Гиперболическая геометрия

Неевклидова геометрия

Линии, проходящие через данную точку P и асимптотические к линии R

Треугольник, погруженный в плоскость седловидной формы ( гиперболический параболоид ), вместе с двумя расходящимися ультрапараллельными прямыми.

В математике гиперболическая геометрия (также называемая геометрией Лобачевского или геометрией Боляи - Лобачевского ) является неевклидовой геометрией . Постулат параллельности евклидовой геометрии заменяется следующим:

Для любой данной прямой R и точки P , не лежащей на R , в плоскости, содержащей и прямую R , и точку P , есть по крайней мере две различные прямые, проходящие через P , которые не пересекают R.

(Сравните вышеизложенное с аксиомой Плейфэра , современной версией постулата параллельности Евклида . )

Гиперболическая плоскость — это плоскость , каждая точка которой является седловой . Гиперболическая плоская геометрия — это также геометрия псевдосферических поверхностей , поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной . Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну, по крайней мере, в некоторых областях, где они локально напоминают гиперболическую плоскость.

Современное использование гиперболической геометрии находится в специальной теории относительности , особенно в модели Минковского .

Когда геометры впервые осознали, что работают не со стандартной евклидовой геометрией, они описали свою геометрию под разными именами; Феликс Кляйн наконец дал этому предмету название гиперболическая геометрия , чтобы включить его в редко используемую сейчас последовательность эллиптической геометрии ( сферическая геометрия ), параболической геометрии ( евклидова геометрия ) и гиперболической геометрии. В бывшем Советском Союзе ее обычно называют геометрией Лобачевского, по имени одного из ее первооткрывателей, русского геометра Николая Лобачевского .

Эта страница в основном посвящена двумерной (плоской) гиперболической геометрии, а также различиям и сходствам между евклидовой и гиперболической геометрией. См. Гиперболическое пространство для получения дополнительной информации о гиперболической геометрии, расширенной до трех и более измерений.

Характеристики

Связь с евклидовой геометрией

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии в двух измерениях.

Гиперболическая геометрия более тесно связана с евклидовой геометрией, чем кажется: единственным аксиоматическим отличием является постулат параллельности . Когда постулат параллельности удаляется из евклидовой геометрии, полученная геометрия становится абсолютной геометрией . Существует два вида абсолютной геометрии: евклидова и гиперболическая. Все теоремы абсолютной геометрии, включая первые 28 положений первой книги « Начал » Евклида , действительны в евклидовой и гиперболической геометрии. Предложения 27 и 28 первой книги «Начал» Евклида доказывают существование параллельных/непересекающихся прямых .

Это различие также имеет множество последствий: понятия, эквивалентные в евклидовой геометрии, не эквивалентны в гиперболической геометрии; необходимо вводить новые понятия. Кроме того, из-за угла параллельности гиперболическая геометрия имеет абсолютный масштаб , соотношение между измерениями расстояния и угла.

Линии

Одиночные линии в гиперболической геометрии обладают точно теми же свойствами, что и одиночные прямые в евклидовой геометрии. Например, две точки однозначно определяют линию, а сегменты линии можно бесконечно расширять.

Две пересекающиеся прямые обладают теми же свойствами, что и две пересекающиеся прямые в евклидовой геометрии. Например, две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке, пересекающиеся линии образуют равные противоположные углы, а смежные углы пересекающихся прямых являются дополнительными .

Когда вводится третья линия, то свойства пересекающихся линий могут отличаться от пересекающихся линий в евклидовой геометрии. Например, для данных двух пересекающихся прямых существует бесконечно много прямых, не пересекающих ни одну из данных прямых.

Все эти свойства не зависят от используемой модели, даже если линии могут выглядеть совершенно иначе.

Непересекающиеся/параллельные линии

Линии , проходящие через данную точку P и асимптотические к линии R.

Непересекающиеся линии в гиперболической геометрии также обладают свойствами, отличающимися от непересекающихся линий в евклидовой геометрии :

Для любой прямой R и любой точки P , не лежащей на R , в плоскости, содержащей прямую R и точку P , есть по крайней мере две различные прямые, проходящие через P , которые не пересекают R.

Это означает , что через P проходит бесконечное число компланарных прямых, не пересекающих R.

Эти непересекающиеся линии делятся на два класса:

• Две линии ( x и y на диаграмме) являются предельными параллелями (иногда их называют критически параллельными, хоропараллельными или просто параллельными): в направлении каждой из идеальных точек на «концах» R имеется по одной линии , асимптотически приближающейся к R. , всегда приближаясь к R , но никогда не встречая его.
• Все остальные непересекающиеся линии имеют точку минимального расстояния и расходятся с обеих сторон от этой точки и называются ультрапараллельными , расходящимися параллельными или иногда непересекающимися.

Некоторые геометры просто используют фразу « параллельные линии» для обозначения « ограничивающих параллельных линий», а ультрапараллельные линии означают просто непересекающиеся .

Эти ограничивающие параллели составляют угол θ с PB ; этот угол зависит только от гауссовой кривизны плоскости и расстояния РВ и называется углом параллельности .

Для ультрапараллельных линий теорема об ультрапараллели утверждает, что в гиперболической плоскости существует единственная линия, перпендикулярная каждой паре ультрапараллельных линий.

Круги и диски

В гиперболической геометрии длина окружности радиуса r больше . ${\displaystyle 2\pi r}$

Пусть , где – гауссова кривизна плоскости. В гиперболической геометрии отрицательное число, поэтому квадратный корень имеет положительное число. ${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Тогда длина окружности радиуса r равна:

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

А площадь вложенного диска равна:

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

Следовательно, в гиперболической геометрии отношение длины окружности к ее радиусу всегда строго больше , хотя его можно сделать сколь угодно близким, выбрав достаточно меньший круг. ${\displaystyle 2\pi }$

Если гауссова кривизна плоскости равна -1, то геодезическая кривизна круга радиуса r равна: ^[1] ${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$

Гиперциклы и орициклы

Гиперцикл и псевдогон в модели диска Пуанкаре

В гиперболической геометрии не существует прямой, все точки которой равноудалены от другой прямой. Вместо этого точки, имеющие одинаковое ортогональное расстояние от данной линии, лежат на кривой, называемой гиперциклом .

Другая специальная кривая — это орицикл , кривая, нормальные радиусы которой ( перпендикулярные линии) все ограничивают параллельно друг другу (все асимптотически сходятся в одном направлении к одной и той же идеальной точке — центру орицикла).

Через каждую пару точек проходит два орицикла. Центры орициклов являются идеальными точками серединного перпендикуляра отрезка между ними.

Учитывая любые три различные точки, все они лежат на прямой, гиперцикле , орицикле или окружности.

Длина отрезка — это кратчайшее расстояние между двумя точками . Длина дуги гиперцикла, соединяющего две точки, больше, чем у отрезка прямой, и короче, чем у орицикла, соединяющего те же две точки. Длины дуг обоих орициклов, соединяющих две точки, равны. Длина дуги окружности между двумя точками больше длины дуги орицикла, соединяющего две точки.

Если гауссова кривизна плоскости равна -1, то геодезическая кривизна орицикла равна 1, а гиперцикла находится между 0 и 1. ^[1]

Треугольники

В отличие от евклидовых треугольников, где сумма углов всегда равна π радиан (180°, прямой угол ), в гиперболической геометрии сумма углов гиперболического треугольника всегда строго меньше π радиан (180°, прямой угол ). Разница называется дефектом .

Площадь гиперболического треугольника определяется его дефектом в радианах, умноженным на R ² . Как следствие, все гиперболические треугольники имеют площадь, меньшую или равную R ² π. Площадь гиперболического идеального треугольника , у которого все три угла равны 0°, равна этому максимуму.

Как и в евклидовой геометрии , каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность . В гиперболической геометрии, если все три его вершины лежат на орицикле или гиперцикле , то треугольник не имеет описанной окружности .

Как и в сферической и эллиптической геометрии , в гиперболической геометрии, если два треугольника подобны, они должны быть конгруэнтны.

Правильный апейрогон и псевдогон

Апейрогон и описанный орицикл в модели диска Пуанкаре

Особыми многоугольниками в гиперболической геометрии являются правильные однородные многоугольники апейрогон и псевдогон с бесконечным числом сторон.

В евклидовой геометрии единственный способ построить такой многоугольник — это сделать так, чтобы длины сторон стремились к нулю и апейрогон был неотличим от круга, или сделать так, чтобы внутренние углы стремились к 180 градусам и апейрогон приближался к прямой линии.

Однако в гиперболической геометрии правильный апейрогон или псевдогон имеет стороны любой длины (т. е. он остается многоугольником с заметными сторонами).

Биссектрисы стороны и угла будут, в зависимости от длины стороны и угла между сторонами, предельной или расходящейся параллельностью (см. линии выше). Если биссектрисы являются предельной параллелью, то это апейрогон, и его можно вписать и описать концентрическими орициклами .

Если биссектрисы расходятся параллельно, то это псевдогон, и его можно вписать и описать гиперциклами ( все вершины находятся на одинаковом расстоянии от прямой, оси, а также середины боковых отрезков на равном расстоянии от одной и той же оси).

Мозаика

Ромбитригептагональная мозаика гиперболической плоскости в модели диска Пуанкаре

Как и в случае с евклидовой плоскостью, гиперболическую плоскость также можно замостить правильными многоугольниками в качестве граней .

Существует бесконечное количество однородных мозаик, основанных на треугольниках Шварца ( p q r ), где 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1, где p ,  q ,  r — каждый порядок симметрии отражения в трех точках Фундаментальная область треугольника , группа симметрии является гиперболической группой треугольников . Существует также бесконечно много однородных мозаик, которые нельзя создать из треугольников Шварца, некоторые, например, требуют четырехугольников в качестве фундаментальных областей. ^[2]

Стандартизованная гауссова кривизна

Хотя гиперболическая геометрия применима к любой поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной , обычно предполагается масштаб, в котором кривизна K равна −1.

Это приводит к упрощению некоторых формул. Некоторые примеры:

• Площадь треугольника равна дефекту его угла в радианах .
• Площадь орициклического сектора равна длине его орициклической дуги.
• Дуга орицикла , в которой линия, касающаяся в одной конечной точке, ограничивается параллельно радиусу, проходящему через другую конечную точку, имеет длину 1. ^[3]
• Отношение длин дуг между двумя радиусами двух концентрических орициклов , где орициклы находятся на расстоянии 1 друг от друга, равно e  : 1. ^[3]

Декартовоподобные системы координат

По сравнению с евклидовой геометрией гиперболическая геометрия представляет многочисленные трудности для системы координат: сумма углов четырехугольника всегда меньше 360 градусов; нет равноотстоящих линий, поэтому правильный евклидов прямоугольник должен быть заключен в две линии и два гиперцикла; параллельная транспортировка отрезка линии вокруг четырехугольника заставляет его вращаться, когда он возвращается в начало координат; и т. д.

Однако существуют разные системы координат для геометрии гиперболической плоскости. Все они основаны на выборе точки (начала координат) на выбранной направленной линии (ось X ), после чего существует множество вариантов выбора.

Координаты Лобачевского x и y находятся путем опускания перпендикуляра на ось x . x будет меткой основания перпендикуляра. у будет расстояние по перпендикуляру данной точки от ее основания (положительное с одной стороны и отрицательное с другой).

Другая система координат измеряет расстояние от точки до орицикла через начало координат с центром и длину вдоль этого орицикла. ^[4] ${\displaystyle (0,+\infty )}$

Другие системы координат используют модель Клейна или модель диска Пуанкаре, описанную ниже, и принимают евклидовы координаты как гиперболические.

Расстояние

Декартова ^{система координат} ( x, y ) на ориентированной ^{гиперболической} плоскости строится следующим образом. Выберите линию в гиперболической плоскости вместе с ориентацией и началом координат o на этой линии. Затем:

• координата x точки — это расстояние со знаком ее проекции на линию (основание отрезка, перпендикулярного линии из этой точки) до начала координат;
• Координата y — это расстояние со знаком от точки до линии, причем знак соответствует тому, находится ли точка на положительной или отрицательной стороне ориентированной линии.

Расстояние между двумя точками, представленными ( x_i, y_i ), i=1,2 в этой системе координат, равно ^{[ требуется ссылка ]}

$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

Эту формулу можно вывести из формул о гиперболических треугольниках .

Соответствующее метрическое тензорное поле: . ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$

В этой системе координат прямые принимают одну из этих форм (( x , y ) — точка на линии; x ₀ , y ₀ , A и α — параметры):

ультрапараллельно оси x

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

асимптотически параллельны на отрицательной стороне

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

асимптотически параллельно с положительной стороны

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

пересекающиеся перпендикулярно

${\displaystyle x=x_{0}}$

пересекающиеся под углом α

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

Как правило, эти уравнения справедливы только в ограниченной области ( значений x ). На границе этой области значение y достигает ±бесконечности. См. также Системы координат для гиперболической плоскости#Полярная система координат .

История

Со времени публикации « Начал » Евклида около 300 г. до н. э. многие геометры предпринимали попытки доказать постулат о параллельности . Некоторые пытались доказать это, предполагая его отрицание и пытаясь вывести противоречие . Первыми среди них были Прокл , Ибн аль-Хайсам (Альхасен), Омар Хайям , ^[5] Насир ад-Дин ат-Туси , Витело , Герсонид , Альфонсо , а позже Джованни Джероламо Саккери , Джон Уоллис , Иоганн Генрих Ламберт и Лежандр . ^[6] Их попытки были обречены на провал (как мы теперь знаем, постулат о параллельности не доказуем на основе других постулатов), но их усилия привели к открытию гиперболической геометрии.

Теоремы Альхасена, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ибн аль-Хайсама-Ламберта и четырехугольник Хайяма-Саккери , были первыми теоремами по гиперболической геометрии. Их работы по гиперболической геометрии оказали значительное влияние на ее развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Герсонида, Альфонсо, Джона Уоллиса и Саккери. ^[7]

В 18 веке Иоганн Генрих Ламберт ввёл гиперболические функции ^[8] и вычислил площадь гиперболического треугольника . ^[9]

События XIX века

В 19 веке гиперболическую геометрию широко исследовали Николай Иванович Лобачевский , Янош Бойяи , Карл Фридрих Гаусс и Франц Тауринус . В отличие от своих предшественников, которые просто хотели исключить постулат о параллельности из аксиом евклидовой геометрии, эти авторы осознали, что открыли новую геометрию. ^{[10] [11]} Гаусс написал в письме 1824 года Францу Тауринусу, что он построил его, но Гаусс не опубликовал свою работу. Гаусс назвал ее « неевклидовой геометрией » ^[12] , в результате чего некоторые современные авторы продолжают считать «неевклидову геометрию» и «гиперболическую геометрию» синонимами. Таурин опубликовал результаты по гиперболической тригонометрии в 1826 году, утверждал, что гиперболическая геометрия самосогласована, но все же верил в особую роль евклидовой геометрии. Полная система гиперболической геометрии была опубликована Лобачевским в 1829/1830 году, а Бояи открыл ее независимо и опубликовал в 1832 году.

В 1868 году Эухенио Бельтрами представил модели (см. ниже) гиперболической геометрии и использовал их, чтобы доказать, что гиперболическая геометрия непротиворечива тогда и только тогда, когда таковой является евклидова геометрия.

Термин «гиперболическая геометрия» был введен Феликсом Кляйном в 1871 году. ^[13] Кляйн последовал инициативе Артура Кэли использовать преобразования проективной геометрии для создания изометрий . Идея использовала коническое сечение или квадрику для определения области и использовала перекрестное соотношение для определения метрики . Проективные преобразования, которые оставляют коническое сечение или квадрику устойчивыми, являются изометриями. «Кляйн показал, что если абсолют Кэли является вещественной кривой, то часть проективной плоскости внутри нее изометрична гиперболической плоскости...» ^[14]

Для получения дополнительной истории см. статью о неевклидовой геометрии и ссылки Коксетера ^[15] и Милнора . ^[16]

Философские последствия

Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия. До его открытия многие философы (например, Гоббс и Спиноза ) рассматривали философскую строгость с точки зрения «геометрического метода», ссылаясь на метод рассуждения, используемый в « Началах » Евклида .

Кант в «Критике чистого разума» пришел к выводу, что пространство (в евклидовой геометрии ) и время не открываются людьми как объективные характеристики мира, но являются частью неизбежной систематической структуры для организации нашего опыта. ^[17]

Говорят, что Гаусс ничего не публиковал о гиперболической геометрии из-за страха перед «недовольством беотийцев » , которое разрушило бы его статус Princeps mathematicorum (лат. «Принц математиков»). ^[18] «Шум беотийцев» приходил и уходил, давая толчок к большим улучшениям в математической строгости , аналитической философии и логике . Гиперболическая геометрия наконец оказалась непротиворечивой и, следовательно, является еще одной допустимой геометрией.

Геометрия Вселенной (только пространственные измерения)

Поскольку евклидова, гиперболическая и эллиптическая геометрия непротиворечивы, возникает вопрос: какова реальная геометрия пространства, и если она гиперболическая или эллиптическая, какова ее кривизна?

Лобачевский уже пытался измерить кривизну Вселенной, измеряя параллакс Сириуса и рассматривая Сириус как идеальную точку угла параллелизма . Он понял, что его измерения недостаточно точны, чтобы дать однозначный ответ, но он пришел к выводу, что если геометрия Вселенной гиперболическая, то ее абсолютная длина по крайней мере в один миллион раз превышает диаметр земной орбиты (2 000 000  а.е. , 10 парсек ). ^[19] Некоторые утверждают, что его измерения были методологически ошибочными. ^[20]

Анри Пуанкаре в своем мысленном эксперименте «сфера-мир» пришел к выводу, что повседневный опыт не обязательно исключает другие геометрии.

Гипотеза геометризации дает полный список из восьми возможностей фундаментальной геометрии нашего пространства. Проблема с определением того, какой из них применим, заключается в том, что для достижения окончательного ответа нам нужно иметь возможность смотреть на чрезвычайно большие формы – намного большие, чем что-либо на Земле или, возможно, даже в нашей галактике. ^[21]

Геометрия Вселенной (специальная теория относительности)

Специальная теория относительности ставит пространство и время в равное положение, так что мы рассматриваем геометрию единого пространства-времени , а не рассматриваем пространство и время по отдельности. ^{[22] [23]} Геометрия Минковского заменяет геометрию Галилея (которая представляет собой трехмерное евклидово пространство со временем теории относительности Галилея ). ^[24]

В теории относительности вместо рассмотрения евклидовой, эллиптической и гиперболической геометрии подходящими геометриями являются пространство Минковского , пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера , ^{[25] [26]} , соответствующие нулевой, положительной и отрицательной кривизне соответственно.

Гиперболическая геометрия входит в специальную теорию относительности через быстроту , которая обозначает скорость и выражается гиперболическим углом . Изучение этой геометрии скорости получило название кинематической геометрии . Пространство релятивистских скоростей имеет трехмерную гиперболическую геометрию, где функция расстояния определяется из относительных скоростей «близких» точек (скоростей). ^[27]

Физические реализации гиперболической плоскости

Коллекция связанных крючком гиперболических плоскостей, имитирующих коралловый риф, Института рисования.

«Гиперболический футбольный мяч» — это бумажная модель, которая аппроксимирует (частично) гиперболическую плоскость, как усеченный икосаэдр аппроксимирует сферу.

В евклидовом пространстве существуют различные псевдосферы , имеющие конечную площадь постоянной отрицательной гауссовой кривизны.

По теореме Гильберта невозможно изометрически погрузить полную гиперболическую плоскость (полную регулярную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны ) в трехмерное евклидово пространство.

Другие полезные модели гиперболической геометрии существуют в евклидовом пространстве, в котором метрика не сохраняется. Особенно известная бумажная модель, основанная на псевдосфере , принадлежит Уильяму Терстону .

Искусство вязания крючком использовалось (см. «Математика и волокно» § Вязание и вязание крючком ) для демонстрации гиперболических плоскостей, первая такая демонстрация была проведена Дайной Тайминей . ^[28]

В 2000 году Кейт Хендерсон продемонстрировал быстро изготавливаемую бумажную модель, получившую название « гиперболический футбольный мяч » (точнее, усеченную треугольную мозаику 7-го порядка ). ^{[29] [30]}

Инструкции о том, как сделать гиперболическое лоскутное одеяло, разработанное Хеламаном Фергюсоном , ^[31] были предоставлены Джеффом Уиксом . ^[32]

Модели гиперболической плоскости

Различные псевдосферы – поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной – могут быть встроены в трехмерное пространство в соответствии со стандартной евклидовой метрикой и, таким образом, превращены в осязаемые физические модели. Из них наиболее известен трактоид (часто называемый псевдосферой); использование трактоида в качестве модели гиперболической плоскости аналогично использованию конуса или цилиндра в качестве модели евклидовой плоскости. Однако вся гиперболическая плоскость не может быть таким образом вложена в евклидово пространство, и для абстрактного исследования гиперболической геометрии более удобны различные другие модели.

Для гиперболической геометрии обычно используются четыре модели : модель Клейна , модель диска Пуанкаре , модель полуплоскости Пуанкаре и модель Лоренца или гиперболоида . Эти модели определяют гиперболическую плоскость, которая удовлетворяет аксиомам гиперболической геометрии. Несмотря на свои названия, первые три упомянутые выше были представлены как модели гиперболического пространства Бельтрами , а не Пуанкаре или Клейном . Все эти модели расширяются до большего количества размеров.

Модель Бельтрами – Клейна

Модель Бельтрами -Клейна , также известная как модель проективного диска, модель диска Клейна и модель Клейна , названа в честь Эухенио Бельтрами и Феликса Кляйна .

Для двух измерений эта модель использует внутреннюю часть единичного круга для полной гиперболической плоскости , а хорды этого круга представляют собой гиперболические линии.

Для более высоких измерений эта модель использует внутреннюю часть единичного шара , а хорды этого n -шара представляют собой гиперболические линии.

• Преимущество этой модели состоит в том, что линии прямые, но недостатком является то, что углы искажаются (отображение не является конформным ), а также круги не представляются как круги.
• Расстояние в этой модели составляет половину логарифма перекрестного отношения , которое было введено Артуром Кэли в проективной геометрии .

Модель диска Пуанкаре.

Модель диска Пуанкаре с усеченной трехгептагональной мозаикой

Модель диска Пуанкаре , также известная как модель конформного диска, также использует внутреннюю часть единичного круга , но линии представлены дугами окружностей, ортогональными граничному кругу, плюс диаметры граничного круга.

• Эта модель сохраняет углы и поэтому является конформной . Таким образом, все изометрии в этой модели являются преобразованиями Мёбиуса .
• Круги, полностью находящиеся внутри диска, остаются кругами, хотя евклидов центр круга ближе к центру диска, чем гиперболический центр круга.
• Ороциклы — это круги внутри диска, которые касаются граничного круга за вычетом точки контакта.
• Гиперциклы — это открытые хорды и дуги окружности внутри диска, которые заканчиваются на граничной окружности под неортогональными углами.

Модель полуплоскости Пуанкаре.

Модель полуплоскости Пуанкаре рассматривает половину евклидовой плоскости, ограниченную линией B плоскости, в качестве модели гиперболической плоскости. Линия B не включена в модель.

Евклидовой плоскостью можно считать плоскость с декартовой системой координат , ось x принимается за линию B , а полуплоскость - это верхняя половина ( y > 0) этой плоскости.

• Гиперболические линии тогда представляют собой либо полукруги, ортогональные B , либо лучи, перпендикулярные B .
• Длина интервала луча задается логарифмической мерой , поэтому она инвариантна относительно гомотетического преобразования. ${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• Как и модель диска Пуанкаре, эта модель сохраняет углы и, следовательно, является конформной . Таким образом, все изометрии в этой модели являются преобразованиями Мёбиуса плоскости.
• Модель полуплоскости является пределом модели диска Пуанкаре, граница которой касается B в той же точке, а радиус модели диска стремится к бесконечности.

Модель гиперболоида

Модель гиперболоида или модель Лоренца использует двумерный гиперболоид вращения (из двух листов, но с использованием одного), встроенный в трехмерное пространство Минковского . Эту модель обычно приписывают Пуанкаре, но Рейнольдс ^[33] говорит, что Вильгельм Киллинг использовал эту модель в 1885 году.

• Эта модель имеет прямое применение к специальной теории относительности , поскольку трехмерное пространство Минковского представляет собой модель пространства-времени , подавляющую одно пространственное измерение. Можно использовать гиперболоид для представления событий (положений в пространстве-времени), которых различные инерциально движущиеся наблюдатели, начиная с общего события, достигнут за фиксированное собственное время .
• Тогда гиперболическое расстояние между двумя точками на гиперболоиде можно отождествить с относительной скоростью между двумя соответствующими наблюдателями.
• Модель непосредственно обобщается на дополнительное измерение: трехмерная гиперболическая геометрия гиперболического трехмерного пространства относится к четырехмерному пространству Минковского.

Модель полушария

Модель полушария сама по себе не часто используется как модель, но она служит полезным инструментом для визуализации преобразований между другими моделями.

Модель полушария использует верхнюю половину единичной сферы : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

Гиперболические линии представляют собой полукруги, ортогональные границе полушария.

Модель полусферы является частью сферы Римана , а разные проекции дают разные модели гиперболической плоскости:

• Стереографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки на модель диска Пуанкаре. ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle z=0}$
• Стереографическая проекция на поверхность проецирует соответствующие точки на модель гиперболоида. ${\displaystyle (0,0,-1)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$
• Стереографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки на модели полуплоскости Пуанкаре. ${\displaystyle (-1,0,0)}$ ${\displaystyle x=1}$
• Ортографическая проекция на плоскость проецирует соответствующие точки модели Бельтрами-Клейна . ${\displaystyle z=C}$
• Центральная проекция центра сферы на плоскость проецирует соответствующие точки модели Ганса. ${\displaystyle z=1}$

См. далее: Связь между моделями (ниже)

Модель Ганса

В 1966 году Дэвид Ганс предложил модель сплюснутого гиперболоида в журнале American Mathematical Monthly . ^[34] Это орфографическая проекция модели гиперболоида на плоскость xy. Эта модель не так широко используется, как другие модели, но, тем не менее, весьма полезна для понимания гиперболической геометрии.

• В отличие от моделей Клейна и Пуанкаре, эта модель использует всю евклидову плоскость .
• Линии в этой модели представлены как ветви гиперболы . ^[35]

Модель группы

Ленточная модель использует часть евклидовой плоскости между двумя параллельными линиями. ^[36] Расстояние сохраняется по одной линии, проходящей через середину полосы. Предполагая, что полоса задана , метрика определяется . ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|\operatorname {Im} z|<\pi /2\}}$ ${\displaystyle |dz|\sec(\operatorname {Im} z)}$

Связь между моделями

Модели диска Пуанкаре, полусферы и гиперболоида связаны стереографической проекцией от −1. Модель Бельтрами-Клейна представляет собой ортогональную проекцию полусферической модели. Модель полуплоскости Пуанкаре здесь проецируется из полусферической модели лучами от левого конца модели диска Пуанкаре.

Все модели по существу описывают одну и ту же структуру. Разница между ними в том, что они представляют собой разные координатные карты , положенные на одно и то же метрическое пространство , а именно на гиперболическую плоскость. Характерной особенностью самой гиперболической плоскости является то, что она имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну , которая безразлична к используемой координатной карте. Геодезические аналогичным образом инвариантны: то есть геодезические отображаются в геодезические при преобразовании координат . Гиперболическая геометрия обычно вводится в терминах геодезических и их пересечений на гиперболической плоскости. ^[37]

Выбрав координатную карту (одну из «моделей»), мы всегда можем встроить ее в евклидово пространство той же размерности, но встраивание явно не изометрично (поскольку кривизна евклидова пространства равна 0). Гиперболическое пространство может быть представлено бесконечным множеством различных карт; но вложения в евклидово пространство благодаря этим четырем конкретным картам демонстрируют некоторые интересные характеристики.

Поскольку четыре модели описывают одно и то же метрическое пространство, каждая из них может быть преобразована в другую.

См., например:

• связь модели Бельтрами – Клейна с моделью гиперболоида ,
• связь модели Бельтрами – Клейна с моделью диска Пуанкаре ,
• и связь модели диска Пуанкаре с моделью гиперболоида .

Изометрии гиперболической плоскости

Любая изометрия ( преобразование или движение ) гиперболической плоскости самой себе может быть реализована как композиция не более чем трех отражений . В n -мерном гиперболическом пространстве может потребоваться до n +1 отражений. (Это также верно для евклидовой и сферической геометрии, но приведенная ниже классификация отличается.)

Все изометрии гиперболической плоскости можно разделить на следующие классы:

• Сохранение ориентации
  • тождественная изометрия — ничего не движется; нулевые отражения; ноль степеней свободы .
  • инверсия через точку (полуоборот) — два отражения через взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через данную точку, т.е. поворот на 180 градусов вокруг точки; две степени свободы .
  • вращение вокруг нормальной точки — два отражения через прямые, проходящие через данную точку (включая инверсию как частный случай); точки перемещаются по кругам вокруг центра; три степени свободы.
  • «вращение» вокруг идеальной точки (горолация) — два отражения через линии, ведущие к идеальной точке; точки движутся по орициклам с центром в идеальной точке; две степени свободы.
  • перенос по прямой — два отражения через прямые, перпендикулярные данной линии; точки вне заданной линии движутся по гиперциклам; три степени свободы.
• Изменение ориентации
  • отражение через линию — одно отражение; две степени свободы.
  • комбинированное отражение через линию и перенос вдоль этой же линии — отражение и перевод коммутируют; требуется три отражения; три степени свободы. ^{[ нужна цитата ]}

Гиперболическая геометрия в искусстве

Знаменитые гравюры М. К. Эшера Circle Limit III и Circle Limit IV достаточно хорошо иллюстрируют конформную модель диска ( модель диска Пуанкаре ). Белые линии в III не совсем геодезические (это гиперциклы ), но близки к ним. Также можно совершенно ясно увидеть отрицательную кривизну гиперболической плоскости через ее влияние на сумму углов в треугольниках и квадратах.

Например, в Circle Limit III каждая вершина принадлежит трем треугольникам и трем квадратам. В евклидовой плоскости их углы в сумме составляли бы 450°; т. е. круг и четверть. Отсюда мы видим, что сумма углов треугольника в гиперболической плоскости должна быть меньше 180°. Еще одним видимым свойством является экспоненциальный рост . Например, в Circle Limit III можно увидеть, что количество рыб на расстоянии n от центра растет экспоненциально. Рыбы имеют одинаковую гиперболическую площадь, поэтому площадь шара радиуса n должна расти экспоненциально по n .

Искусство вязания крючком использовалось для демонстрации гиперболических плоскостей (на фото выше), первая из которых была создана Дайной Тайминей ^[28] , чья книга « Приключения крючком с гиперболическими плоскостями» выиграла в 2009 году премию Bookseller/Diagram Prize за самое странное название года . ^[38]

HyperRogue — это игра в стиле рогалик , действие которой происходит на различных участках гиперболической плоскости .

Высшие измерения

Гиперболическая геометрия не ограничивается двумя измерениями; гиперболическая геометрия существует для любого большего числа измерений.

Однородная структура

Гиперболическое пространство размерности n является частным случаем риманова симметрического пространства некомпактного типа, поскольку оно изоморфно фактору

${\displaystyle \mathrm {O} (1,n)/(\mathrm {O} (1)\times \mathrm {O} (n)).}$

Ортогональная группа O(1, n ) действует сохраняющими норму преобразованиями в пространстве Минковского R ^{1, n} и действует транзитивно на двухполостном гиперболоиде векторов нормы 1. Временноподобные линии (т.е. линии с тангенсами положительной нормы), проходящие через начало координат, проходят через противоположные точки гиперболоида, поэтому пространство таких линий дает модель гиперболического n -пространства. Стабилизатор любой конкретной прямой изоморфен произведению ортогональных групп O( n ) и O(1), где O( n ) действует на касательном пространстве точки гиперболоида, а O(1) отражает линию через происхождение. Многие элементарные понятия гиперболической геометрии могут быть описаны в терминах линейной алгебры : геодезические пути описываются пересечениями плоскостей через начало координат, двугранные углы между гиперплоскостями могут быть описаны скалярными произведениями нормальных векторов, а гиперболические группы отражений могут быть заданы в явном виде. матричные реализации.

В малых размерностях существуют исключительные изоморфизмы групп Ли , которые открывают дополнительные способы рассмотрения симметрий гиперболических пространств. Например, в размерности 2 изоморфизмы SO ⁺ (1, 2) ≅ PSL(2, R ) ≅ PSU(1, 1) позволяют интерпретировать модель верхней полуплоскости как фактор SL(2, R )/SO (2) и модель диска Пуанкаре как фактор SU(1, 1)/U(1) . В обоих случаях группы симметрии действуют посредством дробно-линейных преобразований, поскольку обе группы являются сохраняющими ориентацию стабилизаторами в PGL(2, C ) соответствующих подпространств сферы Римана. Преобразование Кэли не только переводит одну модель гиперболической плоскости в другую, но и реализует изоморфизм групп симметрии как сопряжение в большей группе. В размерности 3 дробно-линейное действие PGL(2, C ) на сфере Римана отождествляется с действием на конформной границе гиперболического 3-пространства, индуцированным изоморфизмом O ⁺ (1, 3) ≅ PGL(2, C ) . Это позволяет изучать изометрии гиперболического трехмерного пространства путем рассмотрения спектральных свойств представительных комплексных матриц. Например, параболические преобразования сопряжены с жесткими сдвигами в модели верхнего полупространства, и это именно те преобразования, которые могут быть представлены унипотентными верхнетреугольными матрицами .

Смотрите также

• Модель группы
• Конструкции в гиперболической геометрии.
• Преобразование Ельмслева
• Гиперболическое 3-многообразие
• Гиперболическое многообразие
• Гиперболический набор
• Гиперболическое дерево
• Кляйнианская группа
• Четырехугольник Ламберта
• Открытая вселенная
• Метрика Пуанкаре
• Четырехугольник Саккери
• Систолическая геометрия
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• δ-гиперболическое пространство

Примечания

1. «Кривизна кривых на гиперболической плоскости». математический стек обмена . Проверено 24 сентября 2017 г.
2. Хайд, ST; Рамсден, С. (2003). «Некоторые новые трехмерные евклидовы кристаллические сети, полученные на основе двумерных гиперболических мозаик». Европейский физический журнал Б. 31 (2): 273–284. Бибкод : 2003EPJB...31..273H. CiteSeerX 10.1.1.720.5527 . doi : 10.1140/epjb/e2003-00032-8. S2CID  41146796. 
3. Соммервилл, DMY (2005). Элементы неевклидовой геометрии (Унабр. и неизмененное республиканское изд.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 58. ИСБН 0-486-44222-5.
4. Рамзи, Арлан; Рихтмайер, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 97–103. ISBN 0387943390.
5. См., например, «Омар Хайям 1048–1131». Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г. Проверено 5 января 2008 г.
6. "Семинар по неевклидовой геометрии". Math.columbia.edu . Проверено 21 января 2018 г.
7. Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, изд., Энциклопедия истории арабской науки , Vol. 2, с. 447–494 [470], Рутледж , Лондон и Нью-Йорк:

   «Три учёных, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой стала полностью осознаваться только в XIX веке. По существу их положения о свойствах четырёхугольников, которые они считали, что некоторые из углов этих фигур были острыми или тупыми, воплотили первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрии.Другие их предложения показали, что различные геометрические утверждения были эквивалентны постулату Евклида V. Чрезвычайно важно, что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника.Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики непосредственно повлияли на соответствующие исследования своих европейских коллег.Первая европейская попытка доказать постулат О параллельных линиях, сделанных Витело, польскими учеными XIII века, при пересмотре « Книги оптики » Ибн аль-Хайсама ( «Китаб аль-Маназир »), несомненно, было подсказано арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в XIV веке еврейским учёным Леви бен Герсоном , жившим на юге Франции, и упомянутым выше Альфонсо из Испании непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайсама. Выше мы показали, что « Изложение Евклида» Псевдо-Тузи стимулировало исследования теории параллельных прямых как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери».

8. Ивс, Ховард (2012), Основы и фундаментальные концепции математики, Courier Dover Publications, стр. 59, ISBN 9780486132204Мы также обязаны Ламберту первым систематическим развитием теории гиперболических функций и, более того, нашими современными обозначениями для этих функций.
9. Рэтклифф, Джон (2006), Основы гиперболических многообразий, Тексты для выпускников по математике, том. 149, Спрингер, с. 99, ISBN 9780387331973То , что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта « Теория параллелизма» , которая была опубликована посмертно в 1786 году.
10. Бонола, Р. (1912). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития. Чикаго: Открытый суд.
11. Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 177. ИСБН 0716724464. Из ничего я создал странную новую вселенную. ЯНОШ БОЛЬЯИ
12. Феликс Кляйн, Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия , Дувр, 1948 г. (перепечатка английского перевода 3-го издания, 1940 г. Первое издание на немецком языке, 1908 г.), стр. 176
13. Ф. Кляйн. «Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometry». Математика. Анна. 4, 573–625 (также в Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, 244–350).
14. Розенфельд, BA (1988) История неевклидовой геометрии , страница 236, Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4 
15. Коксетер, HSM , (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press, Торонто.
16. Милнор, Джон В. , (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. амер. Математика. Соц. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
17. Лукас, Джон Рэндольф (1984). Пространство, время и причинность . п. 149. ИСБН 0-19-875057-9.
18. Торретти, Роберто (1978). Философия геометрии от Римана до Пуанкаре . Дордрехт Голландия: Рейдель. п. 255.
19. Бонола, Роберто (1955). Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития (Полная и неизмененная республика 1. Английский перевод, 1912 г., изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр. п. 95. ИСБН 0486600270.
20. Рихтмайер, Арлан Рамзи, Роберт Д. (1995). Введение в гиперболическую геометрию. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 118–120. ISBN 0387943390.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
21. «Освещение математики - Раздел 8 - 8.8 Гипотеза о геометризации» . Learner.org . Проверено 21 января 2018 г.
22. Л.Д. Ландау; Э. М. Лифшиц (1973). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. стр. 1–4. ISBN 978-0-7506-2768-9.
23. Р.П. Фейнман; РБ Лейтон; М. Сэндс (1963). Фейнмановские лекции по физике . Том. 1. Эддисон Уэсли. п. (17-1)–(17-3). ISBN 0-201-02116-1.
24. Дж. Р. Форшоу ; А.Г. Смит (2008). Динамика и относительность . Манчестерская серия по физике. Уайли. стр. 246–248. ISBN 978-0-470-01460-8.
25. Миснер; Торн; Уилер (1973). Гравитация . стр. 21, 758.
26. Джон К. Бим; Пол Эрлих; Кевин Исли (1996). Глобальная лоренцева геометрия (второе изд.).
27. Л.Д. Ландау; Э. М. Лифшиц (1973). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт Хайнеманн. п. 38. ISBN 978-0-7506-2768-9.
28. «Гиперболическое пространство». Институт рисования . 21 декабря 2006 года . Проверено 15 января 2007 г.
29. «Как построить свой собственный гиперболический футбольный мяч» (PDF) . Theiff.org . Проверено 21 января 2018 г.
30. «Гиперболический футбол». Math.tamu.edu . Проверено 21 января 2018 г.
31. "Геламан Фергюсон, Гиперболическое одеяло" . Архивировано из оригинала 11 июля 2011 г.
32. «Как сшить гиперболическое одеяло» . Geometrygames.org . Проверено 21 января 2018 г.
33. Рейнольдс, Уильям Ф. , (1993) Гиперболическая геометрия на гиперболоиде , American Mathematical Monthly 100:442–455.
34. Ганс Давид (март 1966 г.). «Новая модель гиперболической плоскости». Американский математический ежемесячник . 73 (3): 291–295. дои : 10.2307/2315350. JSTOR  2315350.
35. vcoit (8 мая 2015 г.). «Отдел информатики» (PDF) .
36. «2» (PDF) . Теория Тейхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Хаббард, Джон Хамал. Итака, Нью-Йорк: Matrix Editions. 2006–2016 гг. п. 25. ISBN 9780971576629. OCLC  57965863.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
37. Арлан Рамзи, Роберт Д. Рихтмайер, Введение в гиперболическую геометрию , Springer; 1 издание (16 декабря 1995 г.)
38. Блоксхэм, Энди (26 марта 2010 г.). «Приключения крючком с гиперболическими плоскостями» получили награду за самое странное название книги». Телеграф .

Рекомендации

• А'Кампо, Норберт и Пападопулос, Атанасе, (2012) Заметки по гиперболической геометрии , в: Страсбургский мастер-класс по геометрии, стр. 1–182, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, Vol. 18, Цюрих: Европейское математическое общество (EMS), 461 страница, SBN ISBN 978-3-03719-105-7 , DOI 10.4171–105. 
• Коксетер, HSM , (1942) Неевклидова геометрия , University of Toronto Press, Торонто
• Фенхель, Вернер (1989). Элементарная геометрия в гиперболическом пространстве . Де Грюйтер Исследования по математике. Том. 11. Берлин-Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер и компания.
• Фенхель, Вернер ; Нильсен, Якоб (2003). Асмус Л. Шмидт (ред.). Разрывные группы изометрий в гиперболической плоскости . Де Грюйтер Исследования по математике. Том. 29. Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания.
• Лобачевский, Николай И., (2010) Пангеометрия , отредактированный и переведенный Афанасием Пападопулосом, «Наследие европейской математики», Vol. 4. Цюрих: Европейское математическое общество (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6 /hbk 
• Милнор, Джон В. , (1982) Гиперболическая геометрия: первые 150 лет , Bull. амер. Математика. Соц. (NS) Том 6, номер 1, стр. 9–24.
• Рейнольдс, Уильям Ф., (1993) Гиперболическая геометрия на гиперболоиде , American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Стиллвелл, Джон (1996). Источники гиперболической геометрии. История математики. Том. 10. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0529-9. МР  1402697.
• Сэмюэлс, Дэвид, (март 2006 г.) Журнал Knit Theory Discover Magazine, том 27, номер 3.
• Джеймс В. Андерсон, Гиперболическая геометрия , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9 
• Джеймс В. Кэннон, Уильям Дж. Флойд, Ричард Кеньон и Уолтер Р. Парри (1997) Гиперболическая геометрия , публикации MSRI, том 31.

Внешние ссылки

• Бесплатное программное обеспечение Javascript для создания эскизов в модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии Университета Нью-Мексико.
• «Песня о гиперболической геометрии». Короткий музыкальный видеоклип об основах гиперболической геометрии, доступный на YouTube.
• «Геометрия Лобачевского», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Пространство Гаусса – Бойяи – Лобачевского». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая геометрия». Математический мир .
• Дополнительная информация о гиперболической геометрии, включая фильмы и уравнения для преобразования между различными моделями Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн
• Гиперболические диаграммы Вороного стали проще, Фрэнк Нильсен
• Стотерс, Уилсон (2000). «Гиперболическая геометрия». maths.gla.ac.uk . Университет Глазго ., интерактивный обучающий веб-сайт.
• Гиперболические плоские мозаики
• Модели гиперболической плоскости