В геометрии система координат — это система, которая использует одно или несколько чисел или координат для однозначного определения положения точек или других геометрических элементов на многообразии , таком как евклидово пространство . [1] [2] Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по положению в упорядоченном кортеже , а иногда по букве, как в « координате x ». В элементарной математике координаты считаются действительными числами , но могут быть комплексными числами или элементами более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо . Использование системы координат позволяет переводить задачи геометрии в задачи о числах и наоборот ; это основа аналитической геометрии . [3]
Простейшим примером системы координат является отождествление точек на прямой с действительными числами с помощью числовой прямой . В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка О ( начало координат ). Координата точки P определяется как расстояние со знаком от O до P , где расстояние со знаком — это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное в зависимости от того, с какой стороны лежит линия P. Каждой точке присвоена уникальная координата, а каждое действительное число является координатой уникальной точки. [4]
Прототипическим примером системы координат является декартова система координат . В плоскости выбираются две перпендикулярные прямые, а в качестве координат точки принимаются расстояния до прямых со знаком. [5] В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, а три координаты точки представляют собой расстояния со знаком до каждой из плоскостей. [6] Это можно обобщить, чтобы создать n координат для любой точки в n -мерном евклидовом пространстве.
В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней.
Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат . [7] В качестве полюса выбирается точка , а в качестве полярной оси принимается луч из этой точки . Для данного угла θ через полюс проходит единственная линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси до линии). Тогда на этой линии существует единственная точка, расстояние со знаком от начала координат которой равно r для заданного числа r . Для данной пары координат ( r , θ ) существует одна точка, но любая точка представлена многими парами координат. Например, ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) и (− r , θ + π ) — все полярные координаты одной и той же точки. Полюс представлен (0, θ ) для любого значения θ .
Существует два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. В цилиндрической системе координат к полярным координатам r и θ добавляется координата z с тем же значением, что и в декартовых координатах, давая тройку ( r , θ , z ). [8] Сферические координаты идут еще дальше, преобразуя пару цилиндрических координат ( r , z ) в полярные координаты ( ρ , φ ), давая тройку ( ρ , θ , φ ). [9]
Точка на плоскости может быть представлена в однородных координатах тройкой ( x , y , z ), где x / z и y / z — декартовы координаты точки. [10] Это вводит «дополнительную» координату, поскольку для указания точки на плоскости необходимы только две, но эта система полезна тем, что она представляет любую точку на проективной плоскости без использования бесконечности . В общем, однородная система координат — это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.
Некоторые другие распространенные системы координат:
Существуют способы описания кривых без координат с использованием внутренних уравнений , в которых используются инвариантные величины, такие как кривизна и длина дуги . К ним относятся:
Системы координат часто используются для указания положения точки, но их также можно использовать для указания положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, круги или сферы . Например, координаты Плюкера используются для определения положения линии в пространстве. [11] При необходимости тип описываемой фигуры используется для различения типа системы координат, например термин « координаты линии» используется для любой системы координат, которая определяет положение линии.
Может оказаться, что системы координат для двух разных наборов геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого являются системы однородных координат точек и прямых на проективной плоскости. Две системы в таком случае называются дуалистическими . Дуалистические системы обладают тем свойством, что результаты одной системы могут быть перенесены в другую, поскольку эти результаты представляют собой лишь разные интерпретации одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственности . [12]
Часто существует множество различных возможных систем координат для описания геометрических фигур. Связь между различными системами описывается преобразованиями координат , которые дают формулы координат в одной системе через координаты в другой системе. Например, на плоскости, если декартовы координаты ( x , y ) и полярные координаты ( r , θ ) имеют одно и то же начало, а полярная ось является положительной осью x , то преобразование координат из полярных в декартовы координаты задается формулой Икс знак равно р потому что θ и y знак равно р грех θ .
С каждой биекцией пространства в себя могут быть связаны два преобразования координат:
Например, в 1D , если отображение представляет собой сдвиг 3 вправо, первое перемещает начало координат от 0 до 3, так что координата каждой точки становится на 3 меньше, а второе перемещает начало координат от 0 до -3. , так что координата каждой точки станет на 3 больше.
Учитывая систему координат, если одна из координат точки изменяется, а другие координаты остаются постоянными, то результирующая кривая называется координатной кривой . Если координатная кривая представляет собой прямую линию , она называется координатной линией . Система координат, для которой некоторые координатные кривые не являются прямыми, называется криволинейной системой координат . [13]
Координатная линия, у которой все постоянные координаты равны нулю, называется координатной осью .
В декартовой системе координат все координатные кривые представляют собой линии, и, следовательно, координатных осей столько же, сколько и координат. При этом оси координат попарно ортогональны .
Полярная система координат — это криволинейная система, в которой координатные кривые представляют собой линии или круги . Однако одна из координатных кривых сводится к одной точке — началу координат, которое часто рассматривают как окружность нулевого радиуса. Точно так же сферические и цилиндрические системы координат имеют координатные кривые, которые представляют собой линии, окружности или круги нулевого радиуса.
Многие кривые могут представлять собой координатные кривые. Например, координатные кривые параболических координат являются параболами .
В трехмерном пространстве, если одна координата остается постоянной, а две другие могут изменяться, то полученная поверхность называется координатной поверхностью . Например, координатные поверхности, полученные при сохранении постоянного ρ в сферической системе координат, представляют собой сферы с центром в начале координат. В трехмерном пространстве пересечение двух координатных поверхностей представляет собой координатную кривую. В декартовой системе координат мы можем говорить о координатных плоскостях .
Точно так же координатные гиперповерхности представляют собой ( n - 1) -мерные пространства, возникающие в результате фиксации одной координаты n -мерной системы координат. [14]
Понятие координатной карты или координатной карты занимает центральное место в теории многообразий. Карта координат — это, по сути, система координат для подмножества данного пространства, обладающая тем свойством, что каждая точка имеет ровно один набор координат. Точнее, координатное отображение — это гомеоморфизм открытого подмножества пространства X в открытое подмножество Rn . [15] Часто невозможно обеспечить одну согласованную систему координат для всего пространства. В этом случае набор карт координат объединяется в атлас , охватывающий пространство. Пространство, оснащенное таким атласом, называется многообразием , и на многообразии можно определить дополнительную структуру, если структура непротиворечива там, где карты координат перекрываются. Например, дифференцируемое многообразие — это многообразие, в котором переход координат от одной координатной карты к другой всегда является дифференцируемой функцией.
В геометрии и кинематике системы координат используются для описания (линейного) положения точек и углового положения осей, плоскостей и твердых тел . [16] В последнем случае ориентация второй (обычно называемой «локальной») системы координат, прикрепленной к узлу, определяется на основе первой (обычно называемой «глобальной» или «мировой» системой координат). ). Например, ориентация твердого тела может быть представлена матрицей ориентации , которая включает в себя в трех столбцах декартовы координаты трех точек. Эти точки используются для определения ориентации осей локальной системы; они представляют собой кончики трех единичных векторов , выровненных по этим осям.
Земля в целом представляет собой одно из наиболее распространенных геометрических пространств, требующих точного измерения местоположения и, следовательно, систем координат. Начиная с греков эллинистического периода , на основе вышеперечисленных типов были разработаны различные системы координат, в том числе:
