Хороцикл

Кривая, нормали которой сходятся асимптотически

Синий орицикл в модели диска Пуанкаре и некоторые красные нормали. Нормали сходятся асимптотически к верхней центральной идеальной точке .

В гиперболической геометрии орицикл ( от греческих корней, означающих «граничный круг»), иногда называемый орициклом или предельным кругом , представляет собой кривую постоянной кривизны , где все перпендикулярные геодезические ( нормали ), проходящие через точку на орицикле, являются предельными параллельными , и все они асимптотически сходятся к одной идеальной точке, называемой центром орицикла. В некоторых моделях гиперболической геометрии выглядит так, как будто два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и к его центру, это не так; два «конца» орицикла становятся все дальше и дальше друг от друга и остаются на бесконечном расстоянии от его центра. Орисфера — это трехмерная версия орицикла.

В евклидовом пространстве все кривые постоянной кривизны являются либо прямыми линиями (геодезическими), либо окружностями , но в гиперболическом пространстве секционной кривизны кривые постоянной кривизны бывают четырех типов: геодезические с кривизной, гиперциклы с кривизной, орициклы с кривизной и окружности с кривизной. ${\displaystyle -1,}$ ${\displaystyle \kappa =0,}$ ${\displaystyle 0<|\kappa |<1,}$ ${\displaystyle |\kappa |=1,}$ ${\displaystyle |\kappa |>1.}$

Любые два орицикла конгруэнтны и могут быть наложены друг на друга посредством изометрии (переноса и вращения) гиперболической плоскости.

Орицикл также можно описать как предел окружностей, имеющих общую касательную в данной точке, поскольку их радиусы стремятся к бесконечности , или как предел гиперциклов, касающихся в точке, поскольку расстояния от их осей стремятся к бесконечности.

Два орицикла с одним и тем же центром называются концентрическими . Что касается концентрических окружностей, любая геодезическая, перпендикулярная орициклу, также перпендикулярна любому концентрическому орициклу.

Характеристики

• Через каждую пару точек проходит 2 орицикла. Центры орициклов являются идеальными точками серединного перпендикуляра отрезка между ними.
• Никакие три точки орицикла не лежат на одной прямой, окружности или гиперцикле.
• Все орициклы конгруэнтны . (Даже концентрические орициклы конгруэнтны друг другу)
• Прямая линия , окружность , гиперцикл или другой орицикл пересекает орицикл максимум в двух точках.
• Перпендикуляр к хорде орицикла является нормалью этого орицикла, а биссектриса делит пополам дугу, опирающуюся на хорду, и является осью симметрии этого орицикла.
• Длина дуги орицикла между двумя точками равна:

длиннее, чем длина отрезка прямой между этими двумя точками,

длиннее, чем длина дуги гиперцикла между этими двумя точками и

короче длины любой дуги окружности между этими двумя точками.

• Расстояние от орицикла до его центра бесконечно, и хотя в некоторых моделях гиперболической геометрии кажется, что два «конца» орицикла становятся все ближе и ближе друг к другу и к его центру, это не так; два «конца» орицикла все дальше и дальше удаляются друг от друга.
• Правильный апейрогон описывается либо орициклом, либо гиперциклом.
• Если C — центр орицикла, а A и B — точки на орицикле, то углы CAB и CBA равны. ^[1]
• Площадь сектора орицикла (площадь между двумя радиусами и орициклом) конечна. ^[2]

Стандартизированная гауссова кривизна

Когда гиперболическая плоскость имеет стандартизированную гауссову кривизну K, равную −1:

• Длина s дуги орицикла между двумя точками равна: где d — расстояние между двумя точками, а sinh и cosh — гиперболические функции . ^[3 ] $${\displaystyle s=2\sinh \left({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}}}$$
• Длина дуги орицикла, касательная к одному концу которой является предельной и параллельной радиусу, проходящему через другой конец, равна 1. ^[4] Площадь, заключенная между этим орициклом и радиусами, равна 1. ^[5]
• Отношение длин дуг между двумя радиусами двух концентрических орициклов, находящихся на расстоянии 1 друг от друга, равно e  : 1. ^[6]

Представления в моделях гиперболической геометрии

Апейрогональная мозаика порядка 3 , {∞,3}, заполняет гиперболическую плоскость апейрогонами , вершины которых расположены вдоль орициклических путей.

Модель диска Пуанкаре

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости орициклы представлены окружностями, касательными к граничной окружности; центр орицикла является идеальной точкой, в которой орицикл касается граничной окружности.

Построение двух орициклов, проходящих через две точки, с помощью циркуля и линейки представляет собой то же самое построение, что и построение CPP для особых случаев задачи Аполлония , где обе точки находятся внутри окружности.

В модели диска Пуанкаре это выглядит так, как будто точки вблизи противоположных «концов» орицикла приближаются друг к другу и к центру орицикла (на граничной окружности), но в гиперболической геометрии каждая точка на орицикле бесконечно удалена от центра орицикла. Кроме того, расстояние между точками на противоположных «концах» орицикла увеличивается по мере увеличения длины дуги между этими точками. (Евклидова интуиция может быть обманчивой, поскольку масштаб модели увеличивается до бесконечности на граничной окружности.)

Модель полуплоскости Пуанкаре

В модели полуплоскости Пуанкаре орициклы представлены окружностями, касательными к граничной линии, и в этом случае их центр является идеальной точкой, в которой окружность касается граничной линии.

Если центр орицикла является идеальной точкой, то орицикл представляет собой линию, параллельную граничной линии. ${\displaystyle y=\infty }$

Построение с помощью циркуля и линейки в первом случае такое же, как построение LPP ​​для особых случаев задачи Аполлония .

Модель гиперболоида

В модели гиперболоида орициклы представлены пересечениями гиперболоида с плоскостями, нормаль которых лежит на асимптотическом конусе (т.е. является нулевым вектором в трехмерном пространстве Минковского ).

Метрическая

Если метрика нормализована так, чтобы иметь гауссову кривизну  −1, то орицикл представляет собой кривую геодезической кривизны  1 в каждой точке.

Поток гороцикла

Каждый орицикл является орбитой унипотентной подгруппы PSL (2,R) в гиперболической плоскости. Более того, перемещение с единичной скоростью вдоль орицикла, касательного к заданному единичному касательному вектору, индуцирует поток на единичном касательном расслоении гиперболической плоскости. Этот поток называется орициклическим потоком гиперболической плоскости.

Отождествляя единичное касательное расслоение с группой PSL(2,R) , поток орицикла задается правым действием унипотентной подгруппы , где: То есть поток в момент времени, начинающийся с вектора, представленного как , равен . ${\displaystyle U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}}$ $${\displaystyle u_{t}=\pm \left({\begin{array}{cc}1&t\\0&1\end{array}}\right).}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle gu_{t}}$

Если — гиперболическая поверхность, то ее единичное касательное расслоение также поддерживает поток орицикла. Если униформизируется, так как единичное касательное расслоение отождествляется с , а поток, начинающийся с , задается выражением . Когда является компактным или, в более общем смысле, когда является решеткой , этот поток является эргодическим (относительно нормализованной меры Лиувилля ). Более того, в этой настройке теоремы Ратнера очень точно описывают возможные замыкания для его орбит. ^[7] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma g}$ ${\displaystyle t\mapsto \Gamma gu_{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Смотрите также

Окружности, видимые в аполлоновом уплотнении и касающиеся внешней окружности, можно считать орициклами в модели диска Пуанкаре.

• Горосфера
• Гиперцикл (геометрия)

Ссылки

1. Sossinsky, AB (2012). Геометрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 141–2. ISBN 9780821875711.
2. Coxeter, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. С. 243–244. ISBN 978-0-88385-522-5.
3. Смогоржевский (1976). Геометрия Лобачевского . М.: Мир. С. 65.
4. Sommerville, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Неизданное и неизмененное переиздание). Mineola, NY: Dover Publications. стр. 58. ISBN 0-486-44222-5.
5. Coxeter, HSM (1998). Неевклидова геометрия (6-е изд.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 250. ISBN 978-0-88385-522-5.
6. Sommerville, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Неизданное и неизмененное переиздание). Mineola, NY: Dover Publications. стр. 58. ISBN 0-486-44222-5.
7. Моррис, Дэйв Витте (2005). Теоремы Ратнера об унипотентных потоках . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. arXiv : math/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3. МР  2158954.

Дальнейшее чтение

• HSM Coxeter (1961) Введение в геометрию , §16.6: «Окружности, орициклы и равноотстоящие кривые», стр. 300, 1, John Wiley & Sons .
• Джон Стиллвелл (2005) Четыре столпа геометрии , Гл. 8 «Неевклидова геометрия», стр. 198, ISBN 0-387-25530-3