В философии и логике классический парадокс лжеца или парадокс лжеца или антиномия лжеца — это утверждение лжеца о том, что он лжет: например, заявление, что «я лгу». Если лжец действительно лжет, то лжец говорит правду, что означает, что лжец только что солгал. В «это предложение — ложь» парадокс усиливается , чтобы сделать его поддающимся более строгому логическому анализу. Его по-прежнему обычно называют «парадоксом лжеца», хотя абстракция производится именно от лжеца, делающего утверждение. Попытка присвоить этому утверждению, усиленному лжецу, классическое бинарное значение истинности приводит к противоречию .
Если «это предложение ложно» истинно, то оно ложно, но в предложении утверждается, что оно ложно, а если оно ложно, то оно должно быть истинным, и так далее.
Парадокс Эпименида (ок. 600 г. до н. э.) был предложен в качестве примера парадокса лжеца, но они логически не эквивалентны. Полумифический провидец Эпименид , критянин , как сообщается, заявил, что «Все критяне — лжецы». [1] Однако утверждение Эпименида о том, что все критяне — лжецы, можно считать ложным, учитывая, что он знает по крайней мере одного другого критянина, который не лжет (в качестве альтернативы его можно рассматривать просто как утверждение о том, что все критяне лгут, а не о том, что они говорят только ложь).
Название парадокса переводится с древнегреческого как pseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος) . Одна из версий парадокса лжеца приписывается греческому философу Эвбулиду Милетскому , жившему в IV веке до н. э. Сообщается, что Эвбулид спросил: «Человек говорит, что он лжет. То, что он говорит, правда или ложь?» [2]
Этот парадокс однажды обсуждал Иероним Стридонский в своей проповеди:
« Я сказал в тревоге: каждый человек лжец! » Давид говорит правду или лжет? Если верно, что каждый человек лжец, и утверждение Давида: «Каждый человек лжец» верно, то Давид тоже лжет; он тоже человек. Но если он тоже лжет, то его утверждение: «Каждый человек лжец», следовательно, не является истинным. Как бы вы ни повернули предложение, вывод будет противоречием. Поскольку сам Давид человек, то отсюда следует, что он тоже лжет; но если он лжет, потому что каждый человек лжец, то его ложь иного рода. [3]
Индийский грамматик-философ Бхартрихари (конец пятого века н. э.) был хорошо осведомлен о парадоксе лжеца, который он сформулировал как «все, что я говорю, ложно» (sarvam mithyā bravīmi). Он анализирует это утверждение вместе с парадоксом «незначимости» и исследует границу между утверждениями, которые не являются проблематичными в повседневной жизни, и парадоксами. [4] [5]
Обсуждение парадокса лжеца в ранней исламской традиции длилось по крайней мере пять столетий, начиная с конца 9-го века, и, по-видимому, без влияния какой-либо другой традиции. Насир ад-Дин ат-Туси мог быть первым логиком, который определил парадокс лжеца как самореферентный . [6]
Проблема парадокса лжеца в том, что он, по-видимому, показывает, что общие убеждения относительно истины и лжи на самом деле приводят к противоречию . Можно построить предложения, которым нельзя последовательно присвоить значение истинности, даже если они полностью соответствуют грамматике и семантическим правилам.
Простейшая версия парадокса — это предложение:
Если (A) истинно, то «Это утверждение ложно» истинно. Следовательно, (A) должно быть ложно. Гипотеза о том, что (A) истинно, приводит к выводу о том, что (A) ложно, противоречие.
Если (A) ложно, то «Это утверждение ложно» ложно. Следовательно, (A) должно быть истинным. Гипотеза о том, что (A) ложно, приводит к выводу, что (A) истинно, еще одно противоречие. В любом случае, (A) одновременно истинно и ложно, что является парадоксом.
Однако тот факт, что можно показать, что предложение лжеца истинно, если оно ложно, и ложно, если оно истинно, привел некоторых к выводу, что оно «ни истинно, ни ложно». [7] Этот ответ на парадокс, по сути, является отказом от утверждения, что каждое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным, также известного как принцип бивалентности , концепция, связанная с законом исключенного третьего .
Предположение о том, что утверждение не является ни истинным, ни ложным, привело к появлению следующей, усиленной версии парадокса:
Если (B) не является ни истинным , ни ложным, то оно должно быть не истинным . Поскольку это то, что утверждает само (B), это означает, что (B) должно быть истинным . Поскольку изначально (B) не было истинным , а теперь является истинным, возникает другой парадокс.
Другая реакция на парадокс (A) — постулировать, как это сделал Грэм Прист , что утверждение является как истинным, так и ложным. Тем не менее, даже анализ Приста восприимчив к следующей версии лжеца:
Если (C) является и истинным , и ложным, то (C) является только ложным. Но тогда это не истинно . Поскольку изначально (C) было истинным , а теперь не является истинным , это парадокс. Однако утверждается, что, приняв двузначную реляционную семантику (в отличие от функциональной семантики ), диалектический подход может преодолеть эту версию Лжеца. [8]
Существуют также многопредложенные версии парадокса лжеца. Ниже приведена двухпредложенная версия:
Предположим, что (D1) истинно. Тогда (D2) истинно. Это означало бы, что (D1) ложно. Следовательно, (D1) одновременно истинно и ложно.
Предположим, что (D1) ложно. Тогда (D2) ложно. Это означало бы, что (D1) истинно. Таким образом, (D1) одновременно истинно и ложно. В любом случае, (D1) одновременно истинно и ложно — тот же парадокс, что и (A) выше.
Многопредложенная версия парадокса лжеца обобщается на любую циклическую последовательность таких утверждений (где последнее утверждение утверждает истинность/ложность первого утверждения), при условии, что имеется нечетное количество утверждений, утверждающих ложность последующего; ниже приведена версия из трех предложений, в которой каждое утверждение утверждает ложность последующего:
Предположим, что (E1) истинно. Тогда (E2) ложно, что означает, что (E3) истинно, и, следовательно, (E1) ложно, что приводит к противоречию.
Предположим, что (E1) ложно. Тогда (E2) истинно, что означает, что (E3) ложно, и, следовательно, (E1) истинно. В любом случае, (E1) одновременно истинно и ложно – тот же парадокс, что и с (A) и (D1).
Существует множество других вариантов и множество возможных дополнений. В обычной конструкции предложения простейшей версией дополнения является предложение:
Если предполагается, что F имеет истинностное значение, то возникает проблема определения объекта этого значения. Но возможна и более простая версия, предполагающая, что единственное слово «истина» имеет истинностное значение. Аналог парадокса заключается в предположении, что единственное слово «ложь» также имеет истинностное значение, а именно, что оно ложно. Это показывает, что парадокс можно свести к умственному акту предположения, что сама идея заблуждения имеет истинностное значение, а именно, что сама идея заблуждения ложна: акту искажения. Таким образом, симметричная версия парадокса будет выглядеть так:
В нечеткой логике истинностное значение утверждения может быть любым действительным числом от 0 до 1 включительно, в отличие от булевой логики , где истинностные значения могут быть только целыми числами 0 или 1. В этой системе утверждение «Это утверждение ложно» больше не является парадоксальным, поскольку ему можно присвоить истинностное значение 0,5, [9] [10] делая его ровно наполовину истинным и наполовину ложным. Упрощенное объяснение показано ниже.
Пусть истинностное значение утверждения «Это утверждение ложно» будет обозначено как . Утверждение становится
Обобщая оператор НЕ до эквивалентного оператора Заде из нечеткой логики , утверждение становится
из чего следует, что
Альфред Тарский диагностировал парадокс как возникающий только в языках, которые являются «семантически закрытыми», под которыми он подразумевал язык, в котором одно предложение может предицировать истинность (или ложность) другого предложения на том же языке (или даже самого себя). Чтобы избежать внутреннего противоречия, необходимо при обсуждении значений истинности представлять себе уровни языков, каждый из которых может предицировать истинность (или ложность) только языков на более низком уровне. Таким образом, когда одно предложение ссылается на значение истинности другого, оно семантически выше. Предложение, на которое ссылаются, является частью «языка-объекта», в то время как ссылающееся предложение считается частью «метаязыка» по отношению к языку-объекту. Для предложений в «языках», находящихся выше в семантической иерархии, допустимо ссылаться на предложения, находящиеся ниже в иерархии «языка», но не наоборот. Это не позволяет системе стать самореферентной.
Однако эта система неполна. Хотелось бы иметь возможность делать утверждения, например, «Для каждого утверждения на уровне α иерархии существует утверждение на уровне α +1, которое утверждает, что первое утверждение ложно». Это истинное, осмысленное утверждение об иерархии, которую определяет Тарский, но оно относится к утверждениям на каждом уровне иерархии, поэтому оно должно быть выше каждого уровня иерархии и, следовательно, невозможно внутри иерархии (хотя возможны ограниченные версии предложения). [11] [12] Солу Крипке приписывают выявление этой неполноты в иерархии Тарского в его часто цитируемой статье «Очерк теории истины» [12] , и это признано общей проблемой в иерархических языках. [12] [13]
Артур Прайор утверждает, что в парадоксе лжеца нет ничего парадоксального. Его утверждение (которое он приписывает Чарльзу Сандерсу Пирсу и Джону Буридану ) заключается в том, что каждое утверждение включает в себя неявное утверждение своей собственной истинности. [14] Так, например, утверждение «Верно, что дважды два равно четырем» содержит не больше информации, чем утверждение «дважды плюс два равно четырем», поскольку фраза «верно, что...» всегда неявно присутствует. И в самореферентном духе Парадокса лжеца фраза «верно, что...» эквивалентна «все это утверждение верно и...».
Таким образом, следующие два утверждения эквивалентны:
Последнее является простым противоречием формы «A и не A», и, следовательно, ложно. Следовательно, парадокса нет, поскольку утверждение, что этот двухконъюнктный Лжец ложный, не приводит к противоречию. Юджин Миллс представляет похожий ответ. [15]
Сол Крипке утверждал, что парадоксальное предложение или нет может зависеть от случайных фактов. [11] : 6 Если единственное, что Смит говорит о Джонсе, это
а Джонс говорит о Смите только три вещи:
Если Смит действительно тратит много денег, но не снисходителен к преступности, то и замечание Смита о Джонсе, и последнее замечание Джонса о Смите парадоксальны.
Крипке предлагает решение следующим образом. Если истинностное значение утверждения в конечном итоге связано с каким-то оценочным фактом о мире, то это утверждение «обосновано». Если нет, то это утверждение «необоснованно». Необоснованные утверждения не имеют истинностного значения. Лживые утверждения и лжеподобные утверждения необоснованны и, следовательно, не имеют истинностного значения.
Джон Барвайз и Джон Этчеменди предполагают, что предложение лжеца (которое они интерпретируют как синоним Усиленного лжеца) является двусмысленным. Они основывают этот вывод на различии, которое они проводят между «отрицанием» и «отрицанием». Если лжец имеет в виду: «Это утверждение неверно», то он отрицает себя. Если он имеет в виду: «Это утверждение неверно», то он отрицает себя. Они продолжают утверждать, основываясь на семантике ситуации , что «отрицающий лжец» может быть истинным без противоречия, в то время как «отрицающий лжец» может быть ложным без противоречия. Их книга 1987 года активно использует необоснованную теорию множеств . [16]
Грэм Прист и другие логики, включая Дж. К. Билла и Брэдли Армор-Гарба, предложили считать предложение лжеца как истинным, так и ложным, точка зрения, известная как диалетеизм . Диалетеизм — это точка зрения, согласно которой существуют истинные противоречия. Диалетеизм поднимает свои собственные проблемы. Главная из них заключается в том, что, поскольку диалетеизм признает парадокс лжеца, внутреннее противоречие, как истинное, он должен отказаться от давно признанного принципа взрыва , который утверждает, что любое предложение может быть выведено из противоречия, если только диалетеист не готов принять тривиализм — точку зрения, согласно которой все предложения истинны. Поскольку тривиализм является интуитивно ложным представлением, диалетеисты почти всегда отвергают принцип взрыва. Логики, которые его отвергают, называются паранепротиворечивыми .
Эндрю Ирвин выступил в пользу некогнитивистского решения парадокса, предположив, что некоторые, казалось бы, правильно сформулированные предложения не окажутся ни истинными, ни ложными и что «одних лишь формальных критериев неизбежно будет недостаточно» для разрешения парадокса. [7]
Индийский грамматист и философ Бхартрихари (конец пятого века н. э.) рассматривал парадоксы, такие как лжец, в разделе одной из глав своего главного труда Вакьяпадия. [ требуется ссылка ] Решение Бхартрихари вписывается в его общий подход к языку, мышлению и реальности, который некоторые характеризуют как «релятивистский», «уклончивый» или «перспективистский». [17] Что касается парадокса лжеца ( sarvam mithyā bravīmi «все, что я говорю, ложно»), Бхартрихари определяет скрытый параметр, который может превратить непроблемные ситуации в повседневном общении в упрямый парадокс. Решение Бхартрихари можно понять в терминах решения, предложенного в 1992 году Джулианом Робертсом: «Парадоксы поглощают сами себя. Но мы можем разделить враждующие стороны противоречия с помощью простого приема временной контекстуализации: то, что является «истинным» по отношению к одному моменту времени, не обязательно должно быть таковым в другом... Общая сила «остиновского» аргумента заключается не только в том, что «вещи меняются», но и в том, что рациональность по сути своей временна, поскольку нам нужно время, чтобы примирить и управлять тем, что в противном случае было бы взаимно разрушительными состояниями». [18] Согласно предложению Роберта, именно фактор «время», позволяющий нам примирить разделенные «части мира», играет решающую роль в решении Барвайза и Этчеменди. [16] : 188 Способность времени предотвращать прямое столкновение двух «частей мира» здесь является внешней по отношению к «лжецу». Однако в свете анализа Бхартрихари протяженность во времени, разделяющая две точки зрения на мир или две «части мира» — часть до и часть после того, как функция выполнит свою задачу, — присуща любой «функции»: также и функция обозначения, которая лежит в основе каждого утверждения, включая «лжец». [5] [ необходимо разъяснение ] Неразрешимый парадокс — ситуация, в которой мы имеем либо противоречие ( виродха ), либо бесконечный регресс ( анавастха ), — возникает в случае лжеца и других парадоксов, таких как парадокс незначимости ( парадокс Бхартрихари ), когда абстрагирование производится от этой функции ( вьяпара ) и ее протяженности во времени путем принятия одновременной, противоположной функции ( апара вьяпара ), отменяющей предыдущую.
Для лучшего понимания парадокса лжеца полезно записать его более формально. Если «это утверждение ложно» обозначается как A и ищется его истинностное значение, необходимо найти условие, ограничивающее выбор возможных истинностных значений A. Поскольку A является самореферентным , можно задать условие уравнением.
Если предполагается, что некоторое утверждение B ложно, то пишут: «B = ложь». Утверждение (C) о том, что утверждение B ложно, будет записано как «C = 'B = ложь ' ». Теперь парадокс лжеца можно выразить как утверждение A о том, что A ложно:
Это уравнение, из которого можно было бы получить истинностное значение A = «это утверждение ложно». В булевой области «A = ложь» эквивалентно «не A», и поэтому уравнение неразрешимо. Это мотивация для переинтерпретации A. Простейшим логическим подходом, чтобы сделать уравнение разрешимым, является диалектеистический подход, в котором решение заключается в том, что A является как «истинным», так и «ложным». Другие решения в основном включают некоторые модификации уравнения; Артур Прайор утверждает, что уравнение должно быть «A = 'A = ложь и A = истина ' », и поэтому A ложно. В вычислительной глагольной логике парадокс лжеца распространяется на утверждения типа «Я слышу, что он говорит; он говорит то, чего я не слышу», где для разрешения парадокса должна использоваться глагольная логика. [19]
Теоремы Гёделя о неполноте — это две фундаментальные теоремы математической логики , которые устанавливают неотъемлемые ограничения достаточно мощных аксиоматических систем математики. Теоремы были доказаны Куртом Гёделем в 1931 году и играют важную роль в философии математики. Грубо говоря, при доказательстве первой теоремы о неполноте Гёдель использовал модифицированную версию парадокса лжеца, заменив «это предложение ложно» на «это предложение недоказуемо», названную «предложением Гёделя G». Его доказательство показало, что для любой достаточно мощной теории T, G истинно, но недоказуемо в T. Анализ истинности и доказуемости G является формализованной версией анализа истинности предложения лжеца. [20]
Чтобы доказать первую теорему о неполноте, Гёдель представил утверждения числами . Затем рассматриваемая теория, которая, как предполагается, доказывает определенные факты о числах, также доказывает факты о своих собственных утверждениях. Вопросы о доказуемости утверждений представлены как вопросы о свойствах чисел, которые были бы разрешимы теорией, если бы она была полной. В этих терминах предложение Гёделя утверждает, что не существует натурального числа с определенным странным свойством. Число с этим свойством кодировало бы доказательство непротиворечивости теории. Если бы такое число существовало, то теория была бы непротиворечивой, вопреки гипотезе о непротиворечивости. Таким образом, при предположении, что теория непротиворечива, такого числа не существует.
Невозможно заменить «не доказуемо» на «ложно» в предложении Гёделя, поскольку предикат «Q — это гёделев номер ложной формулы» не может быть представлен как формула арифметики. Этот результат, известный как теорема Тарского о невыразимости , был открыт независимо Гёделем (когда он работал над доказательством теоремы о неполноте) и Альфредом Тарским .
С тех пор Джордж Булос набросал альтернативное доказательство первой теоремы о неполноте, которое использует парадокс Берри вместо парадокса лжеца для построения истинной, но недоказуемой формулы.
Парадокс лжеца иногда используется в художественной литературе, чтобы отключить искусственный интеллект, который представлен как неспособный обработать предложение. В эпизоде « Я, Мадд » сериала « Звездный путь: Оригинальный сериал » парадокс лжеца используется капитаном Кирком и Гарри Маддом, чтобы сбить с толку и в конечном итоге отключить андроида, держащего их в плену. В сериале «Доктор Кто» 1973 года «Зеленая смерть » Доктор временно ставит в тупик безумного компьютера БОСС, спрашивая его: «Если бы я сказал тебе, что следующее, что я скажу, будет правдой, но последнее, что я сказал, было ложью, ты бы мне поверил?» БОСС пытается разобраться, но не может и в конце концов решает, что вопрос неуместен, и вызывает охрану.
В фильме 1967 года « Ослепленный желаниями » Дьявол говорит своему объекту, Стэнли Муну, что «всё, что он говорит, — ложь, включая это».
В видеоигре Portal 2 2011 года искусственный интеллект GLaDOS пытается использовать парадокс «это предложение ложно», чтобы убить другой искусственный интеллект, Уитли . Однако, не имея достаточно интеллекта, чтобы понять, что утверждение является парадоксом, он просто отвечает: «Эм, правда. Я выберу правду. Вот, это было легко». и не подвергается воздействию. Забавно, что все остальные присутствующие ИИ, за исключением GLaDOS, все из которых значительно менее разумны и ясны, чем она и Уитли, все равно погибают, услышав парадокс. Однако позже GLaDOS замечает, что она чуть не покончила с собой, пытаясь убить Уитли.
В песне Devo «Enough Said» есть такие слова: «Следующее, что я скажу тебе, будет правдой/Последнее, что я сказал, было ложью».
В седьмом эпизоде Minecraft: Story Mode под названием «Доступ запрещен» главный герой Джесси и его друзья попадают в плен к суперкомпьютеру PAMA. После того, как PAMA контролирует двух друзей Джесси, Джесси узнаёт, что PAMA останавливается при обработке и использует парадокс, чтобы сбить его с толку и сбежать с их последним другом. Один из парадоксов, который игрок может заставить Джесси произнести, — это парадокс лжеца.
Песня Роберта Эрла Кина "The Road Goes On and On" упоминает этот парадокс. Песня является частью вражды Кина с Тоби Кейтом, который, предположительно, является тем "лжецом", о котором говорит Кин. [21]
