stringtranslate.com

Правильный многоугольник

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это многоугольник , который является прямым равноугольным (все углы равны по размеру) и равносторонним (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми , звездообразными или косыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с увеличивающимся числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.

Общие свойства

Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли

Эти свойства применимы ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездчатым .

Правильный n -сторонний многоугольник имеет вращательную симметрию порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник является циклическим многоугольником .

Вместе со свойством равной длины сторон это подразумевает, что каждый правильный многоугольник также имеет вписанную или вписанную окружность , которая касается каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .

Правильный n -сторонний многоугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители n являются различными простыми числами Ферма . См. конструируемый многоугольник .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда, когда для некоторого , где каждое отличное число является простым числом Пьерпонта . [1]

Симметрия

Группа симметрии n -стороннего правильного многоугольника — это диэдральная группа D n (порядка 2 n ): D 2 , D 3 , D 4 , ... Она состоит из вращений в C n , а также симметрии отражения относительно n осей, проходящих через центр. Если n четное, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетное, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простой многоугольник — это такой, который нигде не пересекает себя) являются выпуклыми. Те, которые имеют одинаковое число сторон, также подобны .

n - сторонний выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { n }. Для n < 3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}
Вырождается в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон истинным многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не является структурой какого-либо абстрактного многоугольника .)
Дигон {2}; «двойной отрезок»
Вырождается в обычном пространстве . (Некоторые специалисты не считают двуугольник настоящим многоугольником из-за этого.)

В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких обстоятельствах принято опускать префикс «правильный». Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Как следствие формулы хорды кольца , площадь, ограниченная описанной и вписанной окружностями каждого единичного выпуклого правильного многоугольника, равна π /4.

Углы

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет величину:

степени;
радианы; или
полные обороты ,

и каждый внешний угол (т.е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру в градусах, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радиан или одному полному обороту.

Когда n стремится к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. Для правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагон ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может очень близко приблизиться к 180°, а форма многоугольника приблизиться к форме круга. Однако многоугольник никогда не может стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, так как окружность фактически станет прямой линией (см. апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Диагонали

Для n > 2 число диагоналей равно ; т. е. 0, 2, 5, 9, ..., для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... частей OEIS : A007678 .

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Точки в плоскости

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d i от произвольной точки плоскости до вершин имеем [2]

Для более высоких степеней расстояний от произвольной точки плоскости до вершин правильного -угольника, если

,

тогда [3]

,

и

,

где — положительное целое число, меньшее .

Если — расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести правильного -угольника с радиусом описанной окружности , то [3]

,

где = 1, 2, …, .

Внутренние точки

Для правильного n- угольника сумма перпендикулярных расстояний от любой внутренней точки до n сторон равна n раз апофеме [4] : стр. 72  (апофема — это расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. [5] [6]

Радиус окружности

Правильный пятиугольник ( n = 5) со стороной s , радиусом описанной окружности R и апофемой a
Графики стороны ,  s ; апофемы ,  a ; и площади ,  A правильных многоугольников с n сторонами и радиусом описанной окружности 1, с основанием ,  b прямоугольника с той же площадью . Зеленая линия показывает случай n = 6 .

Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением

Для конструктивных многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений (см. Бицентрический многоугольник § Правильные многоугольники ) .

Сумма перпендикуляров из вершин правильного n- угольника на любую прямую, касательную к описанной окружности, равна n- кратному радиусу описанной окружности. [4] : стр. 73 

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n- угольника до любой точки его описанной окружности равна 2 nR 2 , где R — радиус описанной окружности. [4] : стр.73 

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n- угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR 21/4ns 2 , где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. [4] : стр. 73 

Если — расстояния от вершин правильного -угольника до любой точки его описанной окружности, то [3]

.

Вскрытия

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на или 1/2m ( m − 1) параллелограммов. Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . [7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.

Область

Площадь A выпуклого правильного n -угольника со стороной s , радиусом описанной окружности R , апофемой a и периметром p вычисляется по формуле [8] [9]

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 это дает следующую таблицу: [10] ( Поскольку при , площадь при стремится к при становится больше.)

Сравнение размеров правильных многоугольников с одинаковой длиной ребра, от трех до шестидесяти сторон. Размер неограниченно увеличивается по мере того, как число сторон стремится к бесконечности.

Из всех n -угольников с заданным периметром правильный имеет наибольшую площадь. [19]

Конструируемый многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще не могут быть построены. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами, [20] : стр. xi  , и они знали, как построить правильный многоугольник с удвоенным числом сторон заданного правильного многоугольника. [20] : стр. 49–50  Это привело к постановке вопроса: возможно ли построить все правильные n -угольники с помощью циркуля и линейки? Если нет, то какие n -угольники могут быть построены, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовых периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени числа 2 и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простым числом Ферма является простое число вида ) Гаусс утверждал без доказательства, что это условие также необходимо , но никогда не публиковал свое доказательство. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса–Ванцеля .

Эквивалентно, правильный n -угольник конструктивен тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан в терминах четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

Правильный косой многоугольник в 3-мерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, зигзагообразные между двумя параллельными плоскостями, определяемыми как боковые ребра однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.

В более общем смысле правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примерами являются многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и рассматриваются как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Наиболее распространенным примером является пентаграмма , которая имеет те же вершины, что и пятиугольник , но соединяет чередующиеся вершины.

Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется для указания плотности или «звездности» m многоугольника, как { n / m }. Например, если m равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то каждая третья точка соединяется. Граница многоугольника обвивается вокруг центра m раз.

Правильные (невырожденные) звезды с числом сторон до 12:

m и n должны быть взаимно простыми , иначе число выродится.

Вырожденные правильные звезды, имеющие до 12 сторон:

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения о природе вырожденной фигуры различаются. Например, {6/2} можно трактовать одним из двух способов:

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодвойственны подобию, а для нечетных n они самодвойственны тождеству.

Кроме того, правильные звездчатые фигуры (соединения), состоящие из правильных многоугольников, также являются самодвойственными.

Правильные многоугольники как грани многогранников

Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия , отображающая одну вершину в другую (так же, как и для правильного многоугольника).

Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий всего два вида граней, чередующихся вокруг каждой вершины.

Правильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только один тип граней.

Оставшиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник, имеющий в качестве граней правильные треугольники, называется дельтаэдром .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Хва, Янг Ли (2017). Origami-Constructible Numbers (PDF) (диссертация магистра). Университет Джорджии. С. 55–59.
  2. ^ Пак, Пу-Сун. «Расстояния правильных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  3. ^ abc Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Сообщения по математике и приложениям . 11 : 335–355.
  4. ^ abcd Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (ориг. 1929).
  5. ^ Пиковер, Клиффорд А., The Math Book , Sterling, 2009: стр. 150
  6. ^ Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратная теорема Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
  7. ^ Коксетер , Математические развлечения и эссе, тринадцатое издание, стр. 141
  8. ^ "Math Open Reference" . Получено 4 февраля 2014 г.
  9. ^ "Математические слова".
  10. ^ Результаты для R = 1 и a = 1 получены с помощью Maple , используя определение функции:
    f := proc ( n ) options Operator , arrow ; [ [ convert ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convert ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , float )] , [ convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , radical ) , convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , float ) , convert ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , float )] , [ convert ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) , float ) , convert ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , float )] ] end proc                      
    Выражения для n = 16 получаются путем двойного применения формулы тангенса половинного угла к tan(π/4)
  11. ^ ⁠ ⁠
  12. ^ ⁠ ⁠
  13. ^ ⁠ ⁠
  14. ^ ⁠ ⁠
  15. ^ ⁠ ⁠
  16. ^ ⁠ ⁠
  17. ^ ⁠ ⁠
  18. ^ ⁠ ⁠
  19. ^ Чакериан, ГД «Искаженный взгляд на геометрию». Гл. 7 в Mathematical Plums (редактор Р. Хонсбергер). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
  20. ^ ab Bold, Benjamin. Знаменитые проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (ориг. 1969).
  21. ^ Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифу и числу. World Scientific. стр. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
  22. ^ ab Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3
  23. ^ Правильные многогранники, стр.95
  24. ^ Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр. 53

Ссылки

Внешние ссылки