Метрика Фридмана–Лемэтра–Робертсона–Уокера

Метрика, основанная на точном решении уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности

Метрика Фридмана –Леметра–Робертсона–Уокера ( FLRW ; / ˈ f r iː d m ə n l ə ˈ m ɛ t r ə  ... /   ) — это метрика, основанная на точном решении уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности . Метрика описывает однородную , изотропную , расширяющуюся (или, в противном случае, сжимающуюся) вселенную , которая является путе-связной , но не обязательно односвязной . ^{[1] [2] [3]} Общая форма метрики следует из геометрических свойств однородности и изотропии; уравнения поля Эйнштейна нужны только для вывода масштабного фактора вселенной как функции времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений, набор из четырех ученых — Александр Фридман , Жорж Леметр , Говард П. Робертсон и Артур Джеффри Уокер — по-разному группируются как Фридман , Фридман–Робертсон–Уокер ( FRW ), Робертсон–Уокер ( RW ) или Фридман–Леметр ( FL ). Эту модель иногда называют Стандартной моделью современной космологии , ^[4] хотя такое описание также связано с более развитой моделью Лямбда-CDM . Модель FLRW была разработана независимо названными авторами в 1920-х и 1930-х годах.

Общая метрика

Метрика FLRW начинается с предположения об однородности и изотропности пространства. Она также предполагает, что пространственный компонент метрики может зависеть от времени. Общая метрика, которая удовлетворяет этим условиям, — это

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}$

где пробегает 3-мерное пространство равномерной кривизны, то есть эллиптическое пространство , евклидово пространство или гиперболическое пространство . Обычно оно записывается как функция трех пространственных координат, но для этого существует несколько соглашений, подробно описанных ниже. не зависит от t – вся зависимость от времени находится в функции a ( t ), известной как « масштабный коэффициент ». ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

Полярные координаты с уменьшенной окружностью

В полярных координатах с приведенной окружностью пространственная метрика имеет вид ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k — константа, представляющая кривизну пространства. Существует два общих соглашения о единицах:

• k можно считать имеющим единицы длины ⁻² , в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) безразмерно. Тогда k — это гауссова кривизна пространства в момент времени, когда a ( t ) = 1. r иногда называют приведенной окружностью , поскольку она равна измеренной окружности круга (при этом значении r ) с центром в начале координат, деленной на 2 π (как r в координатах Шварцшильда ). Где это уместно, a ( t ) часто выбирается равным 1 в настоящую космологическую эру, так что измеряет сопутствующее расстояние . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• В качестве альтернативы k можно считать принадлежащим множеству {−1, 0, +1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно, а a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ±1 , a ( t ) является радиусом кривизны пространства и может быть также записано как R ( t ).

Недостатком приведенных координат окружности является то, что они охватывают только половину 3-сферы в случае положительной кривизны — окружности за этой точкой начинают уменьшаться, что приводит к вырождению. (Это не проблема, если пространство является эллиптическим , т. е. 3-сферой с обозначенными противоположными точками.)

Гиперсферические координаты

В гиперсферических или нормализованных по кривизне координатах координата r пропорциональна радиальному расстоянию; это дает

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

где как и прежде и ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

Как и прежде, существуют два общепринятых соглашения об единицах измерения:

• k можно принять равным единице длины ⁻² , в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) безразмерно. Тогда k — это гауссова кривизна пространства в момент времени, когда a ( t ) = 1. Где это уместно, a ( t ) часто выбирается равным 1 в настоящую космологическую эру, так что измеряет сопутствующее расстояние . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• В качестве альтернативы, как и прежде, k можно взять принадлежащим множеству {−1 ,0, +1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно, а a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ±1 , a ( t ) является радиусом кривизны пространства и может быть также записано как R ( t ). Обратите внимание, что когда k = +1 , r по сути является третьим углом наряду с θ и φ . Буква χ может использоваться вместо  r .

Хотя обычно это определяется кусочно, как указано выше, S является аналитической функцией как k, так и  r . Его также можно записать в виде степенного ряда

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

или как

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

где sinc — ненормализованная функция sinc , а это один из мнимых, нулевых или действительных квадратных корней k . Эти определения справедливы для всех  k . ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$

Декартовы координаты

Когда k = 0, можно просто записать

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

Это можно расширить до k ≠ 0, определив

${\displaystyle x=r\cos \theta \,,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$, и

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,,}$

где r — одна из радиальных координат, определенных выше, но это встречается редко.

Кривизна

Декартовы координаты

В плоском пространстве FLRW, использующем декартовы координаты, выжившие компоненты тензора Риччи равны ^[7] ${\displaystyle (k=0)}$

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

и скаляр Риччи равен

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

Сферические координаты

В более общем пространстве FLRW, использующем сферические координаты (выше названные «полярными координатами с уменьшенной окружностью»), выжившие компоненты тензора Риччи равны ^[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

и скаляр Риччи равен

${\displaystyle R={\frac {6}{c^{2}}}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

Решения

Уравнения поля Эйнштейна не используются при выводе общей формы метрики: она следует из геометрических свойств однородности и изотропии. Однако определение временной эволюции требует уравнений поля Эйнштейна вместе со способом вычисления плотности, таким как космологическое уравнение состояния . ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \rho (t),}$

Эта метрика имеет аналитическое решение уравнений поля Эйнштейна, дающее уравнения Фридмана , когда тензор энергии-импульса также предполагается изотропным и однородным. Результирующие уравнения таковы: ^[9] ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.}$

Эти уравнения являются основой стандартной космологической модели Большого взрыва , включая текущую модель ΛCDM . ^[10] Поскольку модель FLRW предполагает однородность, некоторые популярные отчеты ошибочно утверждают, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую неоднородность Вселенной. В строгой модели FLRW нет скоплений галактик или звезд, поскольку это объекты намного более плотные, чем типичная часть Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной неоднородной Вселенной, поскольку ее просто вычислить, а модели, которые вычисляют неоднородность во Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов согласны с тем, что наблюдаемая Вселенная хорошо аппроксимируется почти моделью FLRW , т. е. моделью, которая следует метрике FLRW за исключением первичных флуктуаций плотности . По состоянию на 2003 год ^[update]теоретические последствия различных расширений модели FLRW, по-видимому, хорошо изучены, и цель состоит в том, чтобы привести их в соответствие с наблюдениями COBE и WMAP .

Интерпретация

Пара уравнений, приведенная выше, эквивалентна следующей паре уравнений

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

где , пространственный индекс кривизны, служащий константой интегрирования для первого уравнения. ${\displaystyle k}$

Первое уравнение может быть выведено также из термодинамических соображений и эквивалентно первому закону термодинамики , предполагая, что расширение Вселенной является адиабатическим процессом (что неявно предполагается при выводе метрики Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера).

Второе уравнение утверждает, что как плотность энергии, так и давление вызывают уменьшение скорости расширения Вселенной , т. е. оба вызывают замедление расширения Вселенной. Это следствие гравитации , при этом давление играет ту же роль, что и плотность энергии (или массы), согласно принципам общей теории относительности . Космологическая постоянная , с другой стороны, вызывает ускорение расширения Вселенной. ${\displaystyle {\dot {a}}}$

Космологическая постоянная

Космологическую постоянную можно опустить, если сделать следующие замены:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.}$

Таким образом, космологическая постоянная может быть интерпретирована как возникающая из формы энергии, которая имеет отрицательное давление, равное по величине ее (положительной) плотности энергии:

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,}$

которое представляет собой уравнение состояния вакуума с темной энергией .

Попытка обобщить это

${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$

не обладал бы общей инвариантностью без дальнейшей модификации.

На самом деле, чтобы получить член, вызывающий ускорение расширения Вселенной, достаточно иметь скалярное поле , удовлетворяющее условию

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.}$

Такое поле иногда называют квинтэссенцией .

Ньютоновская интерпретация

Это принадлежит МакКри и Милну ^[11] , хотя иногда его ошибочно приписывают Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны этой паре уравнений:

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

Первое уравнение говорит, что уменьшение массы, содержащейся в фиксированном кубе (сторона которого на данный момент равна a ), представляет собой количество, которое выходит через стороны из-за расширения вселенной плюс эквивалент массы работы, совершаемой давлением против выталкиваемого материала. Это сохранение массы-энергии ( первый закон термодинамики ), содержащейся в части вселенной.

Второе уравнение гласит, что кинетическая энергия (видимая из начала координат) частицы единичной массы, движущейся с расширением, плюс ее (отрицательная) гравитационная потенциальная энергия (относительно массы, содержащейся в сфере материи ближе к началу координат) равна константе, связанной с кривизной Вселенной. Другими словами, энергия (относительно начала координат) сопутствующей частицы в свободном падении сохраняется. Общая теория относительности просто добавляет связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия подразумевает отрицательную кривизну, а отрицательная полная энергия подразумевает положительную кривизну.

Предполагается, что космологическая постоянная рассматривается как темная энергия и, таким образом, объединяется с членами плотности и давления.

В эпоху Планка нельзя пренебрегать квантовыми эффектами. Поэтому они могут вызывать отклонение от уравнений Фридмана.

Имя и история

Советский математик Александр Фридман впервые вывел основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 годах. ^{[12] [13]} Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его работу, она осталась относительно незамеченной его современниками. Фридман был в прямом общении с Альбертом Эйнштейном , который от имени Zeitschrift für Physik выступал в качестве научного рецензента работы Фридмана. В конце концов Эйнштейн признал правильность вычислений Фридмана, но не смог оценить физическую значимость предсказаний Фридмана.

Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Леметр , бельгийский священник, астроном и периодический профессор физики в Католическом университете Лёвена , независимо пришел к результатам, аналогичным результатам Фридмана, и опубликовал их в Annales de la Société Scientifique de Bruxelles (Анналы Брюссельского научного общества). ^{[14] [15]} Перед лицом наблюдательных доказательств расширения Вселенной, полученных Эдвином Хабблом в конце 1920-х годов, результаты Леметра были замечены, в частности, Артуром Эддингтоном , и в 1930–31 годах статья Леметра была переведена на английский язык и опубликована в Monthly Notices of the Royal Astronomical Society .

Говард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании продолжили изучение этой проблемы в 1930-х годах. ^{[16] [17] [18] [19]} В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW является единственной в пространстве-времени, которая является пространственно однородной и изотропной (как отмечалось выше, это геометрический результат, не связанный конкретно с уравнениями общей теории относительности, которые всегда принимались Фридманом и Леметром).

Это решение, часто называемое метрикой Робертсона–Уокера , поскольку они доказали ее общие свойства, отличается от динамических моделей «Фридмана–Леметра» , которые являются конкретными решениями для a ( t ), предполагающими, что единственными вкладами в энергию-напряжение являются холодная материя («пыль»), излучение и космологическая постоянная.

Радиус вселенной Эйнштейна

Радиус вселенной Эйнштейна — это радиус кривизны пространства вселенной Эйнштейна , давно заброшенной статической модели , которая должна была представлять нашу вселенную в идеализированной форме. Помещая

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

В уравнении Фридмана радиус кривизны пространства этой вселенной (радиус Эйнштейна) равен ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle R_{\text{E}}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }},}$

где - скорость света, - ньютоновская постоянная тяготения , а - плотность пространства этой вселенной. Численное значение радиуса Эйнштейна составляет порядка 10 ¹⁰ световых лет , или 10 миллиардов световых лет. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

Текущий статус

Нерешенная задача по физике :

Является ли Вселенная однородной и изотропной в достаточно больших масштабах, как утверждает космологический принцип и предполагается всеми моделями, использующими метрику Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера, включая текущую версию ΛCDM, или Вселенная неоднородна или анизотропна? ^{[20] [21] [22]} Является ли диполь CMB чисто кинематическим или он сигнализирует о возможном нарушении метрики FLRW? ^[20] Даже если космологический принцип верен, является ли метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера действительной в поздней Вселенной? ^{[20] [23]}

(еще нерешенные проблемы по физике)

Текущая стандартная модель космологии, модель Lambda-CDM , использует метрику FLRW. Объединив данные наблюдений из некоторых экспериментов, таких как WMAP и Planck , с теоретическими результатами теоремы Элерса–Герена–Сакса и ее обобщением, ^[24] астрофизики теперь согласны, что ранняя Вселенная была почти однородной и изотропной (при усреднении по очень большому масштабу) и, таким образом, почти пространством-временем FLRW. При этом попытки подтвердить чисто кинематическую интерпретацию диполя космического микроволнового фона (CMB) посредством исследований радиогалактик ^[25] и квазаров ^[26] показывают несогласие в величине. Принимая эти наблюдения за чистую монету, можно утверждать, что Вселенная описывается метрикой FLRW. Более того, можно утверждать, что существует максимальное значение постоянной Хаббла в космологии FLRW, допускаемое текущими наблюдениями, = ${\displaystyle H_{0}}$71 ± 1 км/с/Мпк , и в зависимости от того, как сходятся локальные определения, это может указывать на нарушение метрики FLRW в поздней Вселенной, что требует объяснения за пределами метрики FLRW. ^{[27] [20]}

Ссылки

1. Для более ранней ссылки см. Robertson (1935); Робертсон предполагает множественную связность в случае положительной кривизны и говорит, что «мы все еще свободны восстановить» простую связность.
2. Lachieze-Rey, M.; Luminet, J.-P. (1995). "Космическая топология". Physics Reports . 254 (3): 135–214. arXiv : gr-qc/9605010 . Bibcode : 1995PhR...254..135L. doi : 10.1016/0370-1573(94)00085-H. S2CID  119500217.
3. Эллис, СКФ; ван Элст, Х. (1999). «Космологические модели (лекции Каржеза, 1998 г.)». В Марке Лакьезе-Ре (ред.). Теоретическая и наблюдательная космология . Научная серия НАТО C. Том. 541. стр. 1–116. arXiv : gr-qc/9812046 . Бибкод : 1999ASIC..541....1E. ISBN 978-0792359463.
4. Бергстрём, Ларс; Губар, Ариэль (2008). Космология и астрофизика частиц. Книги Springer Praxis по астрономии и планетарной науке (2-е изд., переизданное изд.). Чичестер, Великобритания: Praxis Publ. стр. 61. ISBN 978-3-540-32924-4.
5. Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 116. ISBN 978-0-226-87032-8.
6. Кэрролл, Шон М. (2019). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 329–333. ISBN 978-1-108-48839-6.
7. Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 97. ISBN 978-0-226-87032-8.
8. "Космология" (PDF) . стр. 23. Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2020 г.
9. Rosu, HC; Ojeda-May, P. (июнь 2006 г.). «Суперсимметрия баротропных космологий FRW». International Journal of Theoretical Physics . 45 (6): 1152–1157. arXiv : gr-qc/0510004 . Bibcode :2006IJTP...45.1152R. doi :10.1007/s10773-006-9123-2. ISSN  0020-7748. S2CID  119496918.
10. Их решения можно найти в Rosu, Haret C.; Mancas, SC; Chen, Pisin (2015-05-05). "Barotropic FRW cosmologies with Chiellini dumbing in comoving time". Modern Physics Letters A . 30 (20): 1550100. arXiv : 1502.07033 . Bibcode :2015MPLA...3050100R. doi :10.1142/S021773231550100x. ISSN  0217-7323. S2CID  51948117.
11. МакКри, WH; Милн, EA (1934). «Ньютоновские вселенные и кривизна пространства». Quarterly Journal of Mathematics . 5 : 73–80. Bibcode : 1934QJMat...5...73M. doi : 10.1093/qmath/os-5.1.73.
12. Фридман, Александр (1922). «Über die Krümmung des Raumes». Zeitschrift für Physik A. 10 (1): 377–386. Бибкод : 1922ZPhy...10..377F. дои : 10.1007/BF01332580. S2CID  125190902.
13. Фридман, Александр (1924). «Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negater Krümmung des Raumes». Zeitschrift für Physik A (на немецком языке). 21 (1): 326–332. Бибкод : 1924ZPhy...21..326F. дои : 10.1007/BF01328280. S2CID  120551579.Английский перевод в «Общей теории относительности и гравитации» 1999 т.31, 31–
14. Лемэтр, Жорж (1931), «Расширение Вселенной. Однородная Вселенная постоянной массы и увеличивающегося радиуса, учитывающая радиальную скорость внегалактических туманностей», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 91 (5): 483–490, Bibcode : 1931MNRAS..91..483L, doi : 10.1093/mnras/91.5.483 перевод из Леметра, Жоржа (1927), «Un univers homogène de Masse Constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse Radale des Nebuleuses Extra-galactiques», Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A47 : 49–56, Bibcode : 1927ASSB ...47...49л
15. Леметр, Жорж (1933), «l'Univers en Expansion», Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A53 : 51–85, Бибкод : 1933ASSB...53...51L
16. Робертсон, HP (1935), «Кинематика и структура мира», Astrophysical Journal , 82 : 284–301, Bibcode : 1935ApJ....82..284R, doi : 10.1086/143681
17. Робертсон, HP (1936), «Кинематика и структура мира II», Astrophysical Journal , 83 : 187–201, Bibcode : 1936ApJ....83..187R, doi : 10.1086/143716
18. Робертсон, HP (1936), «Кинематика и структура мира III», Astrophysical Journal , 83 : 257–271, Bibcode : 1936ApJ....83..257R, doi : 10.1086/143726
19. Уокер, АГ (1937), «О теории структуры мира Милна», Труды Лондонского математического общества , Серия 2, 42 (1): 90–127, Bibcode : 1937PLMS...42...90W, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.90
20. Абдалла, Элсио и др. (июнь 2022 г.). «Космология переплетена: обзор физики элементарных частиц, астрофизики и космологии, связанных с космологическими напряжениями и аномалиями». Журнал астрофизики высоких энергий . 34 : 49–211. arXiv : 2203.06142v1 . Bibcode : 2022JHEAp..34...49A. doi : 10.1016/j.jheap.2022.04.002. S2CID  247411131.
21. Биллингс, Ли (15 апреля 2020 г.). «Живем ли мы в однобокой Вселенной?». Scientific American . Получено 24 марта 2022 г.
22. Migkas, K.; Schellenberger, G.; Reiprich, TH; Pacaud, F.; Ramos-Ceja, ME; Lovisari, L. (апрель 2020 г.). «Исследование космической изотропии с помощью нового образца рентгеновского скопления галактик через масштабное отношение LX – T». Astronomy & Astrophysics . 636 (апрель 2020 г.): A15. arXiv : 2004.03305 . Bibcode :2020A&A...636A..15M. doi :10.1051/0004-6361/201936602. ISSN  0004-6361. S2CID  215238834 . Получено 24 марта 2022 г. .
23. Кришнан, Четан; Мохаяи, Ройя; Колгайн, Эоин О; Шейх-Джаббари, ММ; Инь, Лу (16 сентября 2021 г.). «Сигнализирует ли напряжение Хаббла о разрушении космологии FLRW?». Классическая и квантовая гравитация . 38 (18): 184001. arXiv : 2105.09790 . Бибкод : 2021CQGra..38r4001K. дои : 10.1088/1361-6382/ac1a81. ISSN  0264-9381. S2CID  234790314.
24. См. стр. 351 и далее в Хокинг, Стивен У.; Эллис, Джордж ФР (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6. Оригинальная работа — Ehlers, J., Geren, P., Sachs, RK: Изотропные решения уравнений Эйнштейна-Лиувилля. J. Math. Phys. 9, 1344 (1968). Для обобщения см. Stoeger, WR; Maartens, R; Ellis, George (2007), «Доказательство почти однородности Вселенной: почти теорема Элерса-Герена-Сакса», Astrophys. J. , 39 : 1–5, Bibcode :1995ApJ...443....1S, doi : 10.1086/175496.
25. См. Siewert et al. для недавнего обзора результатов Siewert, Thilo M.; Schmidt-Rubart, Matthias; Schwarz, Dominik J. (2021). "Космический радиодиполь: Оценки и зависимость от частоты". Astronomy & Astrophysics . 653 : A9. arXiv : 2010.08366 . Bibcode :2021A&A...653A...9S. doi :10.1051/0004-6361/202039840. S2CID  223953708.
26. Secrest, Nathan J.; Hausegger, Sebastian von; Rameez, Mohamed; Mohayaee, Roya; Sarkar, Subir; Colin, Jacques (2021-02-25). "Проверка космологического принципа с помощью квазаров". The Astrophysical Journal . 908 (2): L51. arXiv : 2009.14826 . Bibcode :2021ApJ...908L..51S. doi : 10.3847/2041-8213/abdd40 . S2CID  222066749.
27. Кришнан, Четан; Мохаяи, Ройя; О Колгейн, Эоин; Шейх-Джаббари, ММ; Инь, Лу (25 мая 2021 г.). «Сигнализирует ли напряжение Хаббла сбой в космологии FLRW?». Классическая и квантовая гравитация . 38 (18): 184001. arXiv : 2105.09790 . Бибкод : 2021CQGra..38r4001K. дои : 10.1088/1361-6382/ac1a81. S2CID  234790314.

Дальнейшее чтение

• Норт, Джон Дэвид (1990). Мера вселенной: история современной космологии. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66517-7.
• Харрисон, Э. Р. (1967). «Классификация однородных космологических моделей». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 137 (1): 69–79. Bibcode : 1967MNRAS.137...69H. doi : 10.1093/mnras/137.1.69 . ISSN  0035-8711.
• D'Inverno, Ray (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна (Повторное издание). Оксфорд [Англия] : Нью-Йорк: Clarendon Press ; Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.(См . Главу 23 для особенно ясного и краткого введения в модели FLRW.)