Местный звонок

(Математическое) кольцо с единственным максимальным идеалом

В математике , точнее в теории колец , локальные кольца — это определенные кольца , которые сравнительно просты и служат для описания того, что называется «локальным поведением», в смысле функций, определенных на алгебраических многообразиях или многообразиях , или полях алгебраических чисел, рассмотренных в конкретное место или премьера. Локальная алгебра — раздел коммутативной алгебры , изучающий коммутативные локальные кольца и их модули .

На практике коммутативное локальное кольцо часто возникает в результате локализации кольца в простом идеале .

Понятие локальных колец было введено Вольфгангом Круллем в 1938 году под названием Stellenringe . ^[1] Английский термин « локальное кольцо» принадлежит Зарискому . ^[2]

Определение и первые последствия

Кольцо R называется локальным, если оно обладает любым из следующих эквивалентных свойств:

• R имеет единственный максимальный левый идеал .
• R имеет единственный максимальный правый идеал.
• 1 ≠ 0 и сумма любых двух неединиц в R является неединицей.
• 1 ≠ 0, и если x — любой элемент R , то x или 1 − x — единица.
• Если конечная сумма является единицей, то в ней есть член, который является единицей (это, в частности, говорит о том, что пустая сумма не может быть единицей, поэтому отсюда следует, что 1 ≠ 0).

Если эти свойства выполняются, то единственный максимальный левый идеал совпадает с единственным максимальным правым идеалом и радикалом Джекобсона кольца . Третье из перечисленных выше свойств говорит о том, что множество неединиц в локальном кольце образует (собственный) идеал, ^[3] обязательно содержащийся в радикале Джекобсона. Четвертое свойство можно перефразировать так: кольцо R локально тогда и только тогда, когда не существует двух взаимно простых собственных ( главных ) (левых) идеалов, причем два идеала I ₁ , I ₂ называются взаимно простыми, если R = I ₁ + Я ₂ .

В случае коммутативных колец не нужно различать левый, правый и двусторонний идеалы: коммутативное кольцо локально тогда и только тогда, когда оно имеет единственный максимальный идеал. Примерно до 1960 года многие авторы требовали, чтобы локальное кольцо было (слева и справа) нетеровым , а (возможно, ненетеровым) локальные кольца назывались квазилокальными кольцами . В настоящей статье данное требование не установлено.

Локальное кольцо, являющееся областью целостности , называется локальной областью .

Примеры

• Все поля (и тела ) являются локальными кольцами, поскольку {0} — единственный максимальный идеал в этих кольцах.
• Кольцо является локальным ( p простое, n ≥ 1 ). Единственный максимальный идеал состоит из всех кратных p . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• В более общем смысле, ненулевое кольцо, в котором каждый элемент является либо единицей, либо нильпотентным, является локальным кольцом.
• Важным классом локальных колец являются кольца дискретного нормирования , которые представляют собой локальные области главных идеалов , не являющиеся полями.
• Кольцо , элементы которого представляют собой бесконечные серии , в которых умножения заданы такими, что , является локальным. Его единственный максимальный идеал состоит из всех необратимых элементов. Другими словами, он состоит из всех элементов с постоянным членом ноль. ${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$ ${\textstyle (\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i})(\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{\infty }c_{i}x^{i}}$ ${\textstyle c_{n}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$
• В более общем смысле, каждое кольцо формальных степенных рядов над локальным кольцом является локальным; максимальный идеал состоит из степенных рядов с постоянным членом в максимальном идеале основного кольца.
• Аналогично, алгебра двойственных чисел над любым полем локальна. В более общем смысле, если F — локальное кольцо и n — целое положительное число, то факторкольцо F [ X ]/( X ⁿ ) является локальным с максимальным идеалом, состоящим из классов многочленов с постоянным членом, принадлежащим максимальному идеалу F , поскольку можно использовать геометрическую прогрессию для обращения всех остальных полиномов по модулю X ⁿ . Если F — поле, то элементы F [ X ]/( X ⁿ ) либо нильпотентны , либо обратимы . (Двойственные числа над F соответствуют случаю n = 2. )
• Ненулевые частные кольца локальных колец локальны.
• Кольцо рациональных чисел с нечетным знаменателем локально; ее максимальный идеал состоит из дробей с четным числителем и нечетным знаменателем. Это целые числа, локализованные в 2.
• В более общем смысле , для любого коммутативного кольца R и любого простого идеала P кольца R локализация R в P является локальной; максимальный идеал — это идеал, порожденный P в этой локализации; т. е. максимальный идеал состоит из всех элементов a / s , для которых a ∈ P и s ∈ R - P.

Непримеры

• Кольцо многочленов над полем не является локальным, поскольку и не являются единицами, а их сумма равна единице. ${\displaystyle K[x]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1-x}$
• Кольцо целых чисел не является локальным, поскольку оно имеет максимальный идеал для каждого простого числа . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$/( pq ) , где p и q — различные простые числа. И ( p ), и ( q ) здесь являются максимальными идеалами. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Кольцо микробов

Чтобы обосновать название «локальных» для этих колец, мы рассматриваем вещественные непрерывные функции, определенные на некотором открытом интервале вокруг 0 ​​действительной прямой . Нас интересует только поведение этих функций вблизи 0 (их «локальное поведение»), и поэтому мы будем идентифицировать две функции, если они согласуются на некотором (возможно, очень маленьком) открытом интервале вокруг 0. Это отождествление определяет отношение эквивалентности , и Классы эквивалентности — это так называемые « ростки вещественнозначных непрерывных функций в точке 0». Эти ростки можно складывать и умножать, образуя коммутативное кольцо.

Чтобы убедиться в локальности этого кольца ростков, нам необходимо охарактеризовать его обратимые элементы. Росток f обратим тогда и только тогда, когда f (0) ≠ 0 . Причина: если f (0) ≠ 0 , то по непрерывности вокруг 0 ​​существует открытый интервал, где f не равно нулю, и на этом интервале мы можем сформировать функцию g ( x ) = 1/ f ( x ) . Функция g порождает росток, и произведение fg равно 1. (Обратно, если f обратима, то существует такая g , что f (0) g (0) = 1, следовательно, f (0) ≠ 0 .)

При такой характеристике ясно, что сумма любых двух необратимых ростков снова необратима, и мы имеем коммутативное локальное кольцо. Максимальный идеал этого кольца состоит именно из тех ростков f , что f (0) = 0 .

Точно такие же рассуждения справедливы для кольца ростков непрерывных вещественных функций на любом топологическом пространстве в данной точке, или для кольца ростков дифференцируемых функций на любом дифференцируемом многообразии в данной точке, или для кольца ростков рациональных функций. на любом алгебраическом многообразии в данной точке. Следовательно, все эти кольца локальны. Эти примеры помогают объяснить, почему схемы , обобщения многообразий, определяются как специальные локально окольцованные пространства .

Теория оценки

Локальные кольца играют важную роль в теории оценки. По определению кольцо нормирования поля K — это подкольцо R такое , что для каждого ненулевого элемента x поля K хотя бы один из x и x ⁻¹ находится в R. Любое такое подкольцо будет локальным кольцом. Например, кольцо рациональных чисел с нечетным знаменателем (упомянутое выше) является кольцом нормирования в . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Учитывая поле K , которое может быть или не быть функциональным полем , мы можем искать в нем локальные кольца. Если бы K действительно было функциональным полем алгебраического многообразия V , то для каждой точки P из V мы могли бы попытаться определить кольцо нормирования R функций, «определенных в » P. В случаях, когда V имеет размерность 2 или более, возникает трудность, которая проявляется следующим образом: если F и G — рациональные функции на V с

F ( п ) = г ( п ) = 0,

функция

Ж / Г

является неопределенной формой в P . Если рассмотреть простой пример, например

Д / Х ,

приблизился по линии

Y = tX ,

видно, что значение P — это концепция, не имеющая простого определения. Его заменяют использованием оценок.

Некоммутативный

Некоммутативные локальные кольца естественным образом возникают как кольца эндоморфизмов при изучении разложений модулей в прямую сумму по некоторым другим кольцам. В частности, если кольцо эндоморфизмов модуля M локально, то M неразложимо ; и наоборот, если модуль M имеет конечную длину и неразложим, то его кольцо эндоморфизмов локально.

Если k — поле характеристики p > 0 и G — конечная p -группа , то групповая алгебра kG локальна.

Некоторые факты и определения

Коммутативный случай

Мы также пишем ( R , m ) для коммутативного локального кольца R с максимальным идеалом m . Каждое такое кольцо естественным образом становится топологическим кольцом, если взять степени m в качестве базы окрестностей 0. Это m -адическая топология на R . Если ( R , m ) — коммутативное нётерово локальное кольцо, то

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }m^{i}=\{0\}}$

( теорема Крулля о пересечении ), и отсюда следует, что R с м -адической топологией является хаусдорфовым пространством . Теорема является следствием леммы Артина-Риса вместе с леммой Накаямы , и, как таковое, «нетерово» предположение имеет решающее значение. Действительно, пусть R — кольцо ростков бесконечно дифференцируемых функций в точке 0 на вещественной прямой, а m — максимальный идеал . Тогда ненулевая функция принадлежит для любого n , поскольку функция, разделенная на, по-прежнему является гладкой. ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle e^{-{1 \over x^{2}}}}$ ${\displaystyle m^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Что касается любого топологического кольца, можно спросить, полно ли ( R , m ) (как однородное пространство ); если это не так, то его завершение рассматривается как локальное кольцо. Полные нётеровы локальные кольца классифицируются структурной теоремой Коэна .

В алгебраической геометрии, особенно когда R — локальное кольцо схемы в некоторой точке P , R / m называется полем вычетов локального кольца или полем вычетов точки P.

Если ( R , m ) и ( S , n ) — локальные кольца, то локальный гомоморфизм колец из R в S — это гомоморфизм колец f  : R → S со свойством f ( m ) ⊆ n . ^[4] Это именно кольцевые гомоморфизмы, непрерывные относительно заданных топологий на R и S . Например, рассмотрим кольцевой морфизм, отправляющий . Прообраз есть . Другой пример локального кольцевого морфизма дается . ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x,y]/(x^{3},x^{2}y,y^{4})}$ ${\displaystyle x\mapsto x}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{3})\to \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$

Общий случай

Радикал Джекобсона m локального кольца R (который равен единственному максимальному левому идеалу, а также единственному максимальному правому идеалу) состоит именно из неединиц кольца; более того, это единственный максимальный двусторонний идеал R . Однако в некоммутативном случае наличие единственного максимального двустороннего идеала не эквивалентно локальности. ^[5]

Для элемента x локального кольца R следующие условия эквивалентны:

• x имеет левый обратный
• x имеет правый обратный
• х обратим
• х не находится в м .

Если ( R , m ) локально, то факторкольцо R / m является телом . Если J ≠ R — любой двусторонний идеал в R , то фактор-кольцо R / J снова локально с максимальным идеалом m / J .

Глубокая теорема Ирвинга Каплански гласит, что любой проективный модуль над локальным кольцом свободен , хотя случай, когда модуль конечно порождён, является простым следствием леммы Накаямы . Это имеет интересное следствие с точки зрения эквивалентности Мориты . А именно, если P — конечно порожденный проективный R- модуль, то P изоморфен свободному модулю Rn ^и , следовательно, кольцо эндоморфизмов изоморфно полному кольцу матриц . Поскольку каждое кольцо Морита, эквивалентное локальному кольцу R, имеет форму для такого P , вывод состоит в том, что единственные кольца Морита, эквивалентные локальному кольцу R, являются (изоморфными) кольцам матриц над R . ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} _{R}(P)}$

Примечания

1. Крулль, Вольфганг (1938). «Теория размеров в Стелленрингене». Дж. Рейн Анжью. Математика. (на немецком). 1938 (179): 204. doi :10.1515/crll.1938.179.204. S2CID  115691729.
2. Зариски, Оскар (май 1943 г.). «Основы общей теории бирациональных соответствий» (PDF) . Пер. амер. Математика. Соц . 53 (3). Американское математическое общество: 490–542 [497]. дои : 10.2307/1990215 . JSTOR  1990215.
3. Лам (2001), с. 295, Тм. 19.1.
4. "Тег 07BI".
5. Например, матрицы 2 на 2 над полем имеют единственный максимальный идеал {0}, но имеют несколько максимальных правых и левых идеалов.

Рекомендации

• Лам, Тайвань (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-95183-0.
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.

Смотрите также

• Кольцо дискретной оценки
• Полулокальное кольцо
• Оценочное кольцо
• Горенштейн местное кольцо

Внешние ссылки

• Философия местных колец