Вавилонская математика

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Диагональ отображает приближение квадратного корня из 2 в четырех шестидесятеричных цифрах, 1 24 51 10, что соответствует примерно шести десятичным цифрам.
1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1,41421296 . В табличке также приведен пример, где одна сторона квадрата равна 30, а полученная диагональ 42 25 35 или 42,4263888 .

Вавилонская математика (также известная как ассиро-вавилонская математика ) ^[1]^[2]^[3]^[4] — это математика, разработанная или практиковавшаяся жителями Месопотамии со времен первых шумеров до столетий после падения Вавилона . в 539 г. до н.э. Вавилонские математические тексты многочисленны и хорошо отредактированы. ^[5] По времени они делятся на две отдельные группы: одна из древневавилонского периода (1830–1531 гг. до н.э.), другая, главным образом, из Селевкидов , из последних трех или четырех веков до н.э. Что касается содержания, то между двумя группами текстов практически нет различий. Вавилонская математика оставалась неизменной по своему характеру и содержанию на протяжении более тысячелетия. ^[5]

В отличие от нехватки источников по египетской математике , знания по вавилонской математике основаны на сотнях глиняных табличек , раскопанных с 1850-х годов. Таблички , написанные клинописью , писались, пока глина была влажной, и обжигались в печи или под воздействием солнечного тепла. Большинство обнаруженных глиняных табличек датируются периодом с 1800 по 1600 год до нашей эры и охватывают такие темы, как дроби , алгебра , квадратные и кубические уравнения и теорема Пифагора . Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение с точностью до трех значащих шестидесятеричных цифр (около шести значащих десятичных цифр). ${\sqrt {2}}$

Истоки вавилонской математики

Вавилонская математика представляет собой ряд числовых и более продвинутых математических практик на древнем Ближнем Востоке , написанных клинописью . Исторически исследование было сосредоточено на древневавилонском периоде в начале второго тысячелетия до нашей эры из-за большого количества доступных данных. Были споры по поводу самого раннего появления вавилонской математики, при этом историки предполагают диапазон дат между 5-м и 3-м тысячелетиями до нашей эры. ^[6] Вавилонская математика в основном записывалась на глиняных табличках клинописью на аккадском или шумерском языках.

«Вавилонская математика», пожалуй, бесполезный термин, поскольку самые ранние предположения о ее происхождении относятся к использованию учетных устройств, таких как буллы и жетоны , в 5-м тысячелетии до нашей эры. ^[7]

Вавилонские цифры

Вавилонская система математики представляла собой шестидесятеричную (по основанию 60) систему счисления . Отсюда мы получаем современное использование 60 секунд в минуте, 60 минут в часе и 360 градусов в круге. ^[8] Вавилоняне смогли добиться больших успехов в математике по двум причинам. Во-первых, число 60 — это превосходное весьма составное число , имеющее делители 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (включая те, которые сами являются составными), что облегчает вычисления с дроби . Кроме того, в отличие от египтян и римлян, вавилоняне имели настоящую систему разрядов , где цифры, написанные в левом столбце, представляли большие значения (так же, как в нашей десятичной системе 734 = 7×100 + 3×10 + 4× 1). ^[9]

шумерская математика

Древние шумеры Месопотамии разработали сложную систему метрологии с 3000 г. до н.э. Начиная с 2600 г. до н. э., шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках, решали геометрические упражнения и задачи на деление . К этому же периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр. ^[10]

Древневавилонская математика (2000–1600 до н. э.)

Большинство глиняных табличек, описывающих вавилонскую математику, относятся к древневавилонской , поэтому математика Месопотамии широко известна как вавилонская математика. Некоторые глиняные таблички содержат математические списки и таблицы, другие — задачи и готовые решения.

Арифметика

Вавилоняне использовали заранее рассчитанные таблицы для помощи в арифметике . Например, две таблички, найденные в Сенкере на Евфрате в 1854 году и датированные 2000 годом до нашей эры, содержат списки квадратов чисел до 59 и кубов чисел до 32. Вавилоняне использовали списки квадратов вместе с формулами:

ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}

ab={\frac {(a+b)^{2}-(ab)^{2}}{4}}

упростить умножение.

У вавилонян не было алгоритма деления в столбики . ^[11] Вместо этого они основывали свой метод на том факте, что:

{\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}

вместе с таблицей обратных величин . Числа, единственными простыми делителями которых являются 2, 3 или 5 (известные как 5- гладкие или регулярные числа ), имеют конечные обратные величины в шестидесятеричной записи, и были найдены таблицы с обширными списками этих обратных чисел.

Обратные числа, такие как 1/7, 1/11, 1/13 и т. д., не имеют конечных представлений в шестидесятеричной системе счисления. Чтобы вычислить 1/13 или разделить число на 13, вавилоняне использовали такое приближение:

{\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1} 90}}=7\times {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}} .

Алгебра

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 ( ок. 1800–1600 гг. до н. э. ) дает приблизительное значение $\sqrt$ $2$ четырьмя шестидесятеричными цифрами, 1; 24, 51, 10, ^[12] с точностью до шести десятичных цифр, [ ^13] и ближайшее возможное трехзначное шестидесятеричное представление $\sqrt$ $2$ :

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac { 30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.

Помимо арифметических вычислений, вавилонские математики разработали также алгебраические методы решения уравнений . Опять же, они были основаны на заранее рассчитанных таблицах.

Для решения квадратного уравнения вавилоняне по существу использовали стандартную квадратную формулу . Они рассматривали квадратные уравнения вида:

\ x^{2}+bx=c

где b и c не обязательно были целыми числами, но c всегда было положительным. ^{Они знали, что решение} этой формы ^{уравнения}^:

x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}

и они эффективно находили квадратные корни, используя деление и усреднение. ^[14] Они всегда использовали положительный корень, потому что это имело смысл при решении « ^{реальных}^{» задач} . Задачи этого типа включали в себя нахождение размеров прямоугольника по его площади и величине, на которую длина превышает ширину.

Таблицы значений n ³ + n ² использовались для решения некоторых кубических уравнений . Например, рассмотрим уравнение:

\ ax^{3}+bx^{2}=c.

Умножив уравнение на a ² и разделив на b ³ , получим:

\left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca ^{2}}{b^{3}}}.

Замена y = ax / b дает:

y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}

которую теперь можно было решить, просмотрев таблицу n ³ + n ² и найдя значение, ближайшее к правой части. Вавилоняне сделали это без алгебраических обозначений, продемонстрировав поразительную глубину понимания. Однако у них не было метода решения общего кубического уравнения.

Рост

Вавилоняне моделировали экспоненциальный рост, ограниченный рост (посредством формы сигмовидной функции ) и время удвоения , последнее в контексте процентов по кредитам.

Глиняные таблички из ок. 2000 г. до н.э. включают упражнение «Для расчета процентной ставки 1/60 в месяц (без начисления сложных процентов) вычислите время удвоения». Это дает годовую процентную ставку 12/60 = 20% и, следовательно, время удвоения 100% роста/20% роста в год = 5 лет. ^[15]^[16]

Плимптон 322

Табличка Plimpton 322 содержит список « троек Пифагора », то есть целых чисел, таких, что . Троек слишком много и они слишком велики, чтобы их можно было получить грубой силой. ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

На эту тему было написано много, включая некоторые предположения (возможно, устаревшие) относительно того, могла ли табличка служить ранней тригонометрической таблицей. Необходимо проявлять осторожность, чтобы просмотреть табличку с точки зрения методов, знакомых или доступных писцам в то время.

[...] вопрос "как рассчитывался планшет?" не обязательно должен быть такой же ответ, как на вопрос "какие проблемы ставит планшет?" На первый вопрос наиболее удовлетворительно можно ответить с помощью взаимных пар, как впервые было предложено полвека назад, а на второй - с помощью своего рода задач о прямоугольном треугольнике. ^[17]

Геометрия

Вавилоняне знали общие правила измерения объёмов и площадей. Они измерили длину окружности как трижды диаметра, а площадь как одну двенадцатую квадрата окружности, что было бы правильно, если бы π оценивалось как 3. Они знали, что это было приближение, и один древневавилонский математик Табличка, раскопанная недалеко от Суз в 1936 году (датированная между 19 и 17 веками до нашей эры), дает лучшее приближение $π$ как 25/8 = 3,125, что примерно на 0,5 процента ниже точного значения. ^[18] Объем цилиндра принимался как произведение основания на высоту, однако объем усеченного конуса или квадратной пирамиды ошибочно принимался как произведение высоты на половину суммы оснований. . Правило Пифагора было известно и вавилонянам. ^[19]^[20]^[21]

«Вавилонская миля» представляла собой меру расстояния, равную примерно 11,3 км (или около семи современных миль). Это измерение расстояний в конечном итоге было преобразовано в «милю времени», используемую для измерения пути Солнца и, следовательно, представляющую время. ^[22]

Древние вавилоняне знали формулы отношений сторон подобных треугольников на протяжении многих веков, но у них не было понятия о мере угла, и поэтому вместо этого они изучали стороны треугольников. ^[23]

Вавилонские астрономы вели подробные записи восхода и захода звезд , движения планет , солнечных и лунных затмений , и все это требовало знания угловых расстояний, измеряемых на небесной сфере . ^[24]

Они также использовали форму анализа Фурье для вычисления эфемерид (таблицы астрономических положений), которая была открыта в 1950-х годах Отто Нойгебауэром . ^[25]^[26]^[27]^[28] Чтобы произвести расчеты движения небесных тел, вавилоняне использовали базовую арифметику и систему координат, основанную на эклиптике , части неба, через которую проходят Солнце и планеты.

Таблички, хранящиеся в Британском музее, свидетельствуют о том, что вавилоняне даже зашли так далеко, что создали концепцию объектов в абстрактном математическом пространстве. Таблички датируются периодом между 350 и 50 годами до нашей эры, что показывает, что вавилоняне понимали и использовали геометрию даже раньше, чем считалось ранее. Вавилоняне использовали метод оценки площади под кривой путем рисования под ней трапеции - метод, который, как ранее считалось, возник в Европе 14 века. Этот метод оценки позволил им, например, определить расстояние, которое Юпитер прошел за определенный промежуток времени. ^[29]

Смотрите также

Вавилония
Вавилонская астрономия
История математики
Исламская математика для математики в исламском Ираке/Месопотамии

Примечания

^ Леви, Х. (1949). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Ориенталия . Н.С. 18 : 40–67, 137–170.
^ Леви, Х. (1951). «Исследования по ассиро-вавилонской математике и метрологии». Ориенталия . Н.С. 20 : 1–12.
^ Брюинз, EM (1953). «Классификация чисел в вавилонских математиках». Ревю д'Ассириологии . 47 (4): 185–188. JSTOR 23295221.
^ Робсон, Э. (2002). «Гарантированные подлинные оригиналы: Коллекция Плимптона и ранняя история математической ассириологии». В Вунше, К. (ред.). Разбирая архивы: Фестиваль Кристофера Уокера по случаю его 60-летия . Дрезден: ОСТРОВ. стр. 245–292. ISBN 3-9808466-0-1.
^ аб Аабо, Асгер (1991). «Культура Вавилонии: вавилонская математика, астрология и астрономия». В Бордмане, Джон; Эдвардс, IES; Хаммонд, ШФЛУ; Соллбергер, Э.; Уокер, CBF (ред.). Ассирийская и Вавилонская империи и другие государства Ближнего Востока, с восьмого по шестой век до нашей эры . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22717-8.
^ Генрик Дранел (2004). Арамейский текст мудрости из Кумрана: новая интерпретация документа Леви . Приложения к журналу изучения иудаизма. Том. 86 (иллюстрированное изд.). БРИЛЛ. ISBN 978-90-04-13753-0.
^ Джейн Макинтош (2005). Древняя Месопотамия: новые перспективы . Понимание древних цивилизаций (иллюстрировано под ред.). АВС-КЛИО. п. 265. ИСБН 978-1-57607-965-2.
↑ Майкл А. Ломбарди, «Почему минута разделена на 60 секунд, час на 60 минут, а в сутках всего 24 часа?», «Scientific American», 5 марта 2007 г.
^ Лукас Н. Х. Бунт, Филлип С. Джонс, Джек Д. Бедьен (2001). Исторические корни элементарной математики (переиздание). Курьерская корпорация. п. 44. ИСБН 978-0-486-13968-5.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дункан Дж. Мелвилл (2003). Хронология третьего тысячелетия. Архивировано 7 июля 2018 года в Wayback Machine , Математика третьего тысячелетия . Университет Святого Лаврентия .
^ «Вавилонская математика». История математики .
^ Стандартная шестидесятеричная система записи с использованием точки с запятой и запятой была введена Отто Нойгебауэром в 1930-х годах. Нойгебауэр, Отто ; Сакс, Авраам Джозеф ; Гетце, Альбрехт (1945), Математические клинописные тексты, Американская восточная серия, том. 29, Нью-Хейвен: Американское восточное общество и американские школы восточных исследований, с. 2, ISBN 978-0-940490-29-1
^ Фаулер и Робсон, с. 368.
Фотография, иллюстрация и описание таблички root(2) из Йельской вавилонской коллекции
Фотографии, описания и анализ таблички root(2) (YBC 7289) с высоким разрешением из Йельской вавилонской коллекции.
^ Аллен, Арнольд (январь 1999 г.). «Обзоры: Математика: от рождения чисел. Ян Галлберг». Американский математический ежемесячник . 106 (1): 77–85. дои : 10.2307/2589607. JSTOR 2589607.
↑ Почему «чудо сложных процентов» приводит к финансовым кризисам. Архивировано 10 мая 2012 года в Wayback Machine , Майкл Хадсон.
^ Мы вас заинтересовали? Джон Х. Уэбб
^ Э. Робсон, «Ни Шерлок Холмс, ни Вавилон: переоценка Плимптона 322», Historia Math. 28 (3), с. 202
^ Дэвид Гилман Романо, Легкая атлетика и математика в архаическом Коринфе: истоки греческого стадиона , Американское философское общество, 1993, стр. 78. «Группа математических глиняных табличек древневавилонского периода, раскопанных в Сузах в 1936 году и опубликованных Э. М. Брюинсом в 1950 году, предоставляет информацию о том, что вавилонское приближение 3+1 ⁄ 8 или 3,125». EM Bruins, Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse , 1950. EM Bruins and M. Rutten, Textes mathématiques de Suse , Mémoires de la Missionarchéologique en Iran vol. XXXIV (1961). См. также Бекманн . , Петр (1971), История Пи , Нью-Йорк: St. Martin's Press, стр. 12, 21–22.«в 1936 году примерно в 200 милях от Вавилона была раскопана табличка. [...] В упомянутой табличке, перевод которой был частично опубликован лишь в 1950 году, [...] утверждается, что отношение периметра правильного шестиугольника к длина окружности описанного круга равна числу, которое в современных обозначениях выражается как 57/60 + 36/(60) ² [т.е. $π$ = 3/0,96 = 25/8]». Джейсон Дайер, О древневавилонском значении числа Пи, 3 декабря 2008 г.
^ Нойгебауэр 1969, с. 36. «Другими словами, во все времена существования вавилонской математики было известно, что сумма квадратов длин сторон прямоугольного треугольника равна квадрату длины гипотенузы».
^ Хойруп, с. 406. « Судя только по этим свидетельствам, вполне вероятно, что правило Пифагора было обнаружено в среде непрофессионалов-геодезистов, возможно, как побочный продукт проблемы, рассмотренной в Db _2-146 , где-то между 2300 и 1825 годами до нашей эры». ( Db _2-146 — это древневавилонская глиняная табличка из Эшнунны , посвященная вычислению сторон прямоугольника по его площади и диагонали.)
^ Робсон 2008, с. 109. «Многие древневавилонские математики... знали, что квадрат на диагонали прямоугольного треугольника имеет ту же площадь, что и сумма квадратов длины и ширины: это соотношение используется при решении текстовых задач на вырезал и вставил «алгебру» на семь разных табличек из Эшнуны, Сиппара, Суз и неизвестного места на юге Вавилонии».
^ Евс, Глава 2.
^ Бойер (1991). «Греческая тригонометрия и измерение». История математики . Джон Уайли и сыновья. стр. 158–159. ISBN 978-0-471-54397-8.
^ Маор, Эли (1998). Тригонометрические наслаждения . Издательство Принстонского университета . п. 20. ISBN 0-691-09541-8.
^ Престини, Елена (2004). Эволюция прикладного гармонического анализа: модели реального мира. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4125-2., п. 62
^ Рота, Джан-Карло ; Паломби, Фабрицио (1997). Нескромные мысли. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3866-5., п. 11
^ Нойгебауэр 1969.
^ Брэк-Бернсен, Лис ; Брэк, Матиас (2004). «Анализ структуры раковины от Вавилона до наших дней». Международный журнал современной физики Э. 13 (1): 247–260. arXiv : физика/0310126 . Бибкод : 2004IJMPE..13..247B. дои : 10.1142/S0218301304002028. S2CID 15704235.
^ Эмспак, Джесси. «Вавилоняне использовали геометрию на несколько столетий раньше, чем считалось». Смитсоновский институт . Проверено 1 февраля 2016 года .