Продукт (теория категорий)

Обобщенный объект в теории категорий

В теории категорий произведение двух (или более) объектов в категории — это понятие, призванное уловить суть конструкций в других областях математики, таких как декартово произведение множеств, прямое произведение групп или колец и произведение топологических пространств . По сути , произведение семейства объектов — это « наиболее общий» объект, который допускает морфизм к каждому из данных объектов.

Определение

Произведение двух объектов

Зафиксируем категорию Пусть и будут объектами Произведение и — это объект, обычно обозначаемый как снабженный парой морфизмов, удовлетворяющих следующему универсальному свойству : ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \pi _{1}:X\to X_{1},}$ ${\displaystyle \pi _{2}:X\to X_{2}}$

• Для каждого объекта и каждой пары морфизмов существует единственный морфизм, такой что следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:Y\to X_{1},}$ ${\displaystyle f_{2}:Y\to X_{2},}$ ${\displaystyle f:Y\to X_{1}\times X_{2}}$

  

  Универсальное свойство продукта

Существование продукта может зависеть от или от и Если он существует, он уникален с точностью до канонического изоморфизма , из-за универсального свойства, поэтому можно говорить о продукте . Это имеет следующее значение: если — другой продукт, то существует уникальный изоморфизм такой, что и . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}.}$ ${\displaystyle X',\pi _{1}',\pi _{2}'}$ ${\displaystyle h:X'\to X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}'=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle \pi _{2}'=\pi _{2}\circ h}$

Морфизмы и называются каноническими проекциями или проекционными морфизмами ; буква аллитерирует с проекцией. При этом и единственный морфизм называется произведением морфизмов и и обозначается ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle .}$

Продукт произвольной семьи

Вместо двух объектов мы можем начать с произвольного семейства объектов, индексированных набором ${\displaystyle I.}$

Для данного семейства объектов произведением семейства является объект, снабженный морфизмами, удовлетворяющими следующему универсальному свойству: ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i},}$

• Для каждого объекта и каждого -индексированного семейства морфизмов существует уникальный морфизм, такой что следующие диаграммы коммутируют для всех ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle i\in I:}$

  

  Универсальный продукт продукта

Произведение обозначается Если то обозначается и произведение морфизмов обозначается ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$ ${\displaystyle I=\{1,\ldots ,n\},}$ ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ ${\displaystyle \langle f_{1},\ldots ,f_{n}\rangle .}$

Эквациональное определение

В качестве альтернативы, произведение может быть определено с помощью уравнений. Так, например, для бинарного произведения:

• Существование гарантируется существованием операции ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle .}$
• Коммутативность приведенных выше диаграмм гарантируется равенством: для всех и всех ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle i\in \{1,2\},}$ ${\displaystyle \pi _{i}\circ \left\langle f_{1},f_{2}\right\rangle =f_{i}}$
• Единственность гарантируется равенством: для всех ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:Y\to X_{1}\times X_{2},}$ ${\displaystyle \left\langle \pi _{1}\circ g,\pi _{2}\circ g\right\rangle =g.}$

Как предел

Произведение является частным случаем предела . Это можно увидеть, используя дискретную категорию (семейство объектов без каких-либо морфизмов, кроме их тождественных морфизмов) в качестве диаграммы , требуемой для определения предела. Дискретные объекты будут служить индексом компонентов и проекций. Если мы рассматриваем эту диаграмму как функтор, то это функтор из множества индексов, рассматриваемого как дискретная категория. Тогда определение произведения совпадает с определением предела, будучи конусом , а проекции являются пределом (предельным конусом). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{f\}_{i}}$

Универсальная собственность

Так же как предел является частным случаем универсальной конструкции , так и произведение. Начиная с определения, данного для универсального свойства пределов , возьмем в качестве дискретной категории с двумя объектами, так что это просто категория произведения Диагональный функтор сопоставляет каждому объекту упорядоченную пару , а каждому морфизму — пару Произведение в задается универсальным морфизмом из функтора в объект в Этот универсальный морфизм состоит из объекта и морфизма , который содержит проекции. ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle \Delta :\mathbf {C} \to \mathbf {C} \times \mathbf {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,f).}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X_{1},X_{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (X,X)\to \left(X_{1},X_{2}\right)}$

Примеры

В категории множеств произведение (в смысле теории категорий) является декартовым произведением. Для заданного семейства множеств произведение определяется как с каноническими проекциями ${\displaystyle X_{i}}$ $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}:=\left\{\left(x_{i}\right)_{i\in I}:x_{i}\in X_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}$$ $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},\quad \pi _{j}\left(\left(x_{i}\right)_{i\in I}\right):=x_{j}.}$$Для любого набора с семейством функций универсальная стрелка определяется как ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i},}$ ${\displaystyle f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}}$ ${\displaystyle f(y):=\left(f_{i}(y)\right)_{i\in I}.}$

Другие примеры:

• В категории топологических пространств произведение — это пространство, базовым множеством которого является декартово произведение, и которое несет топологию произведения . Топология произведения — это самая грубая топология, для которой все проекции непрерывны .
• В категории модулей над некоторым кольцом произведение является декартовым произведением со сложением, определяемым покомпонентно, и дистрибутивным умножением. ${\displaystyle R,}$
• В категории групп произведение является прямым произведением групп, заданным декартовым произведением с умножением, определенным покомпонентно.
• В категории графов произведение представляет собой тензорное произведение графов .
• В категории отношений произведение задается дизъюнктным объединением . (Это может показаться немного неожиданным, учитывая, что категория множеств является подкатегорией категории отношений.)
• В категории алгебраических многообразий произведение задается вложением Сегре .
• В категории полуабелевых моноидов произведение задается моноидом истории .
• В категории банаховых пространств и коротких отображений произведение имеет норму l ∞ . ^[2]
• Частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию, используя отношение порядка в качестве морфизмов. В этом случае произведения и копроизведения соответствуют наибольшим нижним границам ( meets ) и наименьшим верхним границам ( joins ).

Обсуждение

Пример, в котором произведение не существует: В категории полей произведение не существует, так как не существует поля с гомоморфизмами как в , так и в ${\displaystyle \mathbb {Q} \times F_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F_{p}.}$

Другой пример: пустое произведение (то есть пустое множество ) — это то же самое, что и терминальный объект , а некоторые категории, такие как категория бесконечных групп , не имеют терминального объекта: для любой бесконечной группы существует бесконечно много морфизмов , поэтому она не может быть терминальной. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to G,}$ ${\displaystyle G}$

Если — множество такое, что существуют все продукты для семейств, индексированных с , то можно рассматривать каждое произведение как функтор ^[3] То, как этот функтор отображает объекты, очевидно. Отображение морфизмов является тонким, поскольку произведение морфизмов, определенных выше, не подходит. Во-первых, рассмотрим бинарный функтор произведения, который является бифунктором . Для мы должны найти морфизм Мы выбираем Эта операция над морфизмами называется декартовым произведением морфизмов . ^[4] Во-вторых, рассмотрим общий функтор произведения. Для семейств мы должны найти морфизм Мы выбираем произведение морфизмов ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ^{I}\to \mathbf {C} .}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y_{1},f_{2}:X_{2}\to Y_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}.}$ ${\displaystyle \left\langle f_{1}\circ \pi _{1},f_{2}\circ \pi _{2}\right\rangle .}$ ${\displaystyle \left\{X\right\}_{i},\left\{Y\right\}_{i},f_{i}:X_{i}\to Y_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}.}$ ${\displaystyle \left\{f_{i}\circ \pi _{i}\right\}_{i}.}$

Категорию, в которой каждое конечное множество объектов имеет произведение, иногда называют декартовой категорией ^[4] (хотя некоторые авторы используют эту фразу для обозначения «категории со всеми конечными пределами»).

Произведение ассоциативно . Предположим, что — декартова категория, функторы произведения выбраны так же, как и выше, и обозначает конечный объект Тогда мы имеем естественные изоморфизмы Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; декартова категория с ее конечными произведениями является примером симметричной моноидальной категории . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle C.}$ $${\displaystyle X\times (Y\times Z)\simeq (X\times Y)\times Z\simeq X\times Y\times Z,}$$ $${\displaystyle X\times 1\simeq 1\times X\simeq X,}$$ $${\displaystyle X\times Y\simeq Y\times X.}$$

Распределяемость

Для любых объектов категории с конечными произведениями и копроизведениями существует канонический морфизм , где знак плюс здесь обозначает копроизведение . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что универсальное свойство копроизведения гарантирует существование уникальных стрелок, заполняющих следующую диаграмму (индуцированные стрелки обозначены пунктиром): ${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z),}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z}$

Универсальное свойство продукта тогда гарантирует уникальный морфизм, индуцированный пунктирными стрелками на диаграмме выше. Дистрибутивная категория — это категория, в которой этот морфизм на самом деле является изоморфизмом. Таким образом, в дистрибутивной категории существует канонический изоморфизм ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$ $${\displaystyle X\times (Y+Z)\simeq (X\times Y)+(X\times Z).}$$

Смотрите также

• Копродукт  – двойственный продукту
• Диагональный функтор  – левый сопряженный функтор произведения.
• Предел и копределы  – Математическая концепция
• Эквалайзер  – набор аргументов, где две или более функций имеют одинаковое значение.
• Обратный предел  – Конструкция в теории категорий
• Декартово замкнутая категория  – Тип категории в теории категорий
• Категорический обратный путь  – наиболее общее пополнение коммутативного квадрата, заданное двумя морфизмами с одинаковой областью значенийPages displaying short descriptions of redirect targets

Ссылки

1. Ламбек Дж., Скотт П. Дж. (1988). Введение в категориальную логику высшего порядка . Cambridge University Press. стр. 304.
2. Qiaochu Yuan (23 июня 2012 г.). «Банаховы пространства (и метрики Ловера, и замкнутые категории)». Раздражающая точность .
3. Лейн, С. Мак (1988). Категории для работающего математика (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 37. ISBN 0-387-90035-7.
4. Майкл Барр, Чарльз Уэллс (1999). Теория категорий – Конспект лекций для ESSLLI. стр. 62. Архивировано из оригинала 2011-04-13.

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.
• Barr, Michael; Charles Wells (1999). Теория категорий для вычислительной науки (PDF) . Les Publications CRM Montreal (публикация PM023). Архивировано из оригинала (PDF) 2016-03-04 . Получено 2016-03-21 .Глава 5.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Определение 2.1.1 в Borceux, Francis (1994). Справочник по категорической алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений 50–51, 53 [т. е. 52]. Том 1. Cambridge University Press. стр. 39. ISBN 0-521-44178-1.

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры продуктов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
• Продукт в n Lab