Симплектическое многообразие

Тип многообразия в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии , предмете математики , симплектическое многообразие — это гладкое многообразие , снабженное замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой , называемой симплектической формой. Изучение симплектических многообразий называется симплектической геометрией или симплектической топологией . Симплектические многообразия естественным образом возникают в абстрактных формулировках классической механики и аналитической механики как кокасательные расслоения многообразий. Например, в гамильтоновой формулировке классической механики, которая обеспечивает одну из основных мотиваций для поля, множество всех возможных конфигураций системы моделируется как многообразие, и кокасательное расслоение этого многообразия описывает фазовое пространство системы. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$

Мотивация

Симплектические многообразия возникают из классической механики ; в частности, они являются обобщением фазового пространства замкнутой системы. ^[1] Точно так же, как уравнения Гамильтона позволяют вывести временную эволюцию системы из набора дифференциальных уравнений , симплектическая форма должна позволять получить векторное поле, описывающее поток системы из дифференциала гамильтоновой функции . ^[2] Поэтому нам требуется линейное отображение из касательного многообразия в кокасательное многообразие или, что эквивалентно, элемент из . Обозначив сечение , требование невырожденности гарантирует, что для каждого дифференциала существует уникальное соответствующее векторное поле такое, что . Поскольку требуется, чтобы гамильтониан был постоянным вдоль линий потока, следует иметь , что подразумевает, что является знакопеременным и, следовательно, 2-формой. Наконец, предъявляется требование, что не должно меняться под линиями потока, т. е. что производная Ли вдоль равна нулю. Применяя формулу Картана , это равносильно (здесь представлено внутреннее произведение ): ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}$ ${\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}$

так что, повторяя это рассуждение для различных гладких функций, таких, что соответствующее охватывает касательное пространство в каждой точке, к которой применяется рассуждение, мы видим, что требование равенства нулю производной Ли вдоль потоков, соответствующих произвольной гладкости, эквивалентно требованию замкнутости ω . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle H}$

Определение

Симплектическая форма на гладком многообразии является замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой . ^{[3] [4]} Здесь невырожденность означает, что для каждой точки кососимметричное спаривание на касательном пространстве, определяемое с помощью , является невырожденным. То есть, если существует такое , что для всех , то . Поскольку в нечетных размерностях кососимметричные матрицы всегда являются сингулярными, требование невырожденности подразумевает, что имеет четную размерность. ^{[3] [4]} Замкнутость означает, что внешняя производная обращается в нуль. Симплектическое многообразие является парой , где является гладким многообразием, а является симплектической формой. Назначение симплектической формы называется заданием симплектической структуры . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

Симплектические векторные пространства

Пусть будет базисом для Определим нашу симплектическую форму ω на этой основе следующим образом: ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$

${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

В этом случае симплектическая форма сводится к простой квадратичной форме . Если I _n обозначает единичную матрицу n × n , то матрица Ω этой квадратичной формы задается блочной матрицей 2 n × 2 n :

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Котангенсные расслоения

Пусть — гладкое многообразие размерности . Тогда полное пространство кокасательного расслоения имеет естественную симплектическую форму, называемую двумерной формой Пуанкаре или канонической симплектической формой ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$

Здесь все локальные координаты на и являются послойными координатами относительно котангенсивных векторов . Котангенсивные расслоения являются естественными фазовыми пространствами классической механики. Смысл различения верхних и нижних индексов обусловлен случаем многообразия, имеющего метрический тензор , как в случае римановых многообразий . Верхние и нижние индексы преобразуются контра и ковариантно при смене систем координат. Фраза «распушить координаты относительно котангенсивных векторов» призвана передать, что импульсы « спаяны » со скоростями . Спаяние является выражением идеи о том, что скорость и импульс коллинеарны, в том смысле, что обе движутся в одном направлении и отличаются масштабным коэффициентом. ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle dq^{i}}$

Кэлеровы многообразия

Кэлерово многообразие — это симплектическое многообразие, снабженное совместимой интегрируемой комплексной структурой. Они образуют особый класс комплексных многообразий . Большой класс примеров происходит из комплексной алгебраической геометрии . Любое гладкое комплексное проективное многообразие имеет симплектическую форму, которая является ограничением формы Фубини—Штуди на проективное пространство . ${\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Почти комплексные многообразия

Римановы многообразия с -совместимой почти комплексной структурой называются почти комплексными многообразиями . Они обобщают кэлеровы многообразия, в том смысле, что они не обязательно должны быть интегрируемыми . То есть они не обязательно возникают из комплексной структуры на многообразии. ${\displaystyle \omega }$

Лагранжевы и другие подмногообразия

Существует несколько естественных геометрических понятий подмногообразия симплектического многообразия : ${\displaystyle (M,\omega )}$

• Симплектические подмногообразия ( потенциально любой четной размерности) — это подмногообразия такие, что — симплектическая форма на . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$ ${\displaystyle S}$
• Изотропные подмногообразия — это подмногообразия, где симплектическая форма ограничивается нулем, т. е. каждое касательное пространство является изотропным подпространством касательного пространства окружающего многообразия. Аналогично, если каждое касательное подпространство к подмногообразию является коизотропным (двойственным изотропному подпространству), подмногообразие называется коизотропным .
• Лагранжевы подмногообразия симплектического многообразия — это подмногообразия, в которых ограничение симплектической формы на равно нулю, т.е. и . Лагранжевы подмногообразия — это максимальные изотропные подмногообразия. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{L}=0}$ ${\displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}$

Одним из основных примеров является то, что график симплектоморфизма в симплектическом многообразии произведения ( M × M , ω × − ω ) является лагранжевым. Их пересечения демонстрируют свойства жесткости, которыми не обладают гладкие многообразия; гипотеза Арнольда дает сумму чисел Бетти подмногообразия в качестве нижней границы для числа самопересечений гладкого лагранжева подмногообразия, а не эйлерову характеристику в гладком случае.

Примеры

Пусть глобальные координаты обозначены . Тогда мы можем оснастить канонической симплектической формой ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}$

Существует стандартное лагранжево подмногообразие, заданное . Форма исчезает на , поскольку для любой пары касательных векторов мы имеем, что Для пояснения рассмотрим случай . Тогда и . Обратите внимание, что когда мы расширяем это ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$ ${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

у обоих членов есть множитель, который по определению равен 0. ${\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}$

Пример: котангенсное расслоение

Кокасательное расслоение многообразия локально моделируется на пространстве, подобном первому примеру. Можно показать, что мы можем склеить эти аффинные симплектические формы, следовательно, это расслоение образует симплектическое многообразие. Менее тривиальным примером лагранжева подмногообразия является нулевое сечение кокасательного расслоения многообразия. Например, пусть

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}$

Тогда мы можем представить как ${\displaystyle T^{*}X}$

${\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}$

где мы рассматриваем символы как координаты . Мы можем рассмотреть подмножество, где координаты и , что дает нам нулевое сечение. Этот пример можно повторить для любого многообразия, определяемого исчезающим локусом гладких функций и их дифференциалов . ${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$ ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}$

Пример: Параметрическое подмногообразие

Рассмотрим каноническое пространство с координатами . Параметрическое подмногообразие — это такое, которое параметризовано координатами такими, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

Это многообразие является лагранжевым подмногообразием, если скобка Лагранжа обращается в нуль для всех . То есть, оно является лагранжевым, если ${\displaystyle [u_{i},u_{j}]}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}$

для всех . Это можно увидеть, развернув ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}$

в условии для лагранжева подмногообразия . Это то, что симплектическая форма должна исчезать на касательном многообразии ; то есть она должна исчезать для всех касательных векторов: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle TL}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}$

для всех . Упростим результат, используя каноническую симплектическую форму на : ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}$

и все остальные исчезают.

Поскольку локальные карты на симплектическом многообразии принимают каноническую форму, этот пример предполагает, что лагранжевы подмногообразия относительно не ограничены. Классификация симплектических многообразий выполняется с помощью гомологии Флоера — это приложение теории Морса к функционалу действия для отображений между лагранжевыми подмногообразиями. В физике действие описывает временную эволюцию физической системы; здесь его можно рассматривать как описание динамики бран.

Пример: теория Морзе

Другой полезный класс лагранжевых подмногообразий встречается в теории Морса . Если задана функция Морса и для достаточно малого можно построить лагранжево подмногообразие, заданное локусом исчезновения . Для общей функции Морса мы имеем лагранжево пересечение, заданное . ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$ ${\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}$

Специальные лагранжевы подмногообразия

В случае кэлеровых многообразий (или многообразий Калаби–Яу ) мы можем сделать выбор на как голоморфную n-форму, где — действительная часть, а мнимая. Лагранжево подмногообразие называется специальным , если в дополнение к указанному выше условию Лагранжа ограничение на равно нулю. Другими словами, действительная часть, ограниченная на , приводит к форме объема на . Следующие примеры известны как специальные лагранжевы подмногообразия, ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

1. комплексные лагранжевы подмногообразия гиперкэлеровых многообразий ,
2. неподвижные точки действительной структуры многообразий Калаби–Яу.

Гипотеза SYZ касается изучения специальных лагранжевых подмногообразий в зеркальной симметрии ; см. (Hitchin 1999).

Гипотеза Томаса–Яу предсказывает, что существование специального лагранжева подмногообразия на многообразиях Калаби–Яу в гамильтоновых изотопических классах лагранжианов эквивалентно устойчивости относительно условия устойчивости на категории Фукая многообразия.

Лагранжево расслоение

Лагранжево расслоение симплектического многообразия M — это расслоение , в котором все слои являются лагранжевыми подмногообразиями. Поскольку M четномерно, мы можем взять локальные координаты ( p ₁ ,..., p _n , q ¹ ,..., q ⁿ ), и по теореме Дарбу симплектическая форма ω может быть, по крайней мере локально, записана как ω = ∑ d p _k ∧ d q ^k , где d обозначает внешнюю производную , а ∧ обозначает внешнее произведение . Эта форма называется двумерной формой Пуанкаре или канонической двумерной формой. Используя эту настройку, мы можем локально думать о M как о кокасательном расслоении , а о лагранжевом расслоении как о тривиальном расслоении. Это каноническая картина. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Лагранжево отображение

Пусть L — лагранжево подмногообразие симплектического многообразия ( K ,ω), заданное погружением i :  L ↪ K ( i называется лагранжевым погружением ). Пусть π  : K ↠ B задаёт лагранжево расслоение K . Композиция ( π ∘ i ) : L ↪ K ↠ B является лагранжевым отображением . Множество критических значений π ∘ i называется каустикой .

Два лагранжевых отображения ( π ₁ ∘ i ₁ ) : L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ и ( π ₂ ∘ i ₂ ) : L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ называются лагранжево эквивалентными , если существуют диффеоморфизмы σ , τ и ν такие, что обе стороны диаграммы, заданной справа, коммутируют , а τ сохраняет симплектическую форму. ^[4] Символически:

${\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}$

где τ ^∗ ω2 обозначает обратный _ход ω2 на τ ._​​

Особые случаи и обобщения

• Симплектическое многообразие является точным, если симплектическая форма является точной . Например, кокасательное расслоение гладкого многообразия является точным симплектическим многообразием. Каноническая симплектическая форма является точной. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• Симплектическое многообразие, наделенное метрикой , совместимой с симплектической формой, является почти кэлеровым многообразием в том смысле, что касательное расслоение имеет почти комплексную структуру , но она не обязательно должна быть интегрируемой .
• Симплектические многообразия являются частными случаями пуассоновых многообразий .
• Мультисимплектическое многообразие степени k — это многообразие, снабженное замкнутой невырожденной k -формой. ^[5]
• Полисимплектическое многообразие — это расслоение Лежандра, снабженное полисимплектической касательнозначной -формой; оно используется в гамильтоновой теории поля . ^[6] ${\displaystyle (n+2)}$

Смотрите также

• Математический портал

• Почти симплектическое многообразие  – дифференцируемое многообразие, снабженное невырожденной (но не обязательно замкнутой) 2-формойPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Контактное многообразие  — раздел геометрии Pages displaying short descriptions of redirect targets— нечетномерный аналог симплектического многообразия.
• Ковариантная гамильтонова теория поля  – Формализм в классической теории поля, основанный на гамильтоновой механикеPages displaying short descriptions of redirect targets
• Многообразие Федосова  – симплектическое многообразие, снабженное связностью без крученияPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Скобка Пуассона  – Операция в гамильтоновой механике
• Симплектическая группа  – Математическая группа
• Симплектическая матрица  – Математическая концепция
• Симплектическая топология  – Раздел дифференциальной геометрии и дифференциальной топологииPages displaying short descriptions of redirect targets
• Симплектическое векторное пространство  – Математическая концепция
• Симплектоморфизм  – Изоморфизм симплектических многообразий
• Тавтологическая одна форма  – каноническая дифференциальная форма, определенная на кокасательном расслоении гладкого многообразияPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Неравенство Виртингера (2-формы)  – неравенство, применимое к 2-формамPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Цитаты

1. Вебстер, Бен (9 января 2012 г.). «Что такое симплектическое многообразие на самом деле?».
2. Кон, Генри. «Почему симплектическая геометрия является естественной средой для классической механики».
3. де Госсон, Морис (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. п. 10. ISBN 3-7643-7574-4.
4. Арнольд, VI ; Варченко, AN ; Гусейн-Заде, SM (1985). Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов: особенности дифференцируемых отображений, т. 1 . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3187-9.
5. Cantrijn, F.; Ibort, LA; de León, M. (1999). «О геометрии мультисимплектических многообразий». J. Austral. Math. Soc . Ser. A. 66 (3): 303–330. doi : 10.1017/S1446788700036636 .
6. Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1999). «Ковариантные гамильтоновы уравнения для теории поля». Journal of Physics . A32 (38): 6629–6642. arXiv : hep-th/9904062 . Bibcode : 1999JPhA...32.6629G. doi : 10.1088/0305-4470/32/38/302. S2CID  204899025.

Общие и цитируемые ссылки

• Макдафф, Дуса ; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Oxford Mathematical Monographs. ISBN 0-19-850451-9.
• Ору, Дени . «Семинар по зеркальной симметрии».
• Майнренкен, Экхард . «Симплектическая геометрия» (PDF) .
• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978). Основы механики . Лондон: Benjamin-Cummings. См. раздел 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
• де Госсон, Морис А. (2006). Симплектическая геометрия и квантовая механика . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
• Алан Вайнштейн (1971). «Симплектические многообразия и их лагранжевы подмногообразия». Успехи в математике . 6 (3): 329–46. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
• Арнольд, VI (1990). "Гл. 1, Симплектическая геометрия". Особенности каустик и волновых фронтов. Математика и ее приложения. Т. 62. Дордрехт: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC  22509804.

Дальнейшее чтение

• Дунин-Барковский, Петр (2022). «Симплектическая двойственность для топологической рекурсии». arXiv : 2206.14792 [math-ph].
• "Как найти лагранжевы подмногообразия". Stack Exchange . 17 декабря 2014 г.
• Lumist, Ü. (2001) [1994], «Симплектическая структура», Энциклопедия математики , EMS Press
• Сарданашвили, Г. (2009). "Расслоения волокон, струйные многообразия и теория Лагранжа". Лекции для теоретиков . arXiv : 0908.1886 .
• Макдафф, Д. (ноябрь 1998 г.). "Симплектические структуры — новый подход к геометрии" (PDF) . Уведомления AMS .
• Хитчин, Найджел (1999). «Лекции по специальным лагранжевым подмногообразиям». arXiv : math/9907034 .