Т-симметрия

Симметрия обращения времени в физике

Т-симметрия или симметрия обращения времени — это теоретическая симметрия физических законов относительно преобразования обращения времени ,

${\displaystyle T:t\mapsto -t.}$

Поскольку второй закон термодинамики гласит, что энтропия увеличивается по мере того, как время течет в направлении будущего, в целом макроскопическая вселенная не проявляет симметрии при обращении времени. Другими словами, время считается несимметричным или асимметричным, за исключением особых состояний равновесия, когда второй закон термодинамики предсказывает сохранение симметрии времени. Однако квантовые неинвазивные измерения , как предсказывают, нарушают симметрию времени даже в равновесии, ^[1] в отличие от их классических аналогов, хотя это еще не было экспериментально подтверждено.

Временные асимметрии (см. Стрела времени ) обычно вызываются одной из трех категорий:

1. присущий динамическому физическому закону (например, для слабого взаимодействия )
2. из-за начальных условий Вселенной (например, для второго закона термодинамики )
3. из-за измерений (например, для неинвазивных измерений)

Макроскопические явления

Второй закон термодинамики

Игрушка под названием качели иллюстрирует в поперечном сечении два аспекта инвариантности обращения времени. Приведенная в движение на вершине пьедестала (качаясь из стороны в сторону, как на изображении), фигурка колеблется в течение очень долгого времени. ^{[ необходимо пояснение ]} Игрушка спроектирована так, чтобы минимизировать трение и проиллюстрировать обратимость законов движения Ньютона . Однако механически устойчивое состояние игрушки наступает, когда фигурка падает с пьедестала в одно из произвольного множества положений. Это иллюстрация закона возрастания энтропии посредством идентификации Больцманом логарифма числа состояний с энтропией.

Повседневный опыт показывает, что Т-симметрия не применима к поведению объемных материалов. Из этих макроскопических законов наиболее примечательным является второй закон термодинамики . Многие другие явления, такие как относительное движение тел с трением или вязкое движение жидкостей, сводятся к этому, поскольку базовым механизмом является рассеивание полезной энергии (например, кинетической энергии) в тепло.

Вопрос о том, действительно ли эта асимметричная по времени диссипация неизбежна, рассматривался многими физиками, часто в контексте демона Максвелла . Название происходит от мысленного эксперимента, описанного Джеймсом Клерком Максвеллом , в котором микроскопический демон охраняет ворота между двумя половинами комнаты. Он пропускает только медленные молекулы в одну половину, а в другую — только быстрые. В конечном итоге делая одну сторону комнаты холоднее, чем прежде, а другую — горячее, он, по-видимому, уменьшает энтропию комнаты и обращает стрелу времени. Было проведено много анализов этого; все они показывают, что когда энтропия комнаты и демона берутся вместе, эта общая энтропия действительно увеличивается. Современные анализы этой проблемы учитывают связь Клода Э. Шеннона между энтропией и информацией . Многие интересные результаты в современных вычислениях тесно связаны с этой проблемой — обратимые вычисления , квантовые вычисления и физические пределы вычислений являются примерами. Эти, казалось бы, метафизические вопросы сегодня постепенно преобразуются в гипотезы физических наук.

Текущий консенсус основан на идентификации Больцмана-Шеннона логарифма объема фазового пространства с отрицательной информацией Шеннона , и, следовательно, с энтропией . В этом представлении фиксированное начальное состояние макроскопической системы соответствует относительно низкой энтропии, поскольку координаты молекул тела ограничены. По мере того, как система развивается в присутствии диссипации , молекулярные координаты могут перемещаться в большие объемы фазового пространства, становясь более неопределенными и, таким образом, приводя к увеличению энтропии.

Большой взрыв

Одно из решений необратимости состоит в том, чтобы сказать, что постоянное увеличение энтропии, которое мы наблюдаем, происходит только из-за начального состояния нашей Вселенной. Другие возможные состояния Вселенной (например, Вселенная в равновесии тепловой смерти ) на самом деле не привели бы к увеличению энтропии. С этой точки зрения, кажущаяся Т-асимметрия нашей Вселенной является проблемой в космологии : почему Вселенная началась с низкой энтропии? Эта точка зрения, подкрепленная космологическими наблюдениями (такими как изотропия космического микроволнового фона ), связывает эту проблему с вопросом начальных условий Вселенной.

Черные дыры

Законы гравитации, по-видимому, инвариантны относительно обращения времени в классической механике; однако конкретные решения не обязательно таковыми являются.

Объект может пересечь горизонт событий черной дыры снаружи, а затем быстро упасть в центральную область, где наше понимание физики рушится. Поскольку внутри черной дыры прямой световой конус направлен к центру, а обратный световой конус направлен наружу, невозможно даже определить обращение времени обычным способом. Единственный способ, которым что-либо может вырваться из черной дыры, — это излучение Хокинга .

Обращение времени черной дыры было бы гипотетическим объектом, известным как белая дыра . Снаружи они кажутся похожими. В то время как черная дыра имеет начало и неизбежна, белая дыра имеет конец и в нее нельзя войти. Передние световые конусы белой дыры направлены наружу; а ее обратные световые конусы направлены к центру.

Горизонт событий черной дыры можно рассматривать как поверхность, движущуюся наружу с локальной скоростью света и находящуюся как раз на грани между побегом и падением назад. Горизонт событий белой дыры — это поверхность, движущаяся внутрь с локальной скоростью света и находящаяся как раз на грани между выносом наружу и достижением центра. Это два разных вида горизонтов — горизонт белой дыры похож на горизонт черной дыры, вывернутой наизнанку.

Современный взгляд на необратимость черной дыры заключается в том, чтобы связать ее со вторым законом термодинамики, поскольку черные дыры рассматриваются как термодинамические объекты . Например, согласно гипотезе дуальности калибровочно-гравитационного взаимодействия, все микроскопические процессы в черной дыре обратимы, и только коллективное поведение необратимо, как и в любой другой макроскопической тепловой системе. ^{[ необходима цитата ]}

Кинетические последствия: детальный баланс и взаимные соотношения Онзагера

В физической и химической кинетике Т-симметрия механических микроскопических уравнений подразумевает два важных закона: принцип детального равновесия и соотношения взаимности Онзагера . Т-симметрия микроскопического описания вместе с ее кинетическими следствиями называется микроскопической обратимостью .

Влияние обращения времени на некоторые переменные классической физики

Даже

Классические переменные, которые не изменяются при обращении времени, включают в себя:

${\displaystyle {\vec {x}}}$, положение частицы в трехмерном пространстве

${\displaystyle {\vec {a}}}$, ускорение частицы

${\displaystyle {\vec {F}}}$, сила на частицу

${\displaystyle E}$, энергия частицы

${\displaystyle V}$, электрический потенциал (напряжение)

${\displaystyle {\vec {E}}}$, электрическое поле

${\displaystyle {\vec {D}}}$, электрическое смещение

${\displaystyle \rho }$, плотность электрического заряда

${\displaystyle {\vec {P}}}$, электрическая поляризация

Плотность энергии электромагнитного поля

${\displaystyle T_{ij}}$, Тензор напряжений Максвелла

Все массы, заряды, константы связи и другие физические константы, за исключением тех, которые связаны со слабым взаимодействием.

Странный

Классические переменные, которые отрицает обращение времени, включают:

${\displaystyle t}$, время, когда происходит событие

${\displaystyle {\vec {v}}}$, скорость частицы

${\displaystyle {\vec {p}}}$, линейный импульс частицы

${\displaystyle {\vec {l}}}$, момент импульса частицы (как орбитальный, так и спиновый)

${\displaystyle {\vec {A}}}$, электромагнитный векторный потенциал

${\displaystyle {\vec {B}}}$, магнитное поле

${\displaystyle {\vec {H}}}$, магнитное вспомогательное поле

${\displaystyle {\vec {j}}}$, плотность электрического тока

${\displaystyle {\vec {M}}}$, намагничивание

${\displaystyle {\vec {S}}}$, Вектор Пойнтинга

${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, мощность (скорость выполненной работы).

Пример: Магнитное поле и взаимные соотношения Онзагера

Рассмотрим пример системы заряженных частиц, подверженных воздействию постоянного внешнего магнитного поля: в этом случае каноническая операция обращения времени, которая обращает скорости и время и сохраняет координаты нетронутыми, больше не является симметрией для системы. При таком рассмотрении кажется, что могут выполняться только соотношения взаимности Онзагера–Казимира; ^[2] эти равенства связывают две разные системы, одна из которых подчинена , а другая , и поэтому их полезность ограничена. Однако было доказано, что можно найти другие операции обращения времени, которые сохраняют динамику и, следовательно, соотношения взаимности Онзагера; ^{[3] [4] [5]} в заключение, нельзя утверждать, что присутствие магнитного поля всегда нарушает Т-симметрию. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle -{\vec {B}}}$

Микроскопические явления: инвариантность относительно обращения времени

Большинство систем асимметричны относительно обращения времени, но могут быть явления с симметрией. В классической механике скорость v меняет направление под действием T , а ускорение — нет. ^[6] Поэтому диссипативные явления моделируются с помощью членов, нечетных по v . Однако тонкие эксперименты, в которых удаляются известные источники диссипации, показывают, что законы механики инвариантны относительно обращения времени. Сама диссипация возникает во втором законе термодинамики .

Движение заряженного тела в магнитном поле, B включает скорость через член силы Лоренца v × B и может на первый взгляд показаться асимметричным относительно T . Более пристальный взгляд убеждает нас, что B также меняет знак при обращении времени. Это происходит потому, что магнитное поле создается электрическим током, J , который меняет знак при T . Таким образом, движение классических заряженных частиц в электромагнитных полях также инвариантно относительно обращения времени. (Несмотря на это, все еще полезно рассматривать неинвариантность относительно обращения времени в локальном смысле , когда внешнее поле удерживается фиксированным, как при анализе магнитооптического эффекта . Это позволяет анализировать условия, при которых могут возникать оптические явления, которые локально нарушают обращение времени, такие как изоляторы Фарадея и направленный дихроизм.)

В физике разделяют законы движения, называемые кинематикой , от законов силы, называемых динамикой . Следуя классической кинематике законов движения Ньютона , кинематика квантовой механики построена таким образом, что она ничего не предполагает о симметрии динамики относительно обращения времени. Другими словами, если динамика инвариантна, то кинематика позволит ей оставаться инвариантной; если динамика не инвариантна, то кинематика также покажет это. Структура квантовых законов движения богаче, и мы рассмотрим их далее.

Обращение времени в квантовой механике

Двумерные представления четности задаются парой квантовых состояний, которые переходят друг в друга при четности. Однако это представление всегда можно свести к линейным комбинациям состояний, каждое из которых либо четно, либо нечетно при четности. Говорят, что все неприводимые представления четности одномерны. Теорема Крамерса утверждает, что обращение времени не обязательно должно обладать этим свойством, поскольку оно представлено антиунитарным оператором.

В этом разделе обсуждается три наиболее важных свойства обращения времени в квантовой механике; главным образом,

1. что он должен быть представлен как антиунитарный оператор,
2. что он защищает невырожденные квантовые состояния от наличия электрического дипольного момента ,
3. что он имеет двумерные представления со свойством T ² = −1 (для фермионов ).

Странность этого результата ясна, если сравнить его с четностью. Если четность преобразует пару квантовых состояний друг в друга, то сумма и разность этих двух базисных состояний являются состояниями хорошей четности. Обращение времени не ведет себя так. Кажется, оно нарушает теорему о том, что все абелевы группы могут быть представлены одномерными неприводимыми представлениями. Причина, по которой оно это делает, заключается в том, что оно представлено антиунитарным оператором. Таким образом, оно открывает путь к спинорам в квантовой механике.

С другой стороны, понятие квантово-механического обращения времени оказывается полезным инструментом для разработки физически мотивированных квантовых вычислений и настроек моделирования , предоставляя в то же время относительно простые инструменты для оценки их сложности . Например, квантово-механическое обращение времени использовалось для разработки новых схем выборки бозонов ^[7] и для доказательства дуальности между двумя фундаментальными оптическими операциями, разделителем луча и преобразованиями сжатия . ^[8]

Формальная запись

В формальных математических представлениях T-симметрии необходимо тщательно различать три различных вида обозначений для T : T , представляющее собой инволюцию , фиксирующую фактическое обращение временной координаты, T , представляющее собой обычную конечномерную матрицу, действующую на спиноры и векторы, и T , представляющее собой оператор в бесконечномерном гильбертовом пространстве .

Для действительного (не комплексного ) классического (неквантованного) скалярного поля инволюция обращения времени может быть просто записана как ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\mathsf {T}}\phi (t,{\vec {x}})=\phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})}$

поскольку обращение времени оставляет скалярное значение в фиксированной точке пространства-времени неизменным, вплоть до общего знака . Немного более формальный способ записать это: ${\displaystyle s=\pm 1}$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\phi (t,{\vec {x}})\mapsto \phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})}$

что имеет то преимущество, что подчеркивает, что является картой , и, следовательно, обозначением «mapsto», тогда как является фактическим утверждением, связывающим старые и новые поля друг с другом. ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mapsto ~,}$ ${\displaystyle \phi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=s\phi (t,{\vec {x}})}$

В отличие от скалярных полей, спинорные и векторные поля могут иметь нетривиальное поведение при обращении времени. В этом случае нужно записать ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\psi (t,{\vec {x}})\mapsto \psi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})=T\psi (t,{\vec {x}})}$

где — это просто обычная матрица . Для комплексных полей может потребоваться комплексное сопряжение , для которого отображение можно рассматривать как матрицу 2x2. Для спинора Дирака , не может быть записана как матрица 4x4, потому что, на самом деле, комплексное сопряжение действительно требуется; однако, ее можно записать как матрицу 8x8, действующую на 8 действительных компонент спинора Дирака. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K:(x+iy)\mapsto (x-iy)}$ ${\displaystyle T}$

В общем случае не существует ab initio значения для ; его фактическая форма зависит от конкретного уравнения или уравнений, которые рассматриваются. В общем случае просто утверждается, что уравнения должны быть инвариантны относительно обращения времени, а затем решается для явного значения , которое достигает этой цели. В некоторых случаях могут быть высказаны общие аргументы. Так, например, для спиноров в трехмерном евклидовом пространстве или четырехмерном пространстве Минковского может быть задано явное преобразование. Оно традиционно задается как ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T=e^{i\pi J_{y}}K}$

где — y-компонента оператора углового момента , а — комплексное сопряжение, как и прежде. Эта форма следует всякий раз, когда спинор можно описать линейным дифференциальным уравнением первого порядка по производной по времени, что обычно имеет место для того, чтобы что-то можно было обоснованно назвать «спинором». ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle K}$

Формальное обозначение теперь проясняет, как распространить обращение времени на произвольное тензорное поле . В этом случае ${\displaystyle \psi _{abc\cdots }}$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\psi _{abc\cdots }(t,{\vec {x}})\mapsto \psi _{abc\cdots }^{\prime }(-t,{\vec {x}})={T_{a}}^{d}\,{T_{b}}^{e}\,{T_{c}}^{f}\cdots \psi _{def\cdots }(t,{\vec {x}})}$

Ковариантные тензорные индексы преобразуются как и так далее. Для квантовых полей есть также третий T , записанный как , который на самом деле является бесконечномерным оператором, действующим в гильбертовом пространстве. Он действует на квантованные поля как ${\displaystyle {T_{a}}^{b}={(T^{-1})_{b}}^{a}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}},}$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\mathsf {T}}:\Psi (t,{\vec {x}})\mapsto \Psi ^{\prime }(-t,{\vec {x}})={\mathcal {T}}\Psi (t,{\vec {x}}){\mathcal {T}}^{-1}}$

Это можно рассматривать как частный случай тензора с одним ковариантным и одним контравариантным индексом, и поэтому требуются два '. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Все три этих символа отражают идею обращения времени; они различаются в зависимости от конкретного пространства , на которое оказывается воздействие: функции, векторы/спиноры или бесконечномерные операторы. Оставшаяся часть этой статьи не является осторожной в различении этих трех; T , которая появляется ниже, подразумевает либо или либо в зависимости от контекста, оставлено на усмотрение читателя. ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}},}$

Антиунитарное представление обращения времени

Юджин Вигнер показал, что операция симметрии S гамильтониана представлена ​​в квантовой механике либо унитарным оператором , S = U , либо антиунитарным оператором, S = UK, где U унитарен, а K обозначает комплексное сопряжение . Это единственные операции, которые действуют в гильбертовом пространстве так, чтобы сохранить длину проекции любого одного вектора состояния на другой вектор состояния.

Рассмотрим оператор четности . Действуя на позицию, он меняет направление пространства на противоположное, так что PxP ⁻¹ = − x . Аналогично, он меняет направление импульса на противоположное , так что PpP ⁻¹ = − p , где x и p — операторы позиции и импульса. Это сохраняет канонический коммутатор [ x , p ] = iħ , где ħ — приведенная постоянная Планка , только если P выбрано унитарным, PiP ⁻¹ = i .

С другой стороны, оператор обращения времени T ничего не делает с оператором x, TxT ⁻¹ = x , но он меняет направление p на противоположное, так что TpT ⁻¹ = − p . Канонический коммутатор инвариантен только если T выбран антиунитарным, т. е. TiT ⁻¹ = − i .

Другой аргумент касается энергии, временной составляющей 4-импульса. Если бы обращение времени было реализовано как унитарный оператор, оно бы изменило знак энергии так же, как обращение пространства меняет знак импульса. Это невозможно, потому что, в отличие от импульса, энергия всегда положительна. Поскольку энергия в квантовой механике определяется как фазовый множитель exp(– iEt ), который получается при движении вперед во времени, способ обратить время, сохранив знак энергии, состоит в том, чтобы также изменить смысл « i », так что смысл фаз будет изменен на противоположный.

Аналогично, любая операция, которая меняет смысл фазы, которая меняет знак i , превратит положительные энергии в отрицательные, если только она также не изменит направление времени. Таким образом, каждая антиунитарная симметрия в теории с положительной энергией должна менять направление времени. Каждый антиунитарный оператор может быть записан как произведение оператора обращения времени и унитарного оператора, который не обращает время.

Для частицы со спином J можно использовать представление

${\displaystyle T=e^{-i\pi J_{y}/\hbar }K,}$

где J _y — y -компонента спина, и было сделано использование TJT ⁻¹ = − J.

Электрические дипольные моменты

Это имеет интересное следствие для электрического дипольного момента (ЭДМ) любой частицы. ЭДМ определяется через сдвиг энергии состояния, когда оно помещается во внешнее электрическое поле: Δ e = d· E + E ·δ· E , где d называется ЭДМ, а δ — индуцированным дипольным моментом. Одним из важных свойств ЭДМ является то, что сдвиг энергии, вызванный им, меняет знак при преобразовании четности. Однако, поскольку d — вектор, его ожидаемое значение в состоянии |ψ⟩ должно быть пропорционально ⟨ψ| J |ψ⟩, то есть ожидаемому спину. Таким образом, при обращении времени инвариантное состояние должно иметь исчезающий ЭДМ. Другими словами, неисчезающий ЭДМ сигнализирует о нарушении как P , так и T симметрии. ^[9]

Некоторые молекулы, такие как вода, должны иметь EDM независимо от того, является ли T симметрией. Это верно; если квантовая система имеет вырожденные основные состояния, которые переходят друг в друга при четности, то обращение времени не обязательно должно быть нарушено, чтобы дать EDM.

Экспериментально наблюдаемые ограничения на электрический дипольный момент нуклона в настоящее время устанавливают строгие ограничения на нарушение симметрии обращения времени в сильных взаимодействиях , и их современной теории: квантовой хромодинамике . Затем, используя CPT-инвариантность релятивистской квантовой теории поля , это накладывает строгие ограничения на сильное CP-нарушение .

Экспериментальные ограничения на электрический дипольный момент электрона также накладывают ограничения на теории физики элементарных частиц и их параметры. ^{[10] [11]}

Теорема Крамерса

Для T , который является антиунитарным генератором симметрии Z ₂

Т ² = UKUK = UU ^* = U ( U ^T ) ⁻¹ = Φ,

где Φ — диагональная матрица фаз. В результате U = Φ U ^T и U ^T = U Φ , показывая, что

U = Ф U Ф.

Это означает, что элементы в Φ равны ±1, в результате чего может быть либо T ² = ±1 . Это специфично для антиунитарности T. Для унитарного оператора, такого как четность , разрешена любая фаза.

Далее, возьмем гамильтониан, инвариантный относительно T . Пусть | a ⟩ и T | a ⟩ — два квантовых состояния с одинаковой энергией. Теперь, если T ² = −1 , то можно обнаружить, что состояния ортогональны: результат, называемый теоремой Крамерса . Это означает, что если T ² = −1 , то в состоянии имеется двукратное вырождение. Этот результат в нерелятивистской квантовой механике предвещает теорему о статистике спина квантовой теории поля .

Квантовые состояния , которые дают унитарные представления обращения времени, т. е. имеют T ² = 1 , характеризуются мультипликативным квантовым числом , иногда называемым T-четностью .

Обращение во времени известных динамических законов

Физика элементарных частиц кодифицировала основные законы динамики в стандартную модель . Она сформулирована как квантовая теория поля , которая имеет симметрию CPT , т. е. законы инвариантны при одновременном действии обращения времени, четности и сопряжения заряда . Однако само обращение времени не рассматривается как симметрия (это обычно называют нарушением CP ). Существует два возможных источника этой асимметрии: один из-за смешивания различных ароматов кварков в их слабых распадах , второй из-за прямого нарушения CP в сильных взаимодействиях. Первый наблюдается в экспериментах, второй сильно ограничен отсутствием наблюдения ЭДМ нейтрона .

Нарушение обращения времени не связано со вторым законом термодинамики , поскольку из-за сохранения симметрии CPT эффект обращения времени заключается в переименовании частиц в античастицы и наоборот . Таким образом, считается, что второй закон термодинамики возникает в начальных условиях во Вселенной.

Обращение во времени неинвазивных измерений

Сильные измерения (как классические, так и квантовые) определенно являются возмущающими, вызывая асимметрию из-за второго закона термодинамики . Однако неинвазивные измерения не должны нарушать эволюцию, поэтому ожидается, что они будут симметричны во времени. Удивительно, но это верно только для классической физики, но не для квантовой физики, даже в термодинамически инвариантном равновесном состоянии. ^[1] Этот тип асимметрии не зависит от симметрии CPT , но пока не подтвержден экспериментально из-за экстремальных условий проверочного предложения.

Смотрите также

• Стрела времени
• Причинность (физика)
• Вычислительные приложения
  • Пределы вычислений
  • Квантовые вычисления
  • Обратимые вычисления
• Стандартная модель
  • Матрица CKM
  • нарушение КП
  • CPT-инвариантность
  • Масса нейтрино
  • Сильная проблема CP
  • Теория поглотителя Уилера–Фейнмана
• Парадокс Лошмидта
• демон Максвелла
• Микроскопическая обратимость
• Второй закон термодинамики
• Симметрия временного переноса

Ссылки

Встроенные цитаты

1. Беднорц, Адам; Франке, Курт; Бельциг, Вольфганг (февраль 2013 г.). «Неинвазивность и временная симметрия слабых измерений». New Journal of Physics . 15 (2): 023043. arXiv : 1108.1305 . Bibcode : 2013NJPh...15b3043B. doi : 10.1088/1367-2630/15/2/023043. S2CID  17583996.
2. Кубо, Рёго (15 июня 1957 г.). «Статистически-механическая теория необратимых процессов. I. Общая теория и простые приложения к проблемам магнитопроводимости и проводимости». Журнал Физического общества Японии . 12 (6): 570–586. Bibcode : 1957JPSJ...12..570K. doi : 10.1143/JPSJ.12.570.
3. Бонелла, Сара; Чиккотти, Джованни; Рондони, Ламберто (2015). «Симметрия обращения времени в зависящих от времени корреляционных функциях для систем в постоянном магнитном поле». EPL (Europhysics Letters) . 108 (6): 60004. doi :10.1209/0295-5075/108/60004. S2CID  121427119.
4. Луо, Ронсян; Бененти, Джулиано; Казати, Джулио; Ван, Цзяо (2020). «Взаимные отношения Онзагера с нарушенной симметрией обращения времени». Physical Review Research . 2 (2): 022009. Bibcode : 2020PhRvR...2b2009L. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.022009 .
5. Carbone, Davide; Rondoni, Lamberto (2020). "Необходимые и достаточные условия для симметрии обращения времени в присутствии магнитных полей". Symmetry . 12 (8): 1336. arXiv : 2008.05193 . Bibcode :2020Symm...12.1336C. ​​doi : 10.3390/sym12081336 .
6. Kerdcharoen, Teerakiat; Liedl, Klaus R.; Rode, Bernd M. (1996). «Двунаправленная молекулярная динамика: интерпретация в терминах современной формулировки классической механики». Journal of Computational Chemistry . 17 (13): 1564–1570. doi :10.1002/(SICI)1096-987X(199610)17:13<1564::AID-JCC8>3.0.CO;2-Q.
7. Чахмахчян, Левон; Серф, Николас (2017). «Выборка бозонов с гауссовыми измерениями». Physical Review A. 96 ( 3): 032326. arXiv : 1705.05299 . Bibcode : 2017PhRvA..96c2326C. doi : 10.1103/PhysRevA.96.032326. S2CID  119431211.
8. Чахмахчян, Левон; Серф, Николас (2018). «Моделирование произвольных гауссовых цепей с помощью линейной оптики». Physical Review A. 98 ( 6): 062314. arXiv : 1803.11534 . Bibcode : 2018PhRvA..98f2314C. doi : 10.1103/PhysRevA.98.062314. S2CID  119227039.
9. Хриплович, Иосип Б.; Ламоро, Стив К. (2012). Нарушение CP без странности: электрические дипольные моменты частиц, атомов и молекул . [Sl]: Springer. ISBN 978-3-642-64577-8.
10. Ибрагим, Тарик; Итани, Ахмад; Нат, Пран (12 августа 2014 г.). «Электронный EDM как чувствительный зонд физики масштаба ПэВ». Physical Review D. 90 ( 5): 055006. arXiv : 1406.0083 . Bibcode : 2014PhRvD..90e5006I. doi : 10.1103/PhysRevD.90.055006. S2CID  118880896.
11. Ким, Джин Э.; Карози, Джанпаоло (4 марта 2010 г.). «Аксионы и сильная проблема CP». Reviews of Modern Physics . 82 (1): 557–602. arXiv : 0807.3125 . Bibcode : 2010RvMP...82..557K. doi : 10.1103/RevModPhys.82.557.

Общие ссылки

• Демон Максвелла: энтропия, информация, вычисления, под редакцией HSLeff и AF Rex (IOP publishing, 1990) ISBN 0-7503-0057-4 
• Демон Максвелла, 2: энтропия, классическая и квантовая информация, под редакцией HSLeff и AF Rex (IOP publishing, 2003) ISBN 0-7503-0759-5 
• Новый разум императора: о компьютерах, разуме и законах физики, Роджер Пенроуз (Издательство Оксфордского университета, 2002) ISBN 0-19-286198-0 
• Sozzi, MS (2008). Дискретные симметрии и нарушение CP . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-929666-8.
• Бирсс, Р. Р. (1964). Симметрия и магнетизм . John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк.
• Мультиферроичные материалы с оптическими свойствами, нарушающими обращение времени
• Нарушение CP, авторы II Биги и AI Санда (Издательство Кембриджского университета, 2000) ISBN 0-521-44349-0 
• Группа данных по частицам о нарушении CP
  • эксперимент Бабара в SLAC
  • эксперимент BELLE в KEK
  • эксперимент KTeV в Фермилабе
  • эксперимент CPLEAR в ЦЕРНе