Линза

Оптическое устройство, которое пропускает и преломляет свет.

Аппарат для сжигания, состоящий из двух двояковыпуклых линз

Линза — это пропускающее оптическое устройство, которое фокусирует или рассеивает световой луч посредством преломления . Простая линза состоит из одного куска прозрачного материала , в то время как составная линза состоит из нескольких простых линз ( элементов ), обычно расположенных вдоль общей оси . Линзы изготавливаются из таких материалов, как стекло или пластик , и шлифуются , полируются или формуются до необходимой формы. Линза может фокусировать свет для формирования изображения , в отличие от призмы , которая преломляет свет без фокусировки. Устройства, которые аналогичным образом фокусируют или рассеивают волны и излучение, отличное от видимого света, также называются «линзами», например, микроволновые линзы, электронные линзы , акустические линзы или взрывные линзы .

Линзы используются в различных устройствах формирования изображения, таких как телескопы , бинокли и камеры . Они также используются в качестве визуальных вспомогательных средств в очках для коррекции дефектов зрения, таких как близорукость и гиперметропия .

История

Свет, преломляющийся в сферическом стеклянном сосуде, наполненном водой. Роджер Бэкон , 13 век

Объектив для LSST , планируемого телескопа для обзора неба ^{[ требуется обновление ]}

Слово линза происходит от lēns , латинского названия чечевицы ( семени растения чечевицы), потому что двояковыпуклая линза имеет форму чечевицы. Чечевица также дает свое название геометрической фигуре . [ ^a]

Некоторые ученые утверждают, что археологические свидетельства указывают на то, что в древности линзы широко использовались на протяжении нескольких тысячелетий. ^[1] Так называемая линза Нимруда — это артефакт из горного хрусталя, датируемый 7 веком до н. э., который мог использоваться как увеличительное стекло или зажигательное стекло, а мог и не использоваться. ^{[2] [3] [4]} Другие предполагают, что некоторые египетские иероглифы изображают «простые стеклянные менисковые линзы». ^{[5] [ требуется проверка ]}

Самое древнее достоверное упоминание об использовании линз содержится в пьесе Аристофана « Облака » (424 г. до н. э.), где упоминается зажигательное стекло. ^[6] Плиний Старший (I в. н. э.) подтверждает, что зажигательные стекла были известны в римский период. ^[7] Плиний также имеет самое раннее известное упоминание об использовании корректирующей линзы , когда он упоминает, что Нерон , как говорят, наблюдал за гладиаторскими играми, используя изумруд (предположительно, вогнутый, чтобы исправить близорукость , хотя ссылка неясна). ^[8] И Плиний, и Сенека Младший (3 г. до н. э. – 65 г. н. э.) описали увеличительный эффект стеклянного шара, наполненного водой.

Птолемей (II век) написал книгу по оптике , которая, однако, сохранилась только в латинском переводе неполного и очень плохого арабского перевода. Книга, однако, была получена средневековыми учеными в исламском мире и прокомментирована Ибн Сахлем (X век), который, в свою очередь, был улучшен Альхазеном ( Книга оптики , XI век). Арабский перевод оптики Птолемея стал доступен в латинском переводе в XII веке ( Евгений Палермский 1154). Между XI и XIII веками были изобретены « камни для чтения ». Это были примитивные плоско-выпуклые линзы, первоначально сделанные путем разрезания стеклянной сферы пополам. Средневековые (XI или XII века) линзы Висбю из горного хрусталя могли быть предназначены или не быть предназначены для использования в качестве зажигательных стекол. ^[9]

Очки были изобретены как усовершенствование «камней для чтения» периода высокого средневековья в Северной Италии во второй половине XIII века. ^[10] Это было началом оптической промышленности шлифовки и полировки линз для очков, сначала в Венеции и Флоренции в конце XIII века, ^[11] а затем в центрах изготовления очков как в Нидерландах , так и в Германии . ^[12] Производители очков создали улучшенные типы линз для коррекции зрения, основанные больше на эмпирических знаниях, полученных при наблюдении за эффектами линз (вероятно, без знания элементарной оптической теории того времени). ^{[13] [14]} Практическое развитие и эксперименты с линзами привели к изобретению составного оптического микроскопа около 1595 года и рефракционного телескопа в 1608 году, оба из которых появились в центрах изготовления очков в Нидерландах . ^{[15] [16]}

С изобретением телескопа и микроскопа в 17-м и начале 18-го веков проводилось много экспериментов с формами линз, которые пытались исправить хроматические ошибки, наблюдаемые в линзах. Оптики пытались сконструировать линзы с различными формами кривизны, ошибочно предполагая, что ошибки возникают из-за дефектов сферической формы их поверхностей. ^[17] Оптическая теория преломления и эксперименты показывали, что ни одна линза из одного элемента не может сфокусировать все цвета. Это привело к изобретению составной ахроматической линзы Честером Муром Холлом в Англии в 1733 году, изобретение, также заявленное англичанином Джоном Доллондом в патенте 1758 года.

Развитие трансатлантической торговли послужило толчком к строительству современных маяков в 18 веке, которые используют комбинацию возвышенных линий визирования, источников освещения и линз для обеспечения навигационной помощи за рубежом. При максимальном расстоянии видимости, необходимом для маяков, обычные выпуклые линзы должны были бы быть значительно большего размера, что отрицательно повлияло бы на развитие маяков с точки зрения стоимости, дизайна и реализации. Были разработаны линзы Френеля, которые учитывали эти ограничения, показывая меньше материала за счет их концентрического кольцевого сечения. Впервые они были полностью реализованы в маяке в 1823 году. ^[18]

Конструкция простых линз

Большинство линз являются сферическими линзами : их две поверхности являются частями поверхностей сфер. Каждая поверхность может быть выпуклой (выпуклой наружу от линзы), вогнутой (вдавленной в линзу) или плоской (плоской). Линия, соединяющая центры сфер, составляющих поверхности линзы, называется осью линзы . Обычно ось линзы проходит через физический центр линзы из-за способа их изготовления. Линзы могут быть обрезаны или отшлифованы после изготовления, чтобы придать им другую форму или размер. В этом случае ось линзы может не проходить через физический центр линзы.

Торические или сфероцилиндрические линзы имеют поверхности с двумя разными радиусами кривизны в двух ортогональных плоскостях. Они имеют разную фокусную силу в разных меридианах. Это образует астигматическую линзу. Примером являются очковые линзы, которые используются для коррекции астигматизма в чьем-то глазу.

Типы простых линз

Типы линз

Линзы классифицируются по кривизне двух оптических поверхностей. Линза является двояковыпуклой (или дважды выпуклой , или просто выпуклой ), если обе поверхности выпуклые. Если обе поверхности имеют одинаковый радиус кривизны, линза является равновыпуклой . Линза с двумя вогнутыми поверхностями является двояковыпуклой (или просто вогнутой ). Если одна из поверхностей плоская, линза является плосковыпуклой или плосковогнутой в зависимости от кривизны другой поверхности. Линза с одной выпуклой и одной вогнутой стороной является выпукло-вогнутой или мениском . Выпукло-вогнутые линзы чаще всего используются в корректирующих линзах , поскольку форма минимизирует некоторые аберрации.

Для двояковыпуклой или плосковыпуклой линзы в среде с меньшим показателем преломления коллимированный пучок света, проходящий через линзу, сходится в пятно ( фокус ) за линзой. В этом случае линза называется положительной или собирательной линзой. Для тонкой линзы в воздухе расстояние от линзы до пятна является фокусным расстоянием линзы, которое обычно обозначается как f в диаграммах и уравнениях. Расширенная полусферическая линза — это особый тип плосковыпуклой линзы, в которой изогнутая поверхность линзы представляет собой полную полусферу, а линза намного толще радиуса кривизны.

Другим крайним случаем толстой выпуклой линзы является шарообразная линза , форма которой полностью круглая. При использовании в новаторской фотографии ее часто называют «lensball». Шарообразная линза имеет преимущество в том, что она всенаправленная, но для большинства типов оптического стекла ее фокусная точка находится близко к поверхности шара. Из-за крайностей кривизны шара по сравнению с размером линзы оптическая аберрация намного хуже, чем у тонких линз, за ​​исключением хроматической аберрации .

Для двояковогнутой или плосковогнутой линзы в среде с меньшим показателем преломления коллимированный пучок света, проходящий через линзу, расходится (распространяется); линза, таким образом, называется отрицательной или рассеивающей линзой. Луч, пройдя через линзу, кажется исходящим из определенной точки на оси перед линзой. Для тонкой линзы в воздухе расстояние от этой точки до линзы является фокусным расстоянием, хотя оно отрицательно по отношению к фокусному расстоянию собирающей линзы.

Поведение меняется на противоположное, если линзу поместить в среду с более высоким показателем преломления, чем у материала линзы. В этом случае двояковыпуклая или плосковыпуклая линза рассеивает свет, а двояковогнутая или плосковогнутая собирает его.

Менисковые линзы: отрицательные (вверху) и положительные (внизу)

Выпукло-вогнутые (менисковые) линзы могут быть как положительными, так и отрицательными, в зависимости от относительной кривизны двух поверхностей. Отрицательная менисковая линза имеет более крутую вогнутую поверхность (с меньшим радиусом, чем выпуклая поверхность) и тоньше в центре, чем на периферии. И наоборот, положительная менисковая линза имеет более крутую выпуклую поверхность (с меньшим радиусом, чем вогнутая поверхность) и толще в центре, чем на периферии.

Идеальная тонкая линза с двумя поверхностями одинаковой кривизны (также одинаковыми по знаку) имела бы нулевую оптическую силу (поскольку ее фокусное расстояние становится бесконечным, как показано в уравнении изготовителя линз), что означает, что она не будет ни сходиться, ни расходиться с светом. Однако все реальные линзы имеют ненулевую толщину, что делает реальную линзу с идентичными кривыми поверхностями слегка положительной. Чтобы получить точно нулевую оптическую силу, менисковая линза должна иметь слегка неравную кривизну, чтобы учесть эффект толщины линзы.

Для сферической поверхности

Моделирование рефракции на сферической поверхности в Desmos

Для однократного преломления для круглой границы связь между объектом и его изображением в параксиальном приближении определяется выражением ^{[19] [20]}

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$$

где R — радиус сферической поверхности, n ₂ — показатель преломления материала поверхности, n ₁ — показатель преломления среды (среды, отличной от материала сферической поверхности), — осевое (на оптической оси) расстояние объекта от линии, перпендикулярной оси, к точке преломления на поверхности (высота которой равна h ), а — осевое расстояние изображения от линии. Из-за параксиального приближения, когда линия h находится близко к вершине сферической поверхности, пересекающейся с оптической осью слева, и также считаются расстояниями относительно вершины. ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$

Движение к правой бесконечности приводит к первому или объектному фокусному расстоянию для сферической поверхности. Аналогично, движение к левой бесконечности приводит ко второму или изображенному фокусному расстоянию . ^[21] ${\textstyle v}$ ${\textstyle f_{0}}$ ${\textstyle u}$ ${\displaystyle f_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&={\frac {n_{1}}{n_{2}-n_{1}}}R,\\f_{i}&={\frac {n_{2}}{n_{2}-n_{1}}}R\end{aligned}}}$$

Применив это уравнение к двум сферическим поверхностям линзы и приблизив толщину линзы к нулю (то есть к тонкой линзе), получаем формулу изготовителя линз.

Вывод

Четыре случая сферической рефракции

Применяя закон Снеллиуса к сферической поверхности, ${\displaystyle n_{1}\sin i=n_{2}\sin r\,.}$

Также на диаграмме , и используя приближение малых углов (параксиальное приближение) и исключая i , r и θ , $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(i-\theta )&={\frac {h}{u}}\\\tan(\theta -r)&={\frac {h}{v}}\\\sin \theta &={\frac {h}{R}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {n_{2}}{v}}+{\frac {n_{1}}{u}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}\,.}$$

Уравнение Линзмейкера

Положение фокуса сферической линзы зависит от радиусов кривизны двух граней.

(Эффективное) фокусное расстояние сферической линзы в воздухе или вакууме для параксиальных лучей можно рассчитать по уравнению изготовителя линз : ^{[22] [23]} ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}=(n-1)\left[{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ (n-1)\ d\ }{n\ R_{1}R_{2}}}\right]\ ,}$$где

• n — показатель преломления материала линзы;
• R ₁ — (обозначен, см. ниже) радиус кривизны поверхности линзы, ближайшей к источнику света;
• R ₂ — радиус кривизны поверхности линзы, удаленной от источника света; и
• d — толщина линзы (расстояние вдоль оси линзы между двумя вершинами поверхности ).

Фокусное расстояние f относительно главных плоскостей линзы, а расположение главных плоскостей относительно соответствующих вершин линзы определяется следующими формулами, где оно имеет положительное значение, если оно находится прямо относительно соответствующей вершины. ^[23] ${\textstyle h_{1}}$ ${\textstyle h_{2}}$

$${\displaystyle h_{1}=-{\frac {f(n-1)d}{R_{2}n}}}$$ $${\displaystyle h_{2}=-{\frac {f(n-1)d}{R_{1}n}}}$$

f положительно для собирающих линз и отрицательно для рассеивающих линз. Обратная величина фокусного расстояния, f ⁻¹ , является оптической силой линзы. Если фокусное расстояние выражено в метрах, это дает оптическую силу в диоптриях (обратных метрах).

Линзы имеют одинаковое фокусное расстояние, когда свет идет сзади вперед, и когда свет идет спереди назад. Другие свойства линзы, такие как аберрации, не одинаковы в обоих направлениях.

Правило знаков для радиусов кривизныР ₁иР ₂

Знаки радиусов кривизны линзы указывают, являются ли соответствующие поверхности выпуклыми или вогнутыми. Соглашение о знаках, используемое для представления этого, варьируется ^{[ требуется ссылка ]} , но в этой статье положительный R указывает на то, что центр кривизны поверхности находится дальше по направлению движения луча (справа, на прилагаемых диаграммах), тогда как отрицательный R означает, что лучи, достигающие поверхности, уже прошли центр кривизны. Следовательно, для внешних поверхностей линзы, как показано на диаграмме выше, R ₁ > 0 и R ₂ < 0 указывают на выпуклые поверхности (используемые для сведения света в положительной линзе), тогда как R ₁ < 0 и R ₂ > 0 указывают на вогнутые поверхности. Обратная величина радиуса кривизны называется кривизной . Плоская поверхность имеет нулевую кривизну, а ее радиус кривизны бесконечен .

Соглашение о знаках для других параметров

Похоже, что это соглашение в основном используется в этой статье, хотя существует и другое соглашение, например, декартово соглашение о знаках, требующее иных форм уравнений линзы.

Приближение тонкой линзы

Если d мало по сравнению с R ₁ и R _{2 ,} то можно сделать приближение тонкой линзы . Для линзы в воздухе f   тогда определяется как ^[25]

$${\displaystyle {\frac {1}{\ f\ }}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right]\,.}$$

Вывод

Диаграмма для уравнения сферической линзы с параксиальными лучами.

Уравнение сферической тонкой линзы в параксиальном приближении выводится здесь относительно правого рисунка. ^[25] Первая сферическая поверхность линзы (которая встречается с оптической осью в точке , являющейся ее вершиной) отображает точку объекта на оси O в виртуальное изображение I' , которое можно описать следующим уравнением: Для отображения второй поверхностью линзы, принимая указанное выше соглашение о знаках, и Сложение этих двух уравнений дает: Для приближения тонкой линзы, где , второй член правой части исчезает, поэтому ${\textstyle V_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{2}}{v'}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{1}}}.}$$ ${\textstyle u'=-v'+d}$ $${\displaystyle {\frac {n_{2}}{-v'+d}}+{\frac {n_{1}}{v}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{1}}{v}}=(n_{2}-n_{1})({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}})+{\frac {n_{2}d}{(v'-d)v'}}.}$$ ${\displaystyle d\rightarrow 0}$

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{u}}+{\frac {n_{1}}{v}}=(n_{2}-n_{1})({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}).}$$

Фокусное расстояние тонкой линзы находится путем ограничения , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle u\rightarrow -\infty }$

$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{f}}=(n_{2}-n_{1})({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}})\rightarrow {\frac {1}{f}}=({\frac {n_{2}}{n_{1}}}-1)({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}).}$$

Итак, уравнение тонкой линзы Гаусса имеет вид

$${\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}}.}$$

Для тонкой линзы в воздухе или вакууме, где можно предположить, становится ${\textstyle n_{1}=1}$ ${\textstyle f}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}})}$$

где нижний индекс 2 опущен. ${\textstyle n_{2}}$

Свойства изображения

Как упоминалось выше, положительная или собирательная линза в воздухе фокусирует коллимированный пучок, проходящий вдоль оси линзы, в точку (известную как фокусная точка ) на расстоянии f от линзы. И наоборот, точечный источник света, помещенный в фокусную точку, преобразуется линзой в коллимированный пучок. Эти два случая являются примерами формирования изображения в линзах. В первом случае объект на бесконечном расстоянии (представленный коллимированным пучком волн) фокусируется в изображение в фокусной точке линзы. Во втором случае объект на фокусном расстоянии от линзы отображается в бесконечности. Плоскость, перпендикулярная оси линзы, расположенная на расстоянии f от линзы, называется фокальной плоскостью .

Уравнение линзы

Для параксиальных лучей , если расстояния от объекта до сферической тонкой линзы (линзы пренебрежимо малой толщины) и от линзы до изображения равны S ₁ и S ₂ соответственно, расстояния связаны формулой (Гауссовой) тонкой линзы : ^{[26] [27] [28]}

$${\displaystyle {1 \over f}={1 \over S_{1}}+{1 \over S_{2}}\,.}$$

Изображение одиночной тонкой линзы с главными лучами

На правом рисунке показано, как можно найти изображение точки объекта с помощью трех лучей; первый луч параллельно падает на линзу и преломляется к ее второй фокусной точке, второй луч пересекает оптический центр линзы (поэтому его направление не меняется), а третий луч движется к первой фокусной точке и преломляется в направлении, параллельном оптической оси. Это простой метод трассировки лучей, который легко использовать. Двух лучей из трех достаточно для определения местоположения точки изображения. Перемещая объект вдоль оптической оси, можно показать, что второй луч определяет размер изображения, в то время как другие лучи помогают определить местоположение изображения.

Уравнение линзы можно также представить в «ньютоновской» форме: ^[24]

$${\displaystyle f^{2}=x_{1}x_{2}\,,}$$

где и положительно, если он слева от передней фокусной точки , и положительно, если он справа от задней фокусной точки . Поскольку положительно, точка объекта и соответствующая точка изображения, создаваемая линзой, всегда находятся в противоположных сторонах относительно их соответствующих фокусных точек. ( и либо положительны, либо отрицательны.) ${\displaystyle x_{1}=S_{1}-f}$ ${\displaystyle x_{2}=S_{2}-f\,.}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle F_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$ ${\textstyle F_{2}}$ ${\textstyle f^{2}}$ ${\textstyle x_{1}}$ ${\textstyle x_{2}}$

Эту ньютоновскую форму уравнения линзы можно вывести, используя сходство между треугольниками P ₁ P _O1 F ₁ и L ₃ L ₂ F ₁ и другое сходство между треугольниками L ₁ L ₂ F ₂ и P ₂ P ₀₂ F ₂ на правом рисунке. Сходства дают следующие уравнения, а объединение этих результатов дает ньютоновскую форму уравнения линзы.

$${\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{f}}\\{\frac {y_{1}}{f}}={\frac {\left\vert y_{2}\right\vert }{x_{2}}}\end{array}}}$$

Схема формирования изображения с помощью одной толстой линзы. H ₁ и H ₂ — главные точки, в которых главные плоскости толстой линзы пересекают оптическую ось. Если пространство объекта и пространство изображения являются одной и той же средой, то эти точки также являются узловыми точками .

Объектив камеры формирует реальное изображение удаленного объекта.

Вышеуказанные уравнения справедливы также для толстых линз (включая составную линзу, состоящую из нескольких линз, которую можно рассматривать как толстую линзу) в воздухе или вакууме (которую показатель преломления можно рассматривать как 1), если , , и относятся к главным плоскостям линзы ( в этом случае — эффективное фокусное расстояние ). ^[23] Это происходит из-за сходства треугольников, как в случае тонкой линзы выше; сходства между треугольниками P ₁ P _O1 F ₁ и L ₃ H ₁ F ₁ и другого сходства между треугольниками L ₁ ' H ₂ F ₂ и P ₂ P ₀₂ F ₂ на правом рисунке. Если расстояния S ₁ или S ₂ проходят через среду, отличную от воздуха или вакуума, то требуется более сложный анализ. ${\textstyle S_{1}}$ ${\textstyle S_{2}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$

Если объект помещен на расстоянии S ₁ > f от положительной линзы с фокусным расстоянием f , мы найдем изображение на расстоянии S ₂ согласно этой формуле. Если экран помещен на расстоянии S ₂ с противоположной стороны линзы, на нем формируется изображение. Такое изображение, которое может быть спроецировано на экран или датчик изображения , известно как действительное изображение . Это принцип работы камеры , а также человеческого глаза , в котором сетчатка служит датчиком изображения.

Настройка фокусировки камеры регулирует S ₂ , так как использование расстояния изображения, отличного от требуемого этой формулой, дает расфокусированное (размытое) изображение для объекта на расстоянии S ₁ от камеры. Другими словами, изменение S ₂ приводит к тому, что объекты на другом S ₁ попадают в идеальную фокусировку.

Формирование виртуального изображения с использованием положительной линзы в качестве увеличительного стекла. ^[29]

В некоторых случаях S ₂ является отрицательным, что указывает на то, что изображение формируется на противоположной стороне линзы от того места, где рассматриваются эти лучи. Поскольку расходящиеся световые лучи, исходящие из линзы, никогда не фокусируются, и эти лучи физически не присутствуют в точке, где они, по-видимому, формируют изображение, это называется мнимым изображением . В отличие от реальных изображений, мнимое изображение не может быть спроецировано на экран, но кажется наблюдателю, смотрящему через линзу, как если бы это был реальный объект в месте расположения этого мнимого изображения. Аналогично, оно кажется последующей линзе как если бы это был объект в этом месте, так что вторая линза может снова сфокусировать этот свет в реальное изображение, S ₁ затем измеряется от места расположения мнимого изображения за первой линзой до второй линзы. Это именно то, что делает глаз, глядя через увеличительное стекло . Увеличительное стекло создает (увеличенное) мнимое изображение за увеличительным стеклом, но эти лучи затем повторно отображаются хрусталиком глаза, чтобы создать реальное изображение на сетчатке .

Используя положительную линзу с фокусным расстоянием f , мнимое изображение получается, когда S ₁ < f , таким образом, линза используется как увеличительное стекло (а не если S ₁ ≫ f, как для камеры). Используя отрицательную линзу ( f < 0 ) с реальным объектом ( S ₁ > 0 ) можно получить только мнимое изображение ( S ₂ < 0 ), согласно приведенной выше формуле. Также возможно, что расстояние до объекта S ₁ будет отрицательным, в этом случае линза видит так называемый мнимый объект . Это происходит, когда линза вставляется в сходящийся пучок (будучи сфокусированной предыдущей линзой) до расположения ее реального изображения. В этом случае даже отрицательная линза может проецировать реальное изображение, как это делает линза Барлоу .

Для данной линзы с фокусным расстоянием f минимальное расстояние между объектом и реальным изображением равно 4 f ( S ₁ = S ₂ = 2 f ). Это выводится путем выражения L = S ₁ + S ₂ , выражения S ₂ через S ₁ с помощью уравнения линзы (или выражения S ₁ через S ₂ ) и приравнивания производной L по S ₁ (или S ₂ ) к нулю. (Обратите внимание, что L не имеет предела увеличения, поэтому ее экстремумом является только минимум, при котором производная L равна нулю.)

Увеличение

Линейное увеличение системы формирования изображения с использованием одной линзы определяется по формуле

$${\displaystyle M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}\ =-{\frac {f}{x_{1}}}}$$

где M — коэффициент увеличения, определяемый как отношение размера изображения к размеру объекта. Соглашение о знаках здесь гласит, что если M отрицательно, как для реальных изображений, то изображение перевернуто по отношению к объекту. Для виртуальных изображений M положительно, поэтому изображение прямое.

Эта формула увеличения дает два простых способа различения собирающих ( f > 0 ) и рассеивающих ( f < 0 ) линз: для объекта, расположенного очень близко к линзе ( 0 < S ₁ < | f | ), собирающая линза будет формировать увеличенное (большее) мнимое изображение, тогда как рассеивающая линза будет формировать уменьшенное (меньшее) изображение; для объекта, расположенного очень далеко от линзы ( S ₁ > | f | > 0 ), собирающая линза будет формировать перевернутое изображение, тогда как рассеивающая линза будет формировать прямое изображение.

Линейное увеличение M не всегда является наиболее полезной мерой увеличительной способности. Например, при характеристике визуального телескопа или бинокля, которые создают только виртуальное изображение, больше внимания будет уделяться угловому увеличению , которое выражает, насколько больше удаленный объект кажется через телескоп по сравнению с невооруженным глазом. В случае камеры можно было бы сослаться на шкалу пластины , которая сравнивает видимый (угловой) размер удаленного объекта с размером реального изображения, создаваемого в фокусе. Шкала пластины является обратной величиной фокусного расстояния объектива камеры; объективы классифицируются как длиннофокусные объективы или широкоугольные объективы в соответствии с их фокусным расстоянием.

Использование неподходящего измерения увеличения может быть формально правильным, но давать бессмысленное число. Например, использование увеличительного стеклаФокусное расстояние 5 см , удерживается20 см от глаза и5 см от объекта, создает виртуальное изображение на бесконечности бесконечного линейного размера: M = ∞ . Но угловое увеличение равно 5, что означает, что объект кажется глазу в 5 раз больше, чем без линзы. При съемке луны с помощью камеры с50 мм объектив, не имеет значения линейное увеличение M ≈−50 мм /380 000  км =−1,3 × 10 ⁻¹⁰ . Скорее, масштаб пластины камеры составляет около1°/мм , из чего можно сделать вывод, чтоИзображение на пленке размером 0,5 мм соответствует угловому размеру Луны, наблюдаемому с Земли, около 0,5°.

В крайнем случае, когда объект находится на бесконечном расстоянии, S ₁ = ∞ , S ₂ = f и M = − f /∞ = 0 , что указывает на то, что объект будет отображен в одну точку в фокальной плоскости. Фактически, диаметр проецируемого пятна на самом деле не равен нулю, поскольку дифракция накладывает нижний предел на размер функции рассеяния точки . Это называется дифракционным пределом .

Изображения черных букв в тонкой выпуклой линзе с фокусным расстоянием f показаны красным цветом. Выбранные лучи показаны для букв E , I и K синим, зеленым и оранжевым цветом соответственно. E (при 2 f ) имеет равновеликое, действительное и перевернутое изображение; I (при f ) имеет свое изображение на бесконечности ; а K (при f /2 ) имеет двойное, мнимое и прямое изображение. Обратите внимание, что изображения букв H, I, J и i расположены далеко от линзы, поэтому они здесь не показаны. Здесь также показано, что луч, который параллельно падает на линзу и преломляется ко второй фокусной точке f , определяет размер изображения, в то время как другие лучи помогают определить местоположение изображения.

Таблица свойств изображения тонкой линзы

Аберрации

Линзы не формируют идеальные изображения и всегда вносят некоторую степень искажения или аберрации , которые делают изображение несовершенной копией объекта. Тщательное проектирование системы линз для конкретного применения минимизирует аберрацию. Несколько типов аберрации влияют на качество изображения, включая сферическую аберрацию, кому и хроматическую аберрацию.

Сферическая аберрация

Сферическая аберрация возникает из-за того, что сферические поверхности не являются идеальной формой для линзы, но являются самой простой формой, до которой можно отшлифовать и отполировать стекло , и поэтому часто используются. Сферическая аберрация приводит к тому, что лучи, параллельные, но удаленные вбок от оси линзы, фокусируются в немного другом месте, чем лучи, близкие к оси. Это проявляется в виде размытия изображения. Сферическую аберрацию можно минимизировать с помощью обычных форм линз, тщательно выбирая кривизну поверхности для конкретного применения. Например, плосковыпуклая линза, которая используется для фокусировки коллимированного луча, создает более четкое фокусное пятно при использовании выпуклой стороной к источнику луча.

кома

Кома , или коматическая аберрация , получила свое название от кометоподобного вида аберрированного изображения. Кома возникает, когда объект отображается вне оптической оси линзы, где лучи проходят через линзу под углом к ​​оси θ . Лучи, проходящие через центр линзы с фокусным расстоянием f , фокусируются в точке на расстоянии f tan θ от оси. Лучи, проходящие через внешние края линзы, фокусируются в разных точках, либо дальше от оси (положительная кома), либо ближе к оси (отрицательная кома). В общем, пучок параллельных лучей, проходящих через линзу на фиксированном расстоянии от центра линзы, фокусируется в кольцеобразное изображение в фокальной плоскости, известное как коматический круг (см. каждый круг изображения на рисунке ниже). Сумма всех этих кругов приводит к V-образной или кометоподобной вспышке. Как и в случае сферической аберрации, кому можно минимизировать (а в некоторых случаях и устранить), выбрав кривизну двух поверхностей линзы в соответствии с применением. Линзы, в которых минимизированы как сферическая аберрация, так и кома, называются линзами bestform .

Хроматическая аберрация

Хроматическая аберрация вызвана дисперсией материала линзы — изменением ее показателя преломления , n , с длиной волны света. Поскольку из приведенных выше формул f зависит от n , следует, что свет с разными длинами волн фокусируется в разных положениях. Хроматическая аберрация линзы выглядит как цветные полосы вокруг изображения. Ее можно минимизировать, используя ахроматический дублет (или ахромат ), в котором два материала с разной дисперсией соединены вместе, образуя одну линзу. Это уменьшает количество хроматической аберрации в определенном диапазоне длин волн, хотя и не обеспечивает идеальной коррекции. Использование ахроматов было важным шагом в развитии оптического микроскопа. Апохромат — это линза или система линз с еще лучшей коррекцией хроматической аберрации в сочетании с улучшенной коррекцией сферической аберрации. Апохроматы намного дороже ахроматов.

Для минимизации хроматической аберрации могут также использоваться различные материалы линз, такие как специальные покрытия или линзы, изготовленные из кристаллического флюорита . Это природное вещество имеет самое высокое известное число Аббе , что указывает на низкую дисперсию материала.

Другие типы аберраций

Другие виды аберрации включают кривизну поля , бочкообразную и подушкообразную дисторсию , а также астигматизм .

Дифракция апертуры

Даже если объектив разработан так, чтобы минимизировать или устранить аберрации, описанные выше, качество изображения все равно ограничено дифракцией света , проходящего через конечную апертуру объектива . Дифракционно-ограниченная линза — это линза, в которой аберрации снижены до такой степени, что качество изображения в первую очередь ограничивается дифракцией в условиях конструкции.

Составные линзы

Простые линзы подвержены оптическим аберрациям, обсуждавшимся выше. Во многих случаях эти аберрации можно в значительной степени компенсировать, используя комбинацию простых линз с дополнительными аберрациями. Составная линза представляет собой набор простых линз разной формы, изготовленных из материалов с разными показателями преломления, расположенных одна за другой с общей осью.

В системе с несколькими линзами, если целью системы является получение изображения объекта, то конструкция системы может быть такой, что каждая линза обрабатывает изображение, сделанное предыдущей линзой, как объект, и создает новое его изображение, поэтому изображение каскадируется через линзы. ^{[30] [31]} Как показано выше, уравнение гауссовой линзы для сферической линзы выводится таким образом, что 2-я поверхность линзы отображает изображение, сделанное 1-й поверхностью линзы. Для получения изображения с несколькими линзами 3-я поверхность линзы (передняя поверхность 2-й линзы) может отображать изображение, сделанное 2-й поверхностью, а 4-я поверхность (задняя поверхность 2-й линзы) также может отображать изображение, сделанное 3-й поверхностью. Этот каскад изображений каждой поверхностью линзы оправдывает каскад изображений каждой линзой.

Для двухлинзовой системы расстояния до объекта каждой линзы можно обозначить как и , а расстояния до изображения как и и . Если линзы тонкие, каждая удовлетворяет формуле тонкой линзы ${\textstyle s_{o1}}$ ${\textstyle s_{o2}}$ ${\textstyle s_{i1}}$ ${\textstyle s_{i2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{j}}}={\frac {1}{s_{oj}}}+{\frac {1}{s_{ij}}},}$$

Если расстояние между двумя линзами равно , то . (Вторая линза отображает изображение первой линзы.) ${\displaystyle d}$ ${\textstyle s_{o2}=d-s_{i1}}$

FFD (Front Focal Distance) определяется как расстояние между передней (левой) фокальной точкой оптической системы и ее ближайшей вершиной оптической поверхности. ^[32] Если объект расположен в передней фокальной точке системы, то его изображение, создаваемое системой, расположено бесконечно далеко справа (т.е. световые лучи от объекта коллимируются после системы). Для этого изображение 1-й линзы располагается в фокальной точке 2-й линзы, т.е. . Таким образом, формула тонкой линзы для 1-й линзы становится ^[33] ${\displaystyle s_{i1}=d-f_{2}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{1}}}={\frac {1}{FFD}}+{\frac {1}{d-f_{2}}}\rightarrow FFD={\frac {f_{1}(d-f_{2})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

BFD (заднее фокусное расстояние) аналогично определяется как расстояние между задней (правой) фокальной точкой оптической системы и ее ближайшей вершиной оптической поверхности. Если объект расположен бесконечно далеко от системы (слева), то его изображение, создаваемое системой, находится в задней фокальной точке. В этом случае первая линза отображает объект в своей фокальной точке. Таким образом, формула тонкой линзы для второй линзы становится

$${\displaystyle {\frac {1}{f_{2}}}={\frac {1}{BFD}}+{\frac {1}{d-f_{1}}}\rightarrow BFD={\frac {f_{2}(d-f_{1})}{d-(f_{1}+f_{2})}}.}$$

Простейший случай — когда тонкие линзы помещаются в контакт ( ). Тогда объединенное фокусное расстояние f линз определяется как ${\displaystyle d=0}$

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}\,.}$$

Поскольку 1/ f — это сила линзы с фокусным расстоянием f , можно видеть, что силы тонких линз в контакте являются аддитивными. Общий случай нескольких тонких линз в контакте — это

$${\displaystyle {\frac {1}{f}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{f_{k}}}}$$

где - количество линз. ${\textstyle N}$

Если две тонкие линзы разделены в воздухе некоторым расстоянием d , то фокусное расстояние для комбинированной системы определяется выражением $${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}\,.}$$

При стремлении d к нулю фокусное расстояние системы стремится к значению f, данному для тонких контактирующих линз. Можно показать, что та же формула работает для толстых линз, если d взять как расстояние между их главными плоскостями. ^[23]

Если расстояние между двумя линзами равно сумме их фокусных расстояний ( d = f ₁ + f ₂ ), то FFD и BFD бесконечны. Это соответствует паре линз, которая преобразует параллельный (коллимированный) пучок в другой коллимированный пучок. Этот тип системы называется афокальной системой , поскольку она не производит чистого схождения или расхождения пучка. Две линзы на таком расстоянии образуют простейший тип оптического телескопа . Хотя система не изменяет расхождение коллимированного пучка, она изменяет (поперечную) ширину пучка. Увеличение такого телескопа определяется как

$${\displaystyle M=-{\frac {f_{2}}{f_{1}}}\,,}$$

что является отношением ширины выходного луча к ширине входного луча. Обратите внимание на соглашение о знаках: телескоп с двумя выпуклыми линзами ( f ₁ > 0 , f ₂ > 0 ) дает отрицательное увеличение, что указывает на перевернутое изображение. Выпуклая плюс вогнутая линза ( f ₁ > 0 > f ₂ ) дает положительное увеличение, и изображение прямое. Для получения дополнительной информации о простых оптических телескопах см. Рефракторный телескоп § Конструкции рефракторных телескопов .

Несферические типы

Асферическая двояковыпуклая линза.

Цилиндрические линзы имеют кривизну только вдоль одной оси. Они используются для фокусировки света в линию или для преобразования эллиптического света от лазерного диода в круглый луч. Они также используются в анаморфных объективах для кино .

Асферические линзы имеют по крайней мере одну поверхность, которая не является ни сферической, ни цилиндрической. Более сложные формы позволяют таким линзам формировать изображения с меньшей аберрацией , чем стандартные простые линзы, но их производство сложнее и дороже. Раньше их было сложно изготавливать и часто они были чрезвычайно дорогими, но достижения в области технологий значительно снизили стоимость производства таких линз.

Крупный план плоской линзы Френеля .

Линза Френеля имеет оптическую поверхность, разбитую на узкие кольца, что позволяет линзе быть намного тоньше и легче обычных линз. Прочные линзы Френеля могут быть отлиты из пластика и стоят недорого.

Лентикулярные линзы — это массивы микролинз , которые используются в лентикулярной печати для создания изображений, создающих иллюзию глубины или изменяющихся при просмотре под разными углами.

Бифокальная линза имеет два или более фокусных расстояния, либо градуированное фокусное расстояние, заточенное под линзу.

Линза с градиентным показателем преломления имеет плоские оптические поверхности, но имеет радиальное или осевое изменение показателя преломления, что приводит к фокусировке проходящего через линзу света.

Аксикон имеет коническую оптическую поверхность. Он отображает точечный источник в линию вдоль оптической оси или преобразует лазерный луч в кольцо. ^[34]

Дифракционные оптические элементы могут выполнять функцию линз.

Суперлинзы изготавливаются из метаматериалов с отрицательным показателем преломления и, как утверждается, создают изображения с пространственным разрешением, превышающим дифракционный предел . ^[35] Первые суперлинзы были изготовлены в 2004 году с использованием такого метаматериала для микроволн. ^[35] Улучшенные версии были созданы другими исследователями. ^{[36] [37]} По состоянию на 2014 год ^[update]суперлинза еще не была продемонстрирована в видимом или ближнем инфракрасном диапазоне длин волн. ^[38]

Разработан прототип плоской ультратонкой линзы без кривизны. ^[39]

Использует

Часы с плосковыпуклой линзой над указателем даты.

Увеличительное стекло — это одиночная выпуклая линза, установленная в оправе с ручкой или подставкой .

Линзы используются в качестве протезов для коррекции рефракционных ошибок , таких как миопия , гиперметропия , пресбиопия и астигматизм . (См. корректирующие линзы , контактные линзы , очки , интраокулярные линзы .) Большинство линз, используемых для других целей, имеют строгую осевую симметрию ; очковые линзы лишь приблизительно симметричны. Они обычно имеют форму, подходящую для приблизительно овальной, а не круглой оправы; оптические центры расположены над глазными яблоками ; их кривизна может не быть аксиально симметричной для коррекции астигматизма . Линзы солнцезащитных очков предназначены для ослабления света; линзы солнцезащитных очков, которые также корректируют нарушения зрения, могут быть изготовлены на заказ.

Другие применения — в системах формирования изображений, таких как монокуляры , бинокли , телескопы , микроскопы , камеры и проекторы . Некоторые из этих инструментов создают виртуальное изображение при воздействии на человеческий глаз; другие создают реальное изображение , которое может быть запечатлено на фотопленке или оптическом датчике , или может быть просмотрено на экране. В этих устройствах линзы иногда объединяются с изогнутыми зеркалами , чтобы создать катадиоптрическую систему , в которой сферическая аберрация линзы исправляет противоположную аберрацию в зеркале (например, корректоры Шмидта и менисковые корректоры).

Выпуклые линзы создают изображение объекта на бесконечности в их фокусе; если отображается солнце , большая часть видимого и инфракрасного света, падающего на линзу, концентрируется в маленьком изображении. Большая линза создает достаточную интенсивность, чтобы сжечь воспламеняющийся объект в фокусе. Поскольку воспламенение может быть достигнуто даже с помощью плохо сделанной линзы, линзы использовались в качестве зажигательных стекол по крайней мере 2400 лет. ^[6] Современным применением является использование относительно больших линз для концентрации солнечной энергии на относительно небольших фотоэлектрических элементах , собирая больше энергии без необходимости использования более крупных и более дорогих элементов.

В радиоастрономических и радиолокационных системах часто используются диэлектрические линзы , обычно называемые линзовыми антеннами, для преломления электромагнитного излучения в коллекторную антенну.

Линзы могут царапаться и истираться. Для контроля этого существуют износостойкие покрытия. ^[40]

Смотрите также

• Обработка оптических поверхностей от запотевания
• Задняя фокальная плоскость
• Боке
• Кардинальная точка (оптика)
• Каустик (оптика)
• Окуляр
• F-число
• Гравитационная линза
• Линза (анатомия)
• Список конструкций линз
• Числовая апертура
• Оптические покрытия
• Конструкция оптической линзы
• Фотохромные линзы
• Призма (оптика)
• Трассировка лучей
• Анализ матрицы переноса лучей

Примечания

1. Иногда встречается вариант написания lense . Хотя в некоторых словарях он указан как альтернативное написание, большинство основных словарей не считают его приемлемым.
   • Брайанс, Пол (2003). Распространенные ошибки в английском языке. Franklin, Beedle & Associates. стр. 125. ISBN 978-1-887902-89-2. Получено 28 июня 2009 г.В некоторых словарях упоминается слово «lense», но оно обычно не считается приемлемым.
   • Медицинский словарь Merriam-Webster . Merriam-Webster. 1995. стр. 368. ISBN 978-0-87779-914-6.В качестве приемлемого альтернативного варианта написания указано «lense».
   • «Lens или Lense – What is Right?». writingexplained.org . 30 апреля 2017 г. Архивировано из оригинала 21 апреля 2018 г. Получено 21 апреля 2018 г.Анализирует практически незначительную частоту использования и приходит к выводу, что неправильное написание является результатом неправильного образования единственного числа множественного числа (lens).

Ссылки

1. Синеш, Джордж; Сакелларакис, Яннис А. (1987). «Линзы в древности». Американский журнал археологии . 91 (2): 191–196. doi :10.2307/505216. JSTOR  505216. S2CID  191384703.
2. Уайтхаус, Дэвид (1 июля 1999 г.). «Самый старый телескоп в мире?». BBC News . Архивировано из оригинала 1 февраля 2009 г. Получено 10 мая 2008 г.
3. "Линза Нимруда/Линза Лейарда". База данных коллекции . Британский музей. Архивировано из оригинала 19 октября 2012 года . Получено 25 ноября 2012 года .
4. Д. Брюстер (1852). «О линзе из горного хрусталя и разложившемся стекле, найденных в Ниниве». Die Fortschritte der Physik (на немецком языке). Немецкое физическое общество. п. 355.
5. Крисс, Тимоти С.; Крисс, Весна Мартич (апрель 1998 г.). «История операционного микроскопа: от увеличительного стекла до микронейрохирургии». Нейрохирургия . 42 (4): 899–907. doi :10.1097/00006123-199804000-00116. PMID  9574655.
6. Aristophanes (22 января 2013 г.) [Впервые исполнено в 423 г. до н. э.]. Облака . Перевод Хики, Уильяма Джеймса. Проект Гутенберг. Электронная книга № 2562.[1] Архивировано 28 июня 2017 г. на Wayback Machine
7. Плиний Старший , Естественная история (перевод Джона Бостока), книга XXXVII, глава 10. Архивировано 4 октября 2008 г. на Wayback Machine .
8. Плиний Старший, Естественная история (перевод Джона Бостока), книга XXXVII, глава 16. Архивировано 28 сентября 2008 г. на Wayback Machine.
9. Тилтон, Бак (2005). Полная книга огня: разведение костров для тепла, света, приготовления пищи и выживания. Menasha Ridge Press. стр. 25. ISBN 978-0-89732-633-9.
10. Глик, Томас Ф.; Стивен Джон Ливси; Фейт Уоллис (2005). Средневековая наука, технология и медицина: энциклопедия. Routledge. стр. 167. ISBN 978-0-415-96930-7. Архивировано из оригинала 20 января 2023 . Получено 24 апреля 2011 .
11. Эл Ван Хелден. Проект Галилео > Наука > Телескоп Архивировано 23 июня 2004 года на Wayback Machine . Galileo.rice.edu. Получено 6 июня 2012 года.
12. Генри К. Кинг (28 сентября 2003 г.). История телескопа. Courier Dover Publications. стр. 27. ISBN 978-0-486-43265-6. Архивировано из оригинала 2 июля 2023 . Получено 6 июня 2012 .
13. Пол С. Агуттер; Денис Н. Уитли (12 декабря 2008 г.). Размышления о жизни: история и философия биологии и других наук. Springer. стр. 17. ISBN 978-1-4020-8865-0. Получено 6 июня 2012 г.
14. Винсент Иларди (2007). Ренессансное видение от очков до телескопов. Американское философское общество. стр. 210. ISBN 978-0-87169-259-7. Получено 6 июня 2012 г.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
15. Микроскопы: Хронология Архивировано 9 января 2010 г. в Wayback Machine , Nobel Foundation. Получено 3 апреля 2009 г.
16. Фред Уотсон (1 октября 2007 г.). Звездочет: Жизнь и времена телескопа. Allen & Unwin. стр. 55. ISBN 978-1-74175-383-7. Получено 6 июня 2012 г.
17. Этот абзац адаптирован из издания Британской энциклопедии 1888 года.
18. Джулия, Элтон (18 июля 2013 г.). «Свет, освещающий наши тьмы: оптика маяка и последующее развитие революционной преломляющей линзы Френеля 1780–1900 гг.». Международный журнал истории техники и технологий . 79 (2): 72–76. doi :10.1179/175812109X449612 – через Тейлора и Фрэнсиса.
19. "4.4: Сферические рефракторы". Physics LibreTexts . 2 июля 2019 г. Архивировано из оригинала 26 ноября 2022 г. Получено 2 июля 2023 г.
20. "Refraction at Spherical Surfaces". personal.math.ubc.ca . Архивировано из оригинала 26 октября 2021 г. . Получено 2 июля 2023 г. .
21. Хехт, Юджин (2017). "5.2.2 Преломление на сферических поверхностях". Оптика (5-е изд.). Пирсон. стр. 164. ISBN 978-1-292-09693-3.
22. Грейвенкамп 2004, с. 14
    Хехт 1987, § 6.1
23. Хехт, Юджин (2017). "Глава 6.1 Толстые линзы и линзовые системы". Оптика (5-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-09693-3.
24. Хехт, Юджин (2017). «Конечные изображения». Оптика (5-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-09693-3.
25. Hecht, Eugene (2017). «Уравнения тонкой линзы». Оптика (5-е изд.). Pearson. ISBN 978-1-292-09693-3.
26. Nave, Carl R. "Уравнение тонкой линзы". Гиперфизика . Университет штата Джорджия. Архивировано из оригинала 12 октября 2000 г. Получено 17 марта 2015 г.
27. Колвелл, Кэтрин Х. "Resource Lesson: Thin Lens Equation". PhysicsLab.org . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 г. Получено 17 марта 2015 г.
28. "Математика линз". The Physics Classroom . Архивировано из оригинала 10 марта 2015 г. Получено 17 марта 2015 г.
29. Всегда есть 3 "легких луча". Для третьего луча в этом случае см. Файл:Lens3b third ray.svg .
30. Хехт, Юджин (2017). «Комбинации тонких линз». Оптика (5-е изд.). Пирсон. стр. 178. ISBN 978-1-292-09693-3.
31. Власенко, Алексей (2011). "Заметки к лекции 9: 07 / 13 - Многолинзовые системы" (PDF) . Физика 1С, Летняя сессия I, 2011 - Калифорнийский университет в Сан-Диего . Архивировано (PDF) из оригинала 18 апреля 2024 года . Получено 19 апреля 2024 года .
32. Пашотта, доктор Рюдигер. «фокусное расстояние». www.rp-photonics.com . дои : 10.61835/6as. Архивировано из оригинала 29 апреля 2024 года . Проверено 29 апреля 2024 г.
33. Хехт, Юджин (2017). «Заднее и переднее фокусное расстояние». Оптика (5-е изд.). Пирсон. стр. 181. ISBN 978-1-292-09693-3.
34. Proteep Mallik (2005). "The Axicon" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2009 . Получено 22 ноября 2007 .
35. Grbic, A.; Eleftheriades, GV (2004). «Преодоление дифракционного предела с помощью плоской левосторонней линзы трансмиссионной линии». Physical Review Letters . 92 (11): 117403. Bibcode : 2004PhRvL..92k7403G. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.117403. PMID  15089166.
36. Valentine, J.; et al. (2008). «Трехмерный оптический метаматериал с отрицательным показателем преломления». Nature . 455 (7211): 376–9. Bibcode :2008Natur.455..376V. doi :10.1038/nature07247. PMID  18690249. S2CID  4314138.
37. Яо, Цзе; Лю, Чжаовэй; Лю, Юнминь; Ван, Юань; Сан, Чэн; Бартал, Гай; Стейси, Анжелика М.; Чжан, Сян (15 августа 2008 г.). "Оптическое отрицательное преломление в объемных метаматериалах нанопроволок". Science . 321 (5891): 930. Bibcode :2008Sci...321..930Y. CiteSeerX 10.1.1.716.4426 . doi :10.1126/science.1157566. ISSN  0036-8075. PMID  18703734. S2CID  20978013. 
38. Nielsen, RB; Thoreson, MD; Chen, W.; Kristensen, A.; Hvam, JM; Shalaev, VM; Boltasseva, A. (2010). "Toward superlensing with metal–dielectric composites and multilayers" (PDF) . Applied Physics B . 100 (1): 93. Bibcode :2010ApPhB.100...93N. doi :10.1007/s00340-010-4065-z. S2CID  39903291. Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2013 г.
39. Patel, Prachi (2015). "Good-Bye to Curved Lens: New Lens Is Flat" . Scientific American . 312 (5): 22. doi :10.1038/scientificamerican0515-22b. PMID  26336702. Архивировано из оригинала 19 мая 2015 года . Получено 16 мая 2015 года .
40. Schottner, G (май 2003 г.). «Покрытия, устойчивые к царапинам и истиранию на пластиковых линзах — современное состояние, текущие разработки и перспективы». Журнал золь-гель науки и технологии . Том 27. С. 71–79. doi :10.1023/A:1022684011222.

Библиография

• Хехт, Юджин (1987). Оптика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-11609-0.Главы 5 и 6.
• Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-321-18878-6.
• Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике . SPIE Field Guides vol. FG01 . SPIE. ISBN 978-0-8194-5294-8.

Внешние ссылки

• Глава из онлайн-учебника по рефракции и линзам. Архивировано 17 декабря 2009 г. на Wayback Machine.
• Тонкие сферические линзы. Архивировано 13 марта 2020 г. на Wayback Machine (.pdf) на Project PHYSNET. Архивировано 14 мая 2017 г. на Wayback Machine .
• Статья о линзах на сайте digitalartform.com
• Статья о древнеегипетских линзах Архивировано 25 мая 2022 г. на Wayback Machine
• Анимация FDTD распространения электромагнитных волн через выпуклую линзу (на оси и вне ее). Видео на YouTube
• Использование увеличительных линз в классическом мире Архивировано 13 ноября 2017 г. на Wayback Machine
• Хенкер, Отто (1911). «Линза»  . Британская энциклопедия . Том. 16 (11-е изд.). стр. 421–427.(с 21 диаграммой)

Моделирование

• Обучение с помощью моделирования Архивировано 21 января 2010 г. в Wayback Machine – Вогнутые и выпуклые линзы
• OpticalRayTracer Архивировано 6 октября 2010 г. на Wayback Machine – Симулятор линз с открытым исходным кодом (загружаемая версия Java)
• Анимации, демонстрирующие линзы Архивировано 4 апреля 2012 г. на Wayback Machine от QED