Параллельный транспорт

Система подвижных векторов в дифференциальной геометрии

Параллельный перенос вектора по замкнутому контуру (от A к N к B и обратно к A) на сфере. Угол, на который он закручивается, пропорционален площади внутри контура. ${\displaystyle \alpha }$

В дифференциальной геометрии параллельный перенос (или параллельный перенос ^[a] ) — это способ переноса геометрических данных вдоль гладких кривых в многообразии . Если многообразие снабжено аффинной связностью ( ковариантной производной или связностью на касательном расслоении ), то эта связь позволяет переносить векторы многообразия вдоль кривых так, чтобы они оставались параллельными относительно связности.

Параллельный перенос для соединения, таким образом, предоставляет способ, в некотором смысле, перемещения локальной геометрии многообразия вдоль кривой: то есть соединения геометрий соседних точек. Может быть много доступных понятий параллельного переноса, но спецификация одного способа соединения геометрий точек на кривой равносильна предоставлению соединения . Фактически, обычное понятие соединения является бесконечно малым аналогом параллельного переноса. Или, наоборот , параллельный перенос является локальной реализацией соединения.

Поскольку параллельный перенос обеспечивает локальную реализацию связи, он также обеспечивает локальную реализацию кривизны, известную как голономия . Теорема Эмброуза–Зингера делает явной эту связь между кривизной и голономией.

Другие понятия связности также оснащены собственными параллельными транспортными системами. Например, связность Кошуля в векторном расслоении также допускает параллельный перенос векторов во многом таким же образом, как и в случае с ковариантной производной. Связность Эресмана или Картана обеспечивает подъем кривых из многообразия в общее пространство главного расслоения . Такой подъем кривых иногда можно рассматривать как параллельный перенос систем отсчета .

Параллельный перенос касательных векторов

Пусть будет гладким многообразием . Для каждой точки существует связанное векторное пространство, называемое касательным пространством в точке . Векторы в рассматриваются как векторы, касательные к точке . Риманова метрика на присваивает каждому положительно -определенное скалярное произведение гладким образом. Гладкое многообразие, снабженное римановой метрикой, является римановым многообразием , обозначаемым . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (M,g)}$

Обозначим стандартные координаты на Евклидова метрика задается выражением ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle g^{\text{euc}}}$

${\displaystyle g^{\text{euc}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}$. ^[2]

Евклидово пространство — это риманово многообразие . ${\displaystyle (\mathbf {R} ^{n},g^{\text{euc}})}$

В евклидовом пространстве все касательные пространства канонически отождествляются друг с другом посредством переноса, поэтому легко перемещать векторы из одного касательного пространства в другое. Параллельный перенос касательных векторов — это способ перемещения векторов из одного касательного пространства в другое вдоль кривой в условиях общего риманова многообразия. Обратите внимание, что хотя векторы находятся в касательном пространстве многообразия, они могут не находиться в касательном пространстве кривой, по которой они переносятся.

Аффинная связность на римановом многообразии — это способ дифференциации векторных полей относительно других векторных полей. Риманово многообразие имеет естественный выбор аффинной связности, называемой связностью Леви-Чивиты . При наличии фиксированной аффинной связности на римановом многообразии существует уникальный способ выполнения параллельного переноса касательных векторов. ^[3] Различные выборы аффинных связностей приведут к различным системам параллельного переноса.

Точное определение

Пусть M — многообразие с аффинной связностью ∇ . Тогда векторное поле X называется параллельным, если для любого векторного поля Y , ∇ _Y X = 0. Интуитивно говоря, параллельные векторные поля имеют все свои производные, равные нулю , и поэтому в некотором смысле постоянны . Оценивая параллельное векторное поле в двух точках x и y , получается отождествление между касательным вектором в точке x и касательным вектором в точке y . Такие касательные векторы называются параллельными переносами друг друга.

Точнее, если γ  : I → M — гладкая кривая, параметризованная интервалом [ a , b ] и ξ ∈ T _x M , где x = γ ( a ) , то векторное поле X вдоль γ (и, в частности, значение этого векторного поля при y = γ ( b ) ) называется параллельным переносом ξ вдоль γ, если

1. ∇ _{γ′ ( t )} X = 0 , для всех t ∈ [ a , b ]
2. Xγ _{( a )} = ξ ._​

Формально первое условие означает, что X параллельно относительно связности обратного проецирования на расслоении обратного проецирования γ ^∗ T M . Однако в локальной тривиализации это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , которая имеет единственное решение для любого начального условия, заданного вторым условием (например, теоремой Пикара–Линделёфа ).

Параллельный перенос в касательное пространство вдоль кривой обозначается . Отображение ${\displaystyle X\in T_{\gamma (s)}M}$ ${\displaystyle T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X}$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:T_{\gamma (s)}M\to T_{\gamma (t)}M}$

является линейным. Фактически, это изоморфизм. Пусть будет обратной кривой . Тогда является обратной кривой . ${\displaystyle {\overline {\gamma }}:[0,1]\to M}$ ${\displaystyle {\overline {\gamma }}(t)=\gamma (1-t)}$ ${\displaystyle \Gamma ({\overline {\gamma }})_{t}^{s}}$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}}$

Подводя итог, параллельный перенос обеспечивает способ перемещения касательных векторов вдоль кривой с использованием аффинной связи, чтобы они «указывали в одном направлении» в интуитивном смысле, и это обеспечивает линейный изоморфизм между касательными пространствами на двух концах кривой. Изоморфизм, полученный таким образом, будет в общем случае зависеть от выбора кривой. Если это не так, то параллельный перенос вдоль каждой кривой может использоваться для определения параллельных векторных полей на M , что может произойти только в том случае, если кривизна ∇ равна нулю.

Линейный изоморфизм определяется его действием на упорядоченном базисе или фрейме . Следовательно, параллельный перенос можно также охарактеризовать как способ переноса элементов (касательного) фреймового расслоения GL( M ) вдоль кривой. Другими словами, аффинная связность обеспечивает подъем любой кривой γ в M до кривой γ̃ в GL( M ) .

Примеры

На рисунках ниже показан параллельный перенос, вызванный связностью Леви-Чивиты, связанный с двумя различными римановыми метриками на проколотой плоскости . Кривая, вдоль которой осуществляется параллельный перенос, является единичной окружностью. В полярных координатах метрика слева является стандартной евклидовой метрикой , тогда как метрика справа — . Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, поэтому она не распространяется за прокол, но первая метрика распространяется на всю плоскость. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}$ ${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}$ ${\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}}$

Параллельные переносы на проколотой плоскости в связях Леви-Чивита

Предупреждение: Это параллельный перенос на проколотой плоскости вдоль единичной окружности, а не параллельный перенос на единичной окружности. Действительно, на первом изображении векторы выходят за пределы касательного пространства к единичной окружности.

Метрическое соединение

Метрическая связь — это любая связь, параллельные переносы которой сохраняют риманову метрику, то есть для любой кривой и любых двух векторов , ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X,Y\in T_{\gamma (s)}M}$

${\displaystyle \langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.}$

Взяв производную при t = 0, оператор ∇ удовлетворяет правилу произведения относительно метрики, а именно:

${\displaystyle Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .}$

Связь с геодезическими

Аффинная связность различает класс кривых, называемых (аффинными) геодезическими . ^[4] Гладкая кривая γ : I → M является аффинной геодезической, если она параллельно переносится вдоль , то есть ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,}$

Взяв производную по времени, это принимает более привычную форму

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,}$

Если ∇ — метрическая связность, то аффинные геодезические — это обычные геодезические римановой геометрии, и они являются локально минимизирующими расстояние кривыми. Точнее, сначала отметим, что если γ : I → M , где I — открытый интервал, является геодезической, то норма постоянна на I . Действительно, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.}$

Из применения леммы Гаусса следует , что если A является нормой , то расстояние, индуцированное метрикой, между двумя достаточно близкими точками на кривой γ , скажем, γ ( t ₁ ) и γ ( t ₂ ), определяется выражением ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.}$

Приведенная выше формула может оказаться неверной для точек, которые расположены недостаточно близко, поскольку геодезическая линия может, например, огибать многообразие (например, сферу).

Параллельный перенос на векторном расслоении

Параллельный перенос касательных векторов является частным случаем более общей конструкции, включающей произвольное векторное расслоение . В частности, параллельный перенос касательных векторов является случаем, где есть касательное расслоение . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM}$

Пусть M — гладкое многообразие. Пусть E  →  M — векторное расслоение со связностью ∇, а γ : I  →  M — гладкая кривая, параметризованная открытым интервалом I. Сечение вдоль γ называется параллельным , если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,}$

В случае, когда — касательное расслоение , где — касательное векторное поле, это выражение означает, что для каждого в интервале касательные векторы в являются «постоянными» (производная обращается в нуль) при бесконечно малом смещении от в направлении касательного вектора . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$

Предположим, что нам дан элемент e ₀ ∈ E _P в P = γ (0) ∈ M , а не сечение. Параллельный перенос e 0 _вдоль γ — это расширение e ₀ до параллельного сечения X на γ . Точнее, X — это уникальная часть E вдоль γ такая, что

1. ${\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}X=0}$
2. ${\displaystyle X_{\gamma (0)}=e_{0}.}$

Обратите внимание, что в любой заданной координатной области (1) определяет обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием , заданным формулой (2). Таким образом, теорема Пикара–Линделёфа гарантирует существование и единственность решения.

Таким образом, связь ∇ определяет способ перемещения элементов волокон вдоль кривой, и это обеспечивает линейные изоморфизмы между волокнами в точках вдоль кривой:

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

из векторного пространства, лежащего над γ( s ), в пространство над γ( t ). Этот изоморфизм известен как отображение параллельного переноса, связанное с кривой. Изоморфизмы между волокнами, полученные таким образом, будут, в общем случае, зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный перенос вдоль каждой кривой может быть использован для определения параллельных сечений E по всему M . Это возможно только в том случае, если кривизна ∇ равна нулю.

В частности, параллельный перенос вокруг замкнутой кривой, начинающейся в точке x, определяет автоморфизм касательного пространства в точке x , который не обязательно тривиален. Параллельные автоморфизмы переноса, определяемые всеми замкнутыми кривыми, основанными на точке x, образуют группу преобразований, называемую группой голономии ∇ в точке x . Существует тесная связь между этой группой и значением кривизны ∇ в точке x ; это содержание теоремы Эмброуза–Зингера о голономии .

Восстановление соединения с параллельного транспорта

При наличии ковариантной производной ∇ параллельный перенос вдоль кривой γ получается путем интегрирования условия . Наоборот, если доступно подходящее понятие параллельного переноса, то соответствующая связь может быть получена путем дифференцирования. Этот подход, по сути, принадлежит Кнебельману (1951); см. Гуггенхаймер (1977). Лумисте (2001) также принимает этот подход. ${\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}}$

Рассмотрим задание каждой кривой γ в многообразии набора отображений

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}$

такой что

1. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id}$, тождественное преобразование E _γ(s) .
2. ${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}$
3. Зависимость Γ от γ, s и t «плавная».

Понятие гладкости в условии 3. довольно трудно точно определить (см. обсуждение параллельного переноса в пучках волокон ниже). В частности, современные авторы, такие как Кобаяши и Номидзу, обычно рассматривают параллельный перенос соединения как происходящий от соединения в каком-то другом смысле, где гладкость выражается проще.

Тем не менее, учитывая такое правило для параллельного переноса, можно восстановить связанную инфинитезимальную связь в E следующим образом. Пусть γ — дифференцируемая кривая в M с начальной точкой γ(0) и начальным касательным вектором X = γ′(0). Если V — сечение E над γ, то пусть

${\displaystyle \nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.}$

Это определяет связанную бесконечно малую связь ∇ на E. Из этой бесконечно малой связи восстанавливается тот же параллельный перенос Γ.

Обобщения

Параллельный перенос может быть определен в большей общности для других типов связей, а не только для тех, которые определены в векторном расслоении. Одно обобщение касается главных связей (Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, Chapter II). Пусть P → M — главное расслоение над многообразием M со структурной группой Ли G и главной связью ω. Как и в случае векторных расслоений, главная связь ω на P определяет для каждой кривой γ в M отображение

${\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}}$

из слоя над γ( s ) в слой над γ( t ), который является изоморфизмом однородных пространств : т.е. для каждого g ∈ G . ${\displaystyle \Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}}$

Возможны также дальнейшие обобщения параллельного переноса. В контексте связностей Эресмана , где связь зависит от специального понятия « горизонтального подъема » касательных пространств, можно определить параллельный перенос через горизонтальные подъемы . Связи Картана — это связи Эресмана с дополнительной структурой, которая позволяет рассматривать параллельный перенос как отображение, «прокатывающее» определенное модельное пространство вдоль кривой в многообразии. Такое прокатывание называется развертыванием .

Приближение: лестница Шильда

Две ступени лестницы Шильда . Сегменты A ₁ X ₁ и A ₂ X ₂ являются приближением к первому порядку параллельного переноса A ₀ X ₀ вдоль кривой.

Параллельный перенос можно дискретно аппроксимировать лестницей Шильда , которая делает конечные шаги вдоль кривой и аппроксимирует параллелограммоиды Леви-Чивиты приближенными параллелограммами .

Смотрите также

• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Связь (математика)
• Развитие (дифференциальная геометрия)
• Аффинная связь
• Ковариантная производная
• Геодезические (общая теория относительности)
• Геометрическая фаза
• производная Ли
• Лестница Шильда
• Параллелограммоид Леви-Чивиты
• параллельная кривая , аналогично названная, но имеющая разное понятие

Примечания

1. В некоторых источниках, таких как Спивак ^[1]

Цитаты

1. Спивак 1999, стр. 234, т. 2, гл. 6.
2. Ли 2018, стр. 12-13.
3. Ли 2018, стр. 105-110.
4. (Кобаяши и Номидзу 1996, том 1, глава III)

Ссылки

• Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
• Кнебельман (1951), «Пространства относительного параллелизма», Annals of Mathematics , 2, 53 (3), The Annals of Mathematics, Vol. 53, No. 3: 387–399, doi :10.2307/1969562, JSTOR  1969562
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, том 1 , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; Том 2, ISBN 0-471-15732-5 . 
• Лумисте, Ю. (2001) [1994], «Связи на многообразии», Энциклопедия математики , EMS Press
• Спивак, Майкл (1999). Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию, т. II. Publish-or-Perish Press . ISBN 0914098713.
• Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.

Внешние ссылки

• Демонстрация сферической геометрии. Апплет, демонстрирующий параллельный перенос касательных векторов на сфере.