует значению 3,936 для систолы квартики Клейна, одному из самых высоких в этом роде.
Квартика Клейна допускает мозаики, связанные с группой симметрии (« регулярное отображение » [2] ), и они используются для понимания группы симметрии, начиная с оригинальной статьи Клейна. При заданной фундаментальной области для действия группы (для полной группы симметрии, меняющей ориентацию, треугольника (2,3,7)), области отражения (образы этой области под группой) дают мозаику квартики, такую, что группа автоморфизмов мозаики равна группе автоморфизмов поверхности — отражения относительно линий мозаики соответствуют отражениям в группе (отражения относительно линий данного фундаментального треугольника дают набор из 3 порождающих отражений). Эта мозаика является фактором порядка 3 биссектированной семиугольной мозаики гиперболической плоскости ( универсального покрытия квартики), и все поверхности Гурвица замощены таким же образом, как факторы.
Эта мозаика однородна, но не регулярна (она состоит из разносторонних треугольников ), и часто вместо нее используются регулярные мозаики. Можно использовать частное любой мозаики в семействе (2,3,7) (и она будет иметь ту же группу автоморфизмов); из них две регулярные мозаики — это мозаика из 24 правильных гиперболических семиугольников , каждый степени 3 (встречающихся в 56 вершинах), и двойственная мозаика из 56 равносторонних треугольников , каждый степени 7 (встречающихся в 24 вершинах). Порядок группы автоморфизмов связан, будучи числом многоугольников, умноженным на число ребер в многоугольнике в обоих случаях.
Покрывающими мозаиками на гиперболической плоскости являются семиугольная мозаика порядка 3 и треугольная мозаика порядка 7 .
Группа автоморфизмов может быть расширена (симметрией, которая не реализуется симметрией мозаики), чтобы получить группу Матье M 24 . [3]
Каждому тайлингу квартики (разбиению квартического многообразия на подмножества) соответствует абстрактный многогранник , который абстрагируется от геометрии и отражает только комбинаторику тайлинга (это общий способ получения абстрактного многогранника из тайлинга) – вершины, ребра и грани многогранника равны как множества вершинам, ребрам и граням тайлинга с теми же отношениями инцидентности, а (комбинаторная) группа автоморфизмов абстрактного многогранника равна (геометрической) группе автоморфизмов квартики. Таким образом, геометрия сводится к комбинаторике.
Вышеприведенная мозаика представляет собой проективную квартику (замкнутое многообразие); аффинная квартика имеет 24 точки возврата (топологически, проколы), которые соответствуют 24 вершинам правильной треугольной мозаики или, что эквивалентно, центрам 24 семиугольников в семиугольной мозаике, и может быть реализована следующим образом.
Рассматривая действие SL(2, R ) на верхнюю полуплоскость модели H 2 гиперболической плоскости посредством преобразований Мёбиуса , аффинная квартика Клейна может быть реализована как фактор Γ(7)\ H 2 . (Здесь Γ(7) — конгруэнтная подгруппа SL (2, Z ), состоящая из матриц, которые конгруэнтны единичной матрице, когда все элементы берутся по модулю 7.)
Квартика Клейна может быть получена как фактор гиперболической плоскости по действию фуксовой группы. Фундаментальная область — это правильный 14-угольник, имеющий площадь по теореме Гаусса-Бонне . Это можно увидеть на соседнем рисунке, который также включает 336 (2,3,7) треугольников, которые заполняют поверхность и порождают ее группу симметрий.
В мозаике из (2,3,7) треугольников есть мозаика из 24 правильных семиугольников. Систола поверхности проходит через середины 8 сторон семиугольника; по этой причине в литературе ее называют «восьмишаговой геодезической», и это причина названия книги в разделе ниже. Все цветные кривые на рисунке, показывающие разложение штанов, являются систолами, однако это всего лишь подмножество; всего их 21. Длина систолы равна
Эквивалентная замкнутая формула:
В то время как квартика Клейна максимизирует группу симметрии для поверхностей рода 3, она не максимизирует длину систолы. Предполагаемый максимизатор — это поверхность, называемая «M3» (Schmutz 1993). M3 происходит из мозаики треугольников (2,3,12), и ее систола имеет кратность 24 и длину
Квартик Клейна можно разложить на четыре пары брюк , разрезав вдоль шести его систолов. Это разложение дает симметричный набор координат Фенхеля-Нильсена , где все параметры длины равны длине систолы, а все параметры закручивания равны длине систолы. В частности, принимая за длину систолы, координаты будут
Кубический граф, соответствующий этому разложению штанов, является тетраэдральным графом, то есть графом из 4 узлов, каждый из которых соединен с 3 другими. Тетраэдральный граф похож на граф для проективной плоскости Фано ; действительно, группа автоморфизмов квартики Клейна изоморфна группе автоморфизмов плоскости Фано.
Мало что было доказано о спектральной теории квартики Клейна. Поскольку квартика Клейна имеет самую большую группу симметрии поверхностей в своем топологическом классе, во многом как поверхность Больца в роде 2, было высказано предположение, что она максимизирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа среди всех компактных римановых поверхностей рода 3 с постоянной отрицательной кривизной. Она также максимизирует кратность первого положительного собственного значения (8) среди всех таких поверхностей, факт, который был недавно доказан. [4] Собственные значения квартики Клейна были вычислены с различной степенью точности. Первые 15 различных положительных собственных значений показаны в следующей таблице вместе с их кратностями.
Квартика Клейна не может быть реализована как трехмерная фигура в том смысле, что ни одна трехмерная фигура не имеет (вращательных) симметрий, равных PSL(2,7) , поскольку PSL(2,7) не встраивается как подгруппа SO(3) (или O(3) ) – она не имеет (нетривиального) трехмерного линейного представления над действительными числами.
Однако было дано много 3-мерных моделей квартики Клейна, начиная с оригинальной статьи Клейна [2] [5] [6] [7] [8], которые стремятся продемонстрировать особенности квартики и сохранить симметрии топологически, хотя и не все геометрически. Полученные модели чаще всего имеют либо тетраэдрическую (порядок 12), либо октаэдрическую (порядок 24) симметрию; оставшаяся симметрия порядка 7 не может быть так легко визуализирована, и фактически является названием статьи Клейна.
Чаще всего квартика моделируется либо гладкой поверхностью рода 3 с тетраэдрической симметрией (замена ребер правильного тетраэдра трубками/ручками дает такую форму), которые были названы «тетрусами» [8] , либо полиэдральными аппроксимациями, которые были названы «тетроидами» [8] ; в обоих случаях это вложение формы в 3 измерения. Наиболее заметной гладкой моделью (тетрусом) является скульптура «Восьмеричный путь » Хеламана Фергюсона в Институте математических наук Саймонса Лауфера в Беркли, Калифорния , выполненная из мрамора и серпентина и представленная 14 ноября 1993 года. Название относится к тому факту, что, начиная с любой вершины триангулированной поверхности и двигаясь вдоль любого ребра, если вы попеременно поворачиваете влево и вправо при достижении вершины, вы всегда возвращаетесь в исходную точку после восьми ребер. Приобретение скульптуры привело в свое время к публикации книги статей (Levy 1999), в которой подробно описываются свойства квартики и содержится первый английский перевод статьи Клейна. Полиэдральные модели с тетраэдрической симметрией чаще всего имеют выпуклую оболочку усеченного тетраэдра – см. (Schulte & Wills 1985) и (Scholl, Schürmann & Wills 2002) для примеров и иллюстраций. Некоторые из этих моделей состоят из 20 треугольников или 56 треугольников (абстрактно, правильный косой многогранник {3,7|,4} с 56 гранями, 84 ребрами и 24 вершинами), которые не могут быть реализованы как равносторонние, с изгибами в ветвях тетраэдра; в то время как другие имеют 24 семиугольника – эти семиугольники можно считать плоскими, хотя и невыпуклыми, [9] и модели более сложные, чем треугольные, потому что сложность отражается в формах (негибких) семиугольных граней, а не в (гибких) вершинах. [2]
В качестве альтернативы квартик можно смоделировать многогранником с октаэдрической симметрией: Клейн смоделировал квартик формой с октаэдрической симметрией и с точками на бесконечности («открытый многогранник»), [6] а именно тремя гиперболоидами, встречающимися на ортогональных осях, [2] в то время как его также можно смоделировать как замкнутый многогранник, который должен быть погружен (иметь самопересечения), а не вложенным. [2] Такие многогранники могут иметь различные выпуклые оболочки, включая усеченный куб , [10] плосконосый куб , [9] или ромбокубооктаэдр , как в малом кубокубооктаэдре справа. [3] Малое погружение в кубокубооктаэдр получается путем соединения некоторых треугольников (2 треугольника образуют квадрат, 6 образуют восьмиугольник), что можно визуализировать, раскрасив треугольники Архивировано 2016-03-03 на Wayback Machine (соответствующая мозаика топологически, но не геометрически, является мозаикой 3 4 | 4 ). Это погружение также можно использовать для геометрического построения группы Матье M 24 путем добавления к PSL(2,7) перестановки, которая меняет местами противоположные точки биссектрис квадратов и восьмиугольников. [3]
Детский рисунок на квартике Клейна, связанный с отображением фактора его группой автоморфизмов (с частным - сферой Римана), является в точности 1-скелетом семиугольной мозаики порядка 3. [11] То есть отображение фактора разветвлено над точками 0, 1728 и ∞ ; деление на 1728 дает функцию Белого (разветвленную в 0, 1 и ∞ ), где 56 вершин (черные точки в рисунке) лежат над 0, середины 84 ребер (белые точки в рисунке) лежат над 1, а центры 24 семиугольников лежат над бесконечностью. Полученный рисунок является «платоническим» рисунком, что означает транзитивность по ребрам и «чистость» (каждая белая точка имеет валентность 2).
Квартика Клейна связана с различными другими римановыми поверхностями.
Геометрически это наименьшая поверхность Гурвица (низший род); следующая — поверхность Макбита (род 7), а следом — первый триплет Гурвица (3 поверхности рода 14). В более общем смысле, это самая симметричная поверхность данного рода (будучи поверхностью Гурвица); в этом классе поверхность Больца является самой симметричной поверхностью рода 2, в то время как поверхность Бринга является высокосимметричной поверхностью рода 4 — см. изометрии римановых поверхностей для дальнейшего обсуждения.
С алгебраической точки зрения (аффинная) квартика Клейна является модулярной кривой X(7), а проективная квартика Клейна является ее компактификацией, точно так же, как додекаэдр (с острием в центре каждой грани) является модулярной кривой X(5); это объясняет значимость для теории чисел.
Более тонко, (проективная) квартика Клейна является кривой Шимуры (как и поверхности Гурвица рода 7 и 14) и как таковая параметризует принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности 6. [12]
Более исключительным является то, что квартика Клейна является частью « троицы » в смысле Владимира Арнольда , которую также можно описать как соответствие Маккея . В этой коллекции проективные специальные линейные группы PSL(2,5), PSL(2,7) и PSL(2,11) (порядки 60, 168, 660) аналогичны. Обратите внимание, что 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168 и 10 × 11 × 12/2 = 660. Они соответствуют икосаэдрической симметрии (род 0), симметрии квартики Клейна (род 3) и поверхности бакибола (род 70). [13] Они далее связаны со многими другими исключительными явлениями, которые подробно рассматриваются в « троицах ».
{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)