В обычном понимании случайность — это кажущееся или фактическое отсутствие определенной закономерности или предсказуемости в информации. [1] [2] Случайная последовательность событий, символов или шагов часто не имеет порядка и не следует понятной схеме или комбинации. Отдельные случайные события по определению непредсказуемы, но если существует известное распределение вероятностей , частота различных результатов в повторяющихся событиях (или «испытаниях») предсказуема. [примечание 1] Например, при бросании двух игральных костей результат любого конкретного броска непредсказуем, но сумма 7 будет иметь тенденцию выпадать в два раза чаще, чем 4. С этой точки зрения случайность не является случайностью; это мера неопределенности результата. Случайность применима к понятиям случайности, вероятности и информационной энтропии .
В областях математики, теории вероятности и статистики используются формальные определения случайности, обычно предполагающие наличие некоторого «объективного» распределения вероятностей. В статистике случайная величина — это присвоение числового значения каждому возможному результату пространства событий . Эта ассоциация облегчает идентификацию и расчет вероятностей событий. Случайные переменные могут появляться в случайных последовательностях . Случайный процесс — это последовательность случайных величин, результаты которой не подчиняются детерминированному шаблону, а следуют эволюции, описываемой распределениями вероятностей . Эти и другие конструкции чрезвычайно полезны в теории вероятностей и различных приложениях случайности .
Случайность чаще всего используется в статистике для обозначения четко определенных статистических свойств. Методы Монте-Карло , которые полагаются на случайные входные данные (например, от генераторов случайных чисел или генераторов псевдослучайных чисел ), являются важными методами в науке, особенно в области вычислительной техники . [3] По аналогии, методы квази-Монте-Карло используют генераторы квазислучайных чисел .
Случайный выбор, когда он тесно связан с простой случайной выборкой , представляет собой метод отбора элементов (часто называемых единицами) из совокупности, при котором вероятность выбора определенного элемента равна доле этих элементов в совокупности. Например, если в миске находится всего 10 красных шариков и 90 синих шариков, механизм случайного выбора выберет красный шарик с вероятностью 1/10. Механизм случайного выбора, который выбрал 10 шариков из этой чаши, не обязательно приведет к появлению 1 красного и 9 синих. В ситуациях, когда совокупность состоит из различимых элементов, механизм случайного выбора требует равных вероятностей для выбора любого элемента. То есть, если процесс отбора таков, что каждый член популяции, скажем, субъект исследования, имеет одинаковую вероятность быть выбранным, то мы можем сказать, что процесс отбора является случайным. [2]
Согласно теории Рэмсея , чистая случайность (в том смысле, что нет заметной закономерности) невозможна, особенно для крупных структур. Математик Теодор Моцкин предположил, что «хотя беспорядок в целом более вероятен, полный беспорядок невозможен». [4] Непонимание этого может привести к многочисленным теориям заговора . [5] Кристиан С. Калуде заявил, что «учитывая невозможность истинной случайности, усилия направлены на изучение степеней случайности». [6] Можно доказать, что существует бесконечная иерархия (с точки зрения качества или силы) форм случайности. [6]
В древней истории понятия случайности и случайности переплетались с концепцией судьбы. Многие древние народы бросали кости , чтобы определить судьбу, и позже это переросло в азартные игры. Большинство древних культур использовали различные методы гадания , пытаясь обойти случайность и судьбу. [7] [8] Помимо религии и азартных игр , случайность была подтверждена для жеребьевки , по крайней мере, со времен древней афинской демократии в форме клеротериона . [9]
Формализация шансов и шансов, пожалуй, раньше всего была осуществлена китайцами 3000 лет назад. Греческие философы подробно обсуждали случайность, но только в неколичественных формах. Лишь в XVI веке итальянские математики начали формализовать шансы, связанные с различными азартными играми. Изобретение исчисления оказало положительное влияние на формальное изучение случайности. В издании своей книги «Логика случайности» 1888 года Джон Венн написал главу « Концепция случайности» , в которой изложил свой взгляд на случайность цифр числа пи (π), используя их для построения случайного блуждания в двух измерениях. [10]
В начале 20-го века произошел быстрый рост формального анализа случайности, поскольку были представлены различные подходы к математическим основам вероятности. В середине-конце 20-го века идеи алгоритмической теории информации привнесли в эту область новые измерения посредством концепции алгоритмической случайности .
Хотя на протяжении многих столетий случайность часто рассматривалась как препятствие и неприятность, в 20-м веке учёные-компьютерщики начали понимать, что преднамеренное введение случайности в вычисления может стать эффективным инструментом для разработки более совершенных алгоритмов. В некоторых случаях такие рандомизированные алгоритмы даже превосходят лучшие детерминированные методы. [11]
Многие научные области связаны со случайностью:
В 19 веке учёные использовали идею хаотического движения молекул при развитии статистической механики для объяснения явлений термодинамики и свойств газов .
Согласно нескольким стандартным интерпретациям квантовой механики , микроскопические явления объективно случайны. [12] То есть в эксперименте, который контролирует все причинно-значимые параметры, некоторые аспекты результата по-прежнему изменяются случайным образом. Например, если один нестабильный атом поместить в контролируемую среду, невозможно предсказать, сколько времени потребуется атому для распада — только вероятность распада за заданное время. [13] Таким образом, квантовая механика не определяет результат отдельных экспериментов, а только вероятности. Теории скрытых переменных отвергают точку зрения о том, что природа содержит непреодолимую случайность: такие теории утверждают, что в процессах, которые кажутся случайными, за кулисами действуют свойства с определенным статистическим распределением, определяя результат в каждом случае.
Современный эволюционный синтез приписывает наблюдаемое разнообразие жизни случайным генетическим мутациям , сопровождаемым естественным отбором . Последний сохраняет некоторые случайные мутации в генофонде из-за систематического улучшения шансов на выживание и размножение, которые эти мутировавшие гены дают людям, которые ими обладают. Однако местоположение мутации не является полностью случайным, поскольку, например, биологически важные области могут быть более защищены от мутаций. [14] [15] [16]
Некоторые авторы также утверждают, что эволюция (а иногда и развитие) требует особой формы случайности, а именно внедрения качественно нового поведения. Вместо выбора одной возможности из нескольких заранее заданных эта случайность соответствует образованию новых возможностей. [17] [18]
Характеристики организма возникают в какой-то степени детерминировано (например, под влиянием генов и окружающей среды), а в какой-то степени случайно. Например, плотность веснушек , появляющихся на коже человека, контролируется генами и воздействием света ; тогда как точное расположение отдельных веснушек кажется случайным. [19]
Что касается поведения, случайность важна, если животное должно вести себя непредсказуемо для других. Например, насекомые в полете имеют тенденцию двигаться со случайными изменениями направления, что затрудняет преследующим хищникам прогнозирование их траекторий.
Математическая теория вероятностей возникла в результате попыток сформулировать математические описания случайных событий первоначально в контексте азартных игр , но позднее в связи с физикой. Статистика используется для вывода основного распределения вероятностей набора эмпирических наблюдений. Для целей моделирования необходимо иметь большой запас случайных чисел или средства для их генерации по требованию.
Алгоритмическая теория информации изучает, среди прочего, что представляет собой случайная последовательность . Центральная идея заключается в том, что строка битов является случайной тогда и только тогда, когда она короче, чем любая компьютерная программа, которая может создать эту строку ( случайность Колмогорова ), что означает, что случайные строки — это те, которые не могут быть сжаты . Пионерами в этой области являются Андрей Колмогоров и его ученик Пер Мартин-Лёф , Рэй Соломонов и Григорий Хайтин . Что касается понятия бесконечной последовательности, математики обычно принимают полуодноименное определение Пера Мартина-Лёфа : бесконечная последовательность является случайной тогда и только тогда, когда она выдерживает все рекурсивно перечислимые нулевые множества. [20] Другие понятия случайных последовательностей включают, среди прочего, рекурсивную случайность и случайность Шнорра, которые основаны на рекурсивно вычисляемых мартингалах. Юнге Ван показал , что эти понятия случайности в целом различны. [21]
Случайность возникает в таких числах, как log(2) и pi . Десятичные цифры числа Пи составляют бесконечную последовательность и «никогда не повторяются циклически». Числа типа «пи» также считаются нормальными :
Пи, похоже, ведет себя именно так. В первых шести миллиардах десятичных знаков числа «пи» каждая цифра от 0 до 9 встречается примерно шестьсот миллионов раз. Однако такие результаты, предположительно случайные, не доказывают нормальность даже в десятичной системе счисления, не говоря уже о нормальности в других системах счисления. [22]
В статистике случайность обычно используется для создания простых случайных выборок . Это позволяет опросам совершенно случайных групп людей предоставлять реалистичные данные, отражающие население. Общие методы сделать это включают в себя вытаскивание имен из шляпы или использование таблицы случайных цифр (большая таблица случайных цифр).
В информатике нерелевантные или бессмысленные данные считаются шумом. Шум состоит из многочисленных временных помех со статистически рандомизированным временным распределением.
В теории связи случайность сигнала называется «шумом» и противопоставляется той составляющей его изменения, которая причинно связана с источником, то есть сигналом.
С точки зрения развития случайных сетей, случайность коммуникации опирается на два простых предположения Пауля Эрдеша и Альфреда Реньи , которые сказали, что существует фиксированное количество узлов, и это число остается фиксированным на протяжении всего срока службы сети, и что все узлы были равны и случайно связаны друг с другом. [ необходимо разъяснение ] [23]
Гипотеза случайного блуждания предполагает, что цены активов на организованном рынке меняются случайным образом, в том смысле, что ожидаемая стоимость их изменения равна нулю, но фактическая стоимость может оказаться положительной или отрицательной. В более общем плане на цены активов влияют различные непредсказуемые события в общей экономической среде.
Случайный выбор может быть официальным методом решения проблемы равенства голосов в некоторых юрисдикциях. [24] Его использование в политике зародилось очень давно. Многие должности в древних Афинах выбирались путем жребия, а не современного голосования.
Случайность можно рассматривать как противоречащую детерминистским идеям некоторых религий, например тех, в которых Вселенная создана всеведущим божеством, знающим обо всех прошлых и будущих событиях. Если считать, что у Вселенной есть цель, то случайность можно рассматривать как невозможную. Это одно из обоснований религиозной оппозиции эволюции , которая утверждает, что неслучайный отбор применяется к результатам случайных генетических вариаций.
Индуистская и буддийская философия утверждает, что любое событие является результатом предыдущих событий, что отражено в понятии кармы . По сути, эта концепция противоречит идее случайности, и любое примирение между ними обоими потребует объяснения. [25]
В некоторых религиозных контекстах для гадания используются процедуры, которые обычно воспринимаются как рандомизаторы. Клеромантия использует бросание костей или игральных костей, чтобы раскрыть то, что считается волей богов.
В большинстве математических, политических, социальных и религиозных применений случайность используется из-за ее врожденной «справедливости» и отсутствия предвзятости.
Политика : Афинская демократия была основана на концепции изономии (равенства политических прав) и использовала сложные механизмы распределения, чтобы гарантировать справедливое распределение позиций в правящих комитетах, управляющих Афинами. Распределение теперь ограничивается выбором присяжных в англосаксонских правовых системах, а также в ситуациях, когда «справедливость» приближается к рандомизации , например, при выборе присяжных и лотереях призыва в армию .
Игры : случайные числа были впервые исследованы в контексте азартных игр , и многие устройства рандомизации, такие как игральные кости , перетасовка игральных карт и колеса рулетки , были впервые разработаны для использования в азартных играх. Возможность справедливого создания случайных чисел жизненно важна для электронных азартных игр, и поэтому методы, используемые для их создания, обычно регулируются государственными советами по контролю за азартными играми . Случайные розыгрыши также используются для определения победителей лотереи . Фактически, случайность использовалась в азартных играх на протяжении всей истории, а также для справедливого отбора людей для нежелательной задачи (см. рисование соломинок ).
Спорт : в некоторых видах спорта, включая американский футбол , подбрасывание монеты используется для случайного выбора стартовых условий для игр или команд с равным посевом для постсезонной игры . Национальная баскетбольная ассоциация использует взвешенную лотерею для определения команд на драфте.
Математика : случайные числа также используются там, где их использование математически важно, например, при опросах общественного мнения и для статистической выборки в системах контроля качества . Вычислительные решения некоторых типов задач широко используют случайные числа, например, в методе Монте-Карло и в генетических алгоритмах .
Медицина . Случайное распределение клинического вмешательства используется для уменьшения систематической ошибки в контролируемых исследованиях (например, рандомизированных контролируемых исследованиях ).
Религия : Хотя различные формы гадания , такие как клеромантия , не предназначены для случайности, они рассматривают то, что кажется случайным событием, как средство для божественного существа сообщить свою волю ( подробнее см. Также «Свобода воли и детерминизм »).
Принято считать, что существуют три механизма, ответственных за (по-видимому) случайное поведение систем:
Множество применений случайности привели к появлению множества различных методов генерации случайных данных. Эти методы могут различаться в зависимости от того, насколько они непредсказуемы или статистически случайны , а также насколько быстро они могут генерировать случайные числа.
До появления вычислительных генераторов случайных чисел генерация большого количества достаточно случайных чисел (что важно в статистике) требовала большого труда. Результаты иногда собирались и распространялись в виде таблиц случайных чисел .
Существует множество практических мер случайности двоичной последовательности. К ним относятся меры, основанные на частоте, дискретных преобразованиях , сложности или их сочетании, такие как тесты Как, Филлипса, Юэна, Хопкинса, Бет и Дая, Мунда, Марсальи и Замана. [26]
Квантовая нелокальность использовалась для подтверждения наличия подлинной или сильной формы случайности в данной строке чисел. [27]
Популярные представления о случайности часто ошибочны и часто основаны на ошибочных рассуждениях или интуиции.
Этот аргумент таков: «При случайном выборе чисел, поскольку все числа в конечном итоге появляются, те, которые еще не выпали, являются «должными» и, следовательно, с большей вероятностью появятся в ближайшее время». Эта логика верна только в том случае, если она применяется к системе, в которой выпадающие числа удаляются из системы, например, когда игральные карты вытягиваются и не возвращаются в колоду. В этом случае, как только валет будет удален из колоды, следующим взятием с меньшей вероятностью будет валет, а с большей вероятностью будет какая-то другая карта. Однако, если валет вернуть в колоду и колоду тщательно перетасовать, вероятность вытягивания валета такая же, как и любой другой карты. То же самое относится и к любому другому процессу, в котором объекты выбираются независимо и ни один из них не удаляется после каждого события, например, при броске кубика, подбрасывании монеты или в большинстве схем выбора номера лотереи . По-настоящему случайные процессы, подобные этим, не имеют памяти, что делает невозможным влияние прошлых результатов на будущие. На самом деле не существует конечного числа испытаний, которые могут гарантировать успех.
В случайной последовательности чисел число можно назвать проклятым, потому что в прошлом оно встречалось реже, и поэтому считается, что оно будет встречаться реже в будущем. Можно считать, что какое-то число благословлено, потому что оно случалось чаще других в прошлом, и поэтому считается, что оно, вероятно, будет появляться чаще в будущем. Эта логика действительна только в том случае, если рандомизация может быть необъективной, например, если есть подозрение, что игральная кость загружена, то неспособность выбросить достаточное количество шестерок будет свидетельствовать об этой загрузке. Если известно, что кубик выпал, предыдущие броски не могут указать на будущие события.
В природе события редко происходят с частотой, которая известна априори , поэтому имеет смысл наблюдать за результатами, чтобы определить, какие события более вероятны. Однако было бы ошибочно применять эту логику к системам, разработанным и известным тем, что все результаты имеют одинаковую вероятность, таким как перетасованные карты, игральные кости и колеса рулетки.
В начале сценария можно рассчитать вероятность определенного события. Однако, как только кто-то получит больше информации о сценарии, ему, возможно, придется соответствующим образом пересчитать вероятность.
Например, когда вам говорят, что у женщины двое детей, можно было бы заинтересоваться, является ли кто-нибудь из них девочкой, и если да, то какова вероятность того, что другой ребенок тоже девочка. Рассматривая эти два события независимо, можно было бы ожидать, что вероятность того, что другой ребенок окажется девочкой, равна ½ (50%), но, построив вероятностное пространство , иллюстрирующее все возможные исходы, можно заметить, что вероятность на самом деле составляет только ⅓ (33%). .
Конечно, пространство вероятностей иллюстрирует четыре способа рождения этих двух детей: мальчик-мальчик, девочка-мальчик, мальчик-девочка и девочка-девочка. Но как только становится известно, что по крайней мере один из детей — девочка, это исключает сценарий «мальчик-мальчик», оставляя только три способа рождения двух детей: мальчик-девочка, девочка-мальчик, девочка-девочка. Из этого видно, что только в ⅓ этих сценариев второй ребенок тоже будет девочкой [28] ( подробнее см. «Парадокс мальчика или девочки »).
В целом, используя вероятностное пространство, вы с меньшей вероятностью упустите возможные сценарии или пренебрегаете важностью новой информации. Этот метод можно использовать для получения информации в других ситуациях, таких как задача Монти Холла , сценарий игрового шоу, в котором машина спрятана за одной из трех дверей, а две козы спрятаны в качестве призов за другими. Как только участник выбрал дверь, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, чтобы увидеть козу, исключая эту дверь как вариант. Когда осталось только две двери (одна с машиной, другая с еще одной козой), игрок должен решить либо сохранить свое решение, либо переключиться и выбрать другую дверь. Интуитивно можно подумать, что игрок выбирает между двумя дверями с равной вероятностью и что возможность выбрать другую дверь не имеет значения. Однако анализ вероятностных пространств покажет, что участник получил новую информацию и что переход к другой двери увеличит его шансы на победу. [28]
Распределение веснушек кажется совершенно случайным и не связанным с какими-либо другими явно выраженными анатомическими или физиологическими особенностями кожи.
