Представление группы Ли

Групповое представительство

В математике и теоретической физике представление группы Ли — это линейное действие группы Ли на векторном пространстве . Эквивалентно, представление — это гладкий гомоморфизм группы в группу обратимых операторов на векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывной симметрии . О таких представлениях известно очень много, основным инструментом в их изучении является использование соответствующих «бесконечно малых» представлений алгебр Ли .

Конечномерные представления

Представления

Комплексное представление группы — это действие группы на конечномерном векторном пространстве над полем . Представление группы Ли G , действующее на n -мерном векторном пространстве V над , тогда является гладким групповым гомоморфизмом ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$,

где — общая линейная группа всех обратимых линейных преобразований под их композицией. Поскольку все n -мерные пространства изоморфны, группу можно отождествить с группой обратимых комплексных матриц, обычно называемых Гладкость отображения можно рассматривать как техническую особенность, поскольку любой непрерывный гомоморфизм автоматически будет гладким. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \Pi }$

Мы можем альтернативно описать представление группы Ли как линейное действие на векторном пространстве . В нотации мы бы тогда написали вместо для способа, которым элемент группы действует на вектор . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g\cdot v}$ ${\displaystyle \Pi (g)v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle v\in V}$

Типичным примером возникновения представлений в физике может служить изучение линейного уравнения в частных производных с группой симметрии . Хотя отдельные решения уравнения могут не быть инвариантными относительно действия , пространство всех решений инвариантно относительно действия . Таким образом, представляет собой представление . См. пример SO(3), обсуждаемый ниже. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Основные определения

Если гомоморфизм инъективен (т.е. является мономорфизмом ), то представление называется точным . ${\displaystyle \Pi }$

Если выбран базис для комплексного векторного пространства V , представление может быть выражено как гомоморфизм в общую линейную группу . Это известно как матричное представление . Два представления G на векторных пространствах V , W эквивалентны , если они имеют одинаковые матричные представления относительно некоторого выбора базисов для V и W. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$

При наличии представления мы говорим, что подпространство W из V является инвариантным подпространством, если для всех и . Представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами V являются нулевое пространство и само V. Для некоторых типов групп Ли, а именно компактных ^[2] и полупростых ^[3] групп, каждое конечномерное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений, свойство, известное как полная приводимость. Для таких групп типичной целью теории представлений является классификация всех конечномерных неприводимых представлений данной группы с точностью до изоморфизма. (См. раздел «Классификация» ниже.) ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$

Унитарное представление на конечномерном пространстве скалярного произведения определяется таким же образом, за исключением того, что требуется отображение в группу унитарных операторов . Если G — компактная группа Ли , каждое конечномерное представление эквивалентно унитарному. ^[2] ${\displaystyle \Pi }$

Представления алгебры Ли

Каждое представление группы Ли G порождает представление ее алгебры Ли; это соответствие подробно обсуждается в последующих разделах. См. представление алгебр Ли для теории алгебр Ли.

Пример: группа вращения SO(3)

В квантовой механике важную роль играет независимое от времени уравнение Шредингера . В трехмерном случае, если имеет вращательную симметрию, то пространство решений будет инвариантным относительно действия SO(3). Таким образом, будет — для каждого фиксированного значения — представлять собой представление SO(3), которое обычно конечномерно. При попытке решить полезно знать, как выглядят все возможные конечномерные представления SO(3). Теория представлений SO(3) играет ключевую роль, например, в математическом анализе атома водорода . ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит анализ, который по сути классифицирует конечномерные неприводимые представления SO(3) с помощью ее алгебры Ли. (Коммутационные соотношения между операторами углового момента являются просто соотношениями для алгебры Ли SO(3).) Одна из тонкостей этого анализа заключается в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно-однозначном соответствии, что имеет решающее значение для понимания различия между целым спином и полуцелым спином . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Обычные представления

Группа вращений SO(3) является компактной группой Ли, и, таким образом, каждое конечномерное представление SO(3) разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Группа SO(3) имеет одно неприводимое представление в каждом нечетном измерении. ^[4] Для каждого неотрицательного целого числа неприводимое представление размерности может быть реализовано как пространство однородных гармонических многочленов на степени . ^[5] Здесь SO(3) действует на обычным образом, которым вращения действуют на функции на : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2k+1}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

Ограничением на единичную сферу элементов являются сферические гармоники степени . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Если, скажем, , то все многочлены, которые являются однородными первой степени, являются гармоническими, и мы получаем трехмерное пространство, натянутое на линейные многочлены , , и . Если , то пространство натянуто на многочлены , , , и . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$

Как отмечено выше, конечномерные представления SO(3) возникают естественным образом при изучении не зависящего от времени уравнения Шредингера для радиального потенциала, такого как атом водорода , как отражение вращательной симметрии задачи. (См. роль, которую играют сферические гармоники в математическом анализе водорода .)

Проективные представления

Если мы посмотрим на алгебру Ли SO(3), то эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли SU(2). Согласно теории представлений , тогда существует одно неприводимое представление в каждом измерении. Однако четномерные представления не соответствуют представлениям группы SO (3). ^[6] Эти так называемые представления «дробного спина» соответствуют проективным представлениям SO(3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, таких как электрон. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Операции по представлениям

В этом разделе мы описываем три основные операции над представлениями. ^[7] См. также соответствующие конструкции для представлений алгебры Ли.

Прямые суммы

Если у нас есть два представления группы и , то прямая сумма будет иметь в качестве базового векторного пространства, причем действие группы будет задано как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

для всех , и . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Некоторые типы групп Ли, в частности, компактные группы Ли, обладают тем свойством, что каждое конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. ^[2] В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. См. теорему Вейля о полной приводимости .

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления группы , и , то тензорное произведение представлений будет иметь векторное пространство тензорного произведения в качестве базового векторного пространства, причем действие однозначно определяется предположением, что ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

для всех и . То есть, . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$

Представление алгебры Ли, связанное с представлением тензорного произведения, задается формулой: ^[8] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно не является неприводимым; тогда основная проблема в теории представлений заключается в разложении тензорных произведений неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых подпространств. Эта проблема известна под названием «сложение углового момента» или « теория Клебша–Гордана » в физической литературе.

Двойственные представления

Пусть — группа Ли и — представление G. Пусть — сопряженное пространство, то есть пространство линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

где для любого оператора оператор транспонирования определяется как оператор «композиция с»: ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(Если мы работаем в базисе, то это просто обычная транспонированная матрица .) Обратная матрица в определении необходима для того, чтобы гарантировать, что это на самом деле представление , в свете тождества . ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$

Двойственное представление неприводимого представления всегда неприводимо, ^[9] но может быть или не быть изоморфным исходному представлению. В случае группы SU(3), например, неприводимые представления помечены парой неотрицательных целых чисел. Двойственное представление, связанное с , является представлением, связанным с . ^[10] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Обзор

Во многих случаях удобно изучать представления группы Ли, изучая представления ассоциированной алгебры Ли. Однако, в общем случае, не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целым спином и полуцелым спином в квантовой механике. С другой стороны, если G — односвязная группа, то теорема ^[11] утверждает, что мы действительно получаем взаимно-однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли.

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли , и предположим, что имеется представление . Соответствие Ли может быть использовано для получения групповых представлений связной компоненты G . Грубо говоря, это достигается взятием матричной экспоненты матриц представления алгебры Ли. Тонкость возникает, если G не является односвязной . Это может привести к проективным представлениям или, на физическом языке, многозначным представлениям G . Это на самом деле представления универсальной накрывающей группы G . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Более подробно эти результаты будут объяснены ниже.

Соответствие Ли дает результаты только для связного компонента групп, и, таким образом, другие компоненты полной группы обрабатываются отдельно, давая представителей для матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждого компонента. Они образуют (представителей) нулевой гомотопической группы G. Например, в случае четырехкомпонентной группы Лоренца представители инверсии пространства и обращения времени должны быть введены вручную . Дальнейшие иллюстрации будут взяты из теории представлений группы Лоренца ниже.

Экспоненциальное отображение

Софус Ли , создатель теории Ли . Теория многообразий не была открыта во времена Ли, поэтому он работал локально с подмножествами Структуру сегодня назвали бы локальной группой . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Если — группа Ли с алгеброй Ли , то мы имеем экспоненциальное отображение из в , записанное как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

Если — матричная группа Ли, выражение можно вычислить с помощью обычного степенного ряда для экспоненты. В любой группе Ли существуют окрестности тождества в и начала координат в со свойством, что каждое в может быть записано однозначно как с . То есть экспоненциальное отображение имеет локальное обратное. В большинстве групп это только локально; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни взаимно-однозначным, ни на. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X\in V}$

Представления алгебры Ли из представлений групп

Всегда возможно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли. Если Π : G → GL( V ) — представление группы для некоторого векторного пространства V , то его прямой прогон (дифференциал) в тождестве, или отображение Ли , — представление алгебры Ли. Оно явно вычисляется с использованием ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V}$

Основное свойство, связывающее и включающее экспоненциальное отображение: ^[12] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

Вопрос, который мы хотим исследовать, заключается в том, возникает ли каждое представление группы таким образом из представлений группы . Как мы увидим, это имеет место, когда является односвязным. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Представления групп из представлений алгебры Ли

Основной результат этого раздела следующий: ^[13]

Теорема : Если односвязно, то каждое представление алгебры Ли происходит из представления самой себя. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Из этого легко вытекает следующее:

Следствие : Если связно, но не просто связно, то каждое представление происходит из представления , универсального покрытия . Если неприводимо, то спускается к проективному представлению . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Проективное представление — это представление, в котором каждое определено только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, поскольку состояния на самом деле определены только с точностью до константы. (То есть, если — вектор в квантовом гильбертовом пространстве, то представляет одно и то же физическое состояние для любой константы .) Каждое конечномерное проективное представление связной группы Ли происходит от обычного представления универсального покрытия . [ ^14] И наоборот, как мы обсудим ниже, каждое неприводимое обычное представление сводится к проективному представлению . В физической литературе проективные представления часто описываются как многозначные представления (т. е. каждое имеет не одно значение, а целое семейство значений). Это явление важно для изучения дробного спина в квантовой механике. ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle c\psi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$

Здесь V — конечномерное векторное пространство, GL( V ) — множество всех обратимых линейных преобразований на V , а — его алгебра Ли. Отображения π и Π — представления алгебры Ли и группы соответственно, а exp — экспоненциальное отображение. Диаграмма коммутирует только с точностью до знака, если Π проективна. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Теперь мы обрисуем доказательство основных результатов выше. Предположим, что есть представление на векторном пространстве V . Если будет ассоциированное представление группы Ли , оно должно удовлетворять экспоненциальному соотношению предыдущего подраздела. Теперь, в свете локальной обратимости экспоненты, мы можем определить отображение из окрестности тождества в с помощью этого соотношения: ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

Ключевым вопросом тогда является следующий: является ли это локально определенное отображение «локальным гомоморфизмом»? (Этот вопрос применим даже в особом случае, когда экспоненциальное отображение является глобально однозначным и на; в этом случае было бы глобально определенным отображением, но не очевидно, почему это было бы гомоморфизмом.) Ответ на этот вопрос — да: является локальным гомоморфизмом, и это можно установить с помощью формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа . ^[15] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

Если связно, то каждый элемент из является по крайней мере произведением экспонент элементов из . Таким образом, мы можем предварительно определить глобально следующим образом. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$

Однако следует отметить, что представление данного элемента группы в виде произведения экспонент весьма далеко от однозначности, поэтому далеко не ясно, что оно на самом деле хорошо определено. ${\displaystyle \Pi }$

Чтобы решить вопрос о том, является ли определённым, мы соединяем каждый элемент группы с тождеством с помощью непрерывного пути. Затем можно определить вдоль пути и показать, что значение не изменяется при непрерывной деформации пути с фиксированными конечными точками. Если является односвязным, любой путь, начинающийся в тождестве и заканчивающийся в , может быть непрерывно деформирован в любой другой такой путь, показывая, что полностью независим от выбора пути. Учитывая, что первоначальное определение вблизи тождества было локальным гомоморфизмом, нетрудно показать, что глобально определённое отображение также является гомоморфизмом, удовлетворяющим (G2) . ^[16] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle \Pi }$

Если не является односвязным, мы можем применить описанную выше процедуру к универсальному покрытию . Пусть будет отображением покрытия. Если случится так, что ядро ​​содержит ядро ​​, то спускается к представлению исходной группы . Даже если это не так, заметим, что ядро ​​является дискретной нормальной подгруппой , которая, следовательно, находится в центре . Таким образом, если является неприводимым, лемма Шура подразумевает, что ядро ​​будет действовать скалярными кратными единицы. Таким образом, спускается к проективному представлению , то есть такому, которое определено только по модулю скалярных кратных единицы. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle \Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Наглядное представление того, как универсальная покрывающая группа содержит все такие гомотопические классы, а также ее техническое определение (как множества и как группы) дается в геометрическом представлении .

Например, если это конкретизировать для двусвязной группы SO(3, 1) ⁺ , то универсальной накрывающей группой будет , а то, является ли ее соответствующее представление точным, определяет, является ли Π проективным . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Классификация в компактном корпусе

Если G — связная компактная группа Ли, то ее конечномерные представления можно разложить в прямые суммы неприводимых представлений . ^[17] Неприводимые представления классифицируются с помощью « теоремы о наибольшем весе ». Мы приводим краткое описание этой теории здесь; более подробно см. статьи о теории представлений связной компактной группы Ли и параллельной теории, классифицирующей представления полупростых алгебр Ли .

Пусть T — максимальный тор в G . По лемме Шура неприводимые представления T являются одномерными. Эти представления можно легко классифицировать и пометить определенными «аналитически целыми элементами» или «весами». Если — неприводимое представление G , ограничение на T обычно не будет неприводимым, но оно будет разлагаться как прямая сумма неприводимых представлений T , помеченных соответствующими весами. (Один и тот же вес может встречаться более одного раза.) Для фиксированного можно определить один из весов как «наивысший», и затем представления классифицируются по этому наибольшему весу. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Важным аспектом теории представлений является связанная с ней теория характеров. Здесь для представления G характер — это функция ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C} }$

предоставлено

${\displaystyle \chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g)).}$

Два представления с одинаковым характером оказываются изоморфными. Более того, формула характера Вейля дает замечательную формулу для характера представления в терминах его наибольшего веса. Эта формула не только дает много полезной информации о представлении, но и играет решающую роль в доказательстве теоремы о наибольшем весе.

Унитарные представления в гильбертовых пространствах

Пусть V — комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть обозначает группу унитарных операторов на V. Унитарное представление группы Ли G на V — это групповой гомоморфизм со свойством, что для каждого фиксированного отображение ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow U(V)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle g\mapsto \Pi (g)v}$

является непрерывным отображением G в V .

Конечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V конечномерно, то существует ассоциированное представление алгебры Ли . Если связно, то представление унитарно тогда и только тогда, когда является косо-самосопряженным для каждого . ^[18] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

Если компактно , то каждое представление на конечномерном векторном пространстве V является «унитаризуемым», что означает, что можно выбрать скалярное произведение на V так, чтобы каждое было унитарным. ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$

Бесконечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V допускает бесконечную размерность, изучение унитарных представлений включает ряд интересных особенностей, которые отсутствуют в конечномерном случае. Например, построение подходящего представления алгебры Ли становится технически сложным. Одной из ситуаций, в которой представление алгебры Ли хорошо изучено, является ситуация полупростых (или редуктивных) групп Ли, где ассоциированное представление алгебры Ли образует (g,K)-модуль . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, а также в анализе Фурье , как показано в следующем примере. Пусть , и пусть комплексное гильбертово пространство V будет . Мы определяем представление как ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))}$

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

Вот несколько важных примеров, в которых были проанализированы унитарные представления группы Ли.

• Теорему Стоуна –фон Неймана можно понимать как классификацию неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга .
• Классификация Вигнера для представлений группы Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как массу и спин частиц можно понять в терминах теории групп.
• Теория представлений SL(2,R) была разработана В. Баргманном и служит прототипом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

В квантовой физике часто интересуются проективными унитарными представлениями группы Ли . Причина этого интереса в том, что состояния квантовой системы представлены векторами в гильбертовом пространстве , но с пониманием того, что два состояния, отличающиеся на константу, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Симметрии гильбертова пространства затем описываются унитарными операторами, но унитарный оператор, кратный тождественному, не изменяет физическое состояние системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления, то есть гомоморфизмы в унитарную группу , а скорее проективные унитарные представления, то есть гомоморфизмы в проективную унитарную группу ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U(\mathbf {H} )}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.}$

Другими словами, для проективного представления мы строим семейство унитарных операторов , где подразумевается, что изменение на константу с абсолютным значением 1 считается "тем же" оператором. Затем операторы должны удовлетворять свойству гомоморфизма с точностью до константы : ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).}$

Мы уже обсуждали выше неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO(3); рассмотрение проективных представлений допускает дробный спин в дополнение к целочисленному спину.

Теорема Баргмана утверждает, что для некоторых типов групп Ли неприводимые проективные унитарные представления находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсальной оболочки . Важными примерами, где применима теорема Баргмана, являются SO(3) (как только что упомянуто) и группа Пуанкаре . Последний случай важен для классификации Вигнера проективных представлений группы Пуанкаре с приложениями к квантовой теории поля. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Одним из примеров, где теорема Баргмана неприменима , является группа . Набор трансляций в положении и импульсе на образует проективное унитарное представление , но они не происходят от обычного представления универсальной оболочки —которое есть само по себе. В этом случае, чтобы получить обычное представление, нужно перейти к группе Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением . (См. обсуждение здесь .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Коммутативный случай

Если — коммутативная группа Ли , то каждое неприводимое унитарное представление на комплексных векторных пространствах является одномерным. (Это утверждение следует из леммы Шура и справедливо даже в том случае, если представления не предполагаются заранее конечномерными.) Таким образом, неприводимые унитарные представления являются просто непрерывными гомоморфизмами в группу единичной окружности U(1). Например, если , неприводимые унитарные представления имеют вид ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)=[e^{iax}]}$,

для некоторого действительного числа . ${\displaystyle a}$

См. также двойственность Понтрягина для этого случая.

Смотрите также

• Теория представлений связных компактных групп
• Представление алгебры Ли
• Проективное представление
• Теория представлений SU(2)
• Теория представлений группы Лоренца
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Присоединенное представление группы Ли
• Список тем группы Ли
• Симметрия в квантовой механике
• D-матрица Вигнера

Примечания

1. Холл 2015 Следствие 3.51
2. Hall 2015 Теорема 4.28
3. Холл 2015 Раздел 10.3
4. Холл 2015 Раздел 4.7
5. Холл 2013 Раздел 17.6
6. Холл 2015 Предложение 4.35
7. Холл 2015, Раздел 4.3
8. Холл 2015, Предложение 4.18
9. Холл 2015 Предложение 4.22
10. Холл 2015 Глава 6, Упражнение 3. См. также Главу 10, Упражнение 10
11. Холл 2015 Теорема 5.6
12. Hall 2015, Теорема 3.28
13. Холл 2015, Теорема 5.6
14. Холл 2013, Раздел 16.7.3
15. Холл 2015, Предложение 5.9
16. Холл 2015, Теорема 5.10
17. Холл 2015 Теоремы 4.28
18. Холл 2015 Предложение 4.8
19. Холл 2015 доказательство предложения 4.28

Ссылки

• Фултон, У .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249.
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения, Progress in Mathematics, т. 140 (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser.
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7. В переиздании 2003 года исправлено несколько типографских ошибок.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, т. 1, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7