ряд Фурье

Разложение периодических функций в суммы более простых синусоидальных форм

Ряд Фурье ( / ˈ f ʊr i eɪ , -i ər / ^[1] ) — это разложение периодической функции в сумму тригонометрических функций . Ряд Фурье является примером тригонометрического ряда , но не все тригонометрические ряды являются рядами Фурье. ^[2] Выражая функцию в виде суммы синусов и косинусов, многие проблемы, связанные с этой функцией, становится легче анализировать, поскольку тригонометрические функции хорошо изучены. Например, ряды Фурье впервые были использованы Жозефом Фурье для поиска решений уравнения теплопроводности . Такое применение возможно, поскольку производные тригонометрических функций распадаются на простые закономерности. Ряды Фурье нельзя использовать для аппроксимации произвольных функций, поскольку большинство функций имеют в своих рядах Фурье бесконечное число членов, и эти ряды не всегда сходятся . Функции с хорошим поведением, например гладкие функции, имеют ряды Фурье, которые сходятся к исходной функции. Коэффициенты ряда Фурье определяются интегралами функции, умноженной на тригонометрические функции, описанные ниже в разделе «Общие формы ряда Фурье».

Изучение сходимости рядов Фурье сосредоточено на поведении частичных сумм , что означает изучение поведения суммы по мере того, как суммируются все больше и больше членов ряда. На рисунках ниже показаны некоторые частичные результаты рядов Фурье для компонентов прямоугольной волны .

• 
  Прямоугольная волна (представленная синей точкой) аппроксимируется своей шестой частичной суммой (представленной фиолетовой точкой), образованной суммированием первых шести членов (представленных стрелками) ряда Фурье прямоугольной волны. Каждая стрелка начинается с вертикальной суммы всех стрелок слева от нее (т. е. предыдущей частичной суммы).
• 
  Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . По мере добавления большего количества гармоник частичные суммы сходятся (становятся все более и более похожими) на прямоугольную волну.
• 
  Функция (красным цветом) представляет собой сумму ряда Фурье шести гармонически связанных синусоидальных волн (синим цветом). Его преобразование Фурье представляет собой представление в частотной области, которое показывает амплитуды суммированных синусоидальных волн. ${\displaystyle s_{6}(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

Ряды Фурье тесно связаны с преобразованием Фурье , которое можно использовать для поиска информации о частоте для функций, которые не являются периодическими. Периодические функции можно отождествить с функциями на окружности, по этой причине ряды Фурье являются предметом анализа Фурье на окружности, обычно обозначаемой как или . Преобразование Фурье также является частью анализа Фурье , но оно определено для функций на . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Со времен Фурье было открыто множество различных подходов к определению и пониманию понятия ряда Фурье, все из которых согласуются друг с другом, но каждый из которых подчеркивает разные аспекты темы. Некоторые из наиболее мощных и элегантных подходов основаны на математических идеях и инструментах, которых не было во времена Фурье. Первоначально Фурье определил ряд Фурье для действительных функций от действительных аргументов и использовал при разложении функции синуса и косинуса . С тех пор были определены многие другие преобразования Фурье , что расширило его первоначальную идею на многие приложения и положило начало области математики, называемой анализом Фурье .

Общие формы ряда Фурье

Ряд Фурье — это непрерывная периодическая функция , созданная суммированием гармонически связанных синусоидальных функций. Он имеет несколько разных, но эквивалентных форм, показанных здесь как частичные суммы. Но теоретически индексные символы, называемые коэффициентами , и период определяют функцию следующим образом : ${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

Рис . 1. На верхнем графике синим цветом показана непериодическая функция s ( x ), определенная только в красном интервале от 0 до P. Функцию можно проанализировать на этом интервале, чтобы получить ряд Фурье на нижнем графике. Ряд Фурье всегда является периодической функцией, даже если исходная функция s ( x ) таковой не является.

Ряд Фурье, амплитудно-фазовая форма

Ряд Фурье, синус-косинусная форма

Ряд Фурье, экспоненциальная форма

Гармоники индексируются целым числом, которое также является количеством циклов, которые соответствующие синусоиды делают в интервале . Следовательно, синусоиды имеют : ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle P}$

• длина волны равна в тех же единицах, что и . ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ ${\displaystyle x}$
• частота , равная в обратных единицах . ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle x}$

Очевидно, что эти ряды могут представлять функции, которые представляют собой просто сумму одной или нескольких частот гармоник. Примечательно то, что он также может представлять промежуточные частоты и/или несинусоидальные функции из-за бесконечного числа членов. Амплитудно-фазовая форма особенно полезна для понимания смысла коэффициентов ряда. (см. § Вывод). Показательную форму легче всего обобщить на комплекснозначные функции. (см. § Комплекснозначные функции)

Эквивалентность этих форм требует определенных соотношений между коэффициентами. Например, тригонометрическое тождество :

Эквивалентность полярной и прямоугольной формы

Значит это :

Поэтому и – прямоугольные координаты вектора с полярными координатами и ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}.}$

Коэффициенты могут быть заданы/предполагаемы, например, музыкальный синтезатор или временные выборки формы волны. В последнем случае экспоненциальная форма ряда Фурье синтезирует преобразование Фурье с дискретным временем , где переменная представляет частоту, а не время. ${\displaystyle x}$

Но обычно коэффициенты определяются путем частотного/гармонического анализа данной действительной функции и представляют время : ${\displaystyle s(x),}$ ${\displaystyle x}$

Анализ рядов Фурье

Цель состоит в том, чтобы достичь большинства или всех значений в интервале длины. Для функций с хорошим поведением , типичных для физических процессов, обычно предполагается равенство, а условия Дирихле обеспечивают достаточные условия. ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

Обозначения представляют собой интегрирование по выбранному интервалу. Типичный выбор: и . Некоторые авторы определяют , потому что это упрощает аргументы синусоидальных функций за счет общности. Некоторые авторы предполагают, что она также является -периодической, и в этом случае она аппроксимирует всю функцию. Масштабный коэффициент объясняется на простом примере : для сходимости необходим только член уравнения 2 , при этом и   Соответственно уравнение 5 дает : ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle [-P/2,P/2]}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle A_{k}=1}$ ${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       как требуется.

Коэффициенты экспоненциальной формы

Другое применимое тождество — формула Эйлера :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(Примечание : * обозначает комплексное сопряжение .)

Подстановка этого значения в уравнение 1 и сравнение с уравнением 3 в конечном итоге показывает :

Коэффициенты экспоненциальной формы

И наоборот :

Обратные отношения

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}$

Подстановка уравнения 5 в уравнение 6 также показывает : ^[3]

Анализ рядов Фурье

Комплексные функции

Уравнения 7 и 3 также применимы, когда является комплексной функцией. ^[A] Это следует путем выражения и как отдельных вещественных рядов Фурье, и ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

Вывод

Коэффициенты и можно понять и вывести с точки зрения взаимной корреляции между и синусоиды на частоте . Для общей частоты и интервала анализа функция взаимной корреляции : ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

Рис. 2. Синяя кривая представляет собой взаимную корреляцию прямоугольной волны и косинусоидальной функции, поскольку задержка фазы косинуса меняется в течение одного цикла. Амплитуда и задержка фазы при максимальном значении являются полярными координатами одной гармоники в разложении прямоугольной волны в ряд Фурье. Соответствующие прямоугольные координаты можно определить, оценив взаимную корреляцию всего лишь с двумя фазовыми задержками, разделенными 90°.

Вывод уравнения 1

по сути, это согласованный фильтр с шаблоном . Максимум является мерой амплитуды частоты в функции , а значение максимума определяет фазу этой частоты. На рисунке 2 показан пример прямоугольной волны (не показан), а частота — гармоники. Это также пример получения максимума всего из двух выборок вместо поиска по всей функции. Объединение уравнения 8 с уравнением 4 дает : ${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$ ${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\varphi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

Производная равна нулю в фазе максимальной корреляции. ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

Следовательно, расчет и по уравнению 5 создает фазу максимальной корреляции компонента . А амплитуда компонента равна : ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

Другие распространенные обозначения

Эти обозначения недостаточны для обсуждения коэффициентов Фурье нескольких различных функций. Поэтому его обычно заменяют модифицированной формой функции ( в данном случае), такой как или , а функциональные обозначения часто заменяют индексы : ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$ ${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

В технике, особенно когда переменная представляет время, последовательность коэффициентов называется представлением в частотной области . Квадратные скобки часто используются, чтобы подчеркнуть, что областью определения этой функции является дискретный набор частот. ${\displaystyle x}$

Другое часто используемое представление в частотной области использует коэффициенты ряда Фурье для модуляции гребенки Дирака :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

где представляет собой непрерывную частотную область. Если переменная имеет единицы секунды, она имеет единицы герцы . «Зубцы» гребенки расположены на расстоянии, кратном (то есть гармоникам ) , что называется основной частотой . можно восстановить из этого представления с помощью обратного преобразования Фурье : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

Поэтому построенную функцию обычно называют преобразованием Фурье , хотя интеграл Фурье периодической функции не сходится на частотах гармоник. ^[Б] ${\displaystyle S(f)}$

Пример анализа

График пилообразной волны , периодического продолжения линейной функции на интервале ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Анимированный сюжет первых пяти последовательных частичных рядов Фурье

Рассмотрим пилообразную функцию :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

В этом случае коэффициенты Фурье имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Можно показать, что ряд Фурье сходится в каждой точке , где дифференцируемо, и, следовательно : ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

При , ряд Фурье сходится к 0, что является полусуммой левого и правого предела s при . Это частный случай теоремы Дирихле для рядов Фурье. ${\displaystyle x=\pi }$ ${\displaystyle x=\pi }$

Этот пример приводит к решению Базельской проблемы .

Конвергенция

Доказательство того, что ряд Фурье является допустимым представлением любой периодической функции (которая удовлетворяет условиям Дирихле ), представлено в § Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье.

В инженерных приложениях обычно предполагается, что ряд Фурье сходится, за исключением скачков, поскольку функции, встречающиеся в инженерии, ведут себя лучше, чем функции, встречающиеся в других дисциплинах. В частности, если непрерывен и производная (которая может существовать не везде) интегрируема с квадратом, то ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно к . ^[4] Если функция интегрируема с квадратом на интервале , то ряд Фурье сходится к функции почти всюду . Можно определить коэффициенты Фурье для более общих функций или распределений, и в этом случае точечная сходимость часто не удается, и обычно изучается сходимость по норме или слабая сходимость . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длин 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как аппроксимация прямоугольной волны улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
• Четыре частичные суммы (ряд Фурье) длин 1, 2, 3 и 4 члена, показывающие, как приближение к пилообразной волне улучшается по мере увеличения количества членов (анимация)
• 
  Пример сходимости к несколько произвольной функции. Обратите внимание на развитие «звона» ( феномена Гиббса ) при переходах на вертикальные участки и обратно.

История

Ряд Фурье назван в честь Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830), который внес важный вклад в изучение тригонометрических рядов , после предварительных исследований Леонарда Эйлера , Жана ле Рона д'Аламбера и Даниэля Бернулли . ^[C] Фурье ввел ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, опубликовав свои первоначальные результаты в своем « Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les Corps Solides» ( Трактат о распространении тепла в твердых телах ) 1807 года. и публикация его Théorie analytique de la chaleur ( Аналитическая теория тепла ) в 1822 году. В « Мемуаре» был представлен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт, что произвольная (сначала непрерывная ^[5] , а затем обобщенная на любую кусочно -гладкую ^[6] ) функция может быть представлена ​​тригонометрическим рядом. Первое заявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией . ^[7] Ранние идеи разложения периодической функции в сумму простых осциллирующих функций относятся к III веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на деферентах и ​​эпициклах .

Уравнение теплопроводности представляет собой уравнение в частных производных . До работы Фурье не было известно решение уравнения теплопроводности в общем случае, хотя были известны частные решения, если источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была синусоидальная или косинусоидальная волна . Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями . Идея Фурье заключалась в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию ) простых синусоидальных и косинусоидальных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений . Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позже Питер Густав Лежен Дирихле ^[8] и Бернхард Риман ^{[9] [10] [11]} выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальная мотивация заключалась в решении уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы могут быть применены к широкому кругу математических и физических задач, особенно к тем, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами . Ряд Фурье имеет множество таких приложений в электротехнике , вибрационном анализе, акустике , оптике , обработке сигналов , обработке изображений , квантовой механике , эконометрике , ^[12] теории оболочек , ^[13] и т. д.

Начало

Жозеф Фурье писал: ^{[ сомнительно ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Умножив обе части на , а затем интегрируя от до, получим: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

-  Жозеф Фурье, «Мемуар о распространении таланта в твердом корпусе» . (1807) ^{[14] [Д]}

Это немедленно дает любой коэффициент a _k тригонометрического ряда для φ( y ) для любой функции, имеющей такое разложение. Это работает, потому что если φ имеет такое разложение, то (при подходящих предположениях о сходимости) интеграл

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$

j ≠ k ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

В этих нескольких строках, близких к современному формализму , используемому в рядах Фурье, Фурье произвел революцию как в математике, так и в физике. Хотя подобные тригонометрические ряды ранее использовались Эйлером , Даламбером , Даниэлем Бернулли и Гауссом , Фурье считал, что такие тригонометрические ряды могут представлять любую произвольную функцию. В каком смысле это на самом деле верно — вопрос довольно тонкий, и многолетние попытки прояснить эту идею привели к важным открытиям в теориях сходимости , функциональных пространств и гармонического анализа .

Когда Фурье представил позднее конкурсное эссе в 1811 году, комитет (в который, среди прочих, входили Лагранж , Лаплас , Малюс и Лежандр ) пришел к выводу: ...способ, которым автор пришел к этим уравнениям, не лишен трудностей и... его анализ по их объединению все еще оставляет желать лучшего с точки зрения общности и даже строгости . ^{[ нужна цитата ]}

Мотивация Фурье

Распределение тепла в металлической пластине по методу Фурье.

Разложение пилообразной функции в ряд Фурье (см. выше) выглядит сложнее, чем простая формула , поэтому не сразу понятно, зачем нужен ряд Фурье. Хотя существует множество приложений, мотивацией Фурье было решение уравнения теплопроводности . Например, рассмотрим металлическую пластину в форме квадрата, стороны которого измеряются метрами, с координатами . Если внутри пластины нет источника тепла и если три из четырех сторон поддерживаются при температуре 0 градусов Цельсия, а четвертая сторона, определяемая , поддерживается при градиенте температуры в градусах Цельсия, то можно показать, что стационарное распределение тепла (или распределение тепла по истечении длительного периода времени) определяется выражением ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$ ${\displaystyle y=\pi }$ ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Здесь sinh — гиперболический синус . Это решение уравнения теплопроводности получается путем умножения каждого члена уравнения 9 на . Хотя наша примерная функция, кажется, имеет излишне сложный ряд Фурье, распределение тепла нетривиально. Функцию нельзя записать в виде выражения в замкнутой форме . Этот метод решения тепловой проблемы стал возможен благодаря работе Фурье. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T}$

Анимация сложного ряда Фурье

Комплексный ряд Фурье, описывающий букву «е». ( Исходный код Julia , который генерирует кадры этой анимации, находится здесь ^[15] в Приложении B.)

Пример способности комплексного ряда Фурье отслеживать любую двумерную замкнутую фигуру показан в соседней анимации комплексного ряда Фурье, отслеживающей букву «е» (для экспоненты). Обратите внимание, что анимация использует переменную «t» для параметризации буквы «e» в комплексной плоскости, что эквивалентно использованию параметра «x» в подразделе этой статьи, посвященном функциям с комплексными значениями.

В задней плоскости анимации вращающиеся векторы объединяются в порядке, который чередуется между вектором, вращающимся в положительном (против часовой стрелки) направлении, и вектором, вращающимся с той же частотой, но в отрицательном (по часовой стрелке) направлении, в результате чего получается единая трассировка. рука с множеством зигзагов. Эта перспектива показывает, как добавление каждой пары вращающихся векторов (один вращается в положительном направлении, а другой вращается в отрицательном направлении) подталкивает предыдущий след (показанный светло-серой пунктирной линией) ближе к форме буквы «е». .

В передней плоскости анимации вращающиеся векторы объединяются в два набора: набор всех положительных вращающихся векторов и набор всех отрицательных вращающихся векторов (невращающийся компонент равномерно разделен между ними), в результате чего получаются две трассировки. руки вращаются в противоположных направлениях. Маленький кружок анимации обозначает среднюю точку между двумя плечами, а также среднюю точку между началом координат и текущей точкой трассировки, обозначенную знаком «+». Эта перспектива показывает, что комплексный ряд Фурье является расширением (добавлением плеча) сложного геометрического ряда, имеющего только одно плечо. Это также показывает, как две руки координируются друг с другом. Например, поскольку точка трассировки вращается в положительном направлении, рычаг отрицательного направления остается неподвижным. Аналогично, когда точка отслеживания вращается в отрицательном направлении, рычаг положительного направления остается неподвижным.

Между задней и передней плоскостями анимации находятся вращающиеся трапеции, площади которых представляют значения членов комплексного ряда Фурье. Эта перспектива показывает амплитуду, частоту и фазу отдельных членов комплексного ряда Фурье по отношению к сумме ряда, пространственно сходящейся к букве «е» в задней и передней плоскостях. Левый и правый каналы звуковой дорожки соответствуют соответственно реальному и мнимому компонентам текущей точки трассировки «+», но их частота увеличена в 3536 раз, так что основная частота анимации (n=1) представляет собой тон 220 Гц (A220 ).

Другие приложения

Другое применение — решение Базельской задачи с помощью теоремы Парсеваля . Пример обобщает, и можно вычислить ζ (2 n ) для любого положительного целого числа n .

Таблица общих рядов Фурье

Некоторые распространенные пары периодических функций и их коэффициенты ряда Фурье показаны в таблице ниже.

• ${\displaystyle s(x)}$обозначает периодическую функцию с периодом . ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$обозначим коэффициенты ряда Фурье (синус-косинусной формы) периодической функции . ${\displaystyle s(x)}$

Таблица основных свойств

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующий эффект в коэффициентах ряда Фурье. Обозначение:

• Комплексное сопряжение отмечено звездочкой.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$обозначают -периодические функции или функции, определенные только для ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$обозначим коэффициенты ряда Фурье (экспоненциальная форма) и ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r.}$

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно однозначное соответствие между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного преобразования частоты: ^[18]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Отсюда выявляются различные зависимости, например:

• Преобразованием действительной функции ( s _RE + s _RO ) является четная симметричная функция S _RE + i S _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции ( i s _IE + i s _IO ) представляет собой нечетную симметричную функцию S _RO + i S _IE , и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции ( s _RE + i s _IO ) является действительной функцией S _RE + S _RO , и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( s _RO + i s _IE ) является мнимозначной функцией i S _IE + i S _IO , и обратное верно.

Другие объекты недвижимости

Лемма Римана – Лебега.

Если интегрируемо , , и Этот результат известен как лемма Римана–Лебега . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Теорема Парсеваля

Если принадлежит (периодически на интервале длины ), то : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

Теорема Планшереля

Если - коэффициенты, то существует единственная функция такая, что для любого . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Теоремы о свертке

Даны -периодические функции и с коэффициентами ряда Фурье и ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle r_{_{P}}}$ ${\displaystyle S[n]}$ ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• Точечное произведение :
  $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$
  также является -периодическим, и его коэффициенты ряда Фурье задаются дискретной сверткой последовательностей и : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$
  $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• Периодическая свертка :
  $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$
  также является -периодическим, с коэффициентами ряда Фурье : ${\displaystyle P}$
  $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Двукратно бесконечная последовательность в является последовательностью коэффициентов Фурье функции в том и только в том случае, если она является сверткой двух последовательностей в . См. ^[19] ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Производное свойство

Мы говорим, что принадлежит if — это 2π -периодическая функция, на которой дифференцируема раз, а ее производная непрерывна. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• Если , то коэффициенты Фурье производной можно выразить через коэффициенты Фурье функции по формуле . ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• Если , то . В частности, поскольку при фиксированном имеем as , то отсюда следует, что стремится к нулю, а это означает, что коэффициенты Фурье сходятся к нулю быстрее, чем k -я степень n при любом . ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

Компактные группы

Одним из интересных свойств преобразования Фурье, о котором мы упомянули, является то, что оно выполняет свертки с точечными произведениями. Если это свойство, которое мы стремимся сохранить, то можно построить ряд Фурье на любой компактной группе . Типичные примеры включают те классические группы , которые компактны. Это обобщает преобразование Фурье на все пространства формы L ² ( G ), где G — компактная группа, таким образом, что преобразование Фурье переносит свертки в поточечные произведения. Ряд Фурье существует и сходится аналогично случаю [− π , π ] .

Альтернативным расширением компактных групп является теорема Питера-Вейля , которая доказывает результаты о представлениях компактных групп, аналогичные таковым о конечных группах.

Атомные орбитали химии частично описываются сферическими гармониками , которые можно использовать для получения рядов Фурье по сфере .

Римановы многообразия

Если домен не является группой, то не существует внутренне определенной свертки. Однако если — компактное риманово многообразие , оно имеет оператор Лапласа–Бельтрами . Оператор Лапласа–Бельтрами — это дифференциальный оператор, соответствующий оператору Лапласа для риманова многообразия . Тогда по аналогии можно рассмотреть уравнения теплопроводности на . Поскольку Фурье пришел к своему базису, пытаясь решить уравнение теплопроводности, естественным обобщением является использование в качестве основы собственных решений оператора Лапласа – Бельтрами. Это обобщает ряды Фурье на пространства типа , где – риманово многообразие. Ряд Фурье сходится аналогично случаю . Типичным примером является сфера с обычной метрикой, и в этом случае базис Фурье состоит из сферических гармоник . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle X}$

Локально компактные абелевы группы

Обсужденное выше обобщение на компактные группы не распространяется на некомпактные неабелевы группы . Однако существует прямое обобщение на локально компактные абелевы группы (LCA).

Это обобщает преобразование Фурье на или , где – группа LCA. Если компактно, то также получается ряд Фурье, который сходится аналогично случаю , но если некомпактно, то вместо этого получается интеграл Фурье . Это обобщение дает обычное преобразование Фурье , когда основная локально компактная абелева группа равна . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Расширения

Ряд Фурье по квадрату

Мы также можем определить ряд Фурье для функций двух переменных и в квадрате : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Помимо того, что ряд Фурье по квадрату полезен для решения уравнений в частных производных, таких как уравнение теплопроводности, одним из заметных применений ряда Фурье по квадрату является сжатие изображений . В частности, стандарт сжатия изображений JPEG использует двумерное дискретное косинусное преобразование — дискретную форму косинусного преобразования Фурье , которая в качестве базовой функции использует только косинус.

Для двумерных массивов с шахматным видом половина коэффициентов ряда Фурье исчезает из-за дополнительной симметрии. ^[20]

Ряд Фурье периодической функции решетки Браве

Трехмерная решетка Браве определяется как набор векторов вида:

$${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$

теоремы Блоха ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$

${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

Таким образом, мы можем определить новую функцию,

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Эта новая функция теперь является функцией трех переменных, каждая из которых имеет периодичность , и соответственно: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

Это позволяет нам создать набор коэффициентов Фурье, каждый из которых индексируется тремя независимыми целыми числами . Далее для обозначения этих коэффициентов мы будем использовать функциональные обозначения, тогда как ранее мы использовали индексы. Если мы напишем ряд для на интервале для , мы можем определить следующее: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$ ${\displaystyle x_{1}}$

$${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

И тогда мы можем написать:

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

Дальнейшее определение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

Мы можем еще раз написать так: ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

Наконец, применив то же самое к третьей координате, мы определяем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

Мы пишем как: ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

Перестановка:

$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

Теперь каждый вектор обратной решетки может быть записан (но это не означает, что это единственный способ записи) как , где – целые числа и – векторы обратной решетки, которые удовлетворяют ( for , и for ). Тогда для любого произвольного вектора обратной решетки и произвольного вектора положения в исходном пространстве решетки Браве их скалярное произведение равно: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

Итак, ясно, что в нашем разложении сумма на самом деле ведется по векторам обратной решетки: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

где

$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

Предполагая

$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$

определитель Якобиана ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(может быть выгодно ради упрощения расчетов работать в такой прямоугольной системе координат, в которой так уж получилось, что она параллельна оси x , лежит в плоскости xy и имеет компоненты всех трех осей) . Знаменатель - это в точности объем примитивной элементарной ячейки, заключенной в три примитивных вектора , и . В частности, теперь мы знаем, что ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$

$${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

Теперь мы можем записать интеграл с традиционной системой координат по объему примитивной ячейки, а не с переменными и : ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

$${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$

${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle dx\,dy\,dz}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

Интерпретация гильбертова пространства

На языке гильбертовых пространств множество функций является ортонормированным базисом пространства интегрируемых с квадратом функций на . Это пространство на самом деле является гильбертовым пространством со скалярным произведением , заданным для любых двух элементов и следующим образом: ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$где находится комплексно-сопряженное число ${\displaystyle g^{*}(x)}$ ${\displaystyle g(x).}$

Основной результат ряда Фурье для гильбертовых пространств можно записать как

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

Синусы и косинусы образуют ортогональный набор, как показано выше. Интеграл синуса, косинуса и их произведения равен нулю (зеленая и красная области равны и сокращаются), когда или функции различны, и π только в том случае, если и равны, и используемая функция одинакова. Они образовали бы ортонормированный набор, если бы интеграл был равен 1 (т. е. каждую функцию нужно было бы масштабировать на ). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$

Это в точности соответствует комплексной экспоненциальной формулировке, приведенной выше. Версия с синусами и косинусами обоснована и интерпретацией гильбертова пространства. Действительно, синусы и косинусы образуют ортогональный набор :

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$

δ _mnдельта Кронекера

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$

базисnтеоремы Стоуна–Вейерштрассаядро ​​Фейера ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

Теорема Фурье, доказывающая сходимость рядов Фурье

Эти теоремы и их неформальные вариации, в которых не указаны условия сходимости, иногда в общем называются теоремой Фурье или теоремой Фурье . ^{[21] [22] [23] [24]}

Предыдущее уравнение 3 :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

представляет собой тригонометрический полином степени , которую в общем виде можно выразить как : ${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

Свойство наименьших квадратов

Теорема Парсеваля подразумевает, что:

Теорема  .  Тригонометрический полином является единственным лучшим тригонометрическим полиномом степени, приближающей , в том смысле, что для любого тригонометрического полинома степени мы имеем: ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}$$

где норма гильбертова пространства определяется как:

$${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$$

Теоремы сходимости

Благодаря свойству метода наименьших квадратов и полноте базиса Фурье мы получаем элементарный результат сходимости.

Теорема  —  Если принадлежит (интервалу длины ), то сходится к in , то есть  сходится к 0 при . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

Мы уже упоминали, что если непрерывно дифференцируемо, то – коэффициент Фурье производной . Это следует, по сути, из неравенства Коши–Шварца , что абсолютно суммируемо. Сумма этого ряда является непрерывной функцией, равной , поскольку ряд Фурье сходится в среднем к : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

Теорема  —  Если , то сходится к равномерно (а значит, и поточечно ). ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$

Этот результат можно легко доказать, если далее предположить, что , так как в этом случае стремится к нулю как . В более общем смысле, ряд Фурье абсолютно суммируем, поэтому сходится равномерно к при условии, что он удовлетворяет условию Гёльдера порядка . В абсолютно суммируемом случае неравенство: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}S[n]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

доказывает равномерную сходимость.

Известны многие другие результаты, касающиеся сходимости рядов Фурье , начиная от умеренно простого результата о том, что ряд сходится, если дифференцируем при , до гораздо более сложного результата Леннарта Карлесона о том, что ряд Фурье функции фактически сходится почти всюду . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Дивергенция

Поскольку ряды Фурье обладают такими хорошими свойствами сходимости, многие часто удивляются некоторым отрицательным результатам. Например, ряд Фурье непрерывной T -периодической функции не обязательно сходится поточечно. ^{[ нужна цитата ]} Принцип равномерной ограниченности дает простое неконструктивное доказательство этого факта.

В 1922 году Андрей Колмогоров опубликовал статью под названием « Серия Фурье-Лебега, расходящаяся presque partout», в которой привел пример интегрируемой по Лебегу функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду. Позже он построил пример интегрируемой функции, ряд Фурье которой расходится всюду. ^[25]

Смотрите также

• Теорема ATS
• Теорема Карлесона
• Ядро Дирихле
• Дискретное преобразование Фурье
• Быстрое преобразование Фурье
• Теорема Фейера
• Фурье-анализ
• Ряд Фурье по синусу и косинусу
• преобразование Фурье
• Феномен Гиббса
• Ряд Фурье половинного диапазона
• Ряд Лорана - замена q  =  e ^ix преобразует ряд Фурье в ряд Лорана или наоборот. Это используется в разложении j -инварианта в ряд q .
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Спектральная теория
• Теория Штурма – Лиувилля
• Интегралы по теореме о вычетах от f ( z ), особенности, полюса

Примечания

1. Но в целом. ${\displaystyle C_{n}\neq C_{-n}^{*}}$
2. Поскольку интеграл, определяющий преобразование Фурье периодической функции, не сходится, необходимо рассматривать периодическую функцию и ее преобразование как распределения . В этом смысле это дельта-функция Дирака , которая является примером распределения. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}$
3. Эти трое, особенно Даламбер, проделали важную раннюю работу над волновым уравнением . Работы Эйлера в этой области были в основном одновременны/в сотрудничестве с Бернулли , хотя последний внес некоторый самостоятельный вклад в теорию волн и вибраций. (См. Феттер и Валецка, 2003, стр. 209–210).
4. Эти слова не принадлежат строго Фурье. Хотя в цитируемой статье автором указан Фурье, в сноске указано, что статья на самом деле была написана Пуассоном (что она не была написана Фурье, это также ясно из постоянного использования третьего лица для ссылки на него) и что это , «по причинам исторического интереса», представлено так, как если бы это были оригинальные мемуары Фурье.

Рекомендации

1. «Фурье». Dictionary.com Полный (онлайн). nd
2. Зигмунд, А. (2002). Тригонометрическая серия (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-89053-5.
3. Пинкус, Аллан; Зафрани, Сами (1997). Ряд Фурье и интегральные преобразования (1-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. стр. 42–44. ISBN 0-521-59771-4.
4. Толстов, Георгий П. (1976). Ряд Фурье. Курьер-Дувр. ISBN 0-486-63317-9.
5. Стиллвелл, Джон (2013). «Логика и философия математики в девятнадцатом веке». В Тен, CL (ред.). Рутледж История философии . Том. VII: Девятнадцатый век. Рутледж. п. 204. ИСБН 978-1-134-92880-4.
6. Фассауэр, Грег (2015). «Ряд Фурье и краевые задачи» (PDF) . Конспекты курса Math 461, глава 3 . Кафедра прикладной математики Иллинойского технологического института . Проверено 6 ноября 2020 г.
7. Каджори, Флориан (1893). История математики. Макмиллан. п. 283.
8. Лежен-Дирихле, Питер Густав (1829). «Sur la сходимость тригонометрических рядов, которые служат представителем произвольной функции между двумя заданными пределами» [О сходимости тригонометрических рядов, которые служат для представления произвольной функции между двумя заданными пределами]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 4 : 157–169. arXiv : 0806.1294 .
9. "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" [О представимости функции тригонометрическим рядом]. Habilitationsschrift , Геттинген ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13, 1867. Опубликовано посмертно для Римана Рихардом Дедекиндом (на немецком языке). Архивировано из оригинала 20 мая 2008 года . Проверено 19 мая 2008 г.
10. Маскр, Д.; Риман, Бернхард (1867), «Посмертная диссертация о представлении функций тригонометрическими рядами», в Граттан-Гиннессе, Айвор (редактор), «Важные сочинения по западной математике 1640–1940», Elsevier (опубликовано в 2005 г.), стр. 49, ISBN 9780080457444
11. Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория комплексных функций: Чтения по математике. Спрингер. п. 29. ISBN 9780387971957.
12. Нерлав, Марк; Гретер, Дэвид М.; Карвальо, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика . Эльзевир. ISBN 0-12-515751-7.
13. Вильгельм Флюгге , Напряжения в оболочках (1973), 2-е издание. ISBN 978-3-642-88291-3 . Первоначально опубликовано на немецком языке как Statik und Dynamik der Schalen (1937). 
14. Фурье, Жан-Батист-Жозеф (1888). Гастон Дарбу (ред.). Oeuvres de Fourier [ Работы Фурье ] (на французском языке). Париж: Готье-Виллар и Филс. стр. 218–219 – через Галлику.
15. Сепеси, Г. (13 февраля 2022 г.). «Непреходящий пример Зенона». На пути к науке о данных. стр. Приложение Б.
16. Папула, Лотар (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ Математические функции для инженеров и физиков ] (на немецком языке). Vieweg+Teubner Verlag. ISBN 978-3834807571.
17. Шмалий, Ю.С. (2007). Сигналы непрерывного времени . Спрингер. ISBN 978-1402062711.
18. Проакис, Джон Г.; Манолакис, Димитрис Г. (1996). Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.). Прентис Холл. п. 291. ИСБН 978-0-13-373762-2.
19. «Характеристики линейного подпространства, связанного с рядом Фурье». MathOverflow. 19 ноября 2010 г. Проверено 8 августа 2014 г.
20. Исчезновение половины коэффициентов Фурье в шахматных массивах
21. Зиберт, Уильям МакКи. (1985). Цепи, сигналы и системы. МТИ Пресс. п. 402. ИСБН 978-0-262-19229-3.
22. Мартон, Л.; Мартон, Клэр (1990). Достижения электроники и электронной физики. Академическая пресса. п. 369. ИСБН 978-0-12-014650-5.
23. Кузьмани, Ганс (1998). Спектроскопия твердого тела. Спрингер. п. 14. ISBN 978-3-540-63913-8.
24. Прибрам, Карл Х.; Ясуэ, Кунио; Джибу, Мари (1991). Мозг и восприятие. Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс. п. 26. ISBN 978-0-89859-995-4.
25. Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ (2-е исправленное изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-63331-4.

дальнейшее чтение

• Уильям Э. Бойс; Ричард К. ДиПрима (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). Нью-Джерси: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-43338-1.
• Джозеф Фурье, перевод Александра Фримена (2003). Аналитическая теория тепла . Дуврские публикации. ISBN 0-486-49531-0.Полное переиздание 2003 года английского перевода Александра Фримена 1878 года работы Фурье Théorie Analytique de la Chaleur , первоначально опубликованного в 1822 году.
• Энрике А. Гонсалес-Веласко (1992). «Связи в математическом анализе: случай рядов Фурье». Американский математический ежемесячник . 99 (5): 427–441. дои : 10.2307/2325087. JSTOR  2325087.
• Феттер, Александр Л.; Валецка, Джон Дирк (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред. Курьер. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Феликс Кляйн , Развитие математики в XIX веке . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Перевод М. Акермана из Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Берлин, 1928.
• Вальтер Рудин (1976). Принципы математического анализа (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-Х.
• А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-89053-5.Первое издание вышло в 1935 году.

Внешние ссылки

• «Ряд Фурье», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хобсон, Эрнест (1911). «Ряд Фурье»  . Британская энциклопедия . Том. 10 (11-е изд.). стр. 753–758.
• Вайсштейн, Эрик В. «Ряд Фурье». Математический мир .
• Жозеф Фурье - сайт о жизни Фурье, который использовался для исторического раздела этой статьи в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2001 г.).

Эта статья включает в себя материал из примера серии Фурье на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .