теория де Бройля – Бома

Интерпретация квантовой механики

Теория де Бройля-Бома , также известная как теория пилотных волн , механика Бома , интерпретация Бома и причинная интерпретация , является интерпретацией квантовой механики . Он постулирует, что помимо волновой функции существует реальная конфигурация частиц, даже если она ненаблюдается. Эволюция во времени конфигурации всех частиц определяется основным уравнением. Эволюция волновой функции во времени задается уравнением Шрёдингера . Теория названа в честь Луи де Бройля (1892–1987) и Дэвида Бома (1917–1992).

Теория является детерминированной ^[1] и явно нелокальной : скорость любой отдельной частицы зависит от значения ведущего уравнения, которое зависит от конфигурации всех рассматриваемых частиц.

Измерения представляют собой частный случай квантовых процессов, описываемых теорией, для которых она дает те же квантовые предсказания, которые обычно ассоциируются с копенгагенской интерпретацией . В теории нет « проблемы измерения », поскольку частицы всегда имеют определенную конфигурацию. Правило Борна в теории де Бройля-Бома не является основным законом. Скорее, в этой теории связь между плотностью вероятности и волновой функцией имеет статус гипотезы, называемой « гипотезой квантового равновесия », которая является дополнительной к основным принципам, управляющим волновой функцией. Существует несколько эквивалентных математических формулировок теории.

Обзор

Теория де Бройля – Бома основана на следующих постулатах:

• Существует конфигурация Вселенной, описываемая координатами , которая является элементом конфигурационного пространства . Конфигурационное пространство различно для разных версий теории пилот-волны. Например, это может быть пространство положений частиц или, в случае теории поля, пространство конфигураций поля . Конфигурация развивается (для спина = 0) в соответствии с основным уравнением где – ток вероятности или поток вероятности, а – оператор импульса . Здесь – стандартная комплексная волновая функция из квантовой теории, которая развивается согласно уравнению Шредингера. Это завершает спецификацию теории для любой квантовой теории с оператором Гамильтона типа . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{k}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi (x)}$ $${\displaystyle m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatorname {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}\mathbf {j} _{k}}{\psi ^{*}\psi }}=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathbf {\hat {P}} _{k}\Psi }{\Psi }}\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} }$ ${\displaystyle \psi (q,t)}$ $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (q,t)=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (q,t)+V(q)\psi (q,t).}$$ ${\textstyle H=\sum {\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {p}}_{i}^{2}+V({\hat {q}})}$
• Конфигурация распределяется в соответствии с определенным моментом времени , и, следовательно, это справедливо для всех времен. Такое состояние называется квантовым равновесием. При квантовом равновесии эта теория согласуется с результатами стандартной квантовой механики. ${\displaystyle |\psi (q,t)|^{2}}$ ${\displaystyle t}$

Несмотря на то, что последнее соотношение часто представляется как аксиома теории, Бом в оригинальных статьях 1952 года представил его как вытекающее из статистико-механических аргументов. Этот аргумент был дополнительно поддержан работой Бома в 1953 году и подтвержден Вижье и Статья Бома 1954 года, в которой они представили стохастические флуктуации жидкости , которые запускают процесс асимптотической релаксации от квантовой неравновесности к квантовому равновесию (ρ → |ψ| ² ). ^[2]

Двухщелевой эксперимент

Бомовы траектории электрона, проходящего через двухщелевой эксперимент. Аналогичная картина была экстраполирована и на основе слабых измерений одиночных фотонов. ^[3]

Эксперимент с двумя щелями является иллюстрацией корпускулярно-волнового дуализма . В нем пучок частиц (например, электронов) проходит через барьер, имеющий две щели. Если экран детектора находится со стороны за барьером, то на картине регистрируемых частиц наблюдаются интерференционные полосы, характерные для волн, приходящих на экран от двух источников (двух щелей); однако интерференционная картина состоит из отдельных точек, соответствующих частицам, попавшим на экран. Кажется, что система демонстрирует поведение как волн (интерференционные картины), так и частиц (точек на экране).

Если этот эксперимент модифицировать так, чтобы одна щель была закрыта, интерференционной картины не наблюдается. Таким образом, состояние обеих щелей влияет на конечный результат. Также можно предусмотреть установку минимально инвазивного детектора на одной из щелей для определения того, через какую щель прошла частица. Когда это будет сделано, интерференционная картина исчезнет. ^[4]

Копенгагенская интерпретация утверждает, что частицы не локализуются в пространстве до тех пор, пока они не будут обнаружены, поэтому, если на щелях нет детектора, нет информации о том, через какую щель прошла частица. Если на одной из щелей установлен детектор, то из-за этого обнаружения волновая функция рушится. ^{[ нужна цитата ]}

В теории де Бройля-Бома волновая функция определена в обеих щелях, но каждая частица имеет четко определенную траекторию, проходящую ровно через одну из щелей. Конечное положение частицы на экране детектора и щели, через которую проходит частица, определяется начальным положением частицы. Такое начальное положение не известно и не контролируется экспериментатором, поэтому в схеме обнаружения возникает видимость случайности. В статьях Бома 1952 года он использовал волновую функцию для построения квантового потенциала, который, будучи включенным в уравнения Ньютона, определял траектории частиц, проходящих через две щели. По сути, волновая функция интерферирует сама с собой и направляет частицы с помощью квантового потенциала таким образом, что частицы избегают областей, в которых интерференция является разрушительной, и притягиваются к областям, в которых интерференция является конструктивной, что приводит к интерференционной картине на поверхности. экран детектора.

Чтобы объяснить поведение, когда частица проходит через одну щель, необходимо оценить роль условной волновой функции и то, как это приводит к коллапсу волновой функции; это объясняется ниже. Основная идея заключается в том, что среда, регистрирующая обнаружение, эффективно разделяет два волновых пакета в конфигурационном пространстве.

Теория

Пилотная волна

Теория де Бройля-Бома описывает пилотную волну в конфигурационном пространстве и траектории частиц, как в классической механике, но определяемые неньютоновской механикой. ^[5] В каждый момент времени существует не только волновая функция, но и четко определенная конфигурация всей Вселенной (т. е. системы, определенной граничными условиями, используемыми при решении уравнения Шредингера). ${\displaystyle \psi (q,t)\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle q(t)\in Q}$

Теория де Бройля-Бома работает с положениями и траекториями частиц так же, как классическая механика, но динамика другая. В классической механике ускорения частицам сообщают непосредственно силы, существующие в физическом трехмерном пространстве. В теории де Бройля-Бома квантовое «поле оказывает новый вид «квантово-механической» силы». ^{[6] : 76} Бом выдвинул гипотезу, что каждая частица имеет «сложную и тонкую внутреннюю структуру», которая обеспечивает способность реагировать на информацию, предоставляемую волновой функцией квантового потенциала. ^[7] Кроме того, в отличие от классической механики, физические свойства (например, масса, заряд) в теории де Бройля-Бома распределены по волновой функции, а не локализованы в положении частицы. ^{[8] [9]}

Сама волновая функция, а не частицы, определяет динамическую эволюцию системы: частицы не воздействуют обратно на волновую функцию. Как сформулировали это Бом и Хили, «уравнение Шрёдингера для квантового поля не имеет источников и не имеет никакого другого способа, с помощью которого на поле могло бы напрямую влиять состояние частиц [...] квантовая теория может полностью понимать в терминах предположения, что квантовое поле не имеет источников или других форм зависимости от частиц». ^[10] П. Холланд считает отсутствие взаимного действия частиц и волновой функции одним «среди многих неклассических свойств, демонстрируемых этой теорией». ^[11] Позже Холланд назвал это просто очевидным отсутствием обратной реакции из-за неполноты описания. ^[12]

Ниже приводится установка для одной движущейся частицы, за которой следует установка для N частиц, движущихся в трех измерениях. В первом случае конфигурационное пространство и реальное пространство совпадают, а во втором реальное пространство остается , но конфигурационное пространство становится . В то время как сами положения частиц находятся в реальном пространстве, поле скоростей и волновая функция находятся в конфигурационном пространстве, и именно так частицы запутаны друг с другом в этой теории. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$

Расширения этой теории включают спиновые и более сложные конфигурационные пространства.

Мы используем вариации положений частиц, а представляет собой комплексную волновую функцию в конфигурационном пространстве. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \psi }$

Ведущее уравнение

Для бесспиновой одиночной частицы, движущейся в , скорость частицы равна ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t).}$

Для многих частиц, помеченных как -я частица, их скорости равны ${\displaystyle \mathbf {Q} _{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t).}$

Главный факт, на который следует обратить внимание, заключается в том, что это поле скоростей зависит от фактического положения всех частиц во Вселенной. Как объясняется ниже, в большинстве экспериментальных ситуаций влияние всех этих частиц можно выразить в эффективной волновой функции подсистемы Вселенной. ${\displaystyle N}$

Уравнение Шрёдингера

Одночастичное уравнение Шредингера управляет эволюцией во времени комплексной волновой функции на . Уравнение представляет собой квантованную версию полной энергии классической системы, развивающейся под действием действительной потенциальной функции на : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi .}$

Для многих частиц уравнение одно и то же, за исключением того, что оно теперь находится в конфигурационном пространстве : ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3N}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi .}$

Это та же волновая функция, что и в обычной квантовой механике.

Связь с правилом Борна

В оригинальных статьях Бома ^[13] он обсуждает, как теория де Бройля-Бома приводит к обычным результатам квантовой механики. Основная идея состоит в том, что это верно, если положения частиц удовлетворяют статистическому распределению, заданному формулой . И это распределение гарантированно будет истинным во все времена согласно определяющему уравнению, если начальное распределение частиц удовлетворяет . ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Для данного эксперимента можно постулировать это как истину и проверить это экспериментально. Но, как утверждают Дюрр и др. ^[14], нужно утверждать, что такое распределение подсистем является типичным. Авторы утверждают , что в силу своей эквивариантности относительно динамической эволюции системы является подходящей мерой типичности начальных условий положений частиц. Затем авторы доказывают, что подавляющее большинство возможных начальных конфигураций приведет к появлению статистики, подчиняющейся правилу Борна (т. е. ) для результатов измерений. Таким образом, во вселенной, управляемой динамикой де Бройля-Бома, поведение правила Борна является типичным. ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Таким образом, ситуация аналогична ситуации в классической статистической физике. Начальное состояние с низкой энтропией с чрезвычайно высокой вероятностью перейдет в состояние с более высокой энтропией: типично поведение, согласующееся со вторым законом термодинамики . Существуют аномальные начальные условия, которые могут привести к нарушению второго закона; однако в отсутствие некоторых очень подробных доказательств, подтверждающих реализацию одного из этих условий, было бы совершенно неразумно ожидать чего-либо, кроме фактически наблюдаемого равномерного увеличения энтропии. Точно так же в теории де Бройля-Бома существуют аномальные начальные условия, которые могут привести к получению статистики измерений в нарушение правила Борна (что противоречит предсказаниям стандартной квантовой теории), но теорема о типичности показывает, что при отсутствии какой-либо конкретной причины верить одному из этих условий фактически были реализованы особые начальные условия, поведение правила Борна — это то, чего и следовало ожидать.

Именно в этом ограниченном смысле правило Борна является для теории де Бройля-Бома теоремой , а не (как в обычной квантовой теории) дополнительным постулатом .

Также можно показать, что распределение частиц, которое не распределено по правилу Борна (то есть распределение «вне квантового равновесия») и развивается в соответствии с динамикой де Бройля – Бома, с подавляющей вероятностью динамически эволюционирует в состояние распространяется как . ^[15] ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Условная волновая функция подсистемы

В формулировке теории де Бройля-Бома существует только волновая функция для всей Вселенной (которая всегда развивается по уравнению Шредингера). Здесь «вселенная» — это просто система, ограниченная теми же граничными условиями, которые использовались для решения уравнения Шрёдингера. Однако, как только теория сформулирована, удобно ввести понятие волновой функции и для подсистем Вселенной. Запишем волновую функцию Вселенной как , где обозначает переменные конфигурации, связанные с некоторой подсистемой (I) Вселенной, и обозначает остальные переменные конфигурации. Обозначим соответственно через и фактическую конфигурацию подсистемы (I) и остальной Вселенной. Для простоты мы рассматриваем здесь только бесспиновый случай. Условная волновая функция подсистемы (I) определяется выражением ${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})}$ ${\displaystyle q^{\text{I}}}$ ${\displaystyle q^{\text{II}}}$ ${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$ ${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$

${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})=\psi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t)).}$

Из того, что удовлетворяет ведущему уравнению, сразу следует, что и конфигурация удовлетворяет ведущему уравнению, идентичному тому, которое представлено в формулировке теории, с заменой универсальной волновой функции на условную волновую функцию . Кроме того, тот факт, что это случайность с плотностью вероятности , определяемой квадратным модулем , подразумевает, что условная плотность вероятности заданного определяется квадратом модуля (нормализованной) условной волновой функции (в терминологии Дюрра и др. ^[16] это факт называется фундаментальной формулой условной вероятности ). ${\displaystyle Q(t)=(Q^{\text{I}}(t),Q^{\text{II}}(t))}$ ${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle \psi (t,\cdot )}$ ${\displaystyle Q^{\text{I}}(t)}$ ${\displaystyle Q^{\text{II}}(t)}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}(t,\cdot )}$

В отличие от универсальной волновой функции, условная волновая функция подсистемы не всегда развивается по уравнению Шредингера, но во многих ситуациях это происходит. Например, если универсальная волновая функция действует как

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}}),}$

тогда условная волновая функция подсистемы (I) (с точностью до нерелевантного скалярного множителя) равна (это то, что стандартная квантовая теория будет рассматривать как волновую функцию подсистемы (I)). Если, кроме того, гамильтониан не содержит члена взаимодействия между подсистемами (I) и (II), то он удовлетворяет уравнению Шредингера. В более общем смысле предположим, что универсальную волновую функцию можно записать в виде ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}})=\psi ^{\text{I}}(t,q^{\text{I}})\psi ^{\text{II}}(t,q^{\text{II}})+\phi (t,q^{\text{I}},q^{\text{II}}),}$

где решает уравнение Шредингера и для всех и . Тогда снова условная волновая функция подсистемы (I) (с точностью до несущественного скалярного множителя) равна , и если гамильтониан не содержит члена взаимодействия между подсистемами (I) и (II), то удовлетворяет уравнению Шредингера. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (t,q^{\text{I}},Q^{\text{II}}(t))=0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle q^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$ ${\displaystyle \psi ^{\text{I}}}$

Тот факт, что условная волновая функция подсистемы не всегда развивается по уравнению Шредингера, связан с тем, что обычное правило коллапса стандартной квантовой теории возникает из формализма Бома при рассмотрении условных волновых функций подсистем.

Расширения

относительность

Теория пилот-волны явно нелокальна, что находится в явном противоречии со специальной теорией относительности . Существуют различные расширения механики типа Бома, которые пытаются решить эту проблему. Сам Бом в 1953 году представил расширение теории, удовлетворяющее уравнению Дирака для одиночной частицы. Однако это нельзя было распространить на случай многих частиц, поскольку здесь использовалось абсолютное время. ^[17]

Возобновление интереса к построению лоренц-инвариантных расширений теории Бома возник в 1990-х годах; см. «Бом и Хили: Неделимая Вселенная» ^{[18] [19]} и ссылки там. Другой подход предложен Дюрром и др. ^[20] , которые используют модели Бома–Дирака и лоренц-инвариантное слоение пространства-времени.

Таким образом, Дюрр и др. (1999) показали, что формально восстановить лоренц-инвариантность теории Бома – Дирака можно путем введения дополнительной структуры. Этот подход по-прежнему требует слоения пространства-времени. Хотя это противоречит стандартной интерпретации теории относительности, предпочтительное слоение, если оно ненаблюдаемо, не приводит к каким-либо эмпирическим конфликтам с теорией относительности. В 2013 году Дюрр и др. предположил, что требуемое слоение может быть ковариантно определено волновой функцией. ^[21]

Связь между нелокальностью и предпочтительным слоением можно лучше понять следующим образом. В теории де Бройля–Бома нелокальность проявляется как зависимость скорости и ускорения одной частицы от мгновенного положения всех остальных частиц. С другой стороны, в теории относительности понятие мгновенности не имеет инвариантного значения. Таким образом, для определения траекторий частиц необходимо дополнительное правило, определяющее, какие точки пространства-времени следует считать мгновенными. Самый простой способ добиться этого — вручную ввести предпочтительное слоение пространства-времени, чтобы каждая гиперповерхность слоения определяла гиперповерхность равного времени.

Первоначально считалось невозможным дать описание траекторий фотонов в теории де Бройля–Бома ввиду трудностей релятивистского описания бозонов. ^[22] В 1996 году Парта Гхош представил релятивистское квантово-механическое описание бозонов со спином 0 и спином 1, начиная с уравнения Даффина-Кеммера-Петио , излагая бомовы траектории для массивных бозонов и для безмассовых бозонов (и, следовательно, фотонов ) . . ^[22] В 2001 году Жан-Пьер Вижье подчеркнул важность получения четкого описания света с точки зрения траекторий частиц в рамках механики Бома или стохастической механики Нельсона. ^[23] В том же году Гхош разработал бомовские траектории фотонов для конкретных случаев. ^[24] Последующие эксперименты по слабым измерениям дали траектории, совпадающие с предсказанными траекториями. ^{[25] [26]} Значение этих экспериментальных результатов является спорным. ^[27]

Крис Дьюдни и Дж. Хортон предложили релятивистски-ковариантную волновую функциональную формулировку квантовой теории поля Бома ^{[28] [29]} и расширили ее до формы, допускающей учет гравитации. ^[30]

Николич предложил лоренц-ковариантную формулировку бомовой интерпретации многочастичных волновых функций. ^[31] Он разработал обобщенную релятивистско-инвариантную вероятностную интерпретацию квантовой теории, ^{[32] [33] [34]} в которой уже не плотность вероятности в пространстве, а плотность вероятности в пространстве-времени. Он использует эту обобщенную вероятностную интерпретацию, чтобы сформулировать релятивистско-ковариантную версию теории де Бройля-Бома без введения предпочтительного слоения пространства-времени. Его работа также охватывает расширение интерпретации Бома на квантование полей и струн. ^[35] ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Родерик И. Сазерленд из Сиднейского университета разработал лагранжев формализм для пилотной волны и ее свойств. Он опирается на ретрослучайные слабые измерения Якира Ааронова для объяснения многочастичной запутанности специальным релятивистским способом без необходимости конфигурационного пространства. Основная идея уже была опубликована Костой де Борегаром в 1950-х годах и также используется Джоном Крамером в его транзакционной интерпретации, за исключением beables, которые существуют между измерениями оператора сильной проекции фон Неймана. Лагранжиан Сазерленда включает двустороннее действие-противодействие между пилотной волной и библами. Следовательно, это постквантовая нестатистическая теория с окончательными граничными условиями, которые нарушают теоремы квантовой теории об отсутствии сигнала. Точно так же, как специальная теория относительности является предельным случаем общей теории относительности, когда кривизна пространства-времени исчезает, так и статистическая незапутанность, сигнализирующая о квантовой теории с правилом Борна, является предельным случаем постквантового лагранжиана действия-противодействия, когда реакция задана как ноль, и окончательное граничное условие интегрируется. ^[36]

Вращаться

Чтобы включить спин , волновая функция становится комплексно-векторной. Пространство значений называется спиновым пространством; для частицы со спином 1/2 спиновое пространство можно принять равным . Основное уравнение модифицируется путем использования скалярных произведений в спиновом пространстве, чтобы свести комплексные векторы к комплексным числам. Уравнение Шрёдингера модифицируется добавлением спинового члена Паули : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)&={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatorname {Im} \left({\frac {(\psi ,D_{k}\psi )}{(\psi ,\psi )}}\right)(\mathbf {Q} _{1},\ldots ,\mathbf {Q} _{N},t),\\i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi &=\left(-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{k}}}D_{k}^{2}+V-\sum _{k=1}^{N}\mu _{k}{\frac {\mathbf {S} _{k}}{\hbar s_{k}}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {q} _{k})\right)\psi ,\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle m_{k},e_{k},\mu _{k}}$— масса, заряд и магнитный момент –й частицы ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \mathbf {S} _{k}}$— соответствующий оператор спина , действующий в спиновом пространстве –й частицы ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle s_{k}}$— спиновое квантовое число –й частицы ( для электрона) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s_{k}=1/2}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} }$векторный потенциал в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$магнитное поле в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• ${\textstyle D_{k}=\nabla _{k}-{\frac {ie_{k}}{\hbar }}\mathbf {A} (\mathbf {q} _{k})}$— ковариантная производная, включающая векторный потенциал, приписанный координатам –й частицы (в единицах СИ ) ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \psi }$— волновая функция, определенная в многомерном конфигурационном пространстве; например, система, состоящая из двух частиц со спином 1/2 и одной частицы со спином 1, имеет волновую функцию вида где – тензорное произведение , поэтому это спиновое пространство является 12-мерным. $${\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{9}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3},}$$ ${\displaystyle \otimes }$
• ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$является внутренним продуктом в спиновом пространстве : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ $${\displaystyle (\phi ,\psi )=\sum _{s=1}^{d}\phi _{s}^{*}\psi _{s}.}$$

Стохастическая электродинамика

Стохастическая электродинамика (SED) является расширением интерпретации квантовой механики де Бройля-Бома , в которой электромагнитное поле нулевой точки (ZPF) играет центральную роль в качестве направляющей пилот-волны . Современные подходы к SED, подобные тем, которые были предложены группой покойного Герхарда Грёссинга, среди прочих, рассматривают волновые и корпускулярные квантовые эффекты как хорошо скоординированные эмерджентные системы. Эти возникающие системы являются результатом предполагаемых и рассчитанных субквантовых взаимодействий с полем нулевой точки. ^{[37] [38] [39]}

Квантовая теория поля

В работе Дюрра и др., ^{[40] [41]} авторы описывают расширение теории де Бройля-Бома для работы с операторами рождения и уничтожения , которое они называют «квантовыми теориями поля типа Белла». Основная идея состоит в том, что конфигурационное пространство становится (дизъюнктным) пространством всех возможных конфигураций любого количества частиц. Часть времени система развивается детерминированно по определяющему уравнению с фиксированным числом частиц. Но в рамках стохастического процесса частицы могут создаваться и уничтожаться. Распределение событий творения определяется волновой функцией. Сама волновая функция постоянно развивается во всем многочастичном конфигурационном пространстве.

Хрвое Николич ^[32] представляет чисто детерминистическую теорию рождения и разрушения частиц де Бройля-Бома, согласно которой траектории частиц непрерывны, но детекторы частиц ведут себя так, как если бы частицы были созданы или уничтожены, даже когда истинное создание или уничтожение частиц происходит. не состояться.

Искривленное пространство

Чтобы распространить теорию де Бройля-Бома на искривленное пространство ( римановы многообразия на математическом языке), нужно просто отметить, что все элементы этих уравнений имеют смысл, такие как градиенты и лапласианы . Таким образом, мы используем уравнения, имеющие ту же форму, что и выше. Топологические и граничные условия могут применяться в дополнение к эволюции уравнения Шредингера.

Для теории де Бройля-Бома в искривленном пространстве со спином спиновое пространство становится векторным расслоением над конфигурационным пространством, а потенциал в уравнении Шредингера становится локальным самосопряженным оператором, действующим в этом пространстве. ^[42] Уравнения поля теории де Бройля–Бома в релятивистском случае со спином могут быть приведены и для искривленного пространства-времени с кручением. ^{[43] [44]}

В общем пространстве-времени с кривизной и кручением ведущим уравнением для четырехскорости элементарной фермионной частицы является то, где волновая функция — спинор , — соответствующий сопряженный , — матрицы Дирака , — тетрада . ^[45] Если волновая функция распространяется согласно искривленному уравнению Дирака, то частица движется согласно уравнениям движения Матиссона-Папапетру , которые являются расширением уравнения геодезических . Этот релятивистский корпускулярно-волновой дуализм следует из законов сохранения тензора спина и тензора энергии-импульса ^[45] , а также из ковариантного уравнения движения Гейзенберга . ^[46] ${\displaystyle u^{i}}$ $${\displaystyle u^{i}={\frac {e_{\mu }^{i}{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }{{\bar {\psi }}\psi }},}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bar {\psi }}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }^{i}}$

Использование нелокальности

Диаграмма, сделанная Энтони Валентини на лекции по теории Де Бройля – Бома. Валентини утверждает, что квантовая теория является особым равновесным случаем более широкой физики и что возможно наблюдать и использовать квантовое неравновесие ^[47].

Причинная интерпретация квантовой механики Де Бройля и Бома была позже расширена Бомом, Вижье, Хили, Валентини и другими, включив в нее стохастические свойства. Бом и другие физики, включая Валентини, рассматривают правило Борна, связанное с функцией плотности вероятности , как представляющее не основной закон, а результат достижения системой квантового равновесия в ходе временного развития согласно уравнению Шредингера . Можно показать, что после достижения равновесия система остается в таком равновесии в ходе своей дальнейшей эволюции: это следует из уравнения непрерывности , связанного с эволюцией Шредингера . ^[48] ​​Гораздо сложнее продемонстрировать, достигается ли вообще такое равновесие и каким образом. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ${\displaystyle \psi }$

Энтони Валентини ^[49] расширил теорию де Бройля-Бома, включив в нее нелокальность сигнала, которая позволила бы использовать запутанность в качестве автономного канала связи без вторичного классического «ключевого» сигнала для «разблокировки» сообщения, закодированного в запутанности. Это нарушает ортодоксальную квантовую теорию, но имеет то преимущество, что делает параллельные вселенные теории хаотической инфляции в принципе наблюдаемыми.

В отличие от теории де Бройля-Бома, в теории Валентини эволюция волновой функции также зависит от онтологических переменных. Это приводит к нестабильности, петле обратной связи, которая выталкивает скрытые переменные из «субквантовой тепловой смерти». Полученная теория становится нелинейной и неунитарной. Валентини утверждает, что законы квантовой механики возникают и образуют «квантовое равновесие», аналогичное тепловому равновесию в классической динамике, так что в принципе можно наблюдать и использовать другие « квантовые неравновесные » распределения, для чего статистические предсказания квантовой теории нарушаются. Спорно утверждается, что квантовая теория — это всего лишь частный случай гораздо более широкой нелинейной физики, физики, в которой возможна нелокальная ( сверхсветовая ) передача сигналов и в которой может нарушаться принцип неопределенности. ^{[50] [51]}

Полученные результаты

Ниже приведены некоторые основные результаты, полученные в результате анализа теории де Бройля – Бома. Экспериментальные результаты согласуются со всеми стандартными предсказаниями квантовой механики, насколько они есть. Но в то время как стандартная квантовая механика ограничивается обсуждением результатов «измерений», теория де Бройля-Бома управляет динамикой системы без вмешательства внешних наблюдателей (стр. 117 в Bell ^[52] ).

Основой согласия со стандартной квантовой механикой является то, что частицы распределяются согласно . Это заявление о незнании наблюдателя: начальные позиции представлены статистическим распределением, поэтому детерминированные траектории приведут к статистическому распределению. ^[14] ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Измерение спина и поляризации

Согласно обычной квантовой теории, невозможно напрямую измерить спин или поляризацию частицы; вместо этого измеряется составляющая в одном направлении; результат от одной частицы может быть 1, что означает, что частица выровнена по отношению к измерительному прибору, или -1, что означает, что она выровнена в противоположном направлении. Ансамбль частиц, подготовленный поляризатором для нахождения в состоянии 1, будет все измерены поляризованными в состоянии 1 в последующем приборе. Поляризованный ансамбль, пропущенный через поляризатор, установленный под углом к ​​первому проходу, приведет к получению некоторых значений 1 и некоторых -1 с вероятностью, которая зависит от относительного выравнивания. Полное объяснение этого см. в эксперименте Штерна-Герлаха .

В теории де Бройля-Бома результаты спинового эксперимента нельзя анализировать без некоторого знания экспериментальной установки. Можно ^[53] изменить установку так, чтобы траектория частицы не изменилась, но при этом частица в одной установке регистрировалась как спин вверх, а в другой — как спин вниз. Таким образом, для теории де Бройля-Бома спин частицы не является внутренним свойством частицы; вместо этого спин, так сказать, находится в волновой функции частицы по отношению к конкретному устройству, используемому для измерения спина. Это иллюстрация того, что иногда называют контекстуальностью и связано с наивным реализмом в отношении операторов. ^[54] В интерпретации результаты измерений представляют собой детерминированное свойство системы и ее окружения, которое включает в себя информацию об экспериментальной установке, включая контекст соизмеренных наблюдаемых; ни в каком смысле сама система не обладает измеряемым свойством, как это было бы в классической физике.

Измерения, квантовый формализм и независимость наблюдателя

Теория де Бройля-Бома дает те же результаты, что и (нерелятивизитная) квантовая механика. Он рассматривает волновую функцию как фундаментальный объект теории, поскольку волновая функция описывает движение частиц. Это означает, что ни один эксперимент не сможет различить две теории. В этом разделе излагаются идеи о том, как стандартный квантовый формализм возникает из квантовой механики. ^{[13] [14]}

Коллапс волновой функции

Теория де Бройля-Бома — это теория, применимая в первую очередь ко всей Вселенной. То есть существует единая волновая функция, управляющая движением всех частиц во Вселенной в соответствии с основным уравнением. Теоретически движение одной частицы зависит от положения всех остальных частиц во Вселенной. В некоторых ситуациях, например, в экспериментальных системах, мы можем представить саму систему в терминах теории де Бройля-Бома, в которой волновая функция системы получается путем воздействия на окружающую среду системы. Таким образом, систему можно анализировать с помощью уравнения Шредингера и ведущего уравнения с начальным распределением частиц в системе (подробности см. в разделе об условной волновой функции подсистемы). ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Чтобы условная волновая функция системы подчинялась квантовой эволюции, требуется специальная настройка. Когда система взаимодействует со своей средой, например, посредством измерения, условная волновая функция системы развивается по-другому. Эволюция универсальной волновой функции может стать такой, что волновая функция системы окажется в суперпозиции различных состояний. Но если среда записала результаты эксперимента, то при использовании фактической бомовой конфигурации среды для условий условная волновая функция схлопывается до одной альтернативы, соответствующей результатам измерений.

Коллапс универсальной волновой функции никогда не происходит в теории де Бройля – Бома. Вся его эволюция управляется уравнением Шрёдингера, а эволюция частиц управляется ведущим уравнением. Коллапс происходит феноменологическим образом только для систем, которые, кажется, следуют своему собственному уравнению Шредингера. Поскольку это эффективное описание системы, вопрос выбора того, что включить в экспериментальную систему, является вопросом выбора, и это повлияет на то, когда произойдет «коллапс».

Операторы как наблюдаемые

В стандартном квантовом формализме измерение наблюдаемых обычно рассматривается как измерение операторов в гильбертовом пространстве. Например, измерение положения считается измерением оператора положения. Эта связь между физическими измерениями и операторами гильбертового пространства является для стандартной квантовой механики дополнительной аксиомой теории. Теория де Бройля-Бома, напротив, не требует таких аксиом измерения (и измерение как таковое не является динамически отдельной или особой подкатегорией физических процессов в теории). В частности, обычный формализм операторов как наблюдаемых для теории де Бройля – Бома является теоремой. ^[55] Главный момент анализа заключается в том, что многие измерения наблюдаемых величин не соответствуют свойствам частиц; они (как и в случае со спином, обсуждавшимся выше) являются измерениями волновой функции.

В истории теории де Бройля-Бома ее сторонникам часто приходилось сталкиваться с утверждениями о невозможности этой теории. Такие аргументы обычно основаны на некорректном анализе операторов как наблюдаемых. Если кто-то верит, что измерения спина действительно измеряют спин частицы, существовавшей до измерения, то мы приходим к противоречиям. Теория де Бройля-Бома решает эту проблему, отмечая, что спин не является характеристикой частицы, а скорее характеристикой волновой функции. Таким образом, определенный результат будет иметь место только после выбора экспериментального аппарата. Как только это принимается во внимание, теоремы о невозможности становятся неактуальными.

Также высказывались утверждения, что эксперименты отвергают траектории Бома ^[56] в пользу стандартных линий КМ. Но, как показано в другой работе ^{[57] [58],} такие эксперименты, цитированные выше, опровергают лишь неправильную интерпретацию теории де Бройля–Бома, а не саму теорию.

Есть также возражения против этой теории, основанные на том, что она говорит о конкретных ситуациях, обычно связанных с собственными состояниями оператора. Например, основное состояние водорода представляет собой реальную волновую функцию. Согласно ведущему уравнению, это означает, что в этом состоянии электрон покоится. Тем не менее она распределена согласно , и противоречия экспериментальным результатам обнаружить не удается. ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

Операторы как наблюдаемые заставляют многих полагать, что многие операторы эквивалентны. Теория де Бройля-Бома, с этой точки зрения, выбирает наблюдаемое положение в качестве предпочтительной наблюдаемой, а не, скажем, наблюдаемый импульс. Опять же, связь с наблюдаемой позицией является следствием динамики. Целью теории де Бройля-Бома является описание системы частиц. Это означает, что цель теории — всегда описывать положения этих частиц. Другие наблюдаемые не имеют такого убедительного онтологического статуса. Наличие определенных положений объясняет наличие определенных результатов, таких как вспышки на экране детектора. Другие наблюдаемые не привели бы к такому выводу, но не должно быть никаких проблем с определением математической теории для других наблюдаемых; см. Хайман и др. ^[59] за исследование того факта, что плотность вероятности и ток вероятности могут быть определены для любого набора коммутирующих операторов.

Скрытые переменные

Теорию де Бройля-Бома часто называют теорией «скрытой переменной». Бом использовал это описание в своих оригинальных статьях на эту тему, написав: «С точки зрения обычной интерпретации эти дополнительные элементы или параметры [позволяющие детальное причинное и непрерывное описание всех процессов] можно было бы назвать «скрытыми» переменными. " Позже Бом и Хили заявили, что они нашли выбор Бома термина «скрытые переменные» слишком ограничительным. В частности, они утверждали, что частица на самом деле не скрыта, а скорее «является тем, что наиболее непосредственно проявляется в наблюдении, [хотя] ее свойства не могут наблюдаться с произвольной точностью (в пределах, установленных принципом неопределенности )». ^[60] Однако другие, тем не менее, считают термин «скрытая переменная» подходящим описанием. ^[61]

Обобщенные траектории частиц можно экстраполировать на основе многочисленных слабых измерений на ансамбле одинаково подготовленных систем, и такие траектории совпадают с траекториями де Бройля–Бома. В частности, эксперимент с двумя запутанными фотонами, в котором набор бомовых траекторий для одного из фотонов был определен с помощью слабых измерений и постселекции, можно понять в терминах нелокальной связи между траекторией этого фотона и поляризацией другого фотона. ^{[62] [63]} Однако не только интерпретация Де Бройля-Бома, но и многие другие интерпретации квантовой механики, которые не включают такие траектории, согласуются с такими экспериментальными данными.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга гласит, что при выполнении двух взаимодополняющих измерений существует предел произведения их точности. Например, если измерить положение с точностью и импульс с точностью , то ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$ ${\displaystyle \Delta x\Delta p\gtrsim h.}$

В теории де Бройля-Бома всегда существует факт положения и импульса частицы. Каждая частица имеет четко определенную траекторию, а также волновую функцию. Наблюдатели имеют ограниченные знания о том, какова эта траектория (и, следовательно, о положении и импульсе). Именно отсутствие знания траектории частицы объясняет соотношение неопределенностей. То, что можно знать о частице в любой момент времени, описывается волновой функцией. Поскольку соотношение неопределенности может быть получено из волновой функции в других интерпретациях квантовой механики, оно также может быть получено (в эпистемическом смысле, упомянутом выше) в теории де Бройля-Бома.

Другими словами, положения частиц известны только статистически. Как и в классической механике , последовательные наблюдения за положением частиц уточняют знания экспериментатора о начальных условиях частиц . Таким образом, по мере последующих наблюдений начальные условия становятся все более ограниченными. Этот формализм согласуется с обычным использованием уравнения Шрёдингера.

Для вывода соотношения неопределенности см. Принцип неопределенности Гейзенберга , отметив, что эта статья описывает принцип с точки зрения Копенгагенской интерпретации .

Квантовая запутанность, парадокс Эйнштейна–Подольского–Розена, теорема Белла и нелокальность.

Теория де Бройля-Бома выдвинула на первый план проблему нелокальности : она вдохновила Джона Стюарта Белла доказать его теперь знаменитую теорему , ^[64] , которая, в свою очередь, привела к тестовым экспериментам Белла .

В парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена авторы описывают мысленный эксперимент, который можно было провести над парой взаимодействующих частиц, результаты которого они интерпретировали как указание на то, что квантовая механика является неполной теорией. ^[65]

Десятилетия спустя Джон Белл доказал теорему Белла (см. стр. 14 в книге Белла ^[52] ), в которой он показал, что для того, чтобы они согласовывались с эмпирическими предсказаниями квантовой механики, все такие пополнения квантовой механики со «скрытыми переменными» должны либо быть нелокальным (как интерпретация Бома), либо отказаться от предположения, что эксперименты дают уникальные результаты (см. контрфактическую определенность и многомировую интерпретацию ). В частности, Белл доказал, что любая локальная теория с уникальными результатами должна делать эмпирические предсказания, удовлетворяющие статистическому ограничению, называемому «неравенством Белла».

Ален Аспект провел серию тестовых экспериментов Белла , которые проверяют неравенство Белла, используя установку типа ЭПР. Результаты Аспекта экспериментально показывают, что неравенство Белла фактически нарушается, а это означает, что соответствующие квантово-механические предсказания верны. В этих тестовых экспериментах Белла создаются запутанные пары частиц; частицы отделяются и направляются к удаленному измерительному прибору. Ориентацию измерительной аппаратуры можно менять во время полета частиц, что демонстрирует кажущуюся нелокальность эффекта.

Теория де Бройля-Бома делает те же (эмпирически правильные) предсказания для тестовых экспериментов Белла, что и обычная квантовая механика. Он способен на это, поскольку он явно нелокален. На этом основании его часто критикуют или отвергают; Позиция Белла заключалась в следующем: «Заслугой версии де Бройля-Бома является то, что она настолько явно демонстрирует эту [нелокальность], что ее нельзя игнорировать». ^[66]

Теория де Бройля-Бома описывает физику тестовых экспериментов Белла следующим образом: чтобы понять эволюцию частиц, нам нужно составить волновое уравнение для обеих частиц; ориентация аппарата влияет на волновую функцию. Частицы в эксперименте следуют указаниям волновой функции. Именно волновая функция обеспечивает сверхсветовой эффект изменения ориентации аппарата. Модлин проводит анализ того, какой именно вид нелокальности присутствует и насколько она совместима с теорией относительности. ^[67] Белл показал, что нелокальность не допускает сверхсветовой коммуникации . Модлин показал это более подробно.

Классический предел

Формулировка Бома теории де Бройля-Бома в классической версии имеет то преимущество, что появление классического поведения, кажется, следует сразу же за любой ситуацией, в которой квантовый потенциал пренебрежимо мал, как заметил Бом в 1952 году. Современные методы декогеренции имеет отношение к анализу этого предела. См. Аллори и др. ^[68] о шагах к строгому анализу.

Метод квантовой траектории

В работе Роберта Э. Вятта в начале 2000-х годов была предпринята попытка использовать «частицы» Бома в качестве адаптивной сетки, которая следует фактической траектории квантового состояния во времени и пространстве. В методе «квантовой траектории» квантовая волновая функция отсчитывается с помощью сетки квадратурных точек. Затем квадратурные точки развиваются во времени в соответствии с уравнениями движения Бома. На каждом временном шаге затем повторно синтезируется волновая функция из точек, пересчитываются квантовые силы и продолжаются вычисления. (Фильмы в формате QuickTime для реактивного рассеяния H + H ₂ можно найти на веб-сайте группы Вятта в Университете Техаса в Остине.) Этот подход был адаптирован, расширен и использован рядом исследователей в сообществе химической физики как способ для расчета полуклассической и квазиклассической молекулярной динамики. Выпуск журнала «Журнал физической химии А» за 2007 год был посвящен профессору Вятту и его работе по «вычислительной бомовской динамике». ^[69]

Группа Эрика Р. Биттнера . Архивировано 5 августа 2021 года в Wayback Machine в Хьюстонском университете. Она разработала статистический вариант этого подхода, который использует технику байесовской выборки для выборки квантовой плотности и вычисления квантового потенциала на бесструктурной сетке точек. Недавно эта методика была использована для оценки квантовых эффектов в теплоемкости малых кластеров Ne _n при n ≈ 100.

Остаются трудности с использованием бомовского подхода, в основном связанные с образованием особенностей квантового потенциала из-за узлов квантовой волновой функции. В общем случае узлы, образующиеся за счет интерференционных эффектов, приводят к случаю, когда Это приводит к возникновению бесконечной силы, действующей на частицы образца, заставляющей их удаляться от узла и часто пересекающей путь других точек выборки (что нарушает однозначность). Чтобы преодолеть это, были разработаны различные схемы; однако общего решения пока не найдено. ${\displaystyle R^{-1}\nabla ^{2}R\to \infty .}$

Эти методы, как и формулировка Гамильтона-Якоби Бома, не применимы к ситуациям, в которых необходимо учитывать полную динамику вращения.

Свойства траекторий в теории де Бройля–Бома существенно отличаются от квантовых траекторий Мойала , а также от квантовых траекторий распутывания открытой квантовой системы.

Сходства с многомировой интерпретацией

Ким Йорис Бострем предложил нерелятивистскую квантово-механическую теорию, которая сочетает в себе элементы механики де Бройля-Бома и теории многих миров Эверетта . В частности, нереальная многомировая интерпретация Хокинга и Вайнберга похожа на концепцию Бома о нереальных пустых ветвящихся мирах:

Вторая проблема бомовской механики на первый взгляд может показаться довольно безобидной, но при ближайшем рассмотрении она приобретает значительную разрушительную силу: проблема пустых ветвей. Это компоненты состояния после измерения, которые не направляют никакие частицы, поскольку не имеют в своей основе фактической конфигурации q . На первый взгляд пустые ветви не кажутся проблематичными, а наоборот, очень полезными, поскольку позволяют теории объяснить уникальные результаты измерений. Кроме того, они, кажется, объясняют, почему происходит эффективный «коллапс волновой функции», как в обычной квантовой механике. Однако при ближайшем рассмотрении следует признать, что эти пустые ветви на самом деле не исчезают. Поскольку волновая функция взята для описания реально существующего поля, то все их ветви действительно существуют и будут развиваться вечно по динамике Шрёдингера, сколько бы из них ни опустело в ходе эволюции. Каждая ветвь глобальной волновой функции потенциально описывает полный мир, который, согласно онтологии Бома, является лишь возможным миром, который был бы реальным миром, если бы он был заполнен частицами, и который во всех отношениях идентичен соответствующему миру в книге Эверетта. теория. Только одна ветвь в каждый момент времени занята частицами, представляя тем самым реальный мир, в то время как все остальные ветви, хотя и существуют реально как часть реально существующей волновой функции, пусты и, таким образом, содержат своего рода «миры-зомби» с планетами, океанами, деревья, города, машины и люди, которые говорят, как мы, и ведут себя, как мы, но на самом деле не существуют. Итак, если теорию Эверетта можно обвинить в онтологической расточительности, то механику Бома можно обвинить в онтологической расточительности. На вершину онтологии пустых ветвей приходит дополнительная онтология положений частиц, которые из-за гипотезы квантового равновесия навсегда неизвестны наблюдателю. Тем не менее, реальная конфигурация никогда не требуется для расчета статистических предсказаний в экспериментальной реальности, поскольку их можно получить с помощью простой алгебры волновых функций. С этой точки зрения механика Бома может показаться расточительной и избыточной теорией. Я думаю, что именно подобные соображения являются самым большим препятствием на пути всеобщего признания механики Бома. ^[70]

Многие авторы выразили критические взгляды на теорию де Бройля-Бома, сравнивая ее с подходом многих миров Эверетта. Многие (но не все) сторонники теории де Бройля-Бома (например, Бом и Белл) интерпретируют универсальную волновую функцию как физически реальную. По мнению некоторых сторонников теории Эверетта, если считать (никогда не коллапсирующую) волновую функцию физически реальной, то естественно интерпретировать теорию как имеющую такое же количество миров, как и теория Эверетта. С точки зрения Эверетта, роль бомовой частицы состоит в том, чтобы действовать как «указатель», отмечая или выбирая только одну ветвь универсальной волновой функции (предположение, что эта ветвь указывает, какой волновой пакет определяет наблюдаемый результат данного эксперимента, является называется «предположением результата» ^[71] ); остальные ветви обозначены как «пустые» и, по неявному предположению Бома, лишены сознательных наблюдателей. ^[71] Х. Дитер Це комментирует эти «пустые» ветки: ^[72]

Обычно упускают из виду, что теория Бома содержит те же «множества миров» динамически разделенных ветвей, что и интерпретация Эверетта (теперь рассматриваемая как «пустые» волновые компоненты), поскольку в ее основе лежит точно такая же... глобальная волновая функция ...

Дэвид Дойч выразил ту же точку более «едко»: ^{[71] [73]}

Теории пилотной волны — это теории параллельных вселенных, находящиеся в состоянии хронического отрицания.

Этот вывод был оспорен Детлефом Дюрром и Джастином Лазаровичем:

Бомианец, конечно, не может принять этот аргумент. По ее мнению, мир (или, скорее, мир) представляет собой конфигурация частиц в трехмерном пространстве, а не волновая функция в абстрактном пространстве конфигураций. Вместо этого она обвинит эверетианца в том, что в его теории отсутствуют локальные beables (в смысле Белла), то есть онтологические переменные, которые относятся к локализованным сущностям в трехмерном пространстве или четырехмерном пространстве-времени. Таким образом, многочисленные миры ее теории кажутся просто гротескным следствием этого упущения. ^[74]

Критика как бритва Оккама

И Хью Эверетт III , и Бом рассматривали волновую функцию как физически реальное поле . Многомировая интерпретация Эверетта — это попытка продемонстрировать, что одной только волновой функции достаточно, чтобы объяснить все наши наблюдения. Когда мы видим мигание детекторов частиц или слышим щелчок счетчика Гейгера , теория Эверетта интерпретирует это как реакцию нашей волновой функции на изменения волновой функции детектора , которая, в свою очередь, реагирует на прохождение другой волновой функции (которую мы думаем как частица», но на самом деле это просто еще один волновой пакет ). ^[71] Согласно этой теории, ни одна частица (в смысле Бома, имеющая определенное положение и скорость) не существует. По этой причине Эверетт иногда называл свой собственный многомировый подход «чисто волновой теорией». О подходе Бома 1952 года Эверетт сказал: ^[75]

Наша основная критика этой точки зрения основана на простоте: если кто-то желает придерживаться точки зрения, которая представляет собой реальное поле, тогда соответствующая частица является излишней, поскольку, как мы попытались проиллюстрировать, чистая волновая теория сама по себе является удовлетворительной. ${\displaystyle \psi }$

Таким образом, с точки зрения Эверетта, частицы Бома являются лишними объектами, подобными и столь же ненужными, как, например, светоносный эфир , который оказался ненужным в специальной теории относительности . Этот аргумент иногда называют «аргументом избыточности», поскольку лишние частицы являются избыточными в смысле бритвы Оккама . ^[76]

По мнению Брауна и Уоллеса ^[71] , частицы де Бройля–Бома не играют никакой роли в решении задачи измерения. По мнению этих авторов ^[71] , «предположение о результате» (см. выше) несовместимо с точкой зрения, согласно которой в случае предсказуемого результата (т. е. единственного результата) нет проблемы измерения. Они также говорят ^[71] , что стандартное неявное предположение теории де Бройля-Бома (о том, что наблюдатель узнает о конфигурациях частиц обычных объектов посредством корреляций между такими конфигурациями и конфигурацией частиц в мозгу наблюдателя) необоснованно. . Этот вывод был оспорен Валентини [ ^77] , который утверждает, что вся совокупность таких возражений возникает из-за неспособности интерпретировать теорию де Бройля-Бома в ее собственных терминах.

По словам Питера Р. Холланда , в более широкой гамильтоновой системе можно сформулировать теории, в которых частицы действительно воздействуют обратно на волновую функцию. ^[78]

Выводы

Теория де Бройля-Бома выводилась много раз и разными способами. Ниже приведены шесть выводов, все из которых очень разные и ведут к разным способам понимания и расширения этой теории.

• Уравнение Шредингера можно вывести, используя гипотезу световых квантов Эйнштейна : и гипотезу де Бройля : . ${\displaystyle E=\hbar \omega }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

Ведущее уравнение может быть получено аналогичным образом. Предположим, что волна плоская: . Заметить, что . Предполагая, что для фактической скорости частицы мы имеем . Таким образом, мы имеем ведущее уравнение. ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}}$ ${\displaystyle i\mathbf {k} =\nabla \psi /\psi }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} \left({\frac {\nabla \psi }{\psi }}\right)}$

Обратите внимание, что этот вывод не использует уравнение Шредингера.

• Сохранение плотности с течением времени — еще один метод вывода. Именно этот метод цитирует Белл. Именно этот метод обобщает множество возможных альтернативных теорий. Отправной точкой является уравнение непрерывности ^{[ необходимы пояснения ]} для плотности . Это уравнение описывает вероятностный поток вдоль тока. Поле скорости, связанное с этим током, примем за поле скоростей, интегральные кривые которого определяют движение частицы. ${\displaystyle -{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot (\rho v^{\psi })}$ ${\displaystyle \rho =|\psi |^{2}}$
• Метод, применимый для частиц без спина, состоит в том, чтобы выполнить полярное разложение волновой функции и преобразовать уравнение Шредингера в два связанных уравнения: уравнение непрерывности сверху и уравнение Гамильтона – Якоби . Этот метод использовал Бом в 1952 году. Разложение и уравнения следующие:

Разложение: Обратите внимание, что соответствует плотности вероятности . ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=R(\mathbf {x} ,t)e^{iS(\mathbf {x} ,t)/\hbar }.}$ ${\displaystyle R^{2}(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}}$

Уравнение непрерывности: . ${\displaystyle -{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho (\mathbf {x} ,t){\frac {\nabla S(\mathbf {x} ,t)}{m}}\right)}$

Уравнение Гамильтона – Якоби: ${\displaystyle {\frac {\partial S(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\left[{\frac {1}{2m}}(\nabla S(\mathbf {x} ,t))^{2}+V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R(\mathbf {x} ,t)}{R(\mathbf {x} ,t)}}\right].}$

Уравнение Гамильтона-Якоби - это уравнение, полученное из ньютоновской системы с потенциалом и полем скорости. Потенциал - это классический потенциал, который появляется в уравнении Шредингера, а другой член, включающий в себя квантовый потенциал , - терминология, введенная Бомом. ${\displaystyle V-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}}$ ${\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle R}$

Это приводит к рассмотрению квантовой теории как частиц, движущихся под действием классической силы, модифицированной квантовой силой. Однако, в отличие от стандартной ньютоновской механики , начальное поле скоростей уже задано , что является признаком того, что это теория первого порядка, а не теории второго порядка. ${\displaystyle {\frac {\nabla S}{m}}}$

• Четвертый вывод был предложен Dürr et al. ^[14] В своем выводе они выводят поле скорости, требуя соответствующих свойств преобразования, заданных различными симметриями, которым удовлетворяет уравнение Шредингера, как только волновая функция соответствующим образом преобразуется. Ведущее уравнение – это то, что вытекает из этого анализа.
• Пятый вывод, данный Dürr et al. ^{Работа [40]} подходит для обобщения на квантовую теорию поля и уравнение Дирака. Идея состоит в том, что поле скорости можно также понимать как дифференциальный оператор первого порядка, действующий на функции. Таким образом, если мы знаем, как оно действует на функции, мы знаем, что это такое. Тогда, учитывая гамильтонов оператор , уравнение, которому должны удовлетворять все функции (с соответствующим оператором умножения ), имеет вид , где – локальный эрмитовский внутренний продукт в пространстве значений волновой функции. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle (v(f))(q)=\operatorname {Re} {\frac {\left(\psi ,{\frac {i}{\hbar }}[H,{\hat {f}}]\psi \right)}{(\psi ,\psi )}}(q)}$ ${\displaystyle (v,w)}$

Эта формулировка допускает стохастические теории, такие как создание и уничтожение частиц.

• Дальнейший вывод был сделан Питером Р. Холландом, на котором он основывает свой учебник по квантовой физике «Квантовая теория движения» . ^[79] Он основан на трех основных постулатах и ​​дополнительном четвертом постулате, который связывает волновую функцию с вероятностями измерения:
  1. Физическая система состоит из распространяющейся в пространстве и времени волны и направляемой ею точечной частицы.
  2. Волна математически описывается решением волнового уравнения Шрёдингера. ${\displaystyle \psi }$
  3. Движение частицы описывается решением в зависимости от начального условия с фазой . ${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=[\nabla S(\mathbf {x} (t),t))]/m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t=0)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi }$
     Четвертый постулат является вспомогательным, но согласуется с первыми тремя:
  4. Вероятность обнаружить частицу в дифференциальном объеме в момент времени t равна . ${\displaystyle \rho (\mathbf {x} (t))}$ ${\displaystyle d^{3}x}$ ${\displaystyle |\psi (\mathbf {x} (t))|^{2}}$

История

Теория была исторически разработана в 1920-х годах де Бройлем, которого в 1927 году убедили отказаться от нее в пользу господствовавшей тогда копенгагенской интерпретации. Дэвид Бом, недовольный преобладающей ортодоксальностью, заново открыл теорию пилот-волны де Бройля в 1952 году. Предложения Бома тогда не получили широкого распространения, отчасти по причинам, не связанным с их содержанием, например, из-за юношеской коммунистической принадлежности Бома. ^[80] Теория де Бройля-Бома широко считалась неприемлемой среди основных теоретиков, главным образом из-за ее явной нелокальности. По поводу теории Джон Стюарт Белл , автор теоремы Белла 1964 года , писал в 1982 году:

Бом явно показал, как действительно можно ввести параметры в нерелятивистскую волновую механику, с помощью которых индетерминистское описание можно было преобразовать в детерминистское. Что еще более важно, на мой взгляд, можно было бы устранить субъективность ортодоксальной версии, необходимую ссылку на «наблюдателя». ...

Но почему тогда Борн не рассказал мне об этой «пилотной волне»? Хотя бы для того, чтобы указать, что в нем не так? Почему фон Нейман не учел этого? Еще более необычно то, почему люди продолжали приводить доказательства «невозможности» после 1952 года и даже в 1978 году?... Почему в учебниках игнорируется картина пилотной волны? Не следует ли учить этому не как единственному пути, а как противоядию от преобладающего самодовольства? Чтобы показать нам, что неопределенность, субъективность и индетерминизм навязаны нам не экспериментальными фактами, а сознательным теоретическим выбором? ^[81]

С 1990-х годов возобновился интерес к формулированию расширений теории де Бройля-Бома, попыткам согласовать ее со специальной теорией относительности и квантовой теорией поля , помимо других особенностей, таких как спин или искривленная пространственная геометрия. ^[82]

Теория де Бройля – Бома имеет историю различных формулировок и названий. В этом разделе каждому этапу дано название и основная ссылка.

Теория пилот-волны

Луи де Бройль представил свою пилотную волновую теорию на Сольвеевской конференции 1927 года ^[83] после тесного сотрудничества со Шредингером, который разработал волновое уравнение для теории де Бройля. В конце презентации Вольфганг Паули отметил, что это несовместимо с полуклассической техникой, которую Ферми ранее использовал в случае неупругого рассеяния. Вопреки популярной легенде, де Бройль на самом деле дал правильное опровержение того, что конкретную технику нельзя обобщить для целей Паули, хотя аудитория могла быть потеряна в технических деталях, а мягкая манера де Бройля оставила впечатление, что возражение Паули было обоснованным. Тем не менее, в конце концов его убедили отказаться от этой теории, потому что он «был разочарован критикой, которую [она] вызвала». ^[84] Теория де Бройля уже применима к множественным бесспиновым частицам, но ей не хватает адекватной теории измерения, поскольку в то время никто не понимал квантовую декогерентность . Анализ презентации де Бройля дан в Bacciagaluppi et al. ^{[85] [86]} Кроме того, в 1932 году Джон фон Нейман опубликовал статью ^[87] , в которой многие (и ошибочно, как показал Джеффри Баб ^[88] ) полагали, что она доказывает, что все теории скрытых переменных невозможны. Это решило судьбу теории де Бройля на следующие два десятилетия.

В 1926 году Эрвин Маделунг разработал гидродинамическую версию уравнения Шредингера , которую ошибочно считают основой для вывода плотности тока теории де Бройля-Бома. ^[89] Уравнения Маделунга , являющиеся квантовыми уравнениями Эйлера (гидродинамика) , философски отличаются от механики де Бройля-Бома ^[90] и являются основой стохастической интерпретации квантовой механики.

Питер Р. Холланд отметил, что ранее в 1927 году Эйнштейн действительно представил препринт с аналогичным предложением, но, не убедившись, отозвал его перед публикацией. ^[91] По мнению Холланда, неспособность оценить ключевые моменты теории де Бройля-Бома привела к путанице, причем ключевым моментом является то, что «траектории квантовой системы многих тел коррелированы не потому, что частицы оказывают прямое воздействие на друг друга ( а-ля Кулон), но поскольку все они подвергаются воздействию сущности, математически описываемой волновой функцией или ее функциями, которая лежит за их пределами». ^[92] Эта сущность — квантовый потенциал .

После публикации популярного учебника по квантовой механике, полностью придерживавшегося копенгагенской ортодоксальности, Эйнштейн убедил Бома критически взглянуть на теорему фон Неймана. Результатом стала «Предлагаемая интерпретация квантовой теории в терминах «скрытых переменных» I и II» [Бом, 1952]. Это было независимое создание теории пилот-волн, которое расширило ее, включив в нее последовательную теорию измерения и ответив на критику Паули, на которую де Бройль не отреагировал должным образом; оно считается детерминированным (хотя Бом в оригинальных статьях намекал, что в этом должны быть нарушения, подобно тому, как броуновское движение нарушает ньютоновскую механику). Эта стадия известна как теория де Бройля-Бома в работе Белла [Bell 1987] и является основой «Квантовой теории движения» [Holland 1993].

Этот этап применяется к множественным частицам и является детерминированным.

Теория де Бройля-Бома является примером теории скрытых переменных . Первоначально Бом надеялся, что скрытые переменные смогут обеспечить локальное , причинное , объективное описание, которое разрешит или устранит многие парадоксы квантовой механики, такие как кот Шредингера , проблема измерения и коллапс волновой функции. Однако теорема Белла усложняет эту надежду, поскольку показывает, что не может быть локальной теории скрытых переменных, совместимой с предсказаниями квантовой механики. Интерпретация Бома является причинной , но не локальной .

Статья Бома была в значительной степени проигнорирована или раскритикована другими физиками. Альберт Эйнштейн , предложивший Бому искать реалистическую альтернативу преобладающему в Копенгагене подходу , не считал интерпретацию Бома удовлетворительным ответом на вопрос о квантовой нелокальности, называя ее «слишком дешевой», ^[93] , в то время как Вернер Гейзенберг считал ее «лишняя идеологическая надстройка». ^[94] Вольфганг Паули , которого де Бройль не убедил в 1927 году, уступил Бому следующее:

Я только что получил ваше длинное письмо от 20 ноября, а также более тщательно изучил детали вашей статьи. Я не вижу больше возможности какого-либо логического противоречия, пока ваши результаты полностью согласуются с результатами обычной волновой механики и пока не даны средства для измерения значений ваших скрытых параметров как в измерительной аппаратуре, так и в соблюдать [так в оригинале] систему. В нынешней ситуации ваши «дополнительные волново-механические предсказания» по-прежнему являются чеком, который невозможно обналичить. ^[95]

Впоследствии он описал теорию Бома как «искусственную метафизику». ^[96]

По словам физика Макса Дрездена , когда теория Бома была представлена ​​в Институте перспективных исследований в Принстоне, многие возражения были ad hominem , сосредоточившись на симпатиях Бома к коммунистам, примером чего является его отказ дать показания Комитету Палаты представителей по расследованию антиамериканской деятельности. . ^[97]

В 1979 году Крис Филиппидис, Крис Дьюдни и Бэзил Хили первыми выполнили числовые вычисления на основе квантового потенциала для вывода ансамблей траекторий частиц. ^{[98] [99]} Их работа возобновила интерес физиков к интерпретации Бома квантовой физики. ^[100]

В конце концов Джон Белл начал защищать эту теорию. В книге «Выразимое и невыразимое в квантовой механике» [Bell 1987] несколько статей относятся к теориям скрытых переменных (включая теорию Бома).

Траектории модели Бома, которые возникнут в конкретных экспериментальных схемах, некоторые назвали «сюрреалистическими». ^{[101] [102]} Еще в 2016 году физик-математик Шелдон Гольдштейн сказал о теории Бома: «Было время, когда о ней нельзя было даже говорить, потому что она была ересью. Вероятно, это до сих пор является смертельным поцелуем для карьеры физики». на самом деле работать над Бомом, но, возможно, ситуация изменится». ^[63]

бомовская механика

Механика Бома — это та же теория, но с акцентом на понятии течения тока, которое определяется на основе гипотезы квантового равновесия , согласно которой вероятность подчиняется правилу Борна. Термин «механика Бома» также часто используется для обозначения большинства дальнейших расширений помимо бесспиновой версии Бома. В то время как теория де Бройля-Бома имеет лагранжианы и уравнения Гамильтона-Якоби в качестве основного фокуса и фона, а также символ квантового потенциала , механика Бома считает уравнение непрерывности основным и имеет ведущее уравнение в качестве своего символа. Они математически эквивалентны, поскольку применяется формулировка Гамильтона-Якоби, т. е. частицы без спина.

Вся нерелятивистская квантовая механика может быть полностью объяснена в этой теории. Недавние исследования использовали этот формализм для расчета эволюции квантовых систем многих тел со значительным увеличением скорости по сравнению с другими квантовыми методами. ^[103]

Причинная интерпретация и онтологическая интерпретация

Бом развил свои оригинальные идеи, назвав их Причинной интерпретацией . Позже он почувствовал, что причинность слишком похожа на детерминизм , и предпочел назвать свою теорию Онтологической Интерпретацией . Основная ссылка – «Неделимая Вселенная» (Бом, Хили, 1993).

На этом этапе представлены работы Бома и в сотрудничестве с Жан-Пьером Вижье и Бэзилом Хили. Бому ясно, что эта теория недетерминирована (работа с Хили включает стохастическую теорию). По сути, эта теория не является, строго говоря, формулировкой теории де Бройля-Бома, но она заслуживает упоминания здесь, поскольку термин «интерпретация Бома» неоднозначен между этой теорией и теорией де Бройля-Бома.

В 1996 году философ науки Артур Файн дал углубленный анализ возможных интерпретаций модели Бома 1952 года. ^[104]

Уильям Симпсон предложил гиломорфную интерпретацию механики Бома, согласно которой космос представляет собой аристотелевскую субстанцию, состоящую из материальных частиц и субстанциальной формы. Волновой функции отведена диспозиционная роль в хореографии траекторий частиц. ^[105]

Гидродинамические квантовые аналоги

Эксперименты по гидродинамическим аналогам квантовой механики, начавшиеся с работы Кудера и Форта (2006) ^{[106] [107],} имели целью показать, что макроскопические классические волны-пилоты могут проявлять характеристики, которые ранее считались ограниченными квантовой областью. Утверждается, что гидродинамические аналоги пилотной волны дублируют эксперимент с двумя щелями, туннелирование, квантованные орбиты и многие другие квантовые явления, которые привели к возрождению интереса к теориям пилотной волны. ^{[108] [109] [110]} Аналоги сравнивались с волной Фарадея . ^[111] Эти результаты были оспорены: эксперименты не могут быть воспроизведены. ^{[112] [113]}

Модерер и Форт отмечают в своей статье 2006 года, что пилот-волны представляют собой нелинейные диссипативные системы, поддерживаемые внешними силами. Диссипативная система характеризуется спонтанным появлением нарушения симметрии ( анизотропии ) и формированием сложной, иногда хаотичной или возникающей динамики, в которой взаимодействующие поля могут проявлять дальнодействующие корреляции.

Другой классический аналог обнаружен в поверхностных гравитационных волнах. ^[114]

Эксперименты

Исследователи провели эксперимент ESSW. ^[101] Они обнаружили, что траектории фотонов кажутся сюрреалистическими только в том случае, если не принять во внимание нелокальность, присущую теории Бома. ^{[120] [121]}

Смотрите также

• Уравнения Маделунга
• Локальная теория скрытых переменных
• Теория сверхтекучего вакуума
• Аналоги жидкости в квантовой механике
• Вероятностный ток

Примечания

1. Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения« скрытых переменных »I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Бибкод : 1952PhRv...85..166B. дои : 10.1103/PhysRev.85.166. В отличие от обычной интерпретации, эта альтернативная интерпретация позволяет нам представить каждую отдельную систему как находящуюся в точно определяемом состоянии, изменения которого во времени определяются определенными законами, аналогичными (но не тождественными) классическим уравнениям движения. Квантово-механические вероятности рассматриваются (как и их аналоги в классической статистической механике) лишь как практическая необходимость, а не как неотъемлемое отсутствие полной детерминированности свойств материи на квантовом уровне.
2. Публикации Д. Бома в 1952 и 1953 гг. и Ж.-П. Вижье в 1954 году, как цитируется у Антония Валентини; Ганс Вестман (2005). «Динамическое происхождение квантовых вероятностей». Учеб. Р. Сок. А.​ 461 (2053): 253–272. arXiv : Quant-ph/0403034 . Бибкод : 2005RSPSA.461..253В. CiteSeerX 10.1.1.252.849 . дои : 10.1098/rspa.2004.1394. S2CID  6589887. п. 254.
3. Кочиш, Саша; Браверман, Борис; Равец, Сильвен; Стивенс, Мартин Дж.; Мирин, Ричард П.; Шалм, Л. Кристер; Стейнберг, Эфраим М. (3 июня 2011 г.). «Наблюдение средних траекторий одиночных фотонов в двухщелевом интерферометре». Наука . 332 (6034): 1170–1173. Бибкод : 2011Sci...332.1170K. дои : 10.1126/science.1202218. ISSN  0036-8075. PMID  21636767. S2CID  27351467.
4. «Знаменитый эксперимент обрекает альтернативу квантовым странностям» .
5. Пассон, Оливер (1 ноября 2004 г.). «Как преподавать квантовую механику». Европейский журнал физики . 25 (6): 765–769. arXiv : Quant-ph/0404128 . дои : 10.1088/0143-0807/25/6/008. ISSN  0143-0807.
6. Бом, Дэвид (1957). Причинность и случайность в современной физике . Рутледж и Кеган Пол и Д. Ван Ностранд. ISBN 978-0-8122-1002-6.
7. Д. Бом и Б. Хили: Неразделенная вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , с. 37.
8. HR Brown, C. Dewdney и G. Horton: «Частицы Бома и их обнаружение в свете нейтронной интерферометрии», Foundations of Physics , 1995, Volume 25, Number 2, стр. 329–347.
9. Дж. Анандан, «Проблема квантового измерения и возможная роль гравитационного поля», Foundations of Physics , март 1999 г., том 29, выпуск 3, стр. 333–348.
10. Бом, Дэвид; Хили, Бэзил Дж. (1995). Неразделенная вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории. Рутледж. п. 24. ISBN 978-0-415-12185-9.
11. Холланд, Питер Р. (26 января 1995 г.). Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики де Бройлем-Бомом. Издательство Кембриджского университета. п. 26. ISBN 978-0-521-48543-2.
12. Холланд, П. (2001). «Гамильтонова теория волны и частицы в квантовой механике II: теория Гамильтона-Якоби и обратная реакция частиц» (PDF) . Нуово Чименто Б. 116 (10): 1143–1172. Бибкод : 2001NCimB.116.1143H. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2011 года . Проверено 1 августа 2011 г.
13. Бом, Дэвид (15 января 1952 г.). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых» переменных. I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. дои : 10.1103/PhysRev.85.166. ISSN  0031-899X.
14. Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Занги, Н. (1992). «Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности». Журнал статистической физики . 67 (5–6): 843–907. arXiv : Quant-ph/0308039 . Бибкод : 1992JSP....67..843D. дои : 10.1007/BF01049004. S2CID  15749334.
15. Таулер, доктор медицины; Рассел, Нью-Джерси; Валентини, А. (2012). «Временные рамки динамического смягчения правила Борна». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 468 (2140): 990. arXiv : 1103.1589 . Бибкод : 2012RSPSA.468..990T. дои : 10.1098/rspa.2011.0598. S2CID  119178440.. Видео электронной плотности в 2D-коробке, развивающейся в результате этого процесса, доступно здесь. Архивировано 3 марта 2016 года на Wayback Machine .
16. Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Занги, Нино (2003). «Квантовое равновесие и происхождение абсолютной неопределенности». Журнал статистической физики . 67 (5–6): 843–907. arXiv : Quant-ph/0308039 . Бибкод : 1992JSP....67..843D. дои : 10.1007/BF01049004. S2CID  15749334.
17. Пассон, Оливер (2006). «То, что вы всегда хотели знать о механике Бома, но боялись спросить». Физика и философия . 3 (2006). arXiv : Quant-ph/0611032 . Бибкод : 2006quant.ph.11032P. дои : 10.17877/DE290R-14213. HDL : 2003/23108. S2CID  45526627.
18. Николич, Х. (2004). «Траектории бомовских частиц в релятивистской бозонной квантовой теории поля». Основы физики письма . 17 (4): 363–380. arXiv : Quant-ph/0208185 . Бибкод : 2004FoPhL..17..363N. CiteSeerX 10.1.1.253.838 . doi :10.1023/B:FOPL.0000035670.31755.0a. S2CID  1927035. 
19. Николич, Х. (2005). «Траектории бомовских частиц в релятивистской фермионной квантовой теории поля». Основы физики письма . 18 (2): 123–138. arXiv : Quant-ph/0302152 . Бибкод : 2005FoPhL..18..123N. дои : 10.1007/s10702-005-3957-3. S2CID  15304186.
20. Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Мюнх-Берндль, К.; Занги, Н. (1999). «Гиперповерхностные модели Бома – Дирака». Физический обзор А. 60 (4): 2729–2736. arXiv : Quant-ph/9801070 . Бибкод : 1999PhRvA..60.2729D. дои : 10.1103/physreva.60.2729. S2CID  52562586.
21. Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Норсен, Трэвис; Струйве, Уорд; Занги, Нино (2014). «Можно ли бомовскую механику сделать релятивистской?». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 470 (2162): 20130699. arXiv : 1307.1714 . Бибкод : 2013RSPSA.47030699D. дои : 10.1098/rspa.2013.0699. ПМК 3896068 . ПМИД  24511259. 
22. Гхош, Партха (1996). «Релятивистская квантовая механика бозонов спина 0 и спина 1». Основы физики . 26 (11): 1441–1455. Бибкод : 1996FoPh...26.1441G. дои : 10.1007/BF02272366. S2CID  121129680.
23. Куфаро Петрони, Никола; Вижье, Жан-Пьер (2001). «Замечания о наблюдаемом распространении сверхсветового света». Основы физики письма . 14 (4): 395–400. дои : 10.1023/А: 1012321402475. S2CID  120131595., там же: раздел 3. Выводы , стр. 399.
24. Гхош, Партха; Маджумдар, А.С.; Гухаб, С.; Сау, Дж. (2001). «Бомовы траектории фотонов» (PDF) . Буквы по физике А. 290 (5–6): 205–213. arXiv : Quant-ph/0102071 . Бибкод : 2001PhLA..290..205G. дои : 10.1016/s0375-9601(01)00677-6. S2CID  54650214.
25. Саша Кочис, Сильвен Равец, Борис Браверман, Кристер Шалм, Эфраим М. Стейнберг: «Наблюдение траекторий одиночного фотона с использованием слабых измерений». Архивировано 26 июня 2011 г. на 19-м Конгрессе Австралийского института физики (AIP) Wayback Machine , 2010 г.
26. Кочиш, Саша; Браверман, Борис; Равец, Сильвен; Стивенс, Мартин Дж.; Мирин, Ричард П.; Шалм, Л. Кристер; Стейнберг, Эфраим М. (2011). «Наблюдение средних траекторий одиночных фотонов в двухщелевом интерферометре». Наука . 332 (6034): 1170–1173. Бибкод : 2011Sci...332.1170K. дои : 10.1126/science.1202218. PMID  21636767. S2CID  27351467.
27. Фанкхаузер Йоханнес, Дюрр Патрик (2021). «Как (не) понимать слабые измерения скорости». Исследования по истории и философии науки . Часть A. 85 : 16–29. arXiv : 2309.10395 . Бибкод : 2021SHPSA..85...16F. дои : 10.1016/j.shpsa.2020.12.002 . ISSN  0039-3681. ПМИД  33966771.
28. Дьюдни, Крис; Хортон, Джордж (2002). «Релятивистски-инвариантное расширение теории квантовой механики де Бройля-Бома». Журнал физики A: Математический и общий . 35 (47): 10117–10127. arXiv : Quant-ph/0202104 . Бибкод : 2002JPhA...3510117D. дои : 10.1088/0305-4470/35/47/311. S2CID  37082933.
29. Дьюдни, Крис; Хортон, Джордж (2004). «Релятивистско-ковариантная версия квантовой теории поля Бома для скалярного поля». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (49): 11935–11943. arXiv : Quant-ph/0407089 . Бибкод : 2004JPhA...3711935H. дои : 10.1088/0305-4470/37/49/011. S2CID  119468313.
30. Дьюдни, Крис; Хортон, Джордж (2010). «Релятивистская интерпретация массивного векторного поля со скрытыми переменными, основанная на потоках энергии-импульса». Основы физики . 40 (6): 658–678. Бибкод : 2010FoPh...40..658H. doi : 10.1007/s10701-010-9456-9. S2CID  123511987.
31. Николич, Хрвое (2005). «Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация». Основы физики письма . 18 (6): 549–561. arXiv : Quant-ph/0406173 . Бибкод : 2005FoPhL..18..549N. CiteSeerX 10.1.1.252.6803 . дои : 10.1007/s10702-005-1128-1. S2CID  14006204. 
32. Николич, Х (2010). «QFT как пилот-волновая теория создания и разрушения частиц». Международный журнал современной физики . 25 (7): 1477–1505. arXiv : 0904.2287 . Бибкод : 2010IJMPA..25.1477N. дои : 10.1142/s0217751x10047889. S2CID  18468330.
33. Николич, Х. (2009). «Время в релятивистской и нерелятивистской квантовой механике». Международный журнал квантовой информации . 7 (3): 595–602. arXiv : 0811.1905 . Бибкод : 2008arXiv0811.1905N. дои : 10.1142/s021974990900516x. S2CID  17294178.
34. Николич, Х. (2011). «Сделаем нелокальную реальность совместимой с теорией относительности». Межд. Дж. Квантум Инф . 9 (2011): 367–377. arXiv : 1002.3226 . Бибкод : 2010arXiv1002.3226N. дои : 10.1142/S0219749911007344. S2CID  56513936.
35. Хрвое Николич: «Бомианская механика в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля и теории струн», 2007 Journal of Physics : Conf. Сер. 67 012035.
36. Сазерленд, Родерик (2015). «Лагранжево описание частицных интерпретаций квантовой механики - случай запутанного множества частиц». Основы физики . 47 (2): 174–207. arXiv : 1509.02442 . Бибкод : 2017FoPh...47..174S. дои : 10.1007/s10701-016-0043-6. S2CID  118366293.
37. Пенья, Луис де ла; Четто, Ана Мария; Вальдес-Эрнандес, Андреа (2014). Возникающий квант: физика, лежащая в основе квантовой механики. п. 95. дои : 10.1007/978-3-319-07893-9. ISBN 978-3-319-07893-9.
38. Грёссинг, Г.; Фусси, С.; Меса Паскасио, Дж.; Швабль, Х. (2012). «Объяснение интерференционных эффектов в эксперименте с двумя щелями: классические траектории плюс баллистическая диффузия, вызванная флуктуациями нулевой точки». Анналы физики . 327 (2): 421–437. arXiv : 1106.5994 . Бибкод : 2012AnPhy.327..421G. дои : 10.1016/j.aop.2011.11.010. S2CID  117642446.
39. Грёссинг, Г.; Фусси, С.; Меса Паскасио, Дж.; Швабль, Х. (2012). «Квант как возникающая система». Физический журнал: серия конференций . 361 (1): 012008. arXiv : 1205.3393 . Бибкод : 2012JPhCS.361a2008G. дои : 10.1088/1742-6596/361/1/012008. S2CID  119307454.
40. Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Тумулка, Родерих; Занги, Нино (2004). «Бомовская механика и квантовая теория поля». Письма о физических отзывах . 93 (9): 090402. arXiv : quant-ph/0303156 . Бибкод : 2004PhRvL..93i0402D. CiteSeerX 10.1.1.8.8444 . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.090402. PMID  15447078. S2CID  8720296. 
41. Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Тумулка, Родерих; Занги, Нино (2005). «Квантовые теории поля типа колокола». Журнал физики A: Математический и общий . 38 (4): Р1. arXiv : Quant-ph/0407116 . Бибкод : 2005JPhA...38R...1D. дои : 10.1088/0305-4470/38/4/R01. S2CID  15547226.
42. Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Тейлор, Дж.; Тумулка, Р.; Занги, Н. (2007). «Квантовая механика в многосвязных пространствах». Дж. Физ. А.​ 40 (12): 2997–3031. arXiv : Quant-ph/0506173 . Бибкод : 2007JPhA...40.2997D. дои : 10.1088/1751-8113/40/12/с08. S2CID  119410880.
43. Фаббри, Лука (2022). «Формулировка де Бройля-Бома полей Дирака». Основы физики . 52 (6): 116. arXiv : 2207.05755 . Бибкод : 2022FoPh...52..116F. дои : 10.1007/s10701-022-00641-2. S2CID  250491612.
44. Фаббри, Лука (2023). «Теория Дирака в гидродинамической форме». Основы физики . 53 (3): 54. arXiv : 2303.17461 . Бибкод : 2023FoPh...53...54F. doi : 10.1007/s10701-023-00695-w. S2CID  257833858.
45. FR Бенард Гедес, Нью-Джерси Поплавски (2024). «Общерелятивистский корпускулярно-волновой дуализм с кручением». Классическая и квантовая гравитация . 41 (6): 065011. arXiv : 2211.03234 . дои : 10.1088/1361-6382/ad1fcb.
46. СК Вонг (1972). «Уравнения движения Гейзенберга для волнового уравнения со спином 1/2 в общей теории относительности». Международный журнал теоретической физики . 5 (4): 221–230. дои : 10.1007/BF00670477.
47. Валентини, Антоний (2013). «Скрытые переменные в современной космологии». Философия космологии. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года . Проверено 23 декабря 2016 г. - через YouTube.
48. См. например. Детлеф Дюрр, Шелдон Гольдштейн, Нино Занги: Бомовская механика и квантовое равновесие , Случайные процессы, Физика и геометрия II. World Scientific, 1995, стр. 5.
49. Валентини, А (1991). «Локальность сигнала, неопределенность и субквантовая H-теорема. II». Буквы по физике А. 158 (1–2): 1–8. Бибкод : 1991PhLA..158....1В. дои : 10.1016/0375-9601(91)90330-б.
50. Валентини, Антоний (2009). «За пределами квантов». Мир физики . 22 (11): 32–37. arXiv : 1001.2758 . Бибкод : 2009PhyW...22k..32V. дои : 10.1088/2058-7058/22/11/36. ISSN  0953-8585. S2CID  86861670.
51. Массер, Джордж (18 ноября 2013 г.). «Космологические данные намекают на уровень физики, лежащий в основе квантовой механики». blogs.scientificamerican.com . Научный американец . Проверено 5 декабря 2016 г.
52. Белл, Джон С. (1987). Выразимое и невыразимое в квантовой механике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-33495-2.
53. Альберт, Д.З., 1992, Квантовая механика и опыт, Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета.
54. Даумер, М.; Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Занги, Н. (1997). «Наивный реализм об операторах». Эркеннтнис . 45 (2–3): 379–397. arXiv : Quant-ph/9601013 . Бибкод : 1996quant.ph..1013D. дои : 10.1007/BF00276801.
55. Дюрр, Детлеф; Гольдштейн, Шелдон; Занги, Нино (2003). «Квантовое равновесие и роль операторов как наблюдаемых в квантовой теории». Журнал статистической физики . 116 (1–4): 959. arXiv : quant-ph/0308038 . Бибкод : 2004JSP...116..959D. CiteSeerX 10.1.1.252.1653 . doi :10.1023/B:JOSS.0000037234.80916.d0. S2CID  123303. 
56. Брида, Г.; Кальеро, Э.; Фальцетта, Г.; Дженовезе, М.; Граменья, М.; Новеро, К. (2002). «Первая экспериментальная проверка теории де Бройля-Бома против стандартной квантовой механики». Журнал физики B: атомная, молекулярная и оптическая физика . 35 (22): 4751. arXiv : quant-ph/0206196 . Бибкод : 2002JPhB...35.4751B. дои : 10.1088/0953-4075/35/22/316. S2CID  250773374.
57. Струйве, В.; Де Бэр, В. (2001). «Комментарии к некоторым недавно предложенным экспериментам, которые должны отличать механику Бома от квантовой механики». Квантовая теория: пересмотр основ . Векшо: Издательство Университета Векшо. п. 355. arXiv : quant-ph/0108038 . Бибкод : 2001quant.ph..8038S.
58. Николич, Х. (2003). «О совместимости механики Бома со стандартной квантовой механикой». arXiv : Quant-ph/0305131 .
59. Хайман, Росс; Колдуэлл, Шейн А; Далтон, Эдвард (2004). «Бомовская механика с дискретными операторами». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (44): Л547. arXiv : Quant-ph/0401008 . Бибкод : 2004JPhA...37L.547H. дои : 10.1088/0305-4470/37/44/L02. S2CID  6073288.
60. Дэвид Бом, Бэзил Хили: Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , издание, опубликованное в электронной библиотеке Тейлора и Фрэнсиса, 2009 г. (первое издание Routledge, 1993), ISBN 0-203-98038-7 , стр. 2. 
61. «Хотя проверяемые предсказания механики Бома изоморфны стандартной копенгагенской квантовой механике, лежащие в ее основе скрытые переменные должны быть в принципе ненаблюдаемы. Если бы можно было их наблюдать, можно было бы воспользоваться этим и сигнализировать быстрее, чем свет. , что, согласно специальной теории относительности, приводит к физическим временным парадоксам». Дж. Кофлер и А. Зейлиингер, «Квантовая информация и случайность», European Review (2010), Vol. 18, № 4, 469–480.
62. Малер, Д.Х.; Розема, Л; Фишер, К; Вермейден, Л; Реш, К.Дж.; Уайзман, HM; Стейнберг, А (2016). «Экспериментальные нелокальные и сюрреалистические бомовские траектории». Научный адв . 2 (2): e1501466. дои : 10.1126/science.1501466. ПМЦ 4788483 . ПМИД  26989784. 
63. Анил Анантасвами: В конце концов, квантовая странность может скрывать упорядоченную реальность, newscientist.com, 19 февраля 2016 г.
64. Белл Дж.С. (1964). «О парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена» (PDF) . Физика Телосложение Физика . 1 (3): 195. doi : 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195 .
65. Эйнштейн; Подольский; Розен (1935). «Можно ли квантово-механическое описание физической реальности считать полным?». Физ. Откр. 47 (10): 777–780. Бибкод : 1935PhRv...47..777E. дои : 10.1103/PhysRev.47.777 .
66. Белл, страница 115.
67. Модлин, Т. (1994). Квантовая нелокальность и относительность: метафизические намеки современной физики . Кембридж, Массачусетс: Блэквелл. ISBN 978-0-631-18609-0.
68. Аллори, В.; Дюрр, Д.; Гольдштейн, С.; Занги, Н. (2002). «Семь шагов к классическому миру». Журнал оптики Б. 4 (4): 482–488. arXiv : Quant-ph/0112005 . Бибкод : 2002JOptB...4S.482A. дои : 10.1088/1464-4266/4/4/344. S2CID  45059773.
69. Вятт, Роберт (11 октября 2007 г.). «Краткая история моей жизни и моей карьеры в области квантового распространения». Журнал физической химии А. 111 (41): 10171–10185. Бибкод : 2007JPCA..11110171.. doi : 10.1021/jp079540+. ПМИД  17927265 . Проверено 18 марта 2023 г.
70. Валентини, Антоний; Вестман, Ганс (2012). «Объединение Бома и Эверетта: аксиоматика для отдельной квантовой механики». arXiv : 1208.5632 [квант-ph].
71. Браун, Харви Р .; Уоллес, Дэвид (2005). «Решение проблемы измерения: де Бройль-Бом проигрывает Эверетту» (PDF) . Основы физики . 35 (4): 517–540. arXiv : Quant-ph/0403094 . Бибкод : 2005FoPh...35..517B. doi : 10.1007/s10701-004-2009-3. S2CID  412240.Аннотация: «Квантовая теория де Бройля и Бома решает проблему измерения, но гипотетические корпускулы не играют никакой роли в этом рассуждении. Решение находит более естественный дом в интерпретации Эверетта».
72. Дэниел Деннетт (2000). С небольшой помощью моих друзей. В Д. Росс, А. Брук и Д. Томпсон (ред.), « Философия Деннета: всесторонняя оценка». MIT Press/Брэдфорд, ISBN 0-262-68117-X . 
73. Дойч, Дэвид (1996). «Комментарий к Локвуду». Британский журнал философии науки . 47 (2): 222–228. дои : 10.1093/bjps/47.2.222.
74. Дюрр, Детлеф; Лазарович, Джастин (2022). Понимание квантовой механики: мир согласно современным квантовым основам . Спрингер. ISBN 978-3-030-40067-5.
75. См. раздел VI диссертации Эверетта «Теория универсальной волновой функции», стр. 3–140 Брайса Селигмана ДеВитта , Р. Нила Грэма, ред., « Многомировая интерпретация квантовой механики» , Принстонская серия по физике, Princeton University Press (1973). , ISBN 0-691-08131-X . 
76. Каллендер, Крейг . Аргумент избыточности против механики Бома (Отчет). Архивировано из оригинала 12 июня 2010 года . Проверено 23 ноября 2009 г.
77. Валентини, Антоний (2010). «Теория пилотной волны Де Бройля-Бома: многие миры находятся в отрицании?». В Сондерсе, Саймон; Барретт, Джон; Кент, Адриан (ред.). Много миров? Эверетт, Квантовая теория и реальность . Том. 2010. Издательство Оксфордского университета. стр. 476–509. arXiv : 0811.0810 . Бибкод : 2008arXiv0811.0810V. doi :10.1093/acprof:oso/9780199560561.003.0019. ISBN 978-0-19-956056-1.
78. Голландия, Питер (2001). «Гамильтонова теория волны и частицы в квантовой механике I, II» (PDF) . Нуово Чименто Б. 116 : 1043, 1143. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2011 года . Проверено 17 июля 2011 г.
79. Питер Р. Холланд: Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN 0-521-48543-6 , стр. 66 и далее. 
80. Ф. Дэвид Пит, Бесконечный потенциал: жизнь и времена Дэвида Бома (1997), стр. 1997. 133. Джеймс Т. Кушинг, « Квантовая механика: историческая непредвиденность и копенгагенская гегемония» (1994) обсуждает «гегемонию копенгагенской интерпретации квантовой механики» над такими теориями, как механика Бома, как пример того, как принятие научных теорий может определяться социальные аспекты.
81. Белл, Дж.С. (1 октября 1982 г.). «На невозможной пилотной волне». Основы физики . 12 (10): 989–999. Бибкод : 1982FoPh...12..989B. дои : 10.1007/BF01889272. ISSN  1572-9516. S2CID  120592799.
82. Дэвид Бом и Бэзил Дж. Хили, «Неразделенная Вселенная - онтологическая интерпретация квантовой теории» появилась после смерти Бома в 1993 году; рецензия Шелдона Гольдштейна в журнале Physics Today (1994). Дж. Кушинг, А. Файн, С. Гольдштейн (ред.), Бомовская механика и квантовая теория – оценка (1996).
83. Сольвейская конференция, 1928, Электроны и фотоны: отчеты и обсуждения Cinquieme Conseil de Physique tenu a Bruxelles du 24 или 29 октября 1927 г. под руководством Международного института физики Solvay
84. Луис Бройль, в предисловии к книге Дэвида Бома « Причинность и случайность в современной физике » (1957). пикселей
85. Баччагалуппи, Г., и Валентини, А., «Квантовая теория на распутье: пересмотр Сольвеевской конференции 1927 года»
86. См. краткое содержание Таулера М. «Теория пилотных волн, метафизика Бома и основы квантовой механики». Архивировано 22 марта 2016 г. на Wayback Machine.
87. фон Нейман, Дж. 1932 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik
88. Буб, Джеффри (2010). «Доказательство фон Неймана об отсутствии скрытых переменных: переоценка». Основы физики . 40 (9–10): 1333–1340. arXiv : 1006.0499 . Бибкод : 2010FoPh...40.1333B. дои : 10.1007/s10701-010-9480-9. S2CID  118595119.
89. Маделунг, Э. (1927). «Квантовая теория в гидродинамической форме». З. Физ. 40 (3–4): 322–326. Бибкод : 1927ZPhy...40..322M. дои : 10.1007/BF01400372. S2CID  121537534.
90. Цеков, Румен (2012). «Механика Бома против квантовой гидродинамики Маделунга». Annuaire de l'Université Софии : 112–119. arXiv : 0904.0723 . Бибкод : 2012AUSFP..SE..112T. дои : 10.13140/RG.2.1.3663.8245. S2CID  59399059.
91. Голландия, Питер (2005). «Что не так с интерпретацией квантовой механики Эйнштейном 1927 года со скрытыми переменными?». Основы физики . 35 (2): 177–196. arXiv : Quant-ph/0401017 . Бибкод : 2005FoPh...35..177H. дои : 10.1007/s10701-004-1940-7. S2CID  119426936.
92. Голландия, Питер (2005). «Что не так с интерпретацией квантовой механики Эйнштейном 1927 года со скрытыми переменными?». Основы физики . 35 (2): 177–196. arXiv : Quant-ph/0401017 . Бибкод : 2005FoPh...35..177H. дои : 10.1007/s10701-004-1940-7. S2CID  119426936.
93. (Письмо Эйнштейна Максу Борну от 12 мая 1952 г., в The Born-Einstein Letters , Macmillan, 1971, стр. 192.
94. Вернер Гейзенберг, Физика и философия (1958), с. 133.
95. Паули Бому, 3 декабря 1951 г., в Вольфганге Паули, Научная переписка , Том IV - Часть I, [изд. Карл фон Мейенн], (Берлин, 1996), стр. 436–441.
96. Паули, В. (1953). «Замечания о проблемах с кэшами параметров в количественной механике и теории пилота». В книге А. Джорджа (ред.), Луи де Бройля — врача и мыслителя (стр. 33–42). Париж: Издания Альбина Мишеля.
97. Ф. Дэвид Пит, Бесконечный потенциал: жизнь и времена Дэвида Бома (1997), стр. 133.
98. Заявление о том, что они фактически были первыми в: Б. Дж. Хили: Нелокальность в микросистемах , в: Джозеф С. Кинг, Карл Х. Прибрам (ред.): Масштаб сознательного опыта: слишком ли важен мозг, чтобы оставлять его специалистам учиться? , Psychology Press, 1995, стр. 318 и далее, с. 319, где содержится ссылка на: Philippidis, C.; Дьюдни, К.; Хили, Би Джей (2007). «Квантовая интерференция и квантовый потенциал». Иль Нуово Чименто Б. 52 (1): 15. Бибкод : 1979NCimB..52...15P. дои : 10.1007/BF02743566. S2CID  53575967.
99. Оливал Фрейре младший : Преемственность и изменения: описание развивающихся идей Дэвида Бома по квантовой механике , В: Десио Краузе, Антонио Видейра (ред.): Бразильские исследования по философии и истории науки , Бостонские исследования по философии науки, Springer , ISBN 978-90-481-9421-6 , стр. 291–300, там стр. 296–297 
100. Оливал Фрейре-младший: История без конца: споры о квантовой физике 1950–1970 , Science & Education, vol. 12, стр. 573–586, 2003, с. 576. Архивировано 10 марта 2014 г. в Wayback Machine.
101. Энглерт, Бертольд-Георг; Скалли, Мэриан О.; Зюссманн, Георг; Вальтер, Герберт (1992). «Сюрреалистические траектории Бома». Zeitschrift für Naturforschung A. 47 (12): 1175. Бибкод : 1992ZNatA..47.1175E. дои : 10.1515/zna-1992-1201 . S2CID  3508522.
102. Хили, Би Джей; Э. Каллаган, Р.; Марони, О. (2000). «Квантовые траектории, реальные, сюрреалистические или приближение к более глубокому процессу?». arXiv : Quant-ph/0010020 .
103. Лардер и др. (2019) Быстрая неадиабатическая динамика квантовых систем многих тел https://doi.org/10.1126/sciadv.aaw1634
104. А. Файн: «Об интерпретации механики Бома», в: Дж. Т. Кушинг, А. Файн, С. Гольдштейн (ред.): Механика Бома и квантовая теория: оценка , Springer, 1996, стр. 231–250.
105. Симпсон, WMR (2021). «Космический гиломорфизм: энергетическая онтология квантовой механики». Европейский журнал философии науки . 11 (28): 28. дои :10.1007/s13194-020-00342-5. ISSN  1879-4912. ПМЦ 7831748 . ПМИД  33520035. 
106. Кудер, Ив; Форт, Эммануэль (2006). «Дифракция одночастиц и интерференция в макроскопическом масштабе» (PDF) . Физ. Преподобный Летт . 97 (15): 154101. Бибкод : 2006PhRvL..97o4101C. doi : 10.1103/PhysRevLett.97.154101. ПМИД  17155330.
107. Хардести, Ларри (12 сентября 2014 г.). «Механика жидкости предлагает альтернативу квантовой ортодоксальности». news.mit.edu . Проверено 7 декабря 2016 г.
108. Буш, Джон WM (2015). «Новая волна теории пилот-волны» (PDF) . Физика сегодня . 68 (8): 47. Бибкод :2015ФТ....68х..47Б. дои : 10.1063/PT.3.2882. hdl : 1721.1/110524 . S2CID  17882118. Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2016 года . Проверено 7 декабря 2016 г.
109. Буш, Джон WM (2015). «Пилотно-волновая гидродинамика». Ежегодный обзор механики жидкости . 47 (1): 269–292. Бибкод : 2015AnRFM..47..269B. doi : 10.1146/annurev-fluid-010814-014506. hdl : 1721.1/89790 .
110. Волчовер, Натали (24 июня 2014 г.). «Испытания жидкости намекают на конкретную квантовую реальность». Журнал Кванта . Проверено 28 ноября 2016 г.
111. Джон В.М. Буш: «Квантовая механика в целом». Архивировано 15 декабря 2017 года в Wayback Machine .
112. Андерсен, Андерс; Мэдсен, Джейкоб; Райхельт, Кристиан; Розенлунд Аль, Соня; Лаутруп, Бенни; Эллегаард, Клайв; Левинсен, Могенс Т.; Бор, Томас (6 июля 2015 г.). «Двухщелевой эксперимент с одиночными волновыми частицами и его связь с квантовой механикой». Физический обзор E . 92 (1). doi : 10.1103/PhysRevE.92.013006. ISSN  1539-3755.
113. Волчовер, Натали (11 октября 2018 г.). «Знаменитый эксперимент обрекает альтернативу квантовым странностям». Журнал Кванта . Проверено 17 октября 2018 г. Каплям нефти, управляемым «волнами-пилотами», не удалось воспроизвести результаты квантового двухщелевого эксперимента.
114. Розенман, Джорджи Гэри; Бондарь, Денис I; Шляйх, Вольфганг П; Шемер, Лев; Ари, Ади А. (10 марта 2023 г.). «Наблюдение траекторий Бома и квантовых потенциалов классических волн». Физика Скрипта . 98 (4). IOP Publishing Ltd: 044004. doi : 10.1088/1402-4896/acb408 .
115. Буш, Джон WM (2015). «Пилотно-волновая гидродинамика» (PDF) . Ежегодный обзор механики жидкости . 47 (1): 269–292. Бибкод : 2015AnRFM..47..269B. doi : 10.1146/annurev-fluid-010814-014506. hdl : 1721.1/89790 .
116. Де Бройль, Луи (1956). «Предварительная причинно-следственная интерпретация и нелинейная механическая волнообразная обработка: (теория двойного решения)». Готье-Виллар .
117. де Бройль, Луи (1987). «Интерпретация квантовой механики теорией двойного решения» (PDF) . Анналы Фонда . 12 (4): 399–421. ISSN  0182-4295.
118. де ла Пенья, Луис; Четто, AM (1996). Квантовые кости: введение в стохастическую электродинамику. Спрингер. дои : 10.1007/978-94-015-8723-5. ISBN 978-90-481-4646-8.
119. Хайш, Бернард; Руэда, Альфонсо (2000). «О связи между инерционным эффектом, индуцированным нулевым полем, и формулой Эйнштейна-де Бройля». Буквы по физике А. 268 (4–6): 224–227. arXiv : gr-qc/9906084 . Бибкод : 2000PhLA..268..224H. CiteSeerX 10.1.1.339.2104 . дои : 10.1016/S0375-9601(00)00186-9. S2CID  2030449. 
120. Малер, Д.Х; Розема, Л; Фишер, К; Вермейден, Л; Реш, К.Дж.; Уайзман, HM; Стейнберг, А (2016). «Экспериментальные нелокальные и сюрреалистические бомовские траектории». Достижения науки . 2 (2): e1501466. Бибкод : 2016SciA....2E1466M. дои : 10.1126/sciadv.1501466 . ПМЦ 4788483 . ПМИД  26989784. 
     • Анил Анантасвами (19 февраля 2016 г.). «В конце концов, квантовая странность может скрывать упорядоченную реальность» . Новый учёный .
121. Фальк, Дэн (21 мая 2016 г.). «Новые данные могут опрокинуть стандартный взгляд на квантовую механику». Проводной .

Рекомендации

• Альберт, Дэвид З. (май 1994 г.). «Альтернатива Бома квантовой механике». Научный американец . 270 (5): 58–67. Бибкод : 1994SciAm.270e..58A. doi : 10.1038/scientificamerican0594-58.
• Барбоза, Джорджия; Н. Пинто-Нето (2004). «Бомовская интерпретация некоммутативной скалярной теории поля и квантовой механики». Физический обзор D . 69 (6): 065014. arXiv : hep-th/0304105 . Бибкод : 2004PhRvD..69f5014B. doi : 10.1103/PhysRevD.69.065014. S2CID  119525006.
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных» I». Физический обзор . 85 (2): 166–179. Бибкод : 1952PhRv...85..166B. дои : 10.1103/PhysRev.85.166.(полный текст)
• Бом, Дэвид (1952). «Предлагаемая интерпретация квантовой теории с точки зрения «скрытых переменных», II». Физический обзор . 85 (2): 180–193. Бибкод : 1952PhRv...85..180B. doi : 10.1103/PhysRev.85.180.(полный текст)
• Бом, Дэвид (1990). «Новая теория взаимосвязи разума и материи» (PDF) . Философская психология . 3 (2): 271–286. дои : 10.1080/09515089008573004. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 26 февраля 2013 г.
• Бом, Дэвид; Би Джей Хили (1993). Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории . Лондон: Рутледж. ISBN 978-0-415-12185-9.
• Дюрр, Детлеф; Шелдон Гольдштейн; Родерих Тумулка; Нино Занги (декабрь 2004 г.). «Бомовская механика» (PDF) . Письма о физических отзывах . 93 (9): 090402. arXiv : quant-ph/0303156 . Бибкод : 2004PhRvL..93i0402D. CiteSeerX  10.1.1.8.8444 . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.090402. ISSN  0031-9007. PMID  15447078. S2CID  8720296.
• Гольдштейн, Шелдон (2001). «Бомовская механика». Стэнфордская энциклопедия философии .
• Холл, Майкл Дж.В. (2004). «Неполнота траекторных интерпретаций квантовой механики». Журнал физики A: Математический и общий . 37 (40): 9549–9556. arXiv : Quant-ph/0406054 . Бибкод : 2004JPhA...37.9549H. CiteSeerX  10.1.1.252.5757 . дои : 10.1088/0305-4470/37/40/015. S2CID  15196269.(Демонстрирует неполноту интерпретации Бома перед лицом фрактальных, нигде не дифференцируемых волновых функций.)
• Холланд, Питер Р. (1993). Квантовая теория движения: отчет о причинной интерпретации квантовой механики де Бройля – Бома . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-48543-2.
• Николич, Х. (2005). «Релятивистская квантовая механика и бомовская интерпретация». Основы физики письма . 18 (6): 549–561. arXiv : Quant-ph/0406173 . Бибкод : 2005FoPhL..18..549N. CiteSeerX  10.1.1.252.6803 . дои : 10.1007/s10702-005-1128-1. S2CID  14006204.
• Пассон, Оливер (2004). «Почему не каждый физик бомианец?». arXiv : Quant-ph/0412119 .
• Санс, А.С.; Ф. Борондо (2007). «Бомианский взгляд на квантовую декогеренцию». Европейский физический журнал Д. 44 (2): 319–326. arXiv : Quant-ph/0310096 . Бибкод : 2007EPJD...44..319S. doi : 10.1140/epjd/e2007-00191-8. S2CID  18449109.
• Санс, А.С. (2005). «Бомовский подход к квантовым фракталам». Журнал физики A: Математический и общий . 38 (26): 6037–6049. arXiv : Quant-ph/0412050 . Бибкод : 2005JPhA...38.6037S. дои : 10.1088/0305-4470/38/26/013. S2CID  17633797.(Описывает бомовское решение дилеммы, возникающей из-за недифференцируемых волновых функций.)
• Сильверман, Марк П. (1993). И все же оно движется: странные системы и тонкие вопросы физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-44631-0.
• Стритер, Рэй Ф. (2003). «Бомовская механика — это «безнадежное дело»». Архивировано из оригинала 13 июня 2006 года . Проверено 25 июня 2006 г.
• Валентини, Антоний ; Ганс Вестман (2005). «Динамическое происхождение квантовых вероятностей». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 461 (2053): 253–272. arXiv : Quant-ph/0403034 . Бибкод : 2005RSPSA.461..253В. CiteSeerX  10.1.1.252.849 . дои : 10.1098/rspa.2004.1394. S2CID  6589887.
• Механика Бома на arxiv.org

дальнейшее чтение

• Джон С. Белл : Выразимое и невыразимое в квантовой механике: Сборник статей по квантовой философии , Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-81862-1 
• Дэвид Бом , Бэзил Хили : Неразделенная Вселенная: онтологическая интерпретация квантовой теории , Рутледж Чепмен и Холл, 1993, ISBN 0-415-06588-7 
• Детлеф Дюрр, Шелдон Гольдштейн, Нино Занги: квантовая физика без квантовой философии , Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30690-7 
• Детлеф Дюрр, Стефан Тойфель: Бомовская механика: физика и математика квантовой теории , Springer, 2009, ISBN 978-3-540-89343-1 
• Питер Р. Холланд : Квантовая теория движения , Cambridge University Press, 1993 (переиздано в 2000 г., переведено в цифровую печать в 2004 г.), ISBN 0-521-48543-6 

Внешние ссылки

• «Пилотно-волновая гидродинамика». Архивировано 18 марта 2021 г. в Wayback Machine Bush, JWM, Annual Review of Fluid Mechanics , 2015.
• «Бомианская механика» (Стэнфордская энциклопедия философии)
• О'Дауд, Мэтт (30 ноября 2016 г.). «Теория пилотных волн и квантовый реализм». PBS «Пространство-время» . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 года — на YouTube.
• «Видео с ответами на часто задаваемые вопросы о бомовской механике» - через YouTube.
• «Bohmian-Mechanics.net», домашняя страница международной исследовательской сети по бомовской механике, основанной Д. Дюрром, С. Гольдштейном и Н. Занги.
• Рабочая группа Bohmian Mechanics в LMU Мюнхен (Д. Дюрр)
• Группа Bohmian Mechanics Group в Инсбрукском университете (Г. Грюбль). Архивировано 25 ноября 2014 г. в Wayback Machine.
• «Волны-пилоты, метафизика Бома и основы квантовой механики». Архивировано 10 апреля 2016 года в Wayback Machine , курс лекций Майка Таулера по теории де Бройля-Бома , Кембриджский университет.
• «Направления XXI века в теории де Бройля-Бома и за ее пределами», международная конференция по теории де Бройля-Бома в августе 2010 г. На сайте представлены слайды всех докладов – последних передовых исследований deBB.
• «Наблюдение траекторий одиночного фотона с помощью слабых измерений»
• «Бомовские траектории больше не являются «скрытыми переменными»»
• Общество Дэвида Бома
• Теория де Бройля-Бома вдохновила на визуализацию атомных орбиталей.