Пентагон

Форма с пятью сторонами

В геометрии пятиугольник (от греческого: πέντε ( пенте) , «пять», и γωνία ( гония), «угол» ^[1] ) — это любой пятисторонний многоугольник или 5-угольник. Сумма внутренних углов простого пятиугольника равна 540°.

Пятиугольник может быть простым или самопересекающимся . Самопересекающийся правильный пятиугольник (или звездчатый пятиугольник ) называется пентаграммой .

Правильные пятиугольники

Сторона ( ), радиус описанной окружности ( ), радиус вписанной окружности ( ), высота ( ) , ширина/диагональ ( ) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R+r}$ ${\displaystyle \varphi t}$

Правильный пятиугольник имеет символ Шлефли {5} и внутренние углы 108°.

Правильный пятиугольник имеет пять линий отражательной симметрии и вращательную симметрию пятого порядка (до 72°, 144°, 216° и 288°) . Диагонали выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотом пропорции к его сторонам. Учитывая длину стороны, ее высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины), ширина (расстояние между двумя самыми удаленными точками, которое равно длине диагонали ) и радиус описанной окружности определяются как: ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

Площадь выпуклого правильного пятиугольника с длиной стороны определяется выражением ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}\approx 1.720~t^{2}.\end{aligned}}}$

Если задан радиус описанной окружности правильного пятиугольника, длина его ребра находится по выражению ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

и его площадь

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

поскольку площадь описанного круга равна правильному пятиугольнику, он заполняет примерно 0,7568 описанной окружности. ${\displaystyle \pi R^{2},}$

Вывод формулы площади

Площадь любого правильного многоугольника равна:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

где P — периметр многоугольника, а r — внутренний радиус (эквивалент апофемы ). Замена P и r значениями правильного пятиугольника дает формулу

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{2}}={\frac {5t^{2}\tan {\mathord {\left({\frac {3\pi }{10}}\right)}}}{4}}}$

с длиной стороны t .

Внутренний радиус

Как и в каждом правильном выпуклом многоугольнике, в правильном выпуклом пятиугольнике есть вписанная окружность . Апофема правильного пятиугольника, представляющая собой радиус r вписанной окружности, связана с длиной стороны t соотношением

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan {\mathord {\left({\frac {\pi }{5}}\right)}}}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

Хорды ​​от описанной окружности до вершин

Как и всякий правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность . Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P — любая точка описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка в плоскости

Для произвольной точки плоскости правильного пятиугольника с радиусом описанной окружности , расстояния которой до центра тяжести правильного пятиугольника и его пяти вершин равны и соответственно, имеем ^[2] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}&=5\left(R^{2}+L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+6R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)\right),\\\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}&=5\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+12R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+6R^{4}L^{4}\right).\end{aligned}}}$

Если – расстояния от вершин правильного пятиугольника до любой точки описанной вокруг него окружности, то ^[2] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3\left(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}\right)^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

Геометрические конструкции

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , так как 5 — простое число Ферма . Известны различные методы построения правильного пятиугольника. Некоторые обсуждаются ниже.

метод Ричмонда

Один из методов построения правильного пятиугольника в заданном круге описан Ричмондом ^[3] и далее обсуждается в « Многогранниках » Кромвеля . ^[4]

На верхней панели показана конструкция, использованная в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника. Окружность, определяющая пятиугольник, имеет единичный радиус. Его центр расположен в точке C , а середина M отмечена на середине его радиуса. Эта точка соединяется с периферией вертикально над центром в точке D. Угол CMD делится пополам, а биссектриса пересекает вертикальную ось в точке Q. Горизонтальная линия, проходящая через Q, пересекает окружность в точке P , а хорда PD — искомая сторона вписанного пятиугольника.

Для определения длины этой стороны под кругом изображают два прямоугольных треугольника DCM и QCM . Используя теорему Пифагора и две стороны, гипотенузу большего треугольника можно найти как . Сторона h меньшего треугольника находится по формуле половинного угла : ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

где косинус и синус φ известны из большего треугольника. Результат:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Если DP действительно является стороной правильного пятиугольника, то DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°) и CQ = 1 - 2cos ² (54°), что равно −cos(108°) по формуле двойного угла косинуса . Это косинус 72°, который равен желаемому. ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$ ${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$

Карлейльские круги

Метод с использованием кругов Карлейля

Круг Карлейля был изобретен как геометрический метод поиска корней квадратного уравнения . ^[5] Эта методология приводит к процедуре построения правильного пятиугольника. Шаги следующие: ^[6]

1. Нарисуйте круг , в который нужно вписать пятиугольник, и отметьте центральную точку О.
2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметьте левое пересечение с кругом как точку B.
3. Постройте вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом как точку А.
4. Постройте точку M как середину O и B.
5. Проведите круг с центром М через точку А. Отметьте его пересечение с горизонтальной линией ( внутри исходного круга) как точку W , а пересечение вне круга — как точку V.
6. Нарисуйте круг радиуса OA и центра W. Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
7. Нарисуйте круг радиуса OA и центра V. Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
8. Пятая вершина — это самое правое пересечение горизонтальной линии с исходным кругом.

Шаги 6–8 эквивалентны следующей версии, показанной на анимации:

6а. Постройте точку F как середину О и W.

7а. Постройте вертикальную линию, проходящую через F. Она пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника. Третья вершина — это самое правое пересечение горизонтальной линии с исходным кругом.

8а. Постройте две другие вершины, используя компас и длину вершины, найденную на шаге 7а.

метод Евклида

Метод Евклида для пятиугольника по заданной окружности с использованием золотого треугольника , анимация 1 мин 39 с

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , либо вписав его в заданный круг, либо построив его на заданном ребре. Этот процесс был описан Евклидом в его «Началах» около 300 г. до н.э. ^{[7] [8]}

Физические методы строительства

Верхний узел на бумажной полоске

• Правильный пятиугольник можно создать из полоски бумаги, завязав на полоске узел сверху и осторожно распрямив узел, потянув за концы бумажной полоски. Если сложить один из концов обратно над пятиугольником, при подсветке появится пентаграмма .
• Постройте правильный шестиугольник на плотной бумаге или картоне. Сложите по трем диаметрам между противоположными вершинами. Разрежьте от одной вершины к центру, чтобы получился равносторонний треугольный лоскут. Закрепите этот клапан под соседним, чтобы получилась пятиугольная пирамида . Основание пирамиды – правильный пятиугольник.

Симметрия

Симметрии правильного пятиугольника. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии. Синие зеркальные линии проводятся через вершины и ребра. Приказы о вращении даны в центре.

Правильный пятиугольник имеет симметрию Dih ₅ , порядок 10. Поскольку 5 — простое число , существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih ₁ и 2 симметрии циклических групп : Z ₅ и Z ₁ .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях пятиугольника. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[9] Полная симметрия правильной формы — это r10 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g5 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Обычная пентаграмма

Пентаграмма или пятиугольник – это правильный звездный пятиугольник. Его символ Шлефли — {5/2}. Его стороны образуют диагонали правильного выпуклого пятиугольника – в этом расположении стороны двух пятиугольников находятся в золотом сечении .

Равносторонние пятиугольники

Равносторонний пятиугольник, построенный из четырех равных кругов, расположенных в цепочку.

Равносторонний пятиугольник – это многоугольник с пятью сторонами одинаковой длины. Однако его пять внутренних углов могут принимать различные наборы значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален с точностью до подобия, поскольку он равносторонний и равноугольный (его пять углов равны).

Циклические пятиугольники

Вписанный пятиугольник — это пятиугольник, у которого через все пять вершин проходит окружность, называемая описанной окружностью. Правильный пятиугольник является примером циклического пятиугольника. Площадь циклического пятиугольника, правильного или нет, можно выразить как одну четверть квадратного корня одного из корней септического уравнения, коэффициенты которого являются функциями сторон пятиугольника. ^{[10] [11] [12]}

Существуют циклические пятиугольники с рациональными сторонами и рациональной площадью; они называются пятиугольниками Роббинса . Было доказано, что все диагонали пятиугольника Роббинса должны быть либо все рациональными, либо все иррациональные, и высказано предположение, что все диагонали должны быть рациональными. ^[13]

Общие выпуклые пятиугольники

У всех выпуклых пятиугольников сумма квадратов диагоналей меньше суммы квадратов сторон в 3 раза. ^{[14] : с.75, #1854}

Пятиугольники в плитке

Самая известная упаковка правильных пятиугольников одинакового размера на плоскости представляет собой двойную решетчатую структуру, которая покрывает 92,131% плоскости.

Правильный пятиугольник не может появиться ни в одном замощении правильных многоугольников. Во-первых, чтобы доказать, что пятиугольник не может образовывать правильную мозаику (такую, в которой все грани конгруэнтны, что требует, чтобы все многоугольники были пятиугольниками), заметим, что 360 ° / 108 ° = 3 1 ⁄ 3 (где 108 ° — внутренний угол ), что не является целым числом; следовательно, не существует целого числа пятиугольников, имеющих одну вершину и не оставляющих промежутков между ними. Гораздо сложнее доказать, что пятиугольник не может быть ни в одной мозаике, образованной от края до края правильными многоугольниками:

Максимальная известная плотность упаковки правильного пятиугольника достигается за счет показанной двойной решетчатой ​​упаковки. В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлс и Веден Куснер объявили о доказательстве того, что эта двойная решетчатая упаковка правильного пятиугольника (известная как китайская конструкция решетки «пятиугольные ледяные лучи», датируемая примерно 1900 годом) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок. правильных пятиугольников на плоскости. ^[15] По состоянию на 2022 год их доказательство еще не было опубликовано в рецензируемом журнале . ${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$^[update]

Не существует комбинаций правильных многоугольников с четырьмя или более сходящимися в вершине, содержащих пятиугольник. Для комбинаций с 3, если 3 многоугольника встречаются в вершине и один из них имеет нечетное количество сторон, 2 других должны быть конгруэнтны. Причина этого в том, что многоугольники, соприкасающиеся с краями пятиугольника, должны чередоваться вокруг пятиугольника, что невозможно из-за нечетного числа сторон пятиугольника. Для пятиугольника это приводит к многоугольнику, все углы которого равны (360 - 108)/2 = 126° . Чтобы найти количество сторон этого многоугольника, результат равен 360 / (180 − 126) = 6 2 ⁄ 3 , что не является целым числом. Следовательно, пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике, состоящей из правильных многоугольников.

Существует 15 классов пятиугольников, которые могут моноэдрически замостить плоскость . Ни один из пятиугольников вообще не обладает симметрией, хотя у некоторых есть особые случаи зеркальной симметрии.

Пятиугольники в многогранниках

Пятиугольники в природе

Растения

• 
  Пятиугольное сечение бамии .
• 
  Ипомея , как и многие другие цветы, имеет пятиугольную форму.
• 
  Трубка перигона цветка Раффлезия .
• 
  Гинецей яблони содержит пять плодолистиков , расположенных пятиконечной звездой .
• 
  Карамбола — еще один фрукт с пятикратной симметрией.

Животные

• 
  Морская звезда . Многие иглокожие обладают пятикратной радиальной симметрией.
• 
  Еще один пример иглокожих — эндоскелет морского ежа .
• 
  Иллюстрация хрупких звезд , а также иглокожих пятиугольной формы.

Минералы

• 
  Икосаэдрический квазикристалл Ho-Mg-Zn имеет форму пятиугольного додекаэдра . Грани представляют собой настоящие правильные пятиугольники.
• 
  Пиритоэдрический кристалл пирита . _ Пиритоэдр имеет 12 одинаковых пятиугольных граней, которые не обязательно должны быть правильными.

Другие примеры

• 
  Пентагон , штаб-квартира Министерства обороны США .
• 
  Домашняя тарелка бейсбольного поля

Смотрите также

• Ассоциэдр ; Пятиугольник – это ассоциэдр четвертого порядка.
• Додекаэдр — многогранник правильной формы, состоящий из 12 пятиугольных граней.
• Золотое сечение
• Список геометрических фигур
• Пятиугольные числа
• Пентаграмма
• Карта пентаграммы
• Pentastar , логотип Chrysler
• Теорема Пифагора # Подобные фигуры с трех сторон
• Тригонометрические константы пятиугольника

Встроенные примечания и ссылки

1. "Пятиугольник, прил. и н." ОЭД онлайн. Издательство Оксфордского университета, июнь 2014 г. Интернет. 17 августа 2014 г.
2. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.
3. Ричмонд, Герберт В. (1893). «Построение правильного многоугольника семнадцати сторон». Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики . 26 : 206–207.
4. Питер Р. Кромвель (22 июля 1999 г.). Многогранники . п. 63. ИСБН 0-521-66405-5.
5. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). ЦРК Пресс. п. 329. ИСБН 1-58488-347-2.
6. ДеТемпл, Дуэйн В. (февраль 1991 г.). «Окружности Карлейля и простота Лемуана многоугольных конструкций» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 98 (2): 97–108. дои : 10.2307/2323939. JSTOR  2323939. Архивировано из оригинала (PDF) 21 декабря 2015 г.
7. Джордж Эдвард Мартин (1998). Геометрические конструкции. Спрингер. п. 6. ISBN 0-387-98276-0.
8. Фитцпатрик, Ричард (2008). Элементы геометрии Евклида, Книга 4, Предложение 11 (PDF) . Перевод Ричарда Фицпатрика. п. 119. ИСБН 978-0-615-17984-1.
9. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278) 
10. Вайсштейн, Эрик В. «Циклический Пентагон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]
11. Роббинс, ДП (1994). «Площади многоугольников, вписанных в круг». Дискретная и вычислительная геометрия . 12 (2): 223–236. дои : 10.1007/bf02574377 .
12. Роббинс, ДП (1995). «Площади многоугольников, вписанных в круг». Американский математический ежемесячник . 102 (6): 523–530. дои : 10.2307/2974766. JSTOR  2974766.
13. * Бухгольц, Ральф Х.; МакДугалл, Джеймс А. (2008), «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью», Журнал теории чисел , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.05.005 , MR  2382768.
14. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2].
15. Хейлз, Томас ; Куснер, Веден (сентябрь 2016 г.), Упаковки правильных пятиугольников на плоскости , arXiv : 1602.07220

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентагон». Математический мир .
• Анимированная демонстрация построения вписанного пятиугольника с помощью циркуля и линейки.
• Как построить правильный пятиугольник с помощью циркуля и линейки.
• Как сложить правильный пятиугольник, используя только полоску бумаги
• Определение и свойства пятиугольника с интерактивной анимацией.
• Примерные конструкции правильных пятиугольников художников эпохи Возрождения
• Пентагон. Как вычислить различные размеры правильных пятиугольников.