Расширение поля

Построение большего алгебраического поля путем «добавления элементов» к меньшему полю.

В математике , особенно в алгебре , расширение поля — это пара полей , в которых операции K аналогичны операциям L , ограниченным K. В этом случае L — поле расширения K , а K — подполе L. ^{[1] [2] [3]} Например, согласно обычным понятиям сложения и умножения , комплексные числа являются полем расширения действительных чисел ; действительные числа являются подполем комплексных чисел. ${\displaystyle K\subseteq L,}$

Расширения полей имеют фундаментальное значение в теории алгебраических чисел , а также при изучении корней многочленов с помощью теории Галуа и широко используются в алгебраической геометрии .

Подполе

Подполе поля — это подмножество , которое является полем относительно операций с полем, унаследованных от . Эквивалентно, подполе — это подмножество, содержащее и замкнутое при выполнении операций сложения, вычитания, умножения и обратного ненулевого элемента поля . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$

Поскольку 1 – 1 = 0 , последнее определение подразумевает и имеет тот же нулевой элемент. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

Например, поле рациональных чисел — это подполе действительных чисел , которое само по себе является подполем комплексных чисел. В более общем смысле, поле рациональных чисел является (или изоморфно ) подполем любого поля характеристики . ${\displaystyle 0}$

Характеристика подполя такая же , как и характеристика большего поля.

Поле расширения

Если K является подполем L , то L является полем расширения или просто расширением K , и эта пара полей является расширением поля . Такое расширение поля обозначается L / K (читается как « L над K »).

Если L является расширением F , которое, в свою очередь, является расширением K , то F называется промежуточным полем (или промежуточным расширением или подрасширением ) L / K .

Учитывая расширение поля L / K , большее поле L является K - векторным пространством . Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения и обозначается [ L  :  K ].

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В этом случае расширение представляет собойтривиальное расширение . Расширения степени 2 и 3 называютсяквадратичнымиикубическими расширениямисоответственно. Конечноерасширение— это расширение, имеющее конечную степень.

Учитывая два расширения L / K и M / L , расширение M / K конечно тогда и только тогда, когда оба L / K и M / L конечны. В этом случае имеется

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

Учитывая расширение поля L / K и подмножество S поля L , существует наименьшее подполе L , содержащее K и S. Это пересечение всех подполей L , содержащих K и S , и обозначается K ( S ) (читается как « K примыкают к S"). Говорят, чтоK(S) — это поле, порождённоеSнадK, и чтоS—порождающее множествоK(S)надK.Когдаоно конечно,вместои говорят,чтоK(С) есть ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$конечно порождено над K . Если S состоит из одного элемента s , расширение K ( s )/ K называется простым расширением ^{[4] [5]} , а s называется примитивным элементом расширения. ^[6]

Часто говорят, что поле расширения формы K ( S ) возникает в результатеприсоединение SкK.__^[7][8]

В характеристике 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивном элементе , которая не справедлива для полей ненулевой характеристики.

Если простое расширение K ( s )/ K не конечно, поле K ( s ) изоморфно полю рациональных дробей в s над K.

Предостережения

Обозначение L / K является чисто формальным и не предполагает образования факторкольца или факторгруппы или какого-либо другого вида деления. Вместо этого косая черта обозначает слово «над». В некоторой литературе используется обозначение L : K .

Часто желательно говорить о расширении поля в ситуациях, когда маленькое поле фактически не содержится в большем, а естественным образом встроено. Для этой цели абстрактно определяют расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями. Каждый ненулевой гомоморфизм колец между полями инъективен, поскольку поля не обладают нетривиальными собственными идеалами , поэтому расширения полей являются в точности морфизмами в категории полей .

В дальнейшем мы будем подавлять инъективный гомоморфизм и считать, что имеем дело с реальными подполями.

Примеры

Поле комплексных чисел является полем расширения поля действительных чисел и, в свою очередь, является полем расширения поля рациональных чисел . Очевидно, что это также расширение поля. У нас есть базис , поэтому расширение конечно. Это простое расширение, потому что ( мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}}$

Поле

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

является полем расширения также, очевидно, простого расширения. Степень равна 2, т.к. может служить основой. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$

Поле

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

является полем расширения обеих степеней 2 и 4 соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

Конечные расширения также называются полями алгебраических чисел и играют важную роль в теории чисел . Другое поле расширения рациональных чисел, которое также важно в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, — это поле p-адических чисел для простого числа p . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Обычно поле расширения данного поля K строится как факторкольцо кольца многочленов K [ X ] для того, чтобы «создать» корень для данного многочлена f ( X ). Предположим, например, что K не содержит ни одного элемента x с x ² = −1. Тогда многочлен неприводим в K [ X ], следовательно, идеал , порожденный этим многочленом, является максимальным и является полем расширения K , которое содержит элемент, квадрат которого равен −1 (а именно класс вычетов X ) . ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле разложения любого многочлена из K [ X ]. Это поле расширения L поля K , в котором данный полином распадается в произведение линейных множителей.

Если p — любое простое число и n — целое положительное число, существует единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле с pn ^{элементами} ; это поле расширения простого поля с p элементами. ${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Учитывая поле K , мы можем рассмотреть поле K ( X ) всех рациональных функций от переменной X с коэффициентами из K ; элементы K ( X ) являются дробями двух многочленов над K , и действительно K ( X ) является полем частных кольца многочленов K [ X ]. Это поле рациональных функций является полем расширения K. Это расширение бесконечно.

Для римановой поверхности M множество всех мероморфных функций , определенных на M , представляет собой поле, обозначаемое как Оно является трансцендентным полем расширения, если мы отождествляем каждое комплексное число с соответствующей постоянной функцией, определенной на M. В более общем смысле, учитывая алгебраическое многообразие V над некоторым полем K , функциональное поле K ( V ), состоящее из рациональных функций, определенных на V , является полем расширения K. ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Алгебраическое расширение

Элемент x расширения поля L / K является алгебраическим над K , если он является корнем ненулевого многочлена с коэффициентами из K. Например, является алгебраическим по рациональным числам, поскольку он является корнем. Если элемент x из L является алгебраическим над K , то монический многочлен наименьшей степени, имеющий x в качестве корня, называется минимальным многочленом от x . Этот минимальный полином неприводим над K . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Элемент s из L является алгебраическим над K тогда и только тогда, когда простое расширение K ( s )/ K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис K - векторного пространства K ( s ) состоит из где d - степень минимального многочлена. ${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$

Множество элементов L , которые являются алгебраическими над K , образуют подрасширение, которое называется алгебраическим замыканием K в L . Это следует из предыдущей характеристики: если s и t алгебраичны, расширения K ( s )/ K и K ( s )( t )/ K ( s ) конечны. Таким образом, K ( s , t )/ K также конечно, как и подрасширения K ( s ± t )/ K , K ( st )/ K и K (1/ s )/ K (если s ≠ 0 ). Отсюда следует, что все s ± t , st и 1/ s алгебраические.

Алгебраическое расширение L / K — это такое расширение, что каждый элемент L алгебраичен над K. Эквивалентно, алгебраическое расширение — это расширение, порожденное алгебраическими элементами. Например, является алгебраическим расширением , потому что и алгебраичны над ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Простое расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно конечно. Отсюда следует, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно представляет собой объединение своих конечных подрасширений и что каждое конечное расширение алгебраично.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое с точностью до изоморфизма является наибольшим полем расширения поля K , алгебраическим над K , а также наименьшим полем расширения, в котором каждый многочлен с коэффициентами из K имеет в нем корень. Например, является алгебраическим замыканием , но не алгебраическим замыканием , поскольку оно не является алгебраическим над (например, π не является алгебраическим над ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Трансцендентальное расширение

Учитывая расширение поля L / K , подмножество S в L называется алгебраически независимым над K , если среди элементов S не существует нетривиального полиномиального отношения с коэффициентами из K. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степенью трансцендентности L / K . Всегда можно найти множество S , алгебраически независимое над K , такое, что L / K ( S ) алгебраично. Такое множество S называется базисом трансцендентности L / K . Все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение L / K называетсячисто трансцендентно тогда и только тогда, когда существует базис трансцендентностиSгруппыL/Kтакой, чтоL=K(S). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементыLза исключением элементовK, трансцендентны надK, но, однако, существуют расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными — класс таких расширений принимает формуL/Kгде обаLиKалгебраически замкнуты.

Если L / K чисто трансцендентно и S является базисом трансцендентности расширения, из этого не обязательно следует, что L = K ( S ). Напротив, даже если известен базис трансцендентности, может быть трудно решить, является ли расширение чисто сепарабельным, и если это так, может быть трудно найти базис трансцендентности S такой, что L = K ( S ).

Например, рассмотрим расширение , где трансцендентно и является корнем уравнения. Такое расширение можно определить как в котором и являются классами эквивалентности и Очевидно, что одноэлементное множество трансцендентно , а расширение является алгебраическим; следовательно, это базис трансцендентности, который не порождает расширения . Аналогично, это базис трансцендентности, который не порождает все расширение. Однако расширение является чисто трансцендентным, поскольку, если одно множество имеет и , таким образом, порождает все расширение. ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle t=y/x,}$ ${\displaystyle x=t^{2}}$ ${\displaystyle y=t^{3},}$ ${\displaystyle t}$

Чисто трансцендентные расширения алгебраически замкнутого поля возникают как функциональные поля рациональных многообразий . Проблема нахождения рациональной параметризации рационального многообразия эквивалентна проблеме нахождения базиса трансцендентности, порождающего все расширение.

Нормальные, сепарабельные расширения и расширения Галуа.

Алгебраическое расширение L / K называется нормальным , если каждый неприводимый многочлен из K [ X ], имеющий корень в L , полностью разлагается на линейные сомножители над L. Каждое алгебраическое расширение F / K допускает нормальное замыкание L , которое является полем расширения F таким, что L / K нормально и минимально с этим свойством.

Алгебраическое расширение L / K называется сепарабельным, если минимальный многочлен каждого элемента L над K сепарабельен , т. е. не имеет повторяющихся корней в алгебраическом замыкании над K. Расширение Галуа — это расширение поля, которое одновременно является нормальным и сепарабельным.

Следствие теоремы о примитивном элементе гласит, что каждое конечное сепарабельное расширение имеет примитивный элемент (т.е. является простым).

Учитывая любое расширение поля L / K , мы можем рассмотреть его группу автоморфизмов Aut( L / K ), состоящую из всех автоморфизмов полей α : L → L с α ( x ) = x для всех x в K. Когда расширение является Галуа, эта группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения. Расширения, группа Галуа которых абелева , называются абелевыми расширениями .

Для данного расширения поля L / K часто интересуются промежуточными полями F (подполями L , содержащими K ). Значение расширений Галуа и групп Галуа состоит в том, что они позволяют полное описание промежуточных полей: существует биекция между промежуточными полями и подгруппами группы Галуа, описываемая фундаментальной теоремой теории Галуа .

Обобщения

Расширения полей можно обобщить до кольцевых расширений , состоящих из кольца и одного из его подколец . Ближайшим некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (ЦСА) – расширения колец над полем, которые являются простой алгеброй (без нетривиальных двусторонних идеалов, как для поля) и в которых центром кольца является в точности поле. Например, единственным конечным расширением поля действительных чисел являются комплексные числа, в то время как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, а все CSA над действительными числами Брауэровски эквивалентны действительным числам или кватернионам. CSA можно далее обобщить на алгебры Азумая , где базовое поле заменяется коммутативным локальным кольцом .

Расширение скаляров

Учитывая расширение поля, можно « расширить скаляры » на связанные алгебраические объекты. Например, имея реальное векторное пространство, можно создать комплексное векторное пространство посредством комплексификации . В дополнение к векторным пространствам можно выполнять расширение скаляров для ассоциативных алгебр , определенных над полем, таких как полиномы или групповые алгебры и связанные с ними групповые представления . Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет множество применений, как обсуждалось в разделе «Расширение скаляров: приложения» .

Смотрите также

• Теория поля
• Глоссарий теории поля
• Башня полей
• Основное расширение
• Регулярное продление

Примечания

1. Фрели (1976, стр. 293)
2. Херштейн (1964, стр. 167)
3. Маккой (1968, стр. 116)
4. Фрели (1976, стр. 298)
5. Херштейн (1964, стр. 193)
6. Фрэли (1976, стр. 363)
7. Фрели (1976, стр. 319)
8. Херштейн (1964, стр. 169)

Рекомендации

• Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
• Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell, ISBN 978-1114541016
• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4
• Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN  68015225

Внешние ссылки

• «Расширение поля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]