Двулучепреломление — это оптическое свойство материала, показатель преломления которого зависит от поляризации и направления распространения света . [1] Эти оптически анизотропные материалы называются двулучепреломляющими (или двулучепреломляющими ). Двулучепреломление часто определяют количественно как максимальную разницу между показателями преломления материала. Кристаллы с некубической кристаллической структурой часто обладают двойным лучепреломлением, как и пластики под механическими нагрузками .
Двойное лучепреломление отвечает за явление двойного лучепреломления , при котором луч света, падая на двулучепреломляющий материал, разделяется поляризацией на два луча, проходящих немного разные пути. Этот эффект впервые описал датский учёный Расмус Бартолин в 1669 году, наблюдавший его [2] в кристаллах кальцита , обладающих одним из самых сильных двулучепреломлений. В XIX веке Огюстен-Жан Френель описал это явление с точки зрения поляризации, понимая свет как волну с компонентами поля в поперечной поляризации (перпендикулярно направлению волнового вектора). [3] [4] Двулучепреломление играет важную роль в достижении фазового синхронизма для ряда нелинейных оптических процессов.
Ниже представлено математическое описание распространения волн в двулучепреломляющей среде. Ниже приводится качественное объяснение этого явления.
Самый простой тип двойного лучепреломления описывается как одноосный , что означает, что существует одно направление, определяющее оптическую анизотропию, тогда как все направления, перпендикулярные ему (или под заданным углом к нему), оптически эквивалентны. Таким образом, вращение материала вокруг этой оси не меняет его оптического поведения. Это особое направление известно как оптическая ось материала. Свет, распространяющийся параллельно оптической оси (поляризация которого всегда перпендикулярна оптической оси), определяется показателем преломления n o (что означает «обычный») независимо от его конкретной поляризации. Для лучей с любым другим направлением распространения существует одна линейная поляризация, перпендикулярная оптической оси, и луч с этой поляризацией называется обычным лучом и определяется тем же значением показателя преломления n o . Для луча, распространяющегося в том же направлении, но с поляризацией, перпендикулярной поляризации обыкновенного луча, направление поляризации будет частично совпадать с направлением (параллельным) оптической оси, а этот необыкновенный луч будет определяться другим направлением . -зависимый показатель преломления. Поскольку показатель преломления зависит от поляризации, когда неполяризованный свет попадает в одноосный двулучепреломляющий материал, он разделяется на два луча, движущихся в разных направлениях: один имеет поляризацию обыкновенного луча, а другой - поляризацию необыкновенного луча. Обыкновенный луч всегда будет иметь показатель преломления no , тогда как показатель преломления необыкновенного луча будет находиться между no и ne , в зависимости от направления луча , описываемого эллипсоидом показателя преломления . Величина разницы количественно определяется двулучепреломлением [5]
Распространение (а также коэффициент отражения ) обыкновенного луча просто описывается как n o , как если бы не было двулучепреломления. Необыкновенный луч, как следует из его названия, распространяется в отличие от любой волны в изотропном оптическом материале. Его преломление (и отражение) на поверхности можно понять, используя эффективный показатель преломления ( значение между no и n e ). Его поток мощности (задаваемый вектором Пойнтинга ) не направлен точно в направлении волнового вектора . Это вызывает дополнительный сдвиг этого луча, даже если он запущен при нормальном падении, как это обычно наблюдается на примере кристалла кальцита , сфотографированного выше. Вращение кристалла кальцита приведет к тому, что одно из двух изображений, изображение необыкновенного луча, слегка повернется вокруг изображения обыкновенного луча, которое останется неподвижным. [ нужна проверка ]
При распространении света вдоль оптической оси или ортогонально ей такого латерального смещения не происходит. В первом случае обе поляризации перпендикулярны оптической оси и видят один и тот же эффективный показатель преломления, поэтому необыкновенного луча нет. Во втором случае необыкновенный луч распространяется с другой фазовой скоростью (соответствующей n e ), но все равно имеет поток мощности в направлении волнового вектора . Кристалл с оптической осью в этой ориентации, параллельной оптической поверхности, может быть использован для создания волновой пластинки , в которой не происходит искажения изображения, а преднамеренно изменяется состояние поляризации падающей волны. Например, четвертьволновая пластинка обычно используется для создания круговой поляризации от линейно поляризованного источника.
Случай так называемых двухосных кристаллов существенно сложнее. [6] Они характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем главным осям кристалла. Для большинства направлений лучей обе поляризации можно было бы классифицировать как необыкновенные лучи, но с разными эффективными показателями преломления. Поскольку это необыкновенные волны, направление потока мощности в любом случае не идентично направлению волнового вектора.
Два показателя преломления можно определить с помощью эллипсоидов показателя преломления для заданных направлений поляризации. Обратите внимание, что для двухосных кристаллов эллипсоид показателя преломления не будет эллипсоидом вращения (« сфероидом »), а описывается тремя неравными принципиальными показателями преломления n α , n β и n γ . Таким образом, не существует оси, вокруг которой вращение оставляет оптические свойства неизменными (как в случае с одноосными кристаллами, у которых индексный эллипсоид представляет собой сфероид).
Хотя оси симметрии нет, существуют две оптические оси или бинормали , которые определяются как направления, вдоль которых свет может распространяться без двойного лучепреломления, т. е. направления, вдоль которых длина волны не зависит от поляризации. [6] По этой причине двулучепреломляющие материалы с тремя различными показателями преломления называются двухосными . Кроме того, существуют две отдельные оси, известные как оси оптических лучей или бирадиалы , вдоль которых групповая скорость света не зависит от поляризации.
Когда произвольный луч света падает на поверхность двулучепреломляющего материала при ненормальном падении, компонент поляризации, нормальный к оптической оси (обыкновенный луч), и другая линейная поляризация (необыкновенный луч) будут преломляться в несколько разных направлениях. Естественный свет, так называемый неполяризованный свет , состоит из равных количеств энергии в любых двух ортогональных поляризациях. Даже линейно поляризованный свет имеет некоторую энергию в обеих поляризациях, если только он не направлен вдоль одной из двух осей двойного лучепреломления. Согласно закону преломления Снелла , два угла преломления определяются эффективным показателем преломления каждой из этих двух поляризаций. Это ясно видно, например, в призме Волластона , которая разделяет падающий свет на две линейные поляризации с помощью призм, состоящих из двулучепреломляющего материала, такого как кальцит .
Различные углы преломления для двух компонентов поляризации показаны на рисунке вверху этой страницы, при этом оптическая ось расположена вдоль поверхности (и перпендикулярна плоскости падения ), так что угол преломления различен для p поляризация (в данном случае «обыкновенный луч», электрический вектор которого перпендикулярен оптической оси) и s -поляризация («необыкновенный луч» в данном случае, поляризация электрического поля которого включает компонент в направлении оптической оси) . Кроме того, отчетливая форма двойного лучепреломления возникает даже при нормальном падении в тех случаях, когда оптическая ось не проходит вдоль преломляющей поверхности (и не совсем перпендикулярно ей); в этом случае диэлектрическая поляризация двулучепреломляющего материала не совпадает точно с направлением электрического поля волны необыкновенного луча. Направление потока мощности (задаваемое вектором Пойнтинга ) для этой неоднородной волны находится под конечным углом к направлению волнового вектора , что приводит к дополнительному разделению этих лучей. Таким образом, даже в случае нормального падения, когда угол преломления можно было бы вычислить равным нулю (согласно закону Снелла, независимо от эффективного показателя преломления), энергия необыкновенного луча распространяется под углом. Если выйти из кристалла через грань, параллельную входящей грани, направление обоих лучей восстановится, но останется сдвиг между двумя лучами. Это обычно наблюдается, когда кусок кальцита, разрезанный по его естественному расколу, помещается над бумагой с надписью, как на фотографиях выше. Напротив, у волновых пластинок оптическая ось расположена вдоль поверхности пластинки, так что при (приблизительно) нормальном падении в изображении не будет смещения от света любой поляризации, а будет просто относительный сдвиг фазы между двумя световыми волнами.
Большая часть работ, связанных с поляризацией, предшествовала пониманию света как поперечной электромагнитной волны , и это повлияло на некоторую используемую терминологию. Изотропные материалы обладают симметрией во всех направлениях, а показатель преломления одинаков для любого направления поляризации. Анизотропный материал называется «двойным лучепреломлением», потому что он обычно преломляет один входящий луч в двух направлениях, которые, как мы теперь понимаем, соответствуют двум различным поляризациям. Это справедливо как для одноосного, так и для двухосного материала.
В одноосном материале один луч ведет себя согласно нормальному закону преломления (соответствующему обычному показателю преломления), поэтому падающий луч при нормальном падении остается нормальным к преломляющей поверхности. Как объяснялось выше, другая поляризация может отклоняться от нормального падения, что нельзя описать с помощью закона преломления. Таким образом, это стало известно как необыкновенный луч . Термины «обыкновенный» и «необыкновенный» по-прежнему применяются к компонентам поляризации, перпендикулярным и не перпендикулярным оптической оси соответственно, даже в тех случаях, когда не используется двойное лучепреломление.
Материал называется одноосным , если он имеет одно направление симметрии в своем оптическом поведении, которое мы называем оптической осью. Это также ось симметрии индексного эллипсоида (в данном случае сфероида). Эллипсоид показателя преломления по-прежнему можно описать согласно показателям преломления n α , n β и n γ вдоль трех координатных осей; в этом случае два равны. Таким образом, если n α = n β, соответствующий осям x и y , то необыкновенный индекс равен n γ , соответствующему оси z , которая в этом случае также называется оптической осью .
Материалы, у которых все три показателя преломления различны, называются двухосными , и происхождение этого термина более сложное и часто неправильно понимается. В одноосном кристалле разные компоненты поляризации луча будут двигаться с разными фазовыми скоростями, за исключением лучей в направлении того, что мы называем оптической осью. Таким образом, оптическая ось обладает тем особым свойством, что лучи в этом направлении не обладают двойным лучепреломлением, при этом все поляризации в таком луче испытывают одинаковый показатель преломления. Совсем другое дело, когда все три основных показателя преломления разные; тогда луч, падающий в любом из этих основных направлений, все равно встретит два разных показателя преломления. Но оказывается, что есть два особых направления (под углом ко всем трем осям), где показатели преломления для разных поляризаций снова равны. По этой причине эти кристаллы были обозначены как двухосные , причем две «оси» в данном случае относятся к направлениям лучей, при распространении которых не возникает двойного лучепреломления.
В двулучепреломляющем материале волна состоит из двух компонентов поляризации, которые обычно определяются разными эффективными показателями преломления. Так называемый медленный луч — это компонент, материал которого имеет более высокий эффективный показатель преломления (более медленная фазовая скорость), а быстрый луч — это компонент с более низким эффективным показателем преломления. Когда на такой материал падает луч из воздуха (или любого материала с более низким показателем преломления), медленный луч преломляется в большей степени к нормальному, чем быстрый луч. На рисунке-примере вверху этой страницы видно, что преломленный луч с s- поляризацией (с его электрической вибрацией вдоль направления оптической оси, поэтому называемый необыкновенным лучом [7] ) является медленным лучом в данном сценарии.
Используя тонкую пластинку этого материала при нормальном падении, можно было бы реализовать волновую пластину . В этом случае пространственного разделения между поляризациями практически нет, фаза волны в параллельной поляризации (медленный луч) будет запаздывать по отношению к перпендикулярной поляризации. Таким образом, эти направления известны как медленная ось и быстрая ось волновой пластинки.
Одноосное двулучепреломление классифицируется как положительное, когда необыкновенный показатель преломления n e больше обычного показателя n o . Отрицательное двойное лучепреломление означает, что Δ n = n e − n o меньше нуля. [8] Другими словами, поляризация быстрой (или медленной) волны перпендикулярна оптической оси, когда двулучепреломление кристалла положительное (или отрицательное соответственно). В случае двухосных кристаллов все три главные оси имеют разные показатели преломления, поэтому это обозначение не применяется. Но для любого определенного направления луча с таким же успехом можно обозначить быструю и медленную лучевую поляризацию.
Хотя наиболее известным источником двойного лучепреломления является проникновение света в анизотропный кристалл, оно может привести к образованию оптически изотропных материалов несколькими способами:
Лучше всего охарактеризованными двулучепреломляющими материалами являются кристаллы . Благодаря специфической кристаллической структуре их показатели преломления четко определены. В зависимости от симметрии кристаллической структуры (определяемой одной из 32 возможных кристаллографических точечных групп ), кристаллы в этой группе могут быть изотропными (не иметь двойного лучепреломления), иметь одноосную симметрию или ни то, ни другое, и в этом случае это не двухосный кристалл. Кристаллические структуры, допускающие одноосное и двуосное двулучепреломление, указаны в двух таблицах ниже, в которых перечислены два или три основных показателя преломления (на длине волны 590 нм) некоторых более известных кристаллов. [9]
В дополнение к индуцированному двойному лучепреломлению под нагрузкой многие пластмассы приобретают постоянное двойное лучепреломление во время производства из-за напряжений, которые «замораживаются» из-за механических сил, присутствующих при формовании или экструдировании пластика. [10] Например, обычный целлофан обладает двойным лучепреломлением. Поляризаторы обычно используются для обнаружения напряжений, приложенных или замороженных, в таких пластмассах, как полистирол и поликарбонат .
Хлопковое волокно обладает двойным лучепреломлением из-за высокого содержания целлюлозного материала во вторичной клеточной стенке волокна, которая направленно ориентирована по направлению к хлопковым волокнам.
Микроскопия поляризованного света обычно используется в биологических тканях, поскольку многие биологические материалы обладают линейным или циркулярным двойным лучепреломлением. Коллаген, обнаруженный в хрящах, сухожилиях, костях, роговице и некоторых других областях тела, обладает двойным лучепреломлением и обычно изучается с помощью микроскопии поляризованного света. [11] Некоторые белки также обладают двойным лучепреломлением, демонстрируя форму двойного лучепреломления. [12]
Неизбежные производственные дефекты оптического волокна приводят к двойному лучепреломлению, которое является одной из причин уширения импульсов в волоконно-оптической связи . Такие дефекты могут быть геометрическими (отсутствие круговой симметрии) или возникать из-за неодинакового бокового напряжения, приложенного к оптическому волокну. Двулучепреломление намеренно вводится (например, путем придания эллиптической формы поперечному сечению) для создания оптических волокон, сохраняющих поляризацию . Двулучепреломление можно вызвать (или скорректировать!) в оптических волокнах путем их изгиба, что вызывает анизотропию формы и напряжения с учетом оси, вокруг которой оно изгибается, и радиуса кривизны.
Помимо обсуждаемой нами анизотропии электрической поляризуемости, источником двулучепреломления может быть анизотропия магнитной проницаемости . На оптических частотах у природных материалов нет измеримой магнитной поляризуемости ( ц = ц 0 ), поэтому это не является реальным источником двойного лучепреломления.
Двойное лучепреломление и другие оптические эффекты, основанные на поляризации (такие как оптическое вращение и линейный или круговой дихроизм ), можно наблюдать путем измерения любого изменения поляризации света, проходящего через материал. Эти измерения известны как поляриметрия . Поляризованные световые микроскопы, которые содержат два поляризатора, расположенные под углом 90° друг к другу по обе стороны от образца, используются для визуализации двойного лучепреломления, поскольку свет, на который не влияет двойное лучепреломление, остается в поляризации, которая полностью отвергается вторым поляризатором. («анализатор»). Добавление четвертьволновых пластинок позволяет проводить исследование с использованием света с круговой поляризацией. Определение изменения состояния поляризации с помощью такого аппарата является основой эллипсометрии , с помощью которой оптические свойства зеркальных поверхностей можно измерить посредством отражения.
Измерения двойного лучепреломления были выполнены с помощью фазово-модулированных систем для изучения переходного режима течения жидкостей. [14] [15] Двулучепреломление липидных бислоев можно измерить с помощью интерферометрии двойной поляризации . Это позволяет оценить степень порядка внутри этих слоев жидкости и то, как этот порядок нарушается, когда слой взаимодействует с другими биомолекулами.
Для трехмерного измерения двулучепреломления можно использовать метод, основанный на голографической томографии [1].
Двулучепреломление используется во многих оптических устройствах. Жидкокристаллические дисплеи , наиболее распространенный вид плоских дисплеев , заставляют их пиксели становиться светлее или темнее за счет вращения поляризации (кругового двойного лучепреломления) линейно поляризованного света, если смотреть через листовой поляризатор на поверхности экрана. Аналогичным образом, модуляторы света модулируют интенсивность света посредством электрически индуцированного двойного лучепреломления поляризованного света, за которым следует поляризатор. Фильтр Лио представляет собой специализированный узкополосный спектральный фильтр, использующий зависимость двойного лучепреломления от длины волны. Волновые пластины представляют собой тонкие пластины с двойным лучепреломлением, широко используемые в определенном оптическом оборудовании для изменения состояния поляризации проходящего через них света.
Двулучепреломление также играет важную роль в генерации второй гармоники и других нелинейных оптических компонентах , поскольку кристаллы, используемые для этой цели, почти всегда являются двулучепреломляющими. Регулируя угол падения, можно настроить эффективный показатель преломления необыкновенного луча, чтобы добиться фазового синхронизма , необходимого для эффективной работы этих устройств.
Двулучепреломление используется в медицинской диагностике. Одним из мощных аксессуаров, используемых в оптических микроскопах, является пара скрещенных поляризационных фильтров. Свет от источника поляризуется в направлении x после прохождения через первый поляризатор, но над образцом находится поляризатор (так называемый анализатор ), ориентированный в направлении y . Следовательно, свет от источника не будет восприниматься анализатором, и поле будет темным. Области образца, обладающие двойным лучепреломлением, обычно связывают часть x -поляризованного света с y- поляризацией; тогда эти области станут яркими на темном фоне. Модификации этого основного принципа позволяют различать положительное и отрицательное двойное лучепреломление.
Например, игольная аспирация жидкости из подагрического сустава выявляет кристаллы моноурата натрия с двойным лучепреломлением . Кристаллы пирофосфата кальция , напротив, обладают слабым положительным двулучепреломлением. [17] Кристаллы уратов кажутся желтыми, а кристаллы пирофосфата кальция — синими, когда их длинные оси выровнены параллельно оси красного фильтра-компенсатора, [18] или к образцу для сравнения добавляется кристалл с известным двойным лучепреломлением.
Двойное лучепреломление ткани внутри бедра живого человека измерялось с помощью поляризационно-чувствительной оптической когерентной томографии при длине волны 1310 нм и одномодовом волокне в игле. Двулучепреломление скелетных мышц составило Δn = 1,79×10-3 ± 0,18×10-3 , жировой ткани Δn = 0,07×10-3 ± 0,50× 10-3 , поверхностного апоневроза Δn = 5,08× 10-3 ± 0,73×10-3 и интерстициального ткани Δn = 0,65 × 10 -3 ±0,39 × 10 -3 . [19] Эти измерения могут быть важны для разработки менее инвазивного метода диагностики мышечной дистрофии Дюшенна .
Двойное лучепреломление можно наблюдать в амилоидных бляшках, которые обнаруживаются в мозге пациентов с болезнью Альцгеймера при окрашивании красителем, например, конго-красным. Модифицированные белки, такие как легкие цепи иммуноглобулинов , аномально накапливаются между клетками, образуя фибриллы. Множественные складки этих волокон выстраиваются в линию и принимают форму бета-складчатого листа . Краситель Конго красный интеркалирует между складками и при наблюдении в поляризованном свете вызывает двойное лучепреломление.
В офтальмологии бинокулярный скрининг сетчатки с двойным лучепреломлением волокон Генле (аксонов фоторецепторов, идущих радиально наружу от ямки) обеспечивает надежное обнаружение косоглазия и, возможно, также анизометропической амблиопии . [20] У здоровых людей максимальное замедление, вызванное слоем волокна Генле, составляет примерно 22 градуса при длине волны 840 нм. [21] Кроме того, сканирующая лазерная поляриметрия использует двойное лучепреломление слоя волокна зрительного нерва для косвенной количественной оценки его толщины, что полезно при оценке и мониторинге глаукомы . Измерения поляризационно-чувствительной оптической когерентной томографии, полученные у здоровых людей, продемонстрировали изменение двойного лучепреломления слоя нервных волокон сетчатки в зависимости от местоположения вокруг головки зрительного нерва. [22] Та же технология недавно была применена на сетчатке живого человека для количественной оценки поляризационных свойств стенок сосудов вблизи зрительного нерва. [23] В то время как стенки сосудов сетчатки становятся толще и менее двулучепреломляющими у пациентов, страдающих гипертонией, [24] намекая на ухудшение состояния сосудистой стенки, стенки сосудов у пациентов с диабетом не испытывают изменения в толщине, но наблюдают увеличение при двойном лучепреломлении [25] предположительно вследствие фиброза или воспаления.
Характеристики двойного лучепреломления головок сперматозоидов позволяют отбирать сперматозоиды для интрацитоплазматической инъекции сперматозоидов . [26] Аналогичным образом, при визуализации зоны используется двойное лучепреломление яйцеклеток , чтобы выбрать те, у которых самые высокие шансы на успешную беременность. [27] Двойное лучепреломление частиц, полученных при биопсии из легочных узелков, указывает на силикоз .
Дерматологи используют дерматоскопы для осмотра поражений кожи. В дермоскопах используется поляризованный свет, что позволяет пользователю видеть кристаллические структуры, соответствующие дермальному коллагену кожи. Эти структуры могут выглядеть как блестящие белые линии или розетки и видны только при поляризационной дерматоскопии .
Изотропные твердые тела не обладают двойным лучепреломлением. Когда они подвергаются механическому воздействию , возникает двойное лучепреломление. Напряжение может быть приложено снаружи или «заморожено» после охлаждения двулучепреломляющего пластикового изделия после его изготовления с использованием литья под давлением . Когда такой образец помещается между двумя скрещенными поляризаторами, можно наблюдать цветовые узоры, поскольку поляризация светового луча вращается после прохождения через двулучепреломляющий материал, и величина вращения зависит от длины волны. На том же принципе основан экспериментальный метод фотоупругости , используемый для анализа распределения напряжений в твердых телах. Недавно было проведено исследование по использованию двойного лучепреломления, вызванного напряжением, в стеклянной пластине для создания оптического вихря и полных лучей Пуанкаре (оптических лучей, которые имеют все возможные состояния поляризации в поперечном сечении). [28]
Двулучепреломление наблюдается в анизотропных упругих материалах. В этих материалах две поляризации разделяются в соответствии с их эффективными показателями преломления, которые также чувствительны к напряжению.
Исследование двойного лучепреломления поперечных волн , распространяющихся через твердую Землю (жидкое ядро Земли не поддерживает поперечные волны), широко используется в сейсмологии . [ нужна цитата ]
Двойное лучепреломление широко используется в минералогии для идентификации горных пород, минералов и драгоценных камней. [ нужна цитата ]
В изотропной среде (включая свободное пространство) так называемое электрическое смещение ( D ) прямо пропорционально электрическому полю ( E ) согласно D = ɛ E , где диэлектрическая проницаемость материала ε является просто скаляром (и равна n 2 ε 0 , где n — показатель преломления ). В анизотропном материале, проявляющем двойное лучепреломление, связь между D и E теперь должна быть описана с помощью тензорного уравнения:
где ε теперь представляет собой тензор диэлектрической проницаемости 3 × 3. Предположим линейность и отсутствие магнитной проницаемости в среде: ц = ц 0 . Электрическое поле плоской волны угловой частоты ω можно записать в общем виде:
где r — вектор положения, t — время, а E 0 — вектор, описывающий электрическое поле при r = 0 , t = 0 . Тогда мы найдем возможные волновые векторы k . Объединив уравнения Максвелла для ∇ × E и ∇ × H , мы можем исключить H =1/мкм 0Б , чтобы получить:
При отсутствии свободных зарядов уравнение Максвелла для дивергенции D исчезает:
Мы можем применить векторное тождество ∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ 2 A к левой части уравнения. 3а , и используйте пространственную зависимость, в которой каждое дифференцирование по x (например) приводит к умножению на ik x , чтобы найти:
Правая часть уравнения. 3a можно выразить через E , применив тензор диэлектрической проницаемости ε и отметив, что дифференцирование по времени приводит к умножению на − iω , eq. 3а тогда становится:
Применяя правило дифференцирования к уравнению 3б находим:
уравнение 4b указывает на то, что D ортогонален направлению волнового вектора k , хотя для E это уже не так , как это было бы в изотропной среде. уравнение 4б не понадобится для дальнейших шагов следующего вывода.
Найти допустимые значения k для заданного ω проще всего, используя декартовы координаты с осями x , y и z , выбранными в направлениях осей симметрии кристалла (или просто выбрав z в направлении оптической оси кристалла). одноосный кристалл), что приводит к диагональной матрице для тензора диэлектрической проницаемости ε :
где значения диагоналей представляют собой квадраты показателей преломления для поляризаций вдоль трех главных осей x , y и z . Взяв ε в этой форме и заменив скорость света c на c 2 =1/мкм 0 ε 0, компонент x векторного уравнения eq. 4а становится
где Ex , Ey , Ez — компоненты E (в любой заданной позиции в пространстве и времени ) , а kx , ky , kz — компоненты k . Переставляя, мы можем написать (и аналогично для компонентов y и z уравнения 4a )
Это набор линейных уравнений в E x , E y , E z , поэтому он может иметь нетривиальное решение (то есть другое, кроме E = 0 ), если следующий определитель равен нулю:
Оценивая определитель уравнения . 6 , и переставляя члены в соответствии со степенями , постоянные члены сокращаются. Исключив общий делитель из остальных слагаемых, получим
В случае одноосного материала, выбирая оптическую ось в направлении z так, чтобы n x = ny = n o и n z = n e , это выражение можно разложить на
Установка любого из коэффициентов в уравнении. 8 до нуля будет определять эллипсоидальную поверхность [примечание 1] в пространстве волновых векторов k , разрешенных для данного ω . Первый множитель, равный нулю, определяет сферу; это решение для так называемых обыкновенных лучей, у которых эффективный показатель преломления равен ровно n o независимо от направления k . Второй определяет сфероид , симметричный относительно оси z . Это решение соответствует так называемым необыкновенным лучам, у которых эффективный показатель преломления находится между n o и n e в зависимости от направления k . Следовательно, для любого произвольного направления распространения (кроме направления оптической оси) допускаются два различных волновых вектора k , соответствующие поляризации обыкновенного и необыкновенного лучей.
Для двухосного материала можно описать аналогичное, но более сложное состояние двух волн; [29] геометрическое место разрешенных векторов k ( поверхность волновых векторов ) представляет собой двулистную поверхность 4-й степени, так что в данном направлении обычно существует два разрешенных вектора k (и их противоположности). [30] При осмотре можно увидеть, что уравнение. 6 обычно выполняется для двух положительных значений ω . Или, для заданной оптической частоты ω и направления, нормального к волновым фронтамк/| к |, оно выполняется для двух волновых чисел (или констант распространения) | к | (и, следовательно, эффективные показатели преломления), соответствующие распространению двух линейных поляризаций в этом направлении.
Когда эти две константы распространения равны, эффективный показатель преломления не зависит от поляризации, и, следовательно, волна, движущаяся в этом конкретном направлении, не сталкивается с двойным лучепреломлением. Для одноосного кристалла это оптическая ось, направление ± z согласно приведенной выше конструкции. Но когда все три показателя преломления (или диэлектрической проницаемости), n x , ny y и n z различны, можно показать, что существует ровно два таких направления, в которых соприкасаются два листа поверхности волнового вектора; [30] эти направления совсем не очевидны и не лежат ни по одной из трех главных осей ( x , y , z согласно приведенному выше соглашению). Исторически это объясняет использование термина «двуосный» для таких кристаллов, поскольку существование ровно двух таких особых направлений (считающихся «осями») было обнаружено задолго до того, как поляризация и двойное лучепреломление были поняты физически. Эти два особых направления вообще не представляют особого интереса; Двухосные кристаллы скорее характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем осям симметрии.
Общее состояние поляризации, пущенное в среду, всегда можно разложить на две волны, по одной в каждой из этих двух поляризаций, которые затем будут распространяться с разными волновыми числами | к | . Применение разной фазы распространения к этим двум волнам на заданном расстоянии распространения приведет, как правило, к другому состоянию чистой поляризации в этой точке; это, например, принцип волновой пластинки . В случае волновой пластинки между двумя лучами нет пространственного смещения, поскольку их k- векторы все еще находятся в одном направлении. Это верно, когда каждая из двух поляризаций либо нормальна к оптической оси (обыкновенный луч), либо параллельна ей (необыкновенный луч).
В более общем случае существует разница не только в величине, но и в направлении двух лучей. Например, фотография через кристалл кальцита (вверху страницы) демонстрирует смещение изображения в двух поляризациях; это связано с тем, что оптическая ось не параллельна и не перпендикулярна поверхности кристалла. И даже когда оптическая ось параллельна поверхности, это произойдет для волн, выпущенных при ненормальном падении (как показано на поясняющем рисунке). В этих случаях два вектора k можно найти, решив уравнение. 6, ограничено граничным условием, которое требует, чтобы компоненты векторов k двух прошедших волн и вектора k падающей волны, проецируемого на поверхность раздела, должны быть идентичными. Для одноосного кристалла будет обнаружено, что не существует пространственного сдвига для обычного луча (отсюда и его название), который будет преломляться, как если бы материал не был двулучепреломляющим, с индексом, таким же, как у двух осей, не являющихся оптической осью. . Для двухосного кристалла ни один луч не считается «обычным» и обычно не преломляется в соответствии с показателем преломления, равным одной из главных осей.
