Полугруппа

Алгебраическая структура, состоящая из множества с ассоциативной бинарной операцией.

Алгебраические структуры между магмами и группами : Полугруппа — это магма с ассоциативностью . Моноид — это полугруппа с единицей .

В математике полугруппа — это алгебраическая структура , состоящая из множества и ассоциативной внутренней бинарной операции над ним.

Бинарную операцию полугруппы чаще всего обозначают мультипликативно (просто обозначения, не обязательно элементарное арифметическое умножение ): x ⋅ y , или просто xy , обозначает результат применения операции полугруппы к упорядоченной паре ( x , y ) . Ассоциативность формально выражается как ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) для всех x , y и z в полугруппе.

Полугруппы можно рассматривать как частный случай магм , где операция ассоциативна, или как обобщение групп , не требующее существования единичного элемента или обратных. ^[a] Как и в случае групп или магм, полугрупповая операция не обязательно должна быть коммутативной , поэтому x ⋅ y не обязательно равна y ⋅ x ; Хорошо известным примером операции, которая является ассоциативной, но некоммутативной, является умножение матриц . Если полугрупповая операция коммутативна, то полугруппу называют коммутативной полугруппой или (реже, чем в аналогичном случае групп ) ее можно назвать абелевой полугруппой .

Моноид — это алгебраическая структура, промежуточная между полугруппами и группами, а также полугруппа, имеющая единичный элемент и , таким образом, подчиняющаяся всем аксиомам группы, кроме одной: от моноида не требуется существование инверсий . Естественным примером являются строки с конкатенацией в качестве бинарной операции и пустой строкой в ​​качестве идентификационного элемента. Ограничение непустыми строками дает пример полугруппы, которая не является моноидом. Положительные целые числа со сложением образуют коммутативную полугруппу, которая не является моноидом, тогда как неотрицательные целые числа образуют моноид. Полугруппу без единичного элемента можно легко превратить в моноид, просто добавив единичный элемент. Следовательно, моноиды изучаются в теории полугрупп, а не в теории групп. Полугруппы не следует путать с квазигруппами , которые являются обобщением групп в другом направлении; операция в квазигруппе не обязательно должна быть ассоциативной, но квазигруппы сохраняют от групп понятие деления . Деление на полугруппы (или на моноиды), вообще говоря, невозможно.

Формальное изучение полугрупп началось в начале 20 века. Ранние результаты включают теорему Кэли для полугрупп , реализующих любую полугруппу как полугруппу преобразований , в которой произвольные функции заменяют роль биекций в теории групп. Глубоким результатом классификации конечных полугрупп является теория Крона–Родса , аналогичная разложению Йордана–Гёльдера для конечных групп. Некоторые другие методы изучения полугрупп, например отношения Грина , не имеют ничего общего с теорией групп.

Теория конечных полугрупп имеет особое значение в теоретической информатике с 1950-х годов из-за естественной связи между конечными полугруппами и конечными автоматами через синтаксический моноид . В теории вероятностей полугруппы связаны с марковскими процессами . ^[1] В других областях прикладной математики полугруппы являются фундаментальными моделями линейных стационарных систем . В уравнениях в частных производных полугруппа связана с любым уравнением, пространственная эволюция которого не зависит от времени.

Существует множество специальных классов полугрупп , полугрупп с дополнительными свойствами, которые появляются в конкретных приложениях. Некоторые из этих классов даже ближе к группам, поскольку обладают некоторыми дополнительными, но не всеми свойствами группы. Из них отметим: регулярные полугруппы , ортодоксальные полугруппы , полугруппы с инволюцией , инверсные полугруппы и сокращающиеся полугруппы . Существуют также интересные классы полугрупп, не содержащие никаких групп, кроме тривиальной группы ; примерами последнего рода являются полосы и их коммутативный подкласс — полурешетки , которые также являются упорядоченными алгебраическими структурами .

Определение

Полугруппа — это множество S вместе с бинарной операцией ⋅ (то есть функцией ⋅ : S × S → S ), которая удовлетворяет ассоциативному свойству :

Для всех a , b , c ∈ S справедливо уравнение ( a ⋅ b ) ⋅ c знак равно a ⋅ ( b ⋅ c ) .

Говоря более кратко, полугруппа — это ассоциативная магма .

Примеры полугрупп

• Пустая полугруппа : пустой набор образует полугруппу с пустой функцией в качестве бинарной операции.
• Полугруппа с одним элементом : по существу существует только один (точнее, только один с точностью до изоморфизма ), синглтон { a } с операцией a · a = a .
• Полугруппа с двумя элементами : их пять, существенно различающихся.
• Моноид «триггера»: полугруппа с тремя элементами , представляющими три операции с переключателем - установка, сброс и ничего не делать.
• Набор натуральных чисел со сложением. (Если включен 0, это становится моноидом .)
• Набор целых чисел с минимумом или максимумом. (С включением положительной/отрицательной бесконечности это становится моноидом.)
• Квадратные неотрицательные матрицы заданного размера с матричным умножением.
• Любой идеал кольца с умножением кольца .
• Множество всех конечных строк над фиксированным алфавитом Σ с конкатенацией строк в качестве полугрупповой операции – так называемая « свободная полугруппа над Σ». С включенной пустой строкой эта полугруппа становится свободным моноидом над Σ.
• Распределение вероятностей F вместе со всеми степенями свертки F со сверткой в ​​качестве операции. Это называется полугруппой свертки.
• Полугруппы преобразований и моноиды .
• Множество непрерывных функций из топологического пространства в себя с композицией функций образует моноид, где тождественной функцией выступает тождественная функция. В более общем смысле, эндоморфизмы любого объекта категории образуют моноид при композиции.
• Произведение граней расположения гиперплоскостей .

Базовые концепты

Личность и ноль

Левая идентичность полугруппы S (или, в более общем смысле, магмы ) — это элемент e такой, что для всех x в S e ⋅ x = x . Аналогично, правая идентичность — это элемент f такой , что для всех x в S x ⋅ f = x . Левая и правая идентичности называются односторонними идентичностями . Полугруппа может иметь одно или несколько левых тождеств, но не иметь правого тождества, и наоборот.

Двусторонняя идентичность (или просто идентичность ) — это элемент, который является одновременно левой и правой идентичностью. Полугруппы с двусторонним тождеством называются моноидами . Полугруппа может иметь не более одного двустороннего тождества. Если полугруппа имеет двустороннюю идентичность, то двусторонняя идентичность является единственной односторонней идентичностью в полугруппе. Если полугруппа имеет как левую, так и правую идентичность, то она имеет двустороннюю идентичность (которая, следовательно, является уникальной односторонней идентичностью).

Полугруппа S без единицы может быть вложена в моноид, образованный присоединением элемента e ∉ S к S и определением e ⋅ s знак равно s ⋅ e = s для всех s ∈ S ∪ { e } . ^{[2] [3]} Обозначение S ¹ обозначает моноид, полученный из S присоединением единицы, если это необходимо ( S ¹ = S для моноида). ^[3]

Аналогично, каждая магма имеет не более одного поглощающего элемента , который в теории полугрупп называется нулем . Аналогично приведенной выше конструкции, для каждой полугруппы ^S можно определить S0 , полугруппу с 0, которая вкладывает S.

Подполугруппы и идеалы

Операция полугруппы вызывает операцию над набором ее подмножеств: для данных подмножеств A и B полугруппы S их произведением A · B , обычно записываемым как AB , является множество { ab | а в А и б в Б }. (Это понятие определяется так же, как и для групп .) В терминах этой операции подмножество A называется

• подполугруппа , если AA является подмножеством A ,
• правый идеал, если AS является подмножеством A и
• левый идеал, если SA — подмножество A.

Если А является одновременно левым и правым идеалом, то он называется идеалом ( или двусторонним идеалом ).

Если S — полугруппа, то пересечение любого набора подполугрупп S также является подполугруппой S . Таким образом, подполугруппы группы S образуют полную решетку .

Примером полугруппы без минимального идеала является сложенный набор натуральных чисел. Минимальный идеал коммутативной полугруппы, если он существует, является группой.

Отношения Грина , набор из пяти отношений эквивалентности , которые характеризуют элементы с точки зрения главных идеалов, которые они порождают, являются важными инструментами для анализа идеалов полугруппы и связанных с ними понятий структуры.

Подмножество, у которого каждый элемент коммутирует с любым другим элементом полугруппы, называется центром полугруппы . ^[4] Центр полугруппы на самом деле является подполугруппой. ^[5]

Гомоморфизмы и сравнения

Гомоморфизм полугруппы — это функция, сохраняющая структуру полугруппы . Функция f  : S → T между двумя полугруппами является гомоморфизмом, если уравнение

ж ( ab ) знак равно ж ( а ) ж ( б ) .

справедливо для всех элементов a , b в S , т.е. результат один и тот же при выполнении полугрупповой операции после или до применения отображения f .

Полугрупповой гомоморфизм между моноидами сохраняет идентичность, если он является моноидным гомоморфизмом . ^{Но существуют гомоморфизмы полугрупп, которые не являются моноидными гомоморфизмами, например ,} каноническое вложение полугруппы S без единицы в S1 . Условия, характеризующие моноидные гомоморфизмы, обсуждаются далее. Пусть f  : S0 → S1 _{— гомоморфизм} полугруппы. Образ f также является полугруппой. Если S0 — моноид с единичным элементом e0 , то _f ( _e0 ) — единичный элемент в образе f _. Если S1 _также является моноидом с единичным элементом e1 и e1 _{принадлежит} образу f , то f ( e0 ) = _e1 , т.е. f является _{гомоморфизмом} моноида _. В частности, если f сюръективен , то это моноидный гомоморфизм.

Две полугруппы S и T называются изоморфными , если существует биективный гомоморфизм полугрупп f  : S → T . Изоморфные полугруппы имеют такое же строение.

Конгруэнция полугруппы ~ — это отношение эквивалентности , совместимое с операцией полугруппы. То есть подмножество ~ ⊆ S × S , которое является отношением эквивалентности, и x ~ y и u ~ v влечет xu ~ yv для каждого x , y , u , v в S . Как и любое отношение эквивалентности, полугрупповая конгруэнция индуцирует классы конгруэнции.

[ а ] _~ знак равно { Икс ∈ S | х ~ а }

а операция полугруппы индуцирует бинарную операцию ∘ на классах конгруэнции:

[ ты ] _~ ∘ [ v ] _~ = [ уф ] _~

Поскольку ~ является конгруэнцией, множество всех классов конгруэнции ~ образует полугруппу с ∘, называемую фактор-полугруппой или фактор-полугруппой и обозначаемую S / ~ . Отображение x ↦ [ x ] _~ является гомоморфизмом полугрупп, называемым фактор-отображением , канонической сюръекцией или проекцией ; если S — моноид, то факторполугруппа — это моноид с единицей [1] _~ . Обратно, ядро ​​любого гомоморфизма полугрупп является конгруэнцией полугрупп. Эти результаты представляют собой не что иное, как конкретизацию первой теоремы об изоморфизме универсальной алгебры . Классы конгруэнции и фактор-моноиды являются объектами изучения в системах переписывания строк .

Ядерная конгруэнция на S — это конгруэнция, которая является ядром эндоморфизма S . ^[6]

Полугруппа S удовлетворяет условию максимальности на сравнениях, если любое семейство сравнений на S , упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент. По лемме Цорна это равносильно утверждению о выполнении условия возрастающей цепи : на S не существует бесконечной строго возрастающей цепи сравнений . ^[7]

Каждый идеал I полугруппы индуцирует фактор-полугруппу, фактор-полугруппу Риса , через конгруэнцию ρ, определенную как x ρ y , если либо x = y , либо оба x и y находятся в I .

Частные и деления

Следующие понятия ^[8] вводят идею о том, что одна полугруппа содержится в другой.

Полугруппа T является фактором полугруппы S , если существует сюръективный морфизм полугруппы из S в T . Например, ( Z /2 Z , +) является фактором ( Z /4 Z , +) с использованием морфизма, состоящего из взятия остатка по модулю 2 целого числа.

Полугруппа T делит полугруппу S , обозначаемую T ≼ S, если T является фактором подполугруппы S. В частности, подполугруппы S делят T , хотя не обязательно существует фактор S .

Оба эти отношения транзитивны.

Структура полугрупп

Для любого подмножества A группы S существует наименьшая подполугруппа T группы S , содержащая A , и мы говорим, что A порождает T. Одиночный элемент x из S порождает подполугруппу { x ⁿ | п ∈ Z ⁺ } . Если это конечно, то говорят, что x имеет конечный порядок , в противном случае он имеет бесконечный порядок . Полугруппа называется периодической , если все ее элементы имеют конечный порядок. Полугруппа, порожденная одним элементом, называется моногенной (или циклической ). Если моногенная полугруппа бесконечна, то она изоморфна полугруппе целых положительных чисел с операцией сложения. Если оно конечно и непусто, то оно должно содержать хотя бы один идемпотент . Отсюда следует, что каждая непустая периодическая полугруппа имеет хотя бы один идемпотент.

Подполугруппа, которая также является группой, называется подгруппой . Между подгруппами полугруппы и ее идемпотентами существует тесная связь. Каждая подгруппа содержит ровно один идемпотент, а именно единичный элемент подгруппы. Для каждого идемпотента e полугруппы существует единственная максимальная подгруппа, содержащая e . Таким образом возникает каждая максимальная подгруппа, поэтому между идемпотентами и максимальными подгруппами существует взаимно однозначное соответствие. Здесь термин «максимальная подгруппа» отличается от его стандартного использования в теории групп.

Часто можно сказать больше, когда порядок конечен. Например, каждая непустая конечная полугруппа периодична, имеет минимальный идеал и хотя бы один идемпотент. Число конечных полугрупп заданного размера (больше 1) (очевидно) больше, чем количество групп того же размера. Например, из шестнадцати возможных «таблиц умножения» для набора из двух элементов {a, b } восемь образуют полугруппы ^[b] , тогда как только четыре из них являются моноидами и только два образуют группы. Дополнительную информацию о структуре конечных полугрупп см. в теории Крона–Родса .

Специальные классы полугрупп

• Моноид — это полугруппа с единицей .
• Группа — это моноид, в котором каждый элемент имеет обратный элемент .
• Подполугруппа — это подмножество полугруппы, замкнутое относительно операции полугруппы.
• Сократимая полугруппа — это полугруппа, обладающая свойством сокращения : ^{[9] из} a · b = a · c следует b = c , и аналогично для b · a = c · a . Каждая группа является сокращающейся полугруппой, а каждая конечная сокращающаяся полугруппа является группой.
• Лента — это полугруппа, действие которой идемпотентно .
• Полурешетка — это полугруппа , действие которой идемпотентно и коммутативно .
• 0-простые полугруппы.
• Полугруппы преобразований : любая конечная полугруппа S может быть представлена ​​преобразованиями множества (состояний) Q не более чем | С | + 1 штат. Затем каждый элемент x из S отображает Q в себя x  : Q → Q , и последовательность xy определяется формулой q ( xy ) = ( qx ) y для каждого q в Q. Очевидно, что секвенирование — это ассоциативная операция, эквивалентная композиции функций . Это представление является базовым для любого автомата или конечного автомата (автомата).
• Бициклическая полугруппа на самом деле является моноидом, который можно описать как свободную полугруппу с двумя образующими p и q при соотношении pq = 1 .
• C ₀ -полугруппы .
• Регулярные полугруппы . Каждый элемент x имеет по крайней мере один обратный элемент y , который удовлетворяет условиям xyx = x и yxy = y ; элементы x и y иногда называют «взаимно обратными».
• Инверсные полугруппы — это регулярные полугруппы, в которых каждый элемент имеет ровно один обратный. Альтернативно, регулярная полугруппа является инверсной тогда и только тогда, когда любые два идемпотента коммутируют.
• Аффинная полугруппа: полугруппа, изоморфная конечно порожденной подполугруппе Z ^d . Эти полугруппы имеют приложения к коммутативной алгебре .

Структурная теорема для коммутативных полугрупп

Существует структурная теорема для коммутативных полугрупп в терминах полурешеток . ^[10] Полурешетка (или, точнее, встреча-полурешетка) ( L , ≤ ) — это частично упорядоченное множество , в котором каждая пара элементов a , b ∈ L имеет максимальную нижнюю границу , обозначаемую a ∧ b . Операция ∧ превращает L в полугруппу, удовлетворяющую дополнительному закону идемпотентности a ∧ a = a .

Учитывая гомоморфизм f  : S → L произвольной полугруппы в полурешетку, каждый прообраз S _a = f ⁻¹ { a } является (возможно, пустой) полугруппой. Более того, S становится градуированным по L в том смысле, что S _a S _b ⊆ S _{a ∧ b} .

Если f включена, полурешетка L изоморфна фактору S по отношению эквивалентности ~ такому, что x ~ y тогда и только тогда, когда f ( x ) = f ( y ) . Это отношение эквивалентности является полугрупповой конгруэнцией, как определено выше.

Всякий раз, когда мы факторизуем коммутативную полугруппу по конгруэнции, мы получаем другую коммутативную полугруппу. Структурная теорема утверждает, что для любой коммутативной полугруппы S существует тончайшая конгруэнция ~ такая, что фактор S по этому отношению эквивалентности является полурешеткой. Обозначая эту полурешетку через L , мы получаем гомоморфизм f из S на L. Как уже упоминалось, S становится градуированным этой полурешеткой.

Более того, все компоненты S _a являются архимедовыми полугруппами . Архимедова полугруппа — это полугруппа, в которой для любой пары элементов x , y существует элемент z и n > 0 такой, что x ⁿ = yz .

Архимедово свойство немедленно следует из упорядочения в полурешетке L , поскольку при таком упорядочении мы имеем f ( x ) ⩽ f ( y ) тогда и только тогда, когда xn ⁼ yz для некоторых z и n > 0 .

Группа фракций

Группа дробей или групповое пополнение полугруппы S — это группа G = G ( S ) , порожденная элементами S как образующими и всеми уравнениями xy = z , которые выполняются в S как отношения . ^[11] Существует очевидный гомоморфизм полугрупп j  : S → G ( S ) , который отправляет каждый элемент S соответствующему генератору. Это свойство обладает универсальным свойством для морфизмов из S в группу: ^[12] для любой группы H и любого гомоморфизма полугрупп k  : S → H существует единственный гомоморфизм группы f  : G → H с k = fj . Мы можем думать о G как о «наиболее общей» группе, содержащей гомоморфный образ S .

Важным вопросом является характеристика тех полугрупп, для которых это отображение является вложением. Это не всегда так: например, возьмем S как полугруппу подмножеств некоторого множества X с теоретико-множественным пересечением в качестве бинарной операции (это пример полурешетки). Поскольку А.​ A = A справедливо для всех элементов S , это должно быть верно и для всех образующих G ( S ), который, следовательно, является тривиальной группой . Очевидно, что для вложимости необходимо, чтобы S обладало свойством отмены . Когда S коммутативна, это условие также является достаточным ^[13] , и группа Гротендика полугруппы дает конструкцию группы частных. Проблема некоммутативных полугрупп восходит к первой существенной статье о полугруппах. ^{[14] [15]} Анатолий Мальцев дал необходимые и достаточные условия вложимости в 1937 году. ^[16]

Полугрупповые методы в уравнениях в частных производных

Теория полугрупп может быть использована для изучения некоторых проблем в области уравнений в частных производных . Грубо говоря, полугрупповой подход заключается в том, чтобы рассматривать зависящее от времени уравнение в частных производных как обыкновенное дифференциальное уравнение в функциональном пространстве. Например, рассмотрим следующую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности на пространственном интервале (0, 1) ⊂ R и временах t ≥ 0 :

${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}}$

Пусть X = L ² ((0, 1) R ) — пространство L p интегрируемых с квадратом вещественных функций с областью определения в интервале (0, 1) , и пусть A — оператор второй производной с областью определения

${\displaystyle D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},}$

где H ² — пространство Соболева . Тогда приведенную выше начально-краевую задачу можно интерпретировать как начальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения в пространстве X :

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}}$

На эвристическом уровне решением этой проблемы «должно быть» u ( t ) = exp( tA ) u ₀ . Однако для строгого рассмотрения необходимо придать смысл экспоненте tA . Как функция от t , exp( tA ) является полугруппой операторов из X в себя, переводящей начальное состояние u0 в момент времени t = 0 в состояние u ( t ) = exp( tA ) u0 в момент _{времени t} . Оператор A называется инфинитезимальным генератором полугруппы.

История

Изучение полугрупп отставало от изучения других алгебраических структур с более сложными аксиомами, таких как группы или кольца . Ряд источников ^{[17] [18]} приписывают первое употребление термина (на французском языке) Ж.-А. де Сегье в Élements de la Théorie des Groupes Abstraits (Элементы теории абстрактных групп) в 1904 году. Этот термин используется на английском языке в 1908 году в книге Гарольда Хинтона « Теория групп конечного порядка ».

Антон Сушкевич получил первые нетривиальные результаты о полугруппах. Его статья 1928 года «Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit» («О конечных группах без правила однозначной обратимости») определила структуру конечных простых полугрупп и показала, что минимальный идеал (или J-класс отношений Грина ) конечная полугруппа проста. ^[18] С этого момента основы теории полугрупп были заложены Дэвидом Рисом , Джеймсом Александром Грином , Евгением Сергеевичем Ляпиным  [фр] , Альфредом Х. Клиффордом и Гордоном Престоном . Последние двое опубликовали двухтомную монографию по теории полугрупп в 1961 и 1967 годах соответственно. В 1970 году новое периодическое издание под названием Semigroup Forum (в настоящее время редактируемое Springer Verlag ) стало одним из немногих математических журналов, полностью посвященных теории полугрупп.

Теория представлений полугрупп была разработана в 1963 году Борисом Шейном с использованием бинарных отношений на множестве A и композиции отношений для произведения полугруппы. ^[19] На алгебраической конференции в 1972 году Шейн просмотрел литературу по B _A , полугруппе отношений на A . ^[20] В 1997 году Шейн и Ральф Маккензи доказали, что каждая полугруппа изоморфна транзитивной полугруппе бинарных отношений. ^[21]

В последние годы исследователи в этой области стали более специализированными: появились специальные монографии, посвященные важным классам полугрупп, таким как инверсные полугруппы , а также монографии, посвященные приложениям в теории алгебраических автоматов, особенно для конечных автоматов, а также в функциональном анализе .

Обобщения

Если отбросить аксиому ассоциативности полугруппы, в результате получится магма , которая представляет собой не что иное, как множество M , оснащенное бинарной операцией , замкнутой M × M → M.

Обобщая в другом направлении, n -арная полугруппа (также n -арная полугруппа , полиадическая полугруппа или мультиарная полугруппа ) является обобщением полугруппы на множество G с n -арной операцией вместо бинарной операции. ^[22] Ассоциативный закон обобщается следующим образом: троичная ассоциативность — это ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , т.е. строка abcde с любыми тремя соседними элементами, заключенными в квадратные скобки. n -арная ассоциативность — это строка длины n + ( n − 1) , в которой любые n соседних элементов заключены в скобки. 2-арная полугруппа — это просто полугруппа. Дальнейшие аксиомы приводят к n -арной группе .

Третье обобщение — это полугруппоид , в котором снимается требование полноты бинарного отношения. Поскольку категории обобщают моноиды таким же образом, полугруппоид ведет себя во многом как категория, но не имеет идентичности.

Бесконечные обобщения коммутативных полугрупп иногда рассматривались разными авторами. ^[с]

Смотрите также

• Поглощающий элемент
• Биупорядоченный набор
• Пустая полугруппа
• Обобщенный обратный
• Элемент идентификации
• Тест на ассоциативность Лайта
• Квантовая динамическая полугруппа
• Полугрупповое кольцо
• Слабая инверсия

Примечания

1. Аксиома замыкания подразумевается из определения бинарной операции над множеством. Поэтому некоторые авторы опускают его и указывают три аксиомы для группы и только одну аксиому (ассоциативность) для полугруппы.
2. именно: тривиальная полугруппа, в которой (для всех x и y ) xy = a , и ее аналог, в котором xy = b , полугруппы, основанные на умножении по модулю 2 (выбирая a или b в качестве единичного элемента 1), группы, эквивалентные сложение по модулю 2 (выбор a или b в качестве единичного элемента 0) и полугруппы, в которых элементы являются либо обеими левыми тождествами, либо обеими правыми тождествами.
3. См. ссылки в Удо Хебиш и Ханнс Иоахим Вайнерт, Полукольца и полуполя , в частности, раздел 10, Полукольца с бесконечными суммами , в М. Хазевинкеле, Справочник по алгебре, Том. 1, Elsevier, 1996. Обратите внимание, что в этом контексте авторы используют термин полумодуль вместо полугруппы .

Цитаты

1. Феллер 1971
2. Джейкобсон 2009, с. 30, упр. 5
3. Лоусон 1998, стр. 20
4. Килп, Мати; Кнауэр, У.; Михалев, Александр В. (2000). Моноиды, действия и категории: с приложениями к сплетенным произведениям и графикам: справочник для студентов и исследователей. Вальтер де Грюйтер. п. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Збл  0945.20036.
5. Ляпин, Е.С. (1968). Полугруппы. Американское математическое соц. п. 96. ИСБН 978-0-8218-8641-0.
6. Лотер 2011, с. 463
7. Лотер 2011, с. 465
8. Пин, Жан-Эрик (30 ноября 2016 г.). Математические основы теории автоматов (PDF) . п. 19.
9. Клиффорд и Престон 2010, с. 3
10. Гриле 2001
11. Фарб, Б. (2006). Проблемы с отображением групп классов и смежные темы . амер. Математика. Соц. п. 357. ИСБН 978-0-8218-3838-9.
12. Ауслендер, М.; Бухсбаум, Д.А. (1974). Группы, кольца, модули . Харпер и Роу. п. 50. ISBN 978-0-06-040387-4.
13. Клиффорд и Престон 1961, с. 34
14. Сушкевич 1928 г.
15. Престон, Великобритания (1990). Личные воспоминания о ранней истории полугрупп. Архивировано из оригинала 9 января 2009 г. Проверено 12 мая 2009 г.
16. Мальцев, А. (1937). «О погружении алгебраического кольца в поле». Математика. Аннален . 113 : 686–691. дои : 10.1007/BF01571659. S2CID  122295935.
17. «Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов» .
18. «Отчет о статье Сушкевича Кристофера Холлингса». Архивировано из оригинала (PDF) 25 октября 2009 г.
19. Б. М. Шейн (1963) «Представления полугрупп посредством бинарных отношений» (русский), Математический сборник 60: 292–303 MR 0153760
20. Б. М. Шейн (1972) Миниконференция по теории полугрупп , MR 0401970
21. Б. М. Шейн и Р. Маккензи (1997) «Каждая полугруппа изоморфна транзитивной полугруппе бинарных отношений», Труды Американского математического общества 349 (1): 271–85 MR 1370647
22. Дудек, Вашингтон (2001). «О некоторых старых проблемах в n-арных группах». Квазигруппы и родственные системы . 8 : 15–36. Архивировано из оригинала 14 июля 2009 г.

Рекомендации

Общие ссылки

• Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851194-6. Збл  0835.20077.
• Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (1961). Алгебраическая теория полугрупп. Том. 1. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0271-7. Збл  0111.03403.
• Клиффорд, Альфред Хоблицелле ; Престон, Гордон Бэмфорд (2010) [1967]. Алгебраическая теория полугрупп. Том. 2. Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Грилье, Пьер Антуан (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры. Марсель Деккер. ISBN 978-0-8247-9662-4. Збл  0830.20079.
• Грилье, Пьер Антуан (2001). Коммутативные полугруппы. Спрингер Верлаг. ISBN 978-0-7923-7067-3. Збл  1040.20048.
• Холлингс, Кристофер (2009). «Раннее развитие алгебраической теории полугрупп». Архив истории точных наук . 63 (5): 497–536. дои : 10.1007/s00407-009-0044-3. S2CID  123422715.
• Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1493-1. Збл  1317.20001.
• Петрич, Марио (1973). Введение в полугруппы . Чарльз Э. Меррилл. ISBN 978-0-675-09062-9. Збл  0321.20037.

Конкретные ссылки

• Феллер, Уильям (1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. II (2-е изд.). Уайли. МР  0270403.
• Хилле, Эйнар ; Филлипс, Ральф С. (1974). Функциональный анализ и полугруппы. Американское математическое общество . ISBN 978-0821874646. МР  0423094.
• Сушкевич, Антон (1928). «Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit». Математические Аннален . 99 (1): 30–50. дои : 10.1007/BF01459084. hdl : 10338.dmlcz/100078 . ISSN  0025-5831. МР  1512437. S2CID  121081075.
• Канторовиц, Шмуэль (2009). Темы в полугруппах операторов. Спрингер. ISBN 978-0-8176-4932-6. Збл  1187.47003.
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 1 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Лоусон, Марк В. (1998). Инверсные полугруппы: теория частичных симметрий . Всемирная научная. ISBN 978-981-02-3316-7. Збл  1079.20505.
• Лотер, М. (2011) [2002]. Алгебраическая комбинаторика на словах . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 90. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-18071-9. Збл  1221.68183.