орбита Кеплера

Небесная орбита, траектория которой представляет собой коническое сечение в плоскости орбиты

Эллиптическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 0,7, параболическая орбита Кеплера и гиперболическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 1,3. Расстояние до фокальной точки является функцией полярного угла относительно горизонтальной линии, как указано в уравнении ( 13 )

В небесной механике орбита Кеплера (или кеплеровская орбита , названная в честь немецкого астронома Иоганна Кеплера ) — это движение одного тела относительно другого по эллипсу , параболе или гиперболе , которое образует двумерную орбитальную плоскость в трехмерном пространстве. Орбита Кеплера также может образовывать прямую линию . Она учитывает только точечное гравитационное притяжение двух тел, пренебрегая возмущениями, вызванными гравитационными взаимодействиями с другими объектами, атмосферным сопротивлением , давлением солнечного излучения , несферическим центральным телом и так далее . Таким образом, говорят, что это решение особого случая задачи двух тел , известной как задача Кеплера . Как теория в классической механике , она также не учитывает эффекты общей теории относительности . Кеплеровские орбиты могут быть параметризованы в шесть орбитальных элементов различными способами.

В большинстве приложений имеется большое центральное тело, центр масс которого предполагается как центр масс всей системы. Путем разложения орбиты двух объектов с одинаковой массой можно описать как орбиты Кеплера вокруг их общего центра масс, их барицентра .

Введение

С древних времен до XVI и XVII веков считалось, что движения планет следуют по идеально круговым геоцентрическим траекториям, как учили древнегреческие философы Аристотель и Птолемей . Изменения в движении планет объяснялись меньшими круговыми траекториями, наложенными на большую траекторию (см. эпицикл ). По мере того, как измерения планет становились все более точными, были предложены изменения в теории. В 1543 году Николай Коперник опубликовал гелиоцентрическую модель Солнечной системы , хотя он по-прежнему считал, что планеты движутся по идеально круговым траекториям с центром на Солнце. ^[1]

Развитие законов

В 1601 году Иоганн Кеплер приобрел обширные, тщательные наблюдения планет, сделанные Тихо Браге . Кеплер провел следующие пять лет, пытаясь подогнать наблюдения планеты Марс к различным кривым. В 1609 году Кеплер опубликовал первые два из трех своих законов движения планет . Первый закон гласит:

Орбита каждой планеты представляет собой эллипс , в фокусе которого находится Солнце .

В более общем смысле, траектория объекта, совершающего кеплеровское движение, может также следовать параболе или гиперболе , которые, наряду с эллипсами, принадлежат к группе кривых, известных как конические сечения . Математически расстояние между центральным телом и вращающимся по орбите телом можно выразить как:

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}$$

где:

• ${\displaystyle r}$это расстояние
• ${\displaystyle a}$большая полуось , которая определяет размер орбиты
• ${\displaystyle e}$это эксцентриситет , который определяет форму орбиты
• ${\displaystyle \theta }$— истинная аномалия , которая представляет собой угол между текущим положением объекта на орбите и точкой на орбите, в которой он находится ближе всего к центральному телу (называемой перицентром ) .

Альтернативно уравнение можно выразить так:

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}$$

Где называется полуширокая прямая кривой. Эта форма уравнения особенно полезна при работе с параболическими траекториями, для которых большая полуось бесконечна. ${\displaystyle p}$

Несмотря на то, что Кеплер разработал эти законы на основе наблюдений, ему так и не удалось разработать теорию, объясняющую эти движения. ^[2]

Исаак Ньютон

Между 1665 и 1666 годами Исаак Ньютон разработал несколько концепций, связанных с движением, гравитацией и дифференциальным исчислением. Однако эти концепции были опубликованы только в 1687 году в «Началах» , в которых он изложил свои законы движения и закон всемирного тяготения . Второй из трех его законов движения гласит:

Ускорение тела параллельно и прямо пропорционально равнодействующей сил, действующих на тело, направлено в направлении равнодействующей сил и обратно пропорционально массе тела :

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

Где:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$это вектор силы
• ${\displaystyle m}$масса тела, на которое действует сила
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$вектор ускорения, вторая производная по времени от вектора положения ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Строго говоря, эта форма уравнения применима только к объекту постоянной массы, что справедливо на основании упрощающих предположений, сделанных ниже.

Механизмы закона всемирного тяготения Ньютона; точечная масса m ₁ притягивает другую точечную массу m ₂ силой F ₂ , которая пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния ( r ) между ними. Независимо от масс или расстояния величины | F ₁ | и | F ₂ | всегда будут равны. G — гравитационная постоянная .

Закон тяготения Ньютона гласит:

Каждая точечная масса притягивает каждую другую точечную массу силой, направленной вдоль линии, пересекающей обе точки. Сила пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между точечными массами:

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$$

где:

• ${\displaystyle F}$это величина силы тяготения между двумя точечными массами
• ${\displaystyle G}$гравитационная постоянная
• ${\displaystyle m_{1}}$это масса первой точечной массы
• ${\displaystyle m_{2}}$это масса второй точечной массы
• ${\displaystyle r}$это расстояние между двумя точечными массами

Из законов движения и закона всемирного тяготения Ньютон смог вывести законы Кеплера, которые являются специфическими для орбитального движения в астрономии. Поскольку законы Кеплера были хорошо подкреплены данными наблюдений, эта согласованность обеспечила сильную поддержку справедливости обобщенной теории Ньютона и единой небесной и обычной механики. Эти законы движения легли в основу современной небесной механики , пока Альберт Эйнштейн не ввел концепции специальной и общей теории относительности в начале 20-го века. Для большинства приложений движение Кеплера приближает движения планет и спутников к относительно высокой степени точности и широко используется в астрономии и астродинамике .

Упрощенная задача двух тел

Чтобы решить задачу о движении объекта в системе двух тел , можно сделать два упрощающих предположения:

1. Тела сферически симметричны и могут рассматриваться как точечные массы.
2. На тела не действуют никакие внешние или внутренние силы, кроме их взаимного тяготения.

Формы крупных небесных тел близки к сферам. По симметрии, чистая гравитационная сила, притягивающая точечную массу к однородной сфере, должна быть направлена ​​к ее центру. Теорема оболочек (также доказанная Исааком Ньютоном) утверждает, что величина этой силы такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в середине сферы, даже если плотность сферы меняется с глубиной (как это происходит для большинства небесных тел). Из этого немедленно следует, что притяжение между двумя однородными сферами такое, как если бы обе имели свою массу, сосредоточенную в своем центре.

Более мелкие объекты, такие как астероиды или космические корабли, часто имеют форму, сильно отклоняющуюся от сферы. Но гравитационные силы, создаваемые этими неровностями, обычно малы по сравнению с гравитацией центрального тела. Разница между неправильной формой и идеальной сферой также уменьшается с расстоянием, и большинство орбитальных расстояний очень велики по сравнению с диаметром небольшого орбитального тела. Таким образом, для некоторых приложений неровностью формы можно пренебречь без существенного влияния на точность. Этот эффект весьма заметен для искусственных спутников Земли, особенно тех, которые находятся на низких орбитах.

Планеты вращаются с разной скоростью и, таким образом, могут принимать слегка сплющенную форму из-за центробежной силы. При такой сплющенной форме гравитационное притяжение будет несколько отклоняться от притяжения однородной сферы. На больших расстояниях эффект этой сплющенности становится пренебрежимо малым. Движения планет в Солнечной системе можно вычислить с достаточной точностью, если рассматривать их как точечные массы.

Два точечных массовых объекта с массами и и радиус-векторами относительно некоторой инерциальной системы отсчета испытывают гравитационные силы: ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$ $${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$

где — вектор относительного положения массы 1 по отношению к массе 2, выражаемый как: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$

и — единичный вектор в этом направлении, а — длина этого вектора. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle r}$

Разделив их на соответствующие массы и вычитая второе уравнение из первого, получаем уравнение движения для ускорения первого объекта относительно второго:

где - гравитационный параметр и равен ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$$

Во многих приложениях можно сделать третье упрощающее предположение:

3. По сравнению с центральным телом масса вращающегося тела незначительна. Математически m ₁ >> m ₂ , поэтому α = G ( m ₁ + m ₂ ) ≈ Gm ₁ . Такие стандартные гравитационные параметры , часто обозначаемые как , широко доступны для Солнца, больших планет и Луны, которые имеют гораздо большие массы, чем их вращающиеся спутники. ${\displaystyle \mu =G\,M}$ ${\displaystyle M}$

Это предположение не является необходимым для решения упрощенной задачи двух тел, но оно упрощает вычисления, особенно с вращающимися вокруг Земли спутниками и планетами, вращающимися вокруг Солнца. Даже масса Юпитера меньше массы Солнца в 1047 раз, ^[3] что составило бы ошибку в 0,096% в значении α. Известными исключениями являются система Земля-Луна (отношение масс 81,3), система Плутон-Харон (отношение масс 8,9) и двойные звездные системы.

При этих предположениях дифференциальное уравнение для случая двух тел может быть полностью решено математически, и результирующая орбита, которая следует законам Кеплера о движении планет, называется «орбитой Кеплера». Орбиты всех планет с высокой точностью являются орбитами Кеплера вокруг Солнца. Небольшие отклонения обусловлены гораздо более слабым гравитационным притяжением между планетами, а в случае Меркурия — общей теорией относительности . Орбиты искусственных спутников вокруг Земли с хорошим приближением являются орбитами Кеплера с небольшими возмущениями из-за гравитационного притяжения Солнца, Луны и сплющенности Земли. В высокоточных приложениях, для которых уравнение движения должно быть интегрировано численно со всеми гравитационными и негравитационными силами (такими как давление солнечного излучения и атмосферное сопротивление ), концепции орбиты Кеплера имеют первостепенное значение и широко используются.

Кеплеровские элементы

Кеплеровские орбитальные элементы .

Любая кеплеровская траектория может быть определена шестью параметрами. Движение объекта, движущегося в трехмерном пространстве, характеризуется вектором положения и вектором скорости. Каждый вектор имеет три компонента, поэтому общее число значений, необходимых для определения траектории в пространстве, равно шести. Орбита обычно определяется шестью элементами (известными как кеплеровские элементы ), которые могут быть вычислены из положения и скорости, три из которых уже обсуждались. Эти элементы удобны тем, что из шести пять являются неизменными для невозмущенной орбиты (резкий контраст с двумя постоянно меняющимися векторами). Будущее местоположение объекта в пределах его орбиты может быть предсказано, а его новое положение и скорость могут быть легко получены из орбитальных элементов.

Два определяют размер и форму траектории:

• Большая полуось ( ) ${\displaystyle a}$
• Эксцентриситет ( ) ${\displaystyle e}$

Ориентацию орбитальной плоскости определяют три :

• Наклон ( ) определяет угол между плоскостью орбиты и плоскостью отсчета. ${\displaystyle i}$
• Долгота восходящего узла ( ) определяет угол между направлением отсчета и восходящим пересечением орбиты на плоскости отсчета (восходящим узлом). ${\displaystyle \Omega }$
• Аргумент перицентра ( ) определяет угол между восходящим узлом и перицентром. ${\displaystyle \omega }$

И наконец:

• Истинная аномалия ( ) определяет положение орбитального тела вдоль траектории, измеренное от перицентра. Вместо истинной аномалии можно использовать несколько альтернативных значений, наиболее распространенными из которых являются средняя аномалия и , время с момента перицентра. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

Поскольку , и являются просто угловыми измерениями, определяющими ориентацию траектории в системе отсчета, они не являются строго необходимыми при обсуждении движения объекта в плоскости орбиты. Они были упомянуты здесь для полноты, но не требуются для доказательств ниже. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Математическое решение дифференциального уравнения (1) выше

При движении под действием любой центральной силы, т.е. силы, параллельной r , удельный относительный момент импульса остается постоянным: ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$$

Поскольку векторное произведение вектора положения и его скорости остается постоянным, они должны лежать в одной плоскости, ортогональной . Это означает, что векторная функция является плоской кривой . ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Поскольку уравнение имеет симметрию относительно начала координат, его легче решить в полярных координатах. Однако важно отметить, что уравнение ( 1 ) относится к линейному ускорению, а не к угловому или радиальному ускорению. Поэтому нужно быть осторожным при преобразовании уравнения. Вводя декартову систему координат и полярные единичные векторы в плоскости, ортогональной к : ${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$ ${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$ ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

Теперь мы можем переписать векторную функцию и ее производные как: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}$$

(см. « Векторное исчисление »). Подставляя их в ( 1 ), находим: $${\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}$$

Это дает обыкновенное дифференциальное уравнение относительно двух переменных и : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

Чтобы решить это уравнение, необходимо исключить все производные по времени. Это дает: $${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}$$

Взяв производную по времени от ( 3 ), получаем

Уравнения ( 3 ) и ( 4 ) позволяют нам исключить производные по времени от . Для того чтобы исключить производные по времени от , используется цепное правило для поиска соответствующих замен: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$

Используя эти четыре замены, все производные по времени в ( 2 ) могут быть исключены, что дает обыкновенное дифференциальное уравнение для как функции ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta .}$ $${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

Дифференциальное уравнение ( 7 ) можно решить аналитически путем замены переменных

Используя цепное правило для дифференциации, получаем:

Используя выражения ( 10 ) и ( 9 ) для и получаем ${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$

с общим решением

где e и — константы интегрирования, зависящие от начальных значений s и ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

Вместо явного использования константы интегрирования вводится соглашение, что единичные векторы , определяющие систему координат в плоскости орбиты, выбираются так, что принимает значение ноль, а e положительно. Это означает, что равно нулю в точке, где является максимальным и, следовательно, минимальным. Определяя параметр p как, имеем, что ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$$

Альтернативное происхождение

Другой способ решения этого уравнения без использования полярных дифференциальных уравнений заключается в следующем:

Определим единичный вектор , , такой, что и . Отсюда следует, что ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }$ $${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$$

Теперь рассмотрим $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$$

(см. векторное тройное произведение ). Обратите внимание, что $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$$

Подстановка этих значений в предыдущее уравнение дает: $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}$$

Интеграция обеих сторон: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$$

где c — постоянный вектор. Дополнение этого с r дает интересный результат: где — угол между и . Решение относительно r  : $${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.}$$

Обратите внимание, что фактически являются полярными координатами векторной функции. Сделав замены и , мы снова приходим к уравнению ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}$

Это уравнение в полярных координатах для конического сечения с началом в фокусе. Аргумент называется «истинная аномалия». ${\displaystyle \theta }$

Вектор эксцентриситета

Обратите внимание также, что, поскольку — это угол между вектором положения и константой интегрирования , вектор должен быть направлен в направлении перицентра орбиты . Тогда мы можем определить вектор эксцентриситета, связанный с орбитой, как: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ $${\displaystyle \mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$$

где — постоянный вектор момента импульса орбиты, а — вектор скорости, связанный с вектором положения . ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Очевидно, что вектор эксцентриситета , имеющий то же направление, что и константа интегрирования , также указывает на направление перицентра орбиты , и имеет величину орбитального эксцентриситета. Это делает его очень полезным при определении орбиты (OD) для орбитальных элементов орбиты, когда известен вектор состояния [ ] или [ ]. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$

Свойства уравнения траектории

Это окружность с радиусом p . ${\displaystyle e=0}$

Ибо это эллипс с ${\displaystyle 0<e<1,}$

Ибо это парабола с фокусным расстоянием ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

Ибо это гипербола с ${\displaystyle e>1}$

На следующем рисунке изображены круг (серый), эллипс (красный), парабола (зеленый) и гипербола (синий).

Диаграмма различных форм орбиты Кеплера и их эксцентриситетов. Синий цвет — гиперболическая траектория ( e > 1). Зеленый цвет — параболическая траектория ( e = 1). Красный цвет — эллиптическая орбита (0 < e < 1). Серый цвет — круговая орбита ( e = 0).

Точка на горизонтальной линии, выходящей вправо от фокуса, является точкой, для которой расстояние до фокуса принимает минимальное значение перицентр. Для эллипса также существует апоцентр, для которого расстояние до фокуса принимает максимальное значение Для гиперболы диапазон для равен а для параболы диапазон равен ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$$ $${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$$

Используя цепное правило для дифференцирования ( 5 ), уравнение ( 2 ) и определение p , получаем, что радиальная компонента скорости равна ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$

и что тангенциальная составляющая (составляющая скорости, перпендикулярная ) равна ${\displaystyle V_{r}}$

Связь между полярным аргументом и временем t несколько отличается для эллиптических и гиперболических орбит. ${\displaystyle \theta }$

Для эллиптической орбиты происходит переключение на « эксцентрическую аномалию » E , для которой

и следовательно

а момент импульса H равен

Интегрирование по времени t дает

в предположении, что время выбрано таким образом, что постоянная интегрирования равна нулю. ${\displaystyle t=0}$

Так как по определению p имеем

это можно написать

Для гиперболической орбиты используются гиперболические функции для параметризации

для которого есть

а момент импульса H равен

Интегрируя по времени t получаем

то есть

Чтобы найти время t, соответствующее определенной истинной аномалии, вычисляют соответствующий параметр E, связанный со временем соотношением ( 27 ) для эллиптической и соотношением ( 34 ) для гиперболической орбиты. ${\displaystyle \theta }$

Обратите внимание, что соотношения ( 27 ) и ( 34 ) определяют отображение между диапазонами $${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

Некоторые дополнительные формулы

Для эллиптической орбиты из ( 20 ) и ( 21 ) следует , что

и поэтому это

Из ( 36 ) следует, что $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

Из геометрической конструкции, определяющей эксцентрическую аномалию , ясно, что векторы и находятся по одну сторону от оси x . Из этого следует, что векторы и находятся в одном квадранте. Следовательно, имеем, что ${\displaystyle (\cos E,\sin E)}$ ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

и что

где " " — полярный аргумент вектора , а n выбирается таким образом, что ${\displaystyle \arg(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle |E-\theta |<\pi }$

Для численного вычисления стандартной функции ATAN2(y,x) (или с двойной точностью DATAN2(y,x)), доступной, например, в языке программирования FORTRAN, можно использовать. ${\displaystyle \arg(x,y)}$

Обратите внимание, что это сопоставление между диапазонами $${\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

Для гиперболической орбиты из ( 28 ) и ( 29 ) получаем , что

и поэтому это

Так как и так как и имеют одинаковый знак, то следует, что $${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$$ ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}$

Это отношение удобно для перехода между «истинной аномалией» и параметром E , последний связан со временем через отношение ( 34 ). Обратите внимание, что это отображение между диапазонами , и его можно вычислить с помощью отношения $${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$ ${\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}$ $${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$$

Из соотношения ( 27 ) следует, что орбитальный период P для эллиптической орбиты равен

Так как потенциальная энергия, соответствующая силовому полю соотношения ( 1 ), равна, то из ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии для эллиптической орбиты равна $${\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}}$$ $${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}$$

и из ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии для гиперболической орбиты равна

Относительно инерциальной системы координат в плоскости орбиты по направлению к перицентру из ( 18 ) и ( 19 ) получаем , что компоненты скорости равны $${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$

Уравнение центра связывает среднюю аномалию с истинной аномалией для эллиптических орбит при малом численном эксцентриситете.

Определение орбиты Кеплера, соответствующей заданному начальному состоянию

Это « задача начального значения » для дифференциального уравнения ( 1 ), которое является уравнением первого порядка для 6-мерного «вектора состояния», если записать его как ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

Для любых значений начального «вектора состояния» орбита Кеплера, соответствующая решению этой начальной задачи, может быть найдена с помощью следующего алгоритма: ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

Определим ортогональные единичные векторы через ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$

с и ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle V_{t}>0}$

Из ( 13 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что, установив

и определяя и таким образом, что ${\displaystyle e\geq 0}$ ${\displaystyle \theta }$

где

получается орбита Кеплера, которая для истинной аномалии имеет те же значения r и , что и определенные в ( 50 ) и ( 51 ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle V_{r}}$ ${\displaystyle V_{t}}$

Если эта орбита Кеплера также имеет те же векторы для этой истинной аномалии , что и определенные в ( 50 ) и ( 51 ), вектор состояния орбиты Кеплера принимает желаемые значения для истинной аномалии . ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$ ${\displaystyle \theta }$

Стандартная инерциально неподвижная система координат в плоскости орбиты (с направлением от центра однородной сферы к перицентру), определяющая ориентацию конического сечения (эллипса, параболы или гиперболы), может быть тогда определена с помощью соотношения ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$

Обратите внимание, что соотношения ( 53 ) и ( 54 ) имеют особенность, когда и т.е. ${\displaystyle V_{r}=0}$ $${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$$

что является случаем, когда это круговая орбита, соответствующая начальному состоянию ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

Оскулирующая орбита Кеплера

Для любого вектора состояния орбита Кеплера, соответствующая этому состоянию, может быть вычислена с помощью алгоритма, определенного выше. Сначала определяются параметры из , а затем ортогональные единичные векторы в плоскости орбиты с использованием соотношений ( 56 ) и ( 57 ). ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle p,e,\theta }$ ${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

Если теперь уравнение движения будет иметь вид

где — функция, отличная от результирующих параметров , , , , определяемых соотношением , все они будут изменяться со временем в отличие от случая орбиты Кеплера, для которой будет изменяться только параметр. $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$ $${\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta }$

Вычисленная таким образом орбита Кеплера, имеющая тот же «вектор состояния», что и решение «уравнения движения» ( 59 ) в момент времени t , в этот момент времени называется «оскулирующей».

Эта концепция полезна, например, в случае , когда $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

является небольшой "возмущающей силой", например, из-за слабого гравитационного притяжения других небесных тел. Параметры оскулирующей орбиты Кеплера будут тогда изменяться только медленно, и оскулирующая орбита Кеплера является хорошим приближением к реальной орбите в течение значительного периода времени до и после времени оскулирования.

Эта концепция также может быть полезна для ракеты во время полета с работающим двигателем, поскольку она определяет, по какой орбите Кеплера ракета продолжит движение в случае отключения тяги.

Для орбиты, «близкой к круговой», полезно понятие « вектор эксцентриситета », определяемое как . Из ( 53 ), ( 54 ) и ( 56 ) следует, что ${\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}$

т.е. является гладкой дифференцируемой функцией вектора состояния также и в том случае, если это состояние соответствует круговой орбите. ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

Смотрите также

• Задача двух тел
• проблема Кеплера
• Законы движения планет Кеплера
• Эллиптическая орбита
• Гиперболическая траектория
• Параболическая траектория
• Радиальная траектория
• Моделирование орбиты

Цитаты

1. Коперник. С. 513–514.
2. Бейт, Мюллер, Уайт. С. 177–181.
3. "NASA website". Архивировано из оригинала 16 февраля 2011 года . Получено 12 августа 2012 года .

Ссылки

• Эль-Ясберг «Теория полета искусственных спутников Земли», Израильская программа научных переводов (1967)
• Бейт, Роджер; Мюллер, Дональд; Уайт, Джерри (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-60061-0.
• Коперник, Николай (1952), «Книга I, Глава 4, Движение небесных тел регулярно, кругообразно и вечно — или же составлено из круговых движений», О вращении небесных сфер , Великие книги западного мира, т. 16, перевод Чарльза Гленна Уоллиса, Чикаго: Уильям Бентон, стр. 497–838

Внешние ссылки

• Апплет JAVA, анимирующий орбиту спутника на эллиптической кеплеровской орбите вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.