Теория представлений группы Лоренца

Representation of the symmetry group of spacetime in special relativity

Хендрик Антон Лоренц (справа), в честь которого названа группа Лоренца , и Альберт Эйнштейн , чья специальная теория относительности является основным источником приложений. Фотография сделана Паулем Эренфестом в 1921 году.

Группа Лоренца — это группа Ли симметрий пространства-времени специальной теории относительности . Эта группа может быть реализована как набор матриц , линейных преобразований или унитарных операторов в некотором гильбертовом пространстве ; она имеет множество представлений . ^{[nb 1]} Эта группа важна, поскольку специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя наиболее основательно обоснованными физическими теориями, ^{[nb 2]} и соединение этих двух теорий является изучением бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Они имеют как историческое значение в основной физике, так и связи с более спекулятивными современными теориями.

Разработка

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общего каркаса теории представлений полупростых алгебр Ли . Конечномерные представления связной компоненты полной группы Лоренца O(3; 1) получаются с использованием соответствия Ли и матричной экспоненты . Полная конечномерная теория представлений универсальной накрывающей группы (а также спиновой группы , двойного накрытия) получена и явно дана в терминах действия на функциональном пространстве в представлениях SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} и s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Представители обращения времени и обращения пространства даны в обращении пространства и обращении времени, завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Описаны общие свойства представлений (m, n). Рассматривается действие на функциональных пространствах, причем в качестве примеров приводится действие на сферических гармониках и P-функциях Римана. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений реализован для основной серии и дополнительной серии . Наконец, дана формула Планшереля для , а представления SO(3, 1) классифицированы и реализованы для алгебр Ли. ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Развитие теории представлений исторически следовало за развитием более общей теории представлений полупростых групп , во многом благодаря Эли Картану и Герману Вейлю , но группа Лоренца также получила особое внимание из-за своей важности в физике. Известными авторами являются физик Э. П. Вигнер и математик Валентин Баргманн с их программой Баргмана–Вигнера , ^[1] одним из выводов которой является, грубо говоря, классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца, что равносильно классификации всех возможных релятивистских волновых уравнений . ^[2] Классификация неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца была установлена ​​докторантом Поля Дирака по теоретической физике, Хариш-Чандрой , позже ставшим математиком, ^{[nb 3]} в 1947 году. Соответствующая классификация для была опубликована независимо Баргманном и Израилем Гельфандом совместно с Марком Наймарком в том же году. ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

Приложения

Многие из представлений, как конечномерных, так и бесконечномерных, важны в теоретической физике. Представления появляются при описании полей в классической теории поля , в первую очередь электромагнитного поля , и частиц в релятивистской квантовой механике , а также частиц и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн и за ее пределами. Теория представлений также обеспечивает теоретическую основу для концепции спина . Теория входит в общую теорию относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени физика является физикой специальной теории относительности. ^[3]

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородной группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямое физическое значение. ^{[4] [5]}

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются путем ограничения неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующих на гильбертовых пространствах релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля . Но они также представляют математический интерес и потенциально имеют прямую физическую значимость в других ролях, нежели простое ограничение. ^[6] Существовали спекулятивные теории, ^{[7] [8]} (тензоры и спиноры имеют бесконечные аналоги в экспансорах Дирака и экспинорах Хариш-Чандры), согласующиеся с относительностью и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют схожие ингредиенты, как указано ниже.

Классическая теория поля

В то время как электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, обеспечивающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. В подходе к квантовой теории поля (КТП), называемом вторичным квантованием , отправной точкой является одно или несколько классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака, рассматриваются как классические поля до (вторичного) квантования. ^[9] Хотя вторичное квантование и связанный с ним лагранжев формализм не являются фундаментальным аспектом КТП, ^[10] дело в том, что до сих пор ко всем квантовым теориям поля можно подходить таким образом, включая стандартную модель . ^[11] В этих случаях существуют классические версии уравнений поля, вытекающие из уравнений Эйлера–Лагранжа, полученных из лагранжиана с использованием принципа наименьшего действия . Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными, и их решения (которые будут квалифицироваться как релятивистские волновые функции согласно определению ниже) должны преобразовываться при некотором представлении группы Лоренца.

Действие группы Лоренца в пространстве конфигураций полей (конфигурация поля — это пространственно-временная история конкретного решения, например, электромагнитное поле во всем пространстве за все время является одной конфигурацией поля) напоминает действие в гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что коммутаторные скобки заменены теоретическими скобками Пуассона . ^[9]

Релятивистская квантовая механика

Для настоящих целей дается следующее определение: ^[12] Релятивистская волновая функция — это набор n функций ψ ^α в пространстве-времени, которые преобразуются при произвольном собственном преобразовании Лоренца Λ как

$${\displaystyle \psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x\right),}$$

где D [Λ] — n -мерная матрица, представляющая Λ, принадлежащая некоторой прямой сумме представлений ( m , n ) , которые будут введены ниже.

Наиболее полезными релятивистскими квантово -механическими одночастичными теориями (полностью последовательных таких теорий не существует) являются уравнение Клейна–Гордона ^[13] и уравнение Дирака ^[14] в их исходной постановке. Они релятивистски инвариантны, и их решения преобразуются под действием группы Лоренца как скаляры Лоренца ( ( m , n ) = (0, 0) ) и биспиноры ( (0, ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 0) ) соответственно. Электромагнитное поле является релятивистской волновой функцией согласно этому определению, преобразуясь по (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[15]

Бесконечномерные представления могут быть использованы при анализе рассеяния. ^[16]

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля требование релятивистской инвариантности проявляется, помимо прочего, в том, что S-матрица обязательно должна быть инвариантной относительно Пуанкаре. ^[17] Это подразумевает, что существует одно или несколько бесконечномерных представлений группы Лоренца, действующих в пространстве Фока . ^{[nb 4]} Одним из способов гарантировать существование таких представлений является существование лагранжева описания (с умеренными требованиями, см. ссылку) системы с использованием канонического формализма, из которого может быть выведена реализация генераторов группы Лоренца. ^[18]

Преобразования полевых операторов иллюстрируют взаимодополняющую роль, которую играют конечномерные представления группы Лоренца и бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре, свидетельствуя о глубоком единстве математики и физики. ^[19] Для иллюстрации рассмотрим определение n -компонентного полевого оператора : ^[20] Релятивистский полевой оператор представляет собой набор из n операторнозначных функций в пространстве-времени, которые преобразуются при собственных преобразованиях Пуанкаре (Λ, a ) согласно ^{[21] [22]}

$${\displaystyle \Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x)=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1}\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\right]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+a)}$$

Здесь U [Λ, a] — унитарный оператор, представляющий (Λ, a) в гильбертовом пространстве, на котором определена Ψ , а D — n -мерное представление группы Лоренца. Правило преобразования — вторая аксиома Вайтмана квантовой теории поля.

Рассматривая дифференциальные ограничения, которым должен подчиняться оператор поля, чтобы описать отдельную частицу с определенной массой m и спином s (или спиральностью), можно сделать вывод, что ^{[23] [примечание 5]}

где a ^† , a интерпретируются как операторы создания и уничтожения соответственно. Оператор создания a ^† преобразуется согласно ^{[23] [24]}

$${\displaystyle a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ,\sigma \right)=U[\Lambda ]a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^{(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },}$$

и аналогично для оператора уничтожения. Суть в том, что оператор поля преобразуется в соответствии с конечномерным неунитарным представлением группы Лоренца, в то время как оператор рождения преобразуется в соответствии с бесконечномерным унитарным представлением группы Пуанкаре, характеризуемой массой и спином ( m , s ) частицы. Связь между ними — волновые функции , также называемые коэффициентными функциями

$${\displaystyle u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip\cdot x}}$$

которые несут как индексы ( x , α ), на которые действуют преобразования Лоренца, так и индексы ( p , σ ), на которые действуют преобразования Пуанкаре. Это можно назвать связью Лоренца–Пуанкаре. ^[25] Чтобы продемонстрировать связь, подвергните обе стороны уравнения (X1) преобразованию Лоренца, что приведет к, например, для u ,

$${\displaystyle {D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R(\Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\right),}$$

где D — неунитарный представитель группы Лоренца Λ , а D ^{( s )} — унитарный представитель так называемого вращения Вигнера R, связанного с Λ и p , которое вытекает из представления группы Пуанкаре, а s — спин частицы.

Все приведенные выше формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, а также дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с указанной массой, спином и представлением ( m , n ) , в соответствии с которым он должен преобразовываться, ^{[примечание 6]} , а также волновой функции, могут быть выведены только из групповых теоретических соображений, как только будут заданы рамки квантовой механики и специальной теории относительности. ^{[примечание 7]}

Спекулятивные теории

В теориях, в которых пространство-время может иметь более D = 4 измерений, обобщенные группы Лоренца O( D − 1; 1) соответствующей размерности занимают место O(3; 1) . ^{[nb 8]}

Требование лоренц-инвариантности приобретает, возможно, наиболее драматичный эффект в теории струн . Классические релятивистские струны можно обрабатывать в лагранжевом каркасе с помощью действия Намбу–Гото . ^[26] Это приводит к релятивистски инвариантной теории в любом пространственно-временном измерении. ^[27] Но, как оказывается, теорию открытых и закрытых бозонных струн (простейшую теорию струн) невозможно квантовать таким образом, чтобы группа Лоренца была представлена ​​в пространстве состояний ( гильбертовом пространстве ), если только размерность пространства-времени не равна 26. ^[28] Соответствующий результат для теории суперструн снова выводится с требованием лоренц-инвариантности, но теперь с суперсимметрией . В этих теориях алгебра Пуанкаре заменяется алгеброй суперсимметрии , которая является Z ₂ -градуированной алгеброй Ли, расширяющей алгебру Пуанкаре. Структура такой алгебры в значительной степени фиксирована требованиями лоренц-инвариантности. В частности, фермионные операторы (степень 1 ) принадлежат к (0, ⁠1/2⁠ ) ​​или ( ⁠1/2⁠ , 0) пространство представления (обычной) алгебры Лоренца Ли. ^[29] Единственная возможная размерность пространства-времени в таких теориях равна 10. ^[30]

Конечномерные представления

Теория представлений групп в целом и групп Ли в частности является очень богатой темой. Группа Лоренца имеет некоторые свойства, которые делают ее «приятной», и другие, которые делают ее «не очень приятной» в контексте теории представлений; группа проста и , следовательно, полупроста , но не связна , и ни один из ее компонентов не является просто связным . Кроме того, группа Лоренца не является компактной . ^[31]

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать так же, как и с другими полупростыми группами, используя хорошо развитую теорию. Кроме того, все представления строятся из неприводимых , поскольку алгебра Ли обладает свойством полной приводимости . ^{[nb 9] [32]} Но некомпактность группы Лоренца в сочетании с отсутствием простой связности не может рассматриваться во всех аспектах, как в простой структуре, которая применяется к односвязным компактным группам. Некомпактность подразумевает, для связной простой группы Ли, что не существует нетривиальных конечномерных унитарных представлений. ^[33] Отсутствие простой связности приводит к спиновым представлениям группы. ^[34] Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца обращение времени и обращение пространственной ориентации должны рассматриваться отдельно. ^{[35] [36]}

История

Развитие теории конечномерных представлений группы Лоренца в основном следует за теорией представлений в целом. Теория Ли возникла в 1873 году благодаря Софусу Ли . ^{[37] [38]} К 1888 году классификация простых алгебр Ли была по существу завершена Вильгельмом Киллингом . ^{[39] [40]} В 1913 году теорема о наибольшем весе для представлений простых алгебр Ли, путь, которому мы здесь пойдем, была завершена Эли Картаном . ^{[41] [42]} В период 1935–38 годов Ричард Брауэр в значительной степени отвечал за разработку матриц Вейля-Брауэра, описывающих, как спиновые представления алгебры Ли Лоренца могут быть вложены в алгебры Клиффорда . ^{[43] [44]} Группа Лоренца также исторически получила особое внимание в теории представлений, см. Историю бесконечномерных унитарных представлений ниже, из-за ее исключительной важности в физике. Математики Герман Вейль ^{[41] [45] [37] [46] [47]} и Хариш-Чандра ^{[48] [49]} и физики Юджин Вигнер ^{[50] [51]} и Валентин Баргманн ^{[52] [53] [54]} внесли существенный вклад как в общую теорию представлений, так и в группу Лоренца в частности. ^[55] Физик Поль Дирак был, возможно, первым, кто явно связал все воедино в практическом применении, имеющем важное непреходящее значение, с помощью уравнения Дирака в 1928 году. ^{[56] [57] [nb 10]}

Алгебра Ли

Вильгельм Киллинг , независимый первооткрыватель алгебр Ли . Простые алгебры Ли были впервые классифицированы им в 1888 году.

В этом разделе рассматриваются неприводимые комплексные линейные представления комплексификации алгебры Ли группы Лоренца. Удобный базис для задается тремя генераторами J _i вращений и тремя генераторами K _i усилений . Они явно даны в соглашениях и базисах алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Алгебра Ли комплексифицируется , а базис заменяется на компоненты ее двух идеалов ^[58] $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}},\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}.}$$

Компоненты A = ( A ₁ ,  A ₂ ,  A ₃ ) и B = ( B ₁ ,  B ₂ ,  B ₃ ) по отдельности удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли и, более того, они коммутируют друг с другом, ^[59] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$

$${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,}$$

где i ,  j ,  k — индексы, каждый из которых принимает значения 1, 2, 3 , а ε _ijk — трехмерный символ Леви-Чивиты . Пусть и обозначают комплексную линейную оболочку A и B соответственно . ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbb {C} }}$

Имеются изоморфизмы ^{[60] [nb 11]}

где находится комплексификация ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .}$

Полезность этих изоморфизмов проистекает из того факта, что все неприводимые представления ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ , и, следовательно, все неприводимые комплексные линейные представления известны. Неприводимое комплексное линейное представление изоморфно одному из представлений с наибольшим весом . Они явно заданы в комплексных линейных представлениях s l ( 2 , C ) . {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).} ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Унитарный трюк

Герман Вейль , изобретатель унитаристского приема . В теории представлений есть несколько концепций и формул, названных в честь Вейля, например, группа Вейля и формула характера Вейля .

Алгебра Ли — это алгебра Ли группы Она содержит компактную подгруппу SU(2) × SU(2) с алгеброй Ли. Последняя является компактной вещественной формой группы Таким образом, из первого утверждения унитаристского приема представления SU(2) × SU(2) находятся во взаимно однозначном соответствии с голоморфными представлениями группы ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

В силу компактности теорема Петера–Вейля применима к SU(2) × SU(2) , ^[61] и, следовательно, можно обратиться к ортонормированности неприводимых характеров . Неприводимые унитарные представления SU(2) × SU(2) являются в точности тензорными произведениями неприводимых унитарных представлений SU(2) . ^[62]

При обращении к простой связности применяется второе утверждение унитарного приема. Объекты в следующем списке находятся во взаимно-однозначном соответствии:

• Голоморфные представления ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
• Гладкие представления SU(2) × SU(2)
• Действительные линейные представления ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$
• Комплексные линейные представления ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Тензорные произведения представлений появляются на уровне алгебры Ли как ^{[nb 12]}

где Id — оператор тождества. Здесь подразумевается последняя интерпретация, которая следует из (G6) . Представления с наибольшим весом индексируются μ для μ = 0, 1/2, 1, ... . (Наибольшим весом на самом деле является 2 μ = 0, 1, 2, ... , но обозначение здесь адаптировано к обозначению ) Тензорные произведения двух таких комплексных линейных множителей затем образуют неприводимые комплексные линейные представления ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Наконец, -линейные представления действительных форм крайнего левого , и крайнего правого, ^{[nb 13]} в (A1) получаются из -линейных представлений, охарактеризованных в предыдущем абзаце. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

(μ,ν)-представления sl(2, C)

Комплексные линейные представления комплексификации , полученные с помощью изоморфизмов в (A1) , находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными линейными представлениями ^[63]. Таким образом, множество всех действительных линейных неприводимых представлений индексируется парой ( μ , ν ) . Комплексные линейные представления, соответствующие точно комплексификации действительных линейных представлений, имеют вид ( μ , 0) , в то время как сопряженные линейные представления имеют вид (0, ν ) . ^[63] Все остальные являются только действительными линейными. Свойства линейности следуют из канонической инъекции, крайней правой в (A1) , в ее комплексификацию. Представления в виде ( ν , ν ) или ( μ , ν ) ⊕ ( ν , μ ) задаются действительными матрицами (последние не являются неприводимыми). Явно, вещественные линейные ( μ , ν ) -представления являются , где являются комплексными линейными неприводимыми представлениями и их комплексно-сопряженными представлениями. (В математической литературе обычно используется обозначение 0, 1, 2, ... , но здесь выбраны полуцелые числа, чтобы соответствовать обозначению для алгебры Ли.) Здесь тензорное произведение интерпретируется в прежнем смысле (A0) . Эти представления конкретно реализуются ниже. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu }}}\right)(X)=\varphi _{\mu }(X)\otimes \operatorname {Id} _{\nu +1}+\operatorname {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }(X)}},\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$$ ${\textstyle \varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi _{\nu }}},\nu =0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)}$

(м,н)-представления so(3; 1)

С помощью отображенных изоморфизмов в (A1) и знания комплексных линейных неприводимых представлений при решении для J и K получаются все неприводимые представления и, по ограничению, представления . Представления, полученные таким образом, являются действительными линейными (а не комплексными или сопряженно-линейными), поскольку алгебра не замкнута при сопряжении, но они все еще неприводимы. ^[60] Поскольку является полупростым , ^[60] все его представления могут быть построены как прямые суммы неприводимых. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} },}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Таким образом, конечномерные неприводимые представления алгебры Лоренца классифицируются упорядоченной парой полуцелых чисел m = μ и n = ν , обычно записываемых как одно из где V — конечномерное векторное пространство. Они, с точностью до преобразования подобия , однозначно задаются ^{[nb 14]} $${\displaystyle (m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),}$$

где 1 _n — это n -мерная единичная матрица , а — (2 n  + 1) -мерные неприводимые представления также называемых спиновыми матрицами или матрицами углового момента . Они явно задаются как ^[64] где δ обозначает символ Кронекера . В компонентах, с − m ≤ a , a′ ≤ m , − n ≤ b , b′ ≤ n , представления задаются как ^[65] $${\displaystyle \mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{2}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {(j-a)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a-1}\right)\\\left(J_{3}^{(j)}\right)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}+\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=-i\left(\delta _{b'b}\left(J_{i}^{(m)}\right)_{a'a}-\delta _{a'a}\left(J_{i}^{(n)}\right)_{b'b}\right)\end{aligned}}}$$

Общие представления

• Представление (0, 0) является одномерным тривиальным представлением и поддерживается релятивистскими скалярными теориями поля .
• Генераторы фермионной суперсимметрии преобразуются под действием одного из (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​или ( ⁠1/2⁠ , 0) представления (спиноры Вейля). ^[29]
• Четырехимпульс частицы (безмассовой или массивной ) преобразуется под действием ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2⁠ ) ​​представление, четырехвектор.
• Физическим примером (1,1) бесследового симметричного тензорного поля является бесследовая ^{[nb 15]} часть тензора энергии-импульса T ^μν . ^{[66] [nb 16]}

Недиагональные прямые суммы

Поскольку для любого неприводимого представления, для которого m ≠ n, необходимо оперировать полем комплексных чисел , прямая сумма представлений ( m ,  n ) и ( n ,  m ) имеет особое значение для физики, поскольку позволяет использовать линейные операторы над действительными числами .

• ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​— биспинорное представление. См. также спинор Дирака и спиноры и биспиноры Вейля ниже.
• (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) — представление поля Рариты–Швингера .
• ( ⁠3/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠3/2⁠ ) ​​будет симметрией гипотетического гравитино . ^{[nb 17]} Его можно получить из (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) представление.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) — это представление инвариантного по четности 2-формного поля (также известного как форма кривизны ). Тензор электромагнитного поля преобразуется в соответствии с этим представлением.

Группа

Подход в этом разделе основан на теоремах, которые, в свою очередь, основаны на фундаментальном соответствии Ли . ^[67] Соответствие Ли по сути является словарем между связанными группами Ли и алгебрами Ли. ^[68] Связь между ними — это экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли, обозначаемое ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G.}$

Если для некоторого векторного пространства V есть представление, то представление Π связной компоненты G определяется как ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

Это определение применимо независимо от того, является ли полученное представление проективным или нет.

Сюръективность экспоненциального отображения для SO(3, 1)

С практической точки зрения важно, можно ли первую формулу в (G2) использовать для всех элементов группы . Она справедлива для всех , однако в общем случае, например для , не все g ∈ G находятся в образе exp . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Но сюръективно . Один из способов показать это — использовать изоморфизм, последний из которых является группой Мёбиуса . Это фактор (см. связанную статью). Фактор-карта обозначается как Карта находится на. ^[69] Применяем (Ли) с π, являющимся дифференциалом p в единице. Тогда ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).}$$

Так как левая часть сюръективна (как exp , так и p ), правая часть сюръективна и, следовательно, сюръективна. ^[70] Наконец, повторим аргумент еще раз, но теперь с известным изоморфизмом между SO(3; 1) ⁺ и найдем, что exp является сюръективным для связной компоненты группы Лоренца. ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$

Основная группа

Группа Лоренца является двусвязной , т.е. π ₁ (SO(3; 1)) — это группа, элементами которой являются два класса эквивалентности циклов.

Доказательство

Чтобы показать фундаментальную группу SO (3; 1) ⁺ , рассматривается топология ее накрывающей группы SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} . По теореме о полярном разложении любая матрица может быть однозначно выражена как ^[71] ${\displaystyle \lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \lambda =ue^{h},}$$

где u унитарно с детерминантом один, следовательно , в SU(2) , а h эрмитово со следом ноль. Условия следа и детерминанта подразумевают: ^[72] $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R} ^{4}{\text{ subject to }}d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1.\end{aligned}}}$$

Очевидно, непрерывное взаимно однозначное отображение является гомеоморфизмом с непрерывным обратным, заданным формулой (место точек u отождествляется с ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\\(r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}}$$

явно показывая, что односвязно. Но где находится центр . Отождествление λ и − λ равносильно отождествлению u с − u , что в свою очередь равносильно отождествлению антиподальных точек на Таким образом, топологически, ^[72] ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}.}$ $${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),}$$

где последний фактор не является просто связным: Геометрически видно (для наглядности можно заменить на ), что путь от u до − u в является петлей в , поскольку u и − u являются антиподальными точками, и что он не стягивается в точку. Но путь от u до − u , оттуда снова в u , петля в и двойная петля (рассматривая p ( ue ^h ) = p (− ue ^h ) , где — покрывающее отображение) в , которая стягивается в точку (непрерывно отходит от − u «наверх» в и сжимает путь там до точки u ). ^[72] Таким образом , π ₁ (SO(3; 1)) — это группа с двумя классами эквивалентности петель в качестве ее элементов, или, проще говоря, SO(3; 1) является двусвязной . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$

Проективные представления

Поскольку π ₁ (SO(3; 1) ⁺ ) имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли дадут проективные представления . ^{[73] [nb 18]} Как только станет известно, является ли представление проективным, формула (G2) применяется ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, — с пониманием того, что представитель элемента группы будет зависеть от того, какой элемент в алгебре Ли ( X в (G2) ) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.

Для группы Лоренца ( m , n ) -представление проективно, когда m + n — полуцелое число. См. § Спиноры.

Для проективного представления Π группы SO(3; 1) ⁺ справедливо следующее ^[72]:

поскольку любая петля в SO(3; 1) ^{+ ,} пройденная дважды, из-за двойной связности стягивается в точку, так что ее гомотопический класс является классом постоянного отображения. Отсюда следует, что Π является двузначной функцией. Невозможно последовательно выбрать знак, чтобы получить непрерывное представление всего SO(3; 1) ⁺ , но это возможно локально вокруг любой точки. ^[33]

Группа покрытия SL(2, C)

Рассмотрим как действительную алгебру Ли с базисом ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\sigma _{1},{\frac {1}{2}}\sigma _{2},{\frac {1}{2}}\sigma _{3},{\frac {i}{2}}\sigma _{1},{\frac {i}{2}}\sigma _{2},{\frac {i}{2}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3},k_{1},k_{2},k_{3}),}$$

где сигмы — матрицы Паули . Из соотношений

получается

которые в точности соответствуют форме 3 -мерной версии коммутационных соотношений для (см. соглашения и базисы алгебры Ли ниже). Таким образом, отображение J _i ↔ j _i , K _i ↔ k _i , расширенное по линейности, является изоморфизмом. Поскольку является односвязным, оно является универсальной накрывающей группой SO (3; 1) ⁺ . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Подробнее о покрытиях групп в целом и покрытиях группы Лоренца в частности ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Геометрический вид

EP Wigner глубоко исследовал группу Лоренца и известен уравнениями Баргмана-Вигнера . Реализация покрывающей группы, представленная здесь, взята из его статьи 1939 года.

Пусть p _g ( t ), 0 ≤ t ≤ 1 — путь из 1 ∈ SO(3; 1) ⁺ в g ∈ SO(3; 1) ⁺ , обозначим его гомотопический класс через [ p _g ] и пусть π _g — множество всех таких гомотопических классов. Определим множество

и наделить его операцией умножения

где — путь умножения и : ${\displaystyle p_{12}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$

$${\displaystyle p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}}$$

С этим умножением G становится группой, изоморфной ^[74] универсальной покрывающей группе SO(3; 1) ⁺ . Поскольку каждое π _g имеет два элемента, по приведенной выше конструкции существует покрывающее отображение 2:1 p  : G → SO(3; 1) ⁺ . Согласно теории покрывающих групп , алгебры Ли и группы G все изоморфны. Покрывающее отображение p  : G → SO(3; 1) ⁺ просто задается как p ( g , [ p _g ]) = g . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Алгебраический взгляд

Для алгебраического представления универсальной накрывающей группы, пусть действует на множество всех эрмитовых матриц 2 × 2 с помощью операции ^[72] ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Действие на линейно. Элемент может быть записан в виде ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Отображение P является гомоморфизмом группы в Таким образом, является 4-мерным представлением . Его ядро ​​должно, в частности, переводить единичную матрицу в себя, A ^† IA = A ^† A = I и, следовательно, A ^† = A ⁻¹ . Таким образом, AX = XA для A в ядре, поэтому, по лемме Шура , ^{[nb 19]} A является кратным единицы, которая должна быть ± I , поскольку det A = 1 . ^[75] Пространство отображается в пространство Минковского M ⁴ , посредством ${\displaystyle {\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}}).}$ ${\displaystyle \mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Действие P ( A ) на сохраняет детерминанты. Индуцированное представление p на посредством вышеуказанного изоморфизма, заданное формулой ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

сохраняет внутренний продукт Лоренца, поскольку $${\displaystyle -\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.}$$

Это означает, что p ( A ) принадлежит полной группе Лоренца SO(3; 1) . По основной теореме связности , поскольку связно, его образ при p в SO(3; 1) связен и, следовательно, содержится в SO(3; 1) ⁺ . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Можно показать, что отображение Ли является изоморфизмом алгебр Ли: ^{[nb 20]} Отображение P также является изоморфизмом алгебры Ли. ^{[nb 21]} ${\displaystyle \mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Таким образом , поскольку она односвязна, она является универсальной накрывающей группой группы SO(3; 1) ⁺ , изоморфной группе G, указанной выше. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Несюръективность экспоненциального отображения для SL(2, C)

Эта диаграмма показывает сеть отображений, обсуждаемых в тексте. Здесь V — конечномерное векторное пространство, несущее представления , а — экспоненциальное отображение, p — отображение покрытия из на SO(3; 1) ⁺ , а σ — изоморфизм алгебр Ли, индуцированный им. Отображения Π, π и два Φ — представления. Картина верна лишь отчасти, когда Π проективна. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {so}}(3;1),}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$

Экспоненциальное отображение не является на. ^[76] Матрица ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

есть , но нет такого, что q = exp( Q ) . ^{[nb 22]} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

В общем случае, если g — элемент связной группы Ли G с алгеброй Ли, то, по (Lie) , ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

Матрицу q можно записать

Реализация представленийСЛ(2, С)исл(2, С)и их алгебры Ли

Комплексные линейные представления и получить проще, чем представления. Их можно (и обычно так и бывает) записать с нуля. Голоморфные групповые представления (то есть соответствующее представление алгебры Ли является комплексно-линейным) связаны с комплексными линейными представлениями алгебры Ли возведением в степень. Действительные линейные представления — это в точности ( μ , ν ) -представления. Их также можно возвести в степень. ( μ , 0) -представления являются комплексно-линейными и являются (изоморфными) представлениями с наивысшим весом. Они обычно индексируются только одним целым числом (но здесь используются полуцелые числа). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Математическое соглашение используется в этом разделе для удобства. Элементы алгебры Ли отличаются на фактор i , и в экспоненциальном отображении нет фактора i по сравнению с физическим соглашением, используемым в другом месте. Пусть базис будет ^[77] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Такой выбор базиса и обозначений является стандартным в математической литературе.

Комплексные линейные представления

Неприводимые голоморфные ( n + 1) -мерные представления могут быть реализованы на пространстве однородных многочленов степени n от 2 переменных ^[78] [ ^79], элементами которого являются ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,}$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}^{2},}$

$${\displaystyle P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .}$$

Действие задается формулой ^{[80] [81]} ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Соответствующее -действие, используя (G6) и определение выше, для базисных элементов ^[82] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

При выборе базиса для эти представления становятся матричными алгебрами Ли. ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2}}$

Действительные линейные представления

( μ , ν ) -представления реализуются на пространстве многочленов в , однородных степени μ в и однородных степени ν в ^[79]. Представления задаются формулами ^[83] ${\displaystyle \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}}$ ${\displaystyle z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}},}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.}$

Используя (G6) снова, обнаруживаем, что

В частности, для базовых элементов,

Свойства (м, н) представления

Представления ( m ,  n ) , определенные выше с помощью (A1) (как ограничения на вещественную форму ) тензорных произведений неприводимых комплексных линейных представлений π _{m = μ} и π _{n = ν,} являются неприводимыми, и они являются единственными неприводимыми представлениями. ^[61] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

• Неприводимость следует из унитарного трюка ^[84] и того, что представление Π группы SU(2) × SU(2) неприводимо тогда и только тогда, когда Π = Π _⊗ Π _ν , ^{[nb 23]} , где Π _µ , Π _ν неприводимы. представления SU(2) .
• Единственность следует из того, что Π _m являются единственными неприводимыми представлениями SU(2) , что является одним из выводов теоремы о наибольшем весе. ^[85]

Измерение

Представления ( m ,  n ) являются (2 m  + 1)(2 n  + 1) -мерными. ^[86] Это следует из подсчета размерностей в любой конкретной реализации, такой как данная в представлениях SL ( 2 , C ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )} и s l ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )} . Для общей алгебры Ли применяется формула размерности Вейля ^[87] , где R ⁺ - множество положительных корней, ρ - наибольший вес, а δ - половина суммы положительных корней. Скалярное произведение - это произведение алгебры Ли, инвариантное относительно действия группы Вейля на подалгебру Картана . Корни (на самом деле элементы ) посредством этого внутреннего произведения отождествляются с элементами Для формулы, сводится к dim π _μ = 2 μ + 1 = 2 m + 1 , где необходимо учитывать текущую запись . Наибольший вес равен 2 μ . ^[88] Принимая тензорные произведения, получаем следующий результат. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$

Верность

Если представление Π группы Ли G не является точным, то N = ker Π является нетривиальной нормальной подгруппой. ^[89] Имеются три соответствующих случая.

1. N недискретна и абелева .
2. N недискретно и неабелево.
3. N дискретно. В этом случаеN ⊂ Z , где Z — центр G. ^{[nb 24]}

В случае SO(3; 1) ⁺ первый случай исключается, поскольку SO(3; 1) ⁺ является полупростым. ^{[nb 25]} Второй случай (и первый случай) исключаются, поскольку SO(3; 1) ⁺ является простым. ^{[nb 26]} В третьем случае SO( 3 ; 1) ⁺ изоморфен фактору Но является центром Из этого следует, что центр SO(3; 1) ⁺ тривиален, и это исключает третий случай. Вывод состоит в том, что каждое представление Π : SO(3; 1) ⁺ → GL( V ) и каждое проективное представление Π : SO(3; 1) ⁺ → PGL( W ) для конечномерных векторных пространств V , W являются точными. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}.}$ ${\displaystyle \{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

Используя фундаментальное соответствие Ли, утверждения и рассуждения выше напрямую переводятся в алгебры Ли с (абелевыми) нетривиальными недискретными нормальными подгруппами, замененными (одномерными) нетривиальными идеалами в алгебре Ли ^[90] , а центр SO(3; 1) ⁺ заменен центром Центр любой полупростой алгебры Ли тривиален ^[91] и является полупростым и простым, и, следовательно, не имеет нетривиальных идеалов. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Связанный факт заключается в том, что если соответствующее представление является точным, то представление является проективным. И наоборот, если представление не является проективным, то соответствующее представление не является точным, но является 2:1 . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Неунитарность

Представление алгебры Ли ( m ,  n ) не является эрмитовым . Соответственно, соответствующее (проективное) представление группы никогда не является унитарным . ^{[nb 27]} Это происходит из-за некомпактности группы Лоренца. Фактически, связная простая некомпактная группа Ли не может иметь никаких нетривиальных унитарных конечномерных представлений. ^[33] Существует топологическое доказательство этого. ^[92] Пусть u  : G → GL( V ) , где V конечномерно, является непрерывным унитарным представлением некомпактной связной простой группы Ли G . Тогда u ( G ) ⊂ U( V ) ⊂ GL( V ) , где U( V ) — компактная подгруппа GL( V ), состоящая из унитарных преобразований V . Ядро u является нормальной подгруппой G . Так как G проста, ker u либо является всем G , в этом случае u тривиальна, либо ker u тривиальна, в этом случае u точна . В последнем случае u является диффеоморфизмом на свой образ , [ ^93] u ( G ) ≅ G и u ( G ) является группой Ли. Это означало бы, что u ( G ) является вложенной некомпактной подгруппой Ли компактной группы U( V ) . Это невозможно с топологией подпространства на u ( G ) ⊂ U( V ), поскольку все вложенные подгруппы Ли группы Ли замкнуты ^[94] Если бы u ( G ) была замкнута, она была бы компактной, ^{[nb 28]} и тогда G была бы компактной, ^{[nb 29]} вопреки предположению. ^{[nb 30]}

В случае группы Лоренца это также можно увидеть непосредственно из определений. Представления A и B, используемые в конструкции, являются эрмитовыми. Это означает, что J является эрмитовым, но K является антиэрмитовым . ^[95] Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку рассматриваемые объекты не обязаны иметь лоренц-инвариантную положительно определенную норму. ^[96]

Ограничение SO(3)

Однако представление ( m ,  n ) является унитарным при ограничении подгруппой вращения SO(3) , но эти представления не являются неприводимыми как представления SO(3). Можно применить разложение Клебша–Гордана , показывающее, что представление ( m ,  n ) имеет SO(3) -инвариантные подпространства наибольшего веса (спина) m + n , m + n − 1, ..., | m − n |  , ^[97] где каждый возможный наибольший вес (спин) встречается ровно один раз. Подпространство веса наибольшего веса (спина) j является (2 j + 1) -мерным. Так, например, ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2⁠ ) ​​представление имеет подпространства спина 1 и спина 0 размерности 3 и 1 соответственно.

Поскольку оператор углового момента задается выражением J = A + B , наивысший спин в квантовой механике подпредставления вращения будет равен ( m + n )ℏ и применяются «обычные» правила сложения угловых моментов и формализм символов 3-j , символов 6-j и т. д. ^[98]

Спиноры

Именно SO(3) -инвариантные подпространства неприводимых представлений определяют, имеет ли представление спин. Из предыдущего абзаца видно, что представление ( m ,  n ) имеет спин, если m + n — полуцелое число. Простейшими являются ( ⁠1/2⁠ , 0) и (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​, спиноры Вейля размерности 2. Тогда, например, (0,  ⁠3/2⁠ ) ​​и (1,  ⁠1/2⁠ ) ​​являются спиновыми представлениями размерностей 2⋅ ⁠3/2⁠ + 1 = 4 и (2 + 1)(2⋅ ⁠1/2⁠ + 1) = 6 соответственно. Согласно предыдущему абзацу, существуют подпространства со спином как ⁠3/2⁠ и ⁠1/2⁠ в последних двух случаях, поэтому эти представления, вероятно, не могут представлять одну физическую частицу, которая должна хорошо себя вести в SO(3) . Однако в общем случае нельзя исключать, что представления с несколькими подпредставлениями SO(3) с различным спином могут представлять физические частицы с хорошо определенным спином. Возможно, существует подходящее релятивистское волновое уравнение, которое проецирует нефизические компоненты , оставляя только один спин. ^[99]

Построение чистого спина ⁠н/2⁠ представления для любого n (при SO(3) ) из неприводимых представлений включают взятие тензорных произведений представления Дирака с неспиновым представлением, извлечение подходящего подпространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений. ^[100]

Двойственные представления

Корневая система А ₁ × А ₁​ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).}$

Для проверки того, изоморфно ли дуальное представление неприводимого представления исходному представлению, применяются следующие теоремы :

1. Набор весов двойственного представления неприводимого представления полупростой алгебры Ли равен, с учётом кратностей, отрицательному набору весов исходного представления. ^[101]
2. Два неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый наибольший вес . ^{[nb 31]}
3. Для каждой полупростой алгебры Ли существует единственный элемент w ₀ группы Вейля , такой что если μ — доминантный целый вес, то w ₀ ⋅ (− μ ) снова является доминантным целым весом. ^[102]
4. Если — неприводимое представление с наибольшим весом μ ₀ , то имеет наибольший вес w ₀ ⋅ (− μ ) . ^[102] ${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu _{0}}^{*}}$

Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие посредством умножения матриц на действительное векторное пространство корней . Если − I — элемент группы Вейля полупростой алгебры Ли, то w ₀ = − I . В случае группы Вейля W = { I , − I } . ^[103] Отсюда следует, что каждое π _μ , μ = 0, 1, ... изоморфно своему двойственному Система корней показана на рисунке справа. ^{[nb 32]} Группа Вейля порождается формулой , где — отражение в плоскости, ортогональной γ, поскольку γ пробегает все корни. ^{[nb 33]} Проверка показывает, что w _α ⋅ w _β = − I , поэтому − I ∈ W . Используя тот факт, что если π , σ являются представлениями алгебры Ли и π ≅ σ , то Π ≅ Σ , ^[104] вывод для SO(3; 1) ⁺ имеет вид ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \pi _{\mu }^{*}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \{w_{\gamma }\}}$ ${\displaystyle w_{\gamma }}$ $${\displaystyle \pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n},\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .}$$

Комплексно-сопряженные представления

Если π — представление алгебры Ли, то — представление, где черта обозначает комплексное сопряжение по элементам в представительных матрицах. Это следует из того, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением. ^[105] В общем случае каждое неприводимое представление π из можно записать однозначно как π = π ⁺ + π ⁻ , где ^[106] с голоморфным (комплексно-линейным) и антиголоморфным (сопряженно-линейным). Для поскольку является голоморфным, является антиголоморфным. Прямое рассмотрение явных выражений для и в уравнении (S8) ниже показывает, что они являются голоморфными и антиголоморфными соответственно. Более детальное рассмотрение выражения (S8) также позволяет идентифицировать и для как ${\displaystyle {\overline {\pi }}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right)\right),}$$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \pi _{\mu }}$ ${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu }}}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,0}}$ ${\displaystyle \pi _{0,\nu }}$ ${\displaystyle \pi ^{+}}$ ${\displaystyle \pi ^{-}}$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }}$ $${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1}},\qquad \pi _{\mu ,\nu }^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1}}}}.}$$

Используя приведенные выше тождества (интерпретируемые как поточечное сложение функций), для SO(3; 1) ⁺ получаем , что утверждение для представлений группы следует из exp( X ) = exp( X ) . Отсюда следует, что неприводимые представления ( m , n ) имеют действительные матричные представители тогда и только тогда, когда m = n . Приводимые представления в виде ( m , n ) ⊕ ( n , m ) также имеют действительные матрицы. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n}}}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n}^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1}}}}+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\oplus _{2m+1}}}}\\&=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1}}+{\overline {\pi _{m}}}^{\oplus _{2n+1}}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&2m,2n\in \mathbb {N} \\{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}}$$

Присоединенное представление, алгебра Клиффорда и спинорное представление Дирака

Ричард Брауэр и его жена Ильза 1970. Брауэр обобщил спиновые представления алгебр Ли, находящихся внутри алгебр Клиффорда, до спинов выше, чем ⁠1/2⁠ .

Фото предоставлено МФО.

В общей теории представлений, если ( π ,  V ) является представлением алгебры Ли , то существует связанное представление на End ( V ) , также обозначаемое π , заданное формулой ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$

Аналогично, представление (Π,  V ) группы G дает представление Π на End( V ) группы G , по-прежнему обозначаемое Π , заданное формулой ^[107]

Если π и Π являются стандартными представлениями на и если действие ограничено на , то два приведенных выше представления являются присоединенным представлением алгебры Ли и присоединенным представлением группы соответственно. Соответствующие представления (некоторые или ) всегда существуют для любой матричной группы Ли и имеют первостепенное значение для исследования теории представлений в целом и для любой заданной группы Ли в частности. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Применяя это к группе Лоренца, если (Π,  V ) — проективное представление, то прямое вычисление с использованием (G5) показывает, что индуцированное представление на End( V ) является собственным представлением, т.е. представлением без фазовых множителей.

В квантовой механике это означает, что если ( π ,  H ) или (Π,  H ) — представление, действующее в некотором гильбертовом пространстве H , то соответствующее индуцированное представление действует на множество линейных операторов в H. Например, индуцированное представление проективного спина ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​представление на End( H ) является непроективным 4-вектором ( ⁠1/2⁠ ,  ⁠1/2⁠ ) ​​представление. ^[108]

Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» End( H ) , то есть, учитывая базис для H , множество постоянных матриц различной размерности, включая, возможно, бесконечные размерности. Индуцированное 4-векторное представление выше на этом упрощенном End( H ) имеет инвариантное 4-мерное подпространство, которое охватывается четырьмя гамма-матрицами . ^[109] (Метрическое соглашение в связанной статье отличается.) Соответствующим образом полная алгебра Клиффорда пространства-времени , комплексификация которой генерируется гамма-матрицами, разлагается как прямая сумма пространств представлений скалярного неприводимого представления (irrep), (0, 0) , псевдоскалярного irrep, также (0, 0) , но с собственным значением инверсии четности −1 , см. следующий раздел ниже, уже упомянутый вектор irrep , ( ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle {\text{M}}(4,\mathbb {C} ),}$1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​, псевдовектор неотрицательный, ( ⁠1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​с собственным значением инверсии четности +1 (не −1) и тензором irrep, (1, 0) ⊕ (0, 1) . ^[110] Размерности в сумме составляют 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . Другими словами,

где, как это принято , представление путают с его пространством представления.

The( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ )спиновое представление

Шестимерное пространство представления тензора (1, 0) ⊕ (0, 1) -представление внутри имеет две роли. ^[111] ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

где гамма-матрицы, сигмы, только 6 из которых не равны нулю из-за антисимметрии скобки, охватывают пространство тензорного представления. Более того, они имеют коммутационные соотношения алгебры Лоренца Ли, ^[112] ${\displaystyle \gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$

и, следовательно, составляют представление (в дополнение к охвату пространства представления), находящееся внутри ( ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),}$1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ ) ​​спиновое представление. Подробности см. в биспинорах и алгебре Дирака .

Вывод состоит в том, что каждый элемент комплексифицированного в End( H ) (т.е. каждая комплексная матрица 4 × 4 ) имеет хорошо определенные свойства преобразования Лоренца. Кроме того, он имеет спиновое представление алгебры Ли Лоренца, которое при возведении в степень становится спиновым представлением группы, действуя на то, чтобы сделать ее пространством биспиноров. ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4},}$

Сводимые представления

Существует множество других представлений, которые можно вывести из неприводимых, например, полученные путем взятия прямых сумм, тензорных произведений и частных неприводимых представлений. Другие методы получения представлений включают ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например, и группу Пуанкаре. Эти представления в общем случае не являются неприводимыми. ${\displaystyle {\text{GL}}(n,\mathbb {R} )}$

Группа Лоренца и ее алгебра Ли обладают свойством полной приводимости . Это означает, что каждое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Поэтому приводимые представления обсуждаться не будут.

Инверсия пространства и обращение времени

(Возможно, проективное) представление ( m ,  n ) неприводимо к представлению SO(3; 1) ⁺ , компоненту тождества группы Лоренца, в физической терминологии — собственно ортохронной группе Лоренца. Если m = n, его можно расширить до представления всего O(3; 1) , полной группы Лоренца, включая инверсию пространственной четности и обращение времени . Представления ( m , n ) ⊕ ( n , m ) могут быть расширены аналогичным образом. ^[113]

Инверсия пространственной четности

Для инверсии пространственной четности рассматривается сопряженное действие Ad _P для P ∈ SO(3; 1) на , где P — стандартный представитель инверсии пространственной четности, P = diag(1, −1, −1, −1) , заданное формулой ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Именно эти свойства K и J при P мотивируют термины вектор для K и псевдовектор или аксиальный вектор для J. Аналогичным образом, если π — любое представление , а Π — его ассоциированное групповое представление, то Π(SO(3; 1) ⁺ ) действует на представление π присоединенным действием, π ( X ) ↦ Π( g )  π ( X ) Π( g ) ⁻¹ для g ∈ SO(3; 1) ⁺ . Если P должно быть включено в Π , то согласованность с (F1) требует, чтобы ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {so}}(3;1),}$

выполняется, где A и B определены как в первом разделе. Это может выполняться только если A _i и B _i имеют одинаковые размерности, т. е. только если m = n . Когда m ≠ n , то ( m ,  n ) ⊕ ( n ,  m ) может быть расширено до неприводимого представления SO(3; 1) ⁺ , ортохронной группы Лоренца. Представитель инверсии четности Π( P ) не приходит автоматически с общей конструкцией представлений ( m ,  n ) . Он должен быть указан отдельно. Матрица β = i  γ ⁰ (или кратное модулю −1 умноженному на нее) может использоваться в ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ^​​[114] представление.

Если в представлении (0,0) четность включена со знаком минус ( матрица 1×1 [−1] ) , то оно называется псевдоскалярным представлением.

Обращение времени

Обращение времени T = diag(−1, 1, 1, 1) действует аналогично по ^[115] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

Явным включением представителя для T , а также одного для P , получается представление полной группы Лоренца O(3; 1) . Однако в применении к физике, в частности к квантовой механике, возникает тонкая проблема. При рассмотрении полной группы Пуанкаре еще четыре генератора, P ^μ , в дополнение к J ⁱ и K ^{i ,} генерируют группу. Они интерпретируются как генераторы трансляций. Временная компонента P ⁰ является гамильтонианом H . Оператор T удовлетворяет соотношению ^[116]

по аналогии с соотношениями выше с заменой на полную алгебру Пуанкаре . Просто отбрасывая i , результат THT ⁻¹ = − H будет означать, что для каждого состояния Ψ с положительной энергией E в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантностью относительно обращения времени будет состояние Π( T ⁻¹ )Ψ с отрицательной энергией − E . Таких состояний не существует. Поэтому оператор Π( T ) выбирается антилинейным и антиунитарным , так что он антикоммутирует с i , в результате чего THT ⁻¹ = H , и его действие в гильбертовом пространстве также становится антилинейным и антиунитарным. ^[117] Его можно выразить как композицию комплексного сопряжения с умножением на унитарную матрицу. ^[118] Это математически обосновано, см. теорему Вигнера , но при очень строгих требованиях к терминологии Π не является представлением . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$

При построении теорий, таких как КЭД , которая инвариантна относительно пространственной четности и обращения времени, можно использовать спиноры Дирака, в то время как теории, которые этого не делают, такие как электрослабая сила , должны формулироваться в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака, ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0,  ⁠1/2⁠ ) ​​, обычно включает как пространственную четность, так и временные инверсии. Без пространственной инверсии четности это не неприводимое представление.

Третья дискретная симметрия, входящая в теорему CPT наряду с P и T , симметрия сопряжения зарядов C , не имеет прямого отношения к лоренц-инвариантности. ^[119]

Действие в функциональных пространствах

Если V — векторное пространство функций конечного числа переменных n , то действие на скалярную функцию, заданное формулой ${\displaystyle f\in V}$

производит другую функцию Π f ∈ V . Здесь Π _x является n -мерным представлением, а Π является, возможно, бесконечномерным представлением. Частным случаем этой конструкции является случай, когда V является пространством функций, определенных на самой линейной группе G , рассматриваемой как n -мерное многообразие, вложенное в (с m - размерностью матриц). ^[120] Это та обстановка, в которой формулируются теорема Петера–Вейля и теорема Бореля–Вейля . Первая демонстрирует существование разложения Фурье функций на компактной группе в характеры конечномерных представлений. ^[61] Последняя теорема, предоставляя более явные представления, использует унитарный прием для получения представлений сложных некомпактных групп, например ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m^{2}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$

Ниже приведены примеры действия группы Лоренца и подгруппы вращения на некоторых функциональных пространствах.

Евклидовы вращения

Подгруппа SO(3) трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве $${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},}$$

где - сферические гармоники . Произвольная квадратично интегрируемая функция f на единичной сфере может быть выражена как ^[121] ${\displaystyle Y_{m}^{l}}$

где f _lm — обобщенные коэффициенты Фурье .

Действие группы Лоренца ограничивается действием SO(3) и выражается как

где D ^l получены из представителей нечетной размерности генераторов вращения.

Группа Мёбиуса

Компонент тождества группы Лоренца изоморфен группе Мёбиуса M. Эту группу можно рассматривать как конформные отображения либо комплексной плоскости , либо, посредством стереографической проекции , сферы Римана . Таким образом, сама группа Лоренца может рассматриваться как действующая конформно на комплексной плоскости или на сфере Римана.

На плоскости действует преобразование Мёбиуса, характеризующееся комплексными числами a ,  b ,  c ,  d согласно ^[122]

и могут быть представлены комплексными матрицами

поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр не меняет f . Это элементы и являются уникальными с точностью до знака (так как ±Π _f дают то же f ), следовательно ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.}$

P-функции Римана

Римановские P-функции , решения дифференциального уравнения Римана, являются примером набора функций, которые преобразуются между собой под действием группы Лоренца. Римановские P-функции выражаются как ^[123]

где a ,   b ,   c ,   α ,   β ,   γ ,   α′ ,   β′ ,   γ′ — комплексные константы. P-функция в правой части может быть выражена с использованием стандартных гипергеометрических функций . Связь ^[124]

Набор констант 0, ∞, 1 в верхнем ряду с левой стороны — это регулярные особые точки гипергеометрического уравнения Гаусса . [ ^125] Его показатели , т.е. решения определяющего уравнения , для разложения вокруг особой точки 0 равны 0 и 1 − c , что соответствует двум линейно независимым решениям, ^{[nb 34]} а для разложения вокруг особой точки 1 они равны 0 и c − a − b . ^[126] Аналогично, показатели для ∞ равны a и b для двух решений. ^[127]

Таким образом, один имеет

где условие (иногда называемое тождеством Римана) ^[128] на показатели степеней решений дифференциального уравнения Римана было использовано для определения γ ′ . $${\displaystyle \alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1}$$

Первый набор констант в левой части (T1) , a , b , c, обозначает регулярные особые точки дифференциального уравнения Римана. Второй набор, α ,  β ,  γ , — это соответствующие показатели при a , b , c для одного из двух линейно независимых решений, и, соответственно, α′ ,  β′ ,  γ′ — это показатели при a , b , c для второго решения.

Определим действие группы Лоренца на множестве всех P-функций Римана, установив сначала

где A ,   B ,   C ,  D — записи в

для Λ = p ( λ ) ∈ SO(3; 1) ⁺ преобразование Лоренца.

Определять

где P — это P-функция Римана. Результирующая функция снова является P-функцией Римана. Эффект преобразования Мёбиуса аргумента заключается в смещении полюсов в новые положения, следовательно, в изменении критических точек, но нет никаких изменений в показателях степеней дифференциального уравнения, которому удовлетворяет новая функция. Новая функция выражается как

где

Бесконечномерные унитарные представления

История

Группа Лоренца SO(3; 1) ⁺ и ее двойное покрытие также имеют бесконечномерные унитарные представления, изученные независимо Баргманном (1947), Гельфандом и Наймарком (1947) и Хариш-Чандрой (1947) по инициативе Поля Дирака . ^{[129] [130]} Этот путь развития начался с Дирака (1936), где он разработал матрицы U и B, необходимые для описания высших спинов (сравните матрицы Дирака ), разработанные Фирцем (1939), см. также Фирца и Паули (1939), и предложили предшественников уравнений Баргмана-Вигнера . ^[131] В работе Дирака (1945) он предложил конкретное бесконечномерное пространство представлений, элементы которого были названы экспансорами как обобщение тензоров. ^{[nb 35]} Эти идеи были включены Харишем-Чандрой и расширены с помощью экспиноров как бесконечномерного обобщения спиноров в его статье 1947 года. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Формула Планшереля для этих групп была впервые получена Гельфандом и Наймарком с помощью сложных вычислений. Обработка была впоследствии значительно упрощена Хариш-Чандрой (1951) и Гельфандом и Граевым (1953), основанными на аналоге формулы интегрирования Германа Вейля для компактных групп Ли . ^[132] Элементарные описания этого подхода можно найти в работах Рюля (1970) и Кнаппа (2001). ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Теория сферических функций для группы Лоренца, необходимая для гармонического анализа на гиперболоидной модели 3-мерного гиперболического пространства, находящегося в пространстве Минковского, значительно проще общей теории. Она включает только представления из сферической главной серии и может рассматриваться напрямую, поскольку в радиальных координатах лапласиан на гиперболоиде эквивалентен лапласиану на Эта теория обсуждается в работах Такахаши (1963), Хельгасона (1968), Хельгасона (2000) и посмертном тексте Йоргенсона и Ланга (2008). ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Основная серия для SL(2, C)

Основная серия , или унитарный главный ряд , являются унитарными представлениями, индуцированными из одномерных представлений нижней треугольной подгруппы  B группы Поскольку одномерные представления B соответствуют представлениям диагональных матриц с ненулевыми комплексными элементами z и z ⁻¹ , они, таким образом, имеют вид для k — целого числа, ν — действительного и с z = re ^iθ . Представления неприводимы ; единственные повторения, т. е. изоморфизмы представлений, происходят при замене k на − k . По определению представления реализуются на L ² сечениях линейных расслоений , на которых изоморфно сфере Римана . Когда k = 0 , эти представления составляют так называемую сферическую главную серию . ${\displaystyle G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).}$ $${\displaystyle \chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },}$$ ${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2},}$

Ограничение основного ряда на максимальную компактную подгруппу K = SU(2) группы  G также может быть реализовано как индуцированное представление  K с использованием отождествления G / B = K / T , где T = B ∩ K — максимальный тор в  K, состоящий из диагональных матриц с |  z  | = 1 . Это представление, индуцированное из одномерного представления z ^k T , и не зависит от  ν . По принципу взаимности Фробениуса на  K они разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений  K с размерностями | k | + 2 m + 1 , где m — неотрицательное целое число.

Используя отождествление между сферой Римана минус точка и основной серией, можно определить непосредственно по формуле ^[133] ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle \pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

Неприводимость можно проверить разными способами:

• Представление уже неприводимо на  B. Это можно увидеть непосредственно, но это также частный случай общих результатов о неприводимости индуцированных представлений, полученных Франсуа Брюа и Джорджем Макки , которые опираются на разложение Брюа G = B ∪ BsB , где s — элемент группы Вейля ^[134] . $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
• Действие алгебры Ли группы  G можно вычислить на алгебраической прямой сумме неприводимых подпространств  K , можно вычислить явно, и можно непосредственно проверить, что подпространство наименьшей размерности порождает эту прямую сумму как -модуль . ^{[8] [135]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Дополнительные серии дляСЛ(2, С)

Для 0 < t < 2 дополнительный ряд определяется для скалярного произведения ^[136] с действием, заданным формулой ^{[137] [138]} ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle (f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)}}}{|z-w|^{2-t}}}\,dz\,dw,}$$ $${\displaystyle \pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left({az+b \over cz+d}\right).}$$

Представления в дополнительной серии неприводимы и попарно неизоморфны. Как представление  K каждое изоморфно прямой сумме всех нечетномерных неприводимых представлений K = SU(2) в гильбертовом пространстве . Неприводимость может быть доказана путем анализа действия на алгебраической сумме этих подпространств ^{[8] [135]} или напрямую без использования алгебры Ли. ^{[139] [140]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теорема Планшереля для SL(2, C)

Единственными неприводимыми унитарными представлениями являются основная серия, дополнительная серия и тривиальное представление. Поскольку − I действует как (−1) ^k на основную серию и тривиально на остаток, они дадут все неприводимые унитарные представления группы Лоренца, при условии, что k берется четным. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Для разложения левого регулярного представления  G на требуются только главные серии. Это немедленно дает разложение на подпредставлениях левого регулярного представления группы Лоренца и регулярного представления на 3-мерном гиперболическом пространстве. (Первое включает только главные серии представлений с четным k , а последнее — только те, у которых k = 0. ) ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G/\{\pm I\}),}$ ${\displaystyle L^{2}(G/K),}$

Левое и правое регулярные представления λ и ρ определяются следующим образом: ${\displaystyle L^{2}(G)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)&=f(xg)\end{aligned}}}$$

Теперь, если f является элементом C _c ( G ) , оператор, определенный с помощью является оператором Гильберта–Шмидта . Определим гильбертово пространство  H с помощью где и обозначает гильбертово пространство операторов Гильберта–Шмидта на ^{[nb 36]} Тогда отображение  U, определенное на C _c ( G ) с помощью продолжается до унитарного на H . ${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)}$ $${\displaystyle \pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg}$$ $${\displaystyle H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2}}}d\nu \right),}$$ $${\displaystyle c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}}$$ ${\displaystyle {\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} ).}$ $${\displaystyle U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)}$$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$

Отображение  U удовлетворяет свойству переплетения $${\displaystyle U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k}(f)\pi _{\nu ,k}(y).}$$

Если f ₁ , f ₂ лежат в C _c ( G ), то по унитарности $${\displaystyle (f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

Таким образом , если обозначает свертку и , то ^[141] ${\displaystyle f=f_{1}*f_{2}^{*}}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}^{*},}$ ${\displaystyle f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1})}},}$ $${\displaystyle f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f)\right)\left(\nu ^{2}+k^{2}\right)\,d\nu .}$$

Последние две представленные формулы обычно называют формулой Планшереля и формулой обращения Фурье соответственно.

Формула Планшереля распространяется на все По теореме Жака Диксмье и Поля Маллявэна каждая гладкая функция с компактным носителем на является конечной суммой сверток подобных функций, формула обращения верна для таких f . Ее можно распространить на гораздо более широкие классы функций, удовлетворяющих условиям мягкой дифференцируемости. ^[61] ${\displaystyle f_{i}\in L^{2}(G).}$ ${\displaystyle G}$

Классификация представленийТАК(3, 1)

Стратегия, которой следуют при классификации неприводимых бесконечномерных представлений, заключается в том, чтобы, по аналогии с конечномерным случаем, предположить, что они существуют, и исследовать их свойства. Таким образом, сначала предположим, что неприводимое сильно непрерывное бесконечномерное представление Π _H на гильбертовом пространстве H группы SO(3; 1) ⁺ находится под рукой. ^[142] Поскольку SO(3) является подгруппой, Π _H также является ее представлением. Каждое неприводимое подпредставление SO(3) является конечномерным, и представление SO(3) сводится к прямой сумме неприводимых конечномерных унитарных представлений SO(3), если Π _H является унитарным. ^[143]

Шаги следующие: ^[144]

1. Выберите подходящий базис общих собственных векторов J ² и J ₃ .
2. Вычислить матричные элементы J ₁ , J ₂ , J ₃ и K ₁ , K ₂ , K ₃ .
3. Обеспечить соблюдение коммутационных соотношений алгебры Ли.
4. Требуют унитарности вместе с ортонормированностью базиса. ^{[nb 37]}

Шаг 1

Один из подходящих вариантов основы и маркировки представлен ниже. $${\displaystyle \left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .}$$

Если бы это было конечномерное представление, то j ₀ соответствовало бы наименьшему встречающемуся собственному значению j ( j + 1) J ² в представлении, равному | m − n | , а j ₁ соответствовало бы наибольшему встречающемуся собственному значению, равному m + n . В бесконечномерном случае j ₀ ≥ 0 сохраняет это значение, а j ₁ — нет. ^[66] Для простоты предполагается, что данное j встречается не более одного раза в данном представлении (это имеет место для конечномерных представлений), и можно показать ^[145] , что этого предположения можно избежать (с помощью немного более сложного вычисления) с теми же результатами.

Шаг 2

Следующим шагом является вычисление матричных элементов операторов J ₁ , J ₂ , J ₃ и K ₁ , K ₂ , K _{3 ,} образующих базис алгебры Ли Матричные элементы и ( подразумевается комплексифицированная алгебра Ли) известны из теории представлений группы вращений и задаются формулами ^{[146] [147]} , где метки j ₀ и j ₁ были опущены, поскольку они одинаковы для всех базисных векторов в представлении. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2}}$ ${\displaystyle J_{3}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle =\left\langle j\,m-1\right|J_{-}\left|j\,m\right\rangle &={\sqrt {(j+m)(j-m+1)}},\\\left\langle j\,m\right|J_{3}\left|j\,m\right\rangle &=m,\end{aligned}}}$$

Из-за коммутационных соотношений тройка ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) ≡ K является векторным оператором ^[148] и теорема Вигнера–Эккарта ^[149] применяется для вычисления матричных элементов между состояниями, представленными выбранным базисом. ^[150] Матричные элементы $${\displaystyle [J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}}$$

где верхний индекс (1) означает, что определяемые величины являются компонентами сферического тензорного оператора ранга k = 1 (что также объясняет множитель √ 2 ), а нижние индексы 0, ±1 в приведенных ниже формулах обозначаются как q , и задаются как ^[151] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=0|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle ,\\\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k=1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j'\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Здесь первые множители в правой части — коэффициенты Клебша–Гордана для связи j ′ с k для получения j . Вторые множители — это редуцированные матричные элементы . Они не зависят от m , m′ или q , но зависят от j , j′ и, конечно, K . Полный список неисчезающих уравнений см. в Harish-Chandra (1947, стр. 375).

Шаг 3

Следующий шаг — потребовать, чтобы соблюдались соотношения алгебры Ли, т.е. чтобы $${\displaystyle [K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.}$$

Это приводит к набору уравнений ^[152], для которых решениями являются ^[153] , где $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}}{\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j}\xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}},\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2}},1,\ldots \quad {\text{and}}\quad j_{1},\xi _{j}\in \mathbb {C} .}$$

Шаг 4

Наложение требования унитарности соответствующего представления группы ограничивает возможные значения для произвольных комплексных чисел j ₀ и ξ _j . Унитарность представления группы переводится в требование эрмитовости представителей алгебры Ли, что означает $${\displaystyle K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.}$$

Это переводится в ^[154], что приводит к ^[155] , где β _j — угол B _j в полярной форме. Для | B _j | ≠ 0 следует и выбирается по соглашению. Возможны два случая: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-{\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right|\left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \left|\xi _{j}\right|^{2}=1}$ ${\displaystyle \xi _{j}=1}$

• ${\displaystyle {\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}}$В этом случае j ₁ = − iν , ν вещественное, ^[156] Это основной ряд . Его элементы обозначаются $${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)}}\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j^{2}-1}}}}$$ ${\displaystyle (j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle {\underline {j_{0}=0.}}}$Отсюда следует: ^[157] Поскольку B ₀ = B _{j 0} , то B $${\displaystyle \left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad {\text{and}}\quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$$²
  _джявляется действительным и положительным для j = 1, 2, ... , что приводит к −1 ≤ ν ≤ 1 . Это дополнительный ряд . Его элементы обозначаются (0, ν ), −1 ≤ ν ≤ 1

Это показывает, что все приведенные выше представления являются бесконечномерными неприводимыми унитарными представлениями.

Явные формулы

Соглашения и основы алгебры Ли

Метрика выбора задается как η = diag(−1, 1, 1, 1) , и используется физическое соглашение для алгебр Ли и экспоненциальное отображение. Эти выборы произвольны, но как только они сделаны, они фиксированы. Один из возможных вариантов базиса для алгебры Ли в 4-векторном представлении задается как: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\\[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\\[8pt]\end{aligned}}}$$

Коммутационные соотношения алгебры Ли следующие: ^[158] ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1)}$ $${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \sigma }\right).}$$

В трехмерной нотации это ^[159] $${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.}$$

Выбор базиса выше удовлетворяет соотношениям, но возможны и другие варианты. Следует соблюдать многократное использование символа J выше и в дальнейшем.

Например, типичное усиление и типичное вращение экспоненты являются симметричными и ортогональными соответственно. $${\displaystyle \exp(-i\xi K_{1})={\begin{pmatrix}\cosh \xi &\sinh \xi &0&0\\\sinh \xi &\cosh \xi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \exp(-i\theta J_{1})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$

Спиноры и биспиноры Вейля

Решения уравнения Дирака преобразуются под действием ( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ ) ​​-представление. Дирак открыл гамма-матрицы в своих поисках релятивистски инвариантного уравнения, тогда уже известного математикам. ^[109]

Принимая, в свою очередь, m = ⁠1/2⁠ , n = 0 и m = 0, n = ⁠1/2⁠ и устанавливая в общем выражении (G1) и используя тривиальные соотношения 1 ₁ = 1 и J ⁽⁰⁾ = 0 , следует $${\displaystyle J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}}$$

Это левосторонние и правосторонние спинорные представления Вейля. Они действуют путем умножения матриц на 2-мерные комплексные векторные пространства (с выбором базиса) V _L и V _R , элементы которых Ψ _L и Ψ _R называются левосторонними и правосторонними спинорами Вейля соответственно. Учитывая, что их прямая сумма как представления сформирована, ^[160] $${\displaystyle \left(\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)},V_{\text{L}}\right)\quad {\text{and}}\quad \left(\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\right)}$$

Это, с точностью до преобразования подобия, ( ⁠1/2⁠ ,0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ ) ​​Дираковское спинорное представлениеОно действует на 4-компонентные элементы (Ψ _L , Ψ _R ) группы ( V _L ⊕ V _R ) , называемые биспинорами , путем умножения матриц. Представление может быть получено более общим и базисно независимым способом с использованием алгебр Клиффорда . Все эти выражения для биспиноров и спиноров Вейля распространяются по линейности алгебр Ли и представлений на всеВыражения для представлений групп получаются путем возведения в степень. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3;1).}$

Открытые проблемы

Классификация и характеристика теории представлений группы Лоренца были завершены в 1947 году. Однако в связи с программой Баргмана–Вигнера остаются нерешенными чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.

Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенное отношение к физической реальности в спекулятивных современных теориях, поскольку (обобщенная) группа Лоренца появляется как малая группа группы Пуанкаре пространственноподобных векторов в более высоком пространственно-временном измерении. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщенной) группы Пуанкаре являются так называемыми тахионными представлениями . Тахионы появляются в спектре бозонных струн и связаны с нестабильностью вакуума. ^{[161] [162]} Даже если тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть математически поняты , чтобы понять теорию струн. Это так, поскольку тахионные состояния, как оказалось, появляются также в теориях суперструн в попытках создать реалистичные модели. ^[163]

Одной из открытых проблем является завершение программы Баргмана–Вигнера для группы изометрий SO( D − 2, 1) пространства-времени де Ситтера dS _{D −2} . В идеале физические компоненты волновых функций были бы реализованы на гиперболоиде dS _{D −2} радиуса μ > 0, вложенном в и соответствующие O( D −2, 1) ковариантные волновые уравнения бесконечномерного унитарного представления должны быть известны. ^[162] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-2,1}}$

Смотрите также

• Уравнения Баргмана–Вигнера
• алгебра Дирака
• Гамма-матрицы
• группа Лоренца
• Преобразование Мёбиуса
• Группа Пуанкаре
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Симметрия в квантовой механике
• Классификация Вигнера

Замечания

1. Способ представления симметрий пространства-времени может принимать различные формы в зависимости от рассматриваемой теории. Хотя это и не является настоящей темой, некоторые подробности будут предоставлены в сносках с пометкой "nb" и в разделе приложений.
2. Вайнберг 2002, стр. 1 «Если бы оказалось, что система не может быть описана квантовой теорией поля, это было бы сенсацией; если бы оказалось, что она не подчиняется правилам квантовой механики и теории относительности, это был бы катаклизм».
3. В 1945 году Хариш-Чандра приехал к Дираку в Кембридж. Хариш-Чандра убедился, что теоретическая физика — не та область, в которой ему следует работать. Он нашел ошибку в доказательстве Дирака в его работе о группе Лоренца. Дирак сказал: «Меня не интересуют доказательства, а интересует только то, что делает природа». Хариш-Чандра позже написал: «Это замечание подтвердило мое растущее убеждение, что у меня нет таинственного шестого чувства, которое необходимо для успеха в физике, и вскоре я решил перейти к математике». Однако Дирак предложил тему диссертации Хариш-Чандры — классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца. См. Dalitz & Peierls 1986
4. См. формулу (1) в S-матрице#Из состояний свободных частиц, чтобы узнать, как преобразуются свободные многочастичные состояния.
5. Weinberg 2002, Уравнения 5.1.4–5. Weinberg выводит необходимость операторов создания и уничтожения из другого соображения, принципа разложения кластера , Weinberg (2002, Глава 4.)
6. Также может потребоваться предписание того, как частица должна вести себя в условиях симметрии CPT.
7. Например, существуют версии (уравнения свободного поля, т.е. без членов взаимодействия) уравнения Клейна–Гордона , уравнения Дирака , уравнений Максвелла , уравнения Прока , уравнения Рариты–Швингера и уравнений поля Эйнштейна , которые можно систематически вывести, исходя из заданного представления группы Лоренца. В общем, они являются версиями квантовой теории поля уравнений Баргмана–Вигнера .

   См. Weinberg (2002, Глава 5), Tung (1985, Раздел 10.5.2) и ссылки, приведенные в этих работах.

   Следует отметить, что теории с высоким спином ( s > 1 ) сталкиваются с трудностями. См. Weinberg (2002, раздел 5.8) об общих полях ( m , n ) , где это обсуждается довольно подробно, и ссылки в нем. Частицы с высоким спином, без сомнения, существуют , например, ядра, известные из них просто не элементарные .

8. Часть их теории представлений см. в работе Bekaert & Boulanger (2006), посвященной теории представлений группы Пуанкаре. Эти представления получены методом индуцированных представлений или, на физическом языке, методом малой группы , впервые предложенным Вигнером в 1939 году для этого типа групп и поставленным на прочную математическую основу Джорджем Макки в пятидесятых годах.
9. Холл (2015, Раздел 4.4.)

   Говорят, что группа обладает свойством полной приводимости , если каждое представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений.

10. Дирак предложил тему Вигнера (1939) еще в 1928 году (как признано в статье Вигнера). Он также опубликовал одну из первых статей о явных бесконечномерных унитарных представлениях в Дираке (1945) (Лэнглендс 1985) и предложил тему для диссертации Хариш-Чандры, классифицирующей неприводимые бесконечномерные представления (Далитц и Пайерлс 1986).
11. Кнапп 2001 Довольно загадочно выглядящий третий изоморфизм доказан в главе 2, параграфе 4.
12. Тензорные произведения представлений π _g  ⊗  π _h могут , когда оба множителя происходят из одной и той же алгебры Ли, рассматриваться либо как представление , либо . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}}$
13. При комплексификации комплексной алгебры Ли ее следует рассматривать как действительную алгебру Ли действительной размерности, вдвое превышающей ее комплексную размерность. Аналогично, действительная форма может быть также комплексной, как в данном случае.
14. Объедините Вайнберга (2002, Уравнения 5.6.7–8, 5.6.14–15) с Холлом (2015, Предложение 4.18) о представлениях алгебры Ли представлений произведений тензоров групп.
15. Свойство «бесследовости» может быть выражено как S _αβ g ^αβ = 0 , или S _α ^α = 0 , или S ^αβ g _αβ = 0 в зависимости от представления поля: ковариантное, смешанное и контравариантное соответственно.
16. Это не обязательно получается симметрично непосредственно из лагранжиана с использованием теоремы Нётер , но его можно симметризировать как тензор энергии-импульса Белинфанте–Розенфельда .
17. Это при условии, что четность является симметрией. В противном случае было бы два вкуса, ( ⁠3/2⁠ , 0) и (0, ⁠3/2⁠ ) ​​по аналогии с нейтрино .
18. Терминология различается в математике и физике. В связанной статье термин проективное представление имеет несколько иное значение, чем в физике, где проективное представление понимается как локальное сечение (локальная инверсия) отображения покрытия из группы покрытия на группу покрытия, которая покрывается, составленное с собственным представлением группы покрытия. Поскольку это можно сделать (локально) непрерывно двумя способами в рассматриваемом случае, как объясняется ниже, терминология двузначного или двузначного представления является естественной.
19. В частности, A коммутирует с матрицами Паули , а значит, и со всеми SU(2), что делает лемму Шура применимой.
20. Значение ядра тривиально, чтобы увидеть это, вспомним, что ядро ​​гомоморфизма алгебры Ли является идеалом и, следовательно, подпространством. Поскольку p равно 2:1 и оба и SO(3; 1) ⁺ являются 6 -мерными , ядро ​​должно быть 0 -мерным , следовательно, {0}. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$
21. Экспоненциальное отображение взаимно однозначно в окрестности единицы в , поэтому композиция , где σ — изоморфизм алгебры Ли, на открытую окрестность U ⊂ SO(3; 1) ^{+ ,} содержащую единицу. Такая окрестность порождает связную компоненту. ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),}$ ${\displaystyle \exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},}$
22. Rossmann 2002 Из примера 4 в разделе 2.1: Это можно увидеть следующим образом. Матрица q имеет собственные значения {−1, −1} , но она не диагонализируема . Если q = exp( Q ) , то Q имеет собственные значения λ , − λ с λ = iπ + 2 πik для некоторого k , поскольку элементы не имеют следа. Но тогда Q диагонализуема, следовательно, q диагонализируема, что является противоречием. ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$
23. Россманн 2002, Предложение 10, параграф 6.3. Это проще всего доказать с помощью теории характера .
24. Любая дискретная нормальная подгруппа линейно связной группы G содержится в центре Z группы G.

    Холл 2015, Упражнение 11, глава 1.

25. Полупростая группа Ли не имеет недискретных нормальных абелевых подгрупп . Это можно принять за определение полупростоты.
26. Простая группа не имеет недискретных нормальных подгрупп.
27. Напротив, есть трюк, также называемый унитарным трюком Вейля, но не связанный с унитарным трюком, показанным выше, показывающим, что все конечномерные представления являются или могут быть сделаны унитарными. Если (Π, V ) — конечномерное представление компактной группы Ли G и если (·, ·) — любое скалярное произведение на V , определим новое скалярное произведение (·, ·) _Π как ( x , y ) _Π = ∫ _G (Π( g ) x , Π( g ) y dμ ( g ) , где μ — мера Хаара на G . Тогда Π унитарно относительно (·, ·) _Π . См. Hall (2015, теорема 4.28.)

    Другим следствием является то, что каждая компактная группа Ли обладает свойством полной приводимости , что означает, что все ее конечномерные представления разлагаются в прямую сумму неприводимых представлений. Холл (2015, Определение 4.24., Теорема 4.28.)

    Верно также, что не существует бесконечномерных неприводимых унитарных представлений компактных групп Ли, что было заявлено, но не доказано в работе Грейнера и Мюллера (1994, раздел 15.2.).

28. Ли 2003 Лемма A.17 (c). Замкнутые подмножества компактных множеств компактны.
29. Ли 2003 Лемма A.17 (a). Если f  : X → Y непрерывно, X компактно, то f ( X ) компактно.
30. Неунитарность является важным компонентом в доказательстве теоремы Коулмена–Мандулы , которая подразумевает, что, в отличие от нерелятивистских теорий, не может существовать обычной симметрии, связывающей частицы с разным спином. См. Weinberg (2000)
31. Это один из выводов теоремы Картана , теоремы о наибольшем весе.
    Холл (2015, Теоремы 9.4–5.)
32. Холл 2015, Раздел 8.2 Корневая система представляет собой объединение двух копий A ₁ , где каждая копия находится в своих собственных измерениях в пространстве векторов вложения.
33. Россманн 2002 Это определение эквивалентно определению в терминах связной группы Ли, алгебра Ли которой является алгеброй Ли рассматриваемой корневой системы.
34. См. Simmons (1972, Section 30.) для точных условий, при которых два метода Фробениуса дают два линейно независимых решения. Если показатели не отличаются на целое число, это всегда так.
35. «Это настолько близко, насколько это возможно, к источнику теории бесконечномерных представлений полупростых и редуктивных групп...» , Ленглендс (1985, стр. 204.), ссылаясь на вводный отрывок в статье Дирака 1945 года.
36. Обратите внимание , что для гильбертова пространства  H HS( H ) можно канонически отождествить с тензорным произведением гильбертова пространства H и его сопряженного пространства.
37. Если требуется конечномерность, то результатом являются ( m , n ) представления, см. Tung (1985, задача 10.8.) Если не требуется ни то, ни другое, то получается более широкая классификация всех неприводимых представлений, включая конечномерные и унитарные. Этот подход принят в Harish-Chandra (1947).

Примечания

1. Баргманн и Вигнер 1948
2. Бекарт и Буланже 2006
3. Мизнер, Торн и Уилер 1973
4. Вайнберг 2002, Раздел 2.5, Глава 5.
5. Тунг 1985, разделы 10.3, 10.5.
6. Тунг 1985, Раздел 10.4.
7. Дирак 1945
8. Хариш-Чандра 1947
9. Greiner & Reinhardt 1996, Глава 2.
10. Вайнберг 2002, Предисловие и введение к главе 7.
11. Вайнберг 2002, Введение в главу 7.
12. Тунг 1985, Определение 10.11.
13. Грейнер и Мюллер (1994, глава 1)
14. Грейнер и Мюллер (1994, глава 2)
15. Тунг 1985, стр. 203.
16. Дельбурго, Салам и Стратди 1967
17. Вайнберг (2002, Раздел 3.3)
18. Вайнберг (2002, Раздел 7.4.)
19. Тунг 1985, Введение в главу 10.
20. Тунг 1985, Определение 10.12.
21. Тунг 1985, Уравнение 10.5-2.
22. Вайнберг 2002, Уравнения 5.1.6–7.
23. Tung 1985, Уравнение 10.5–18.
24. Вайнберг 2002, Уравнения 5.1.11–12.
25. Тунг 1985, Раздел 10.5.3.
26. Цвибах 2004, Раздел 6.4.
27. Цвибах 2004, Глава 7.
28. Цвибах 2004, раздел 12.5.
29. Weinberg 2000, Раздел 25.2.
30. Zwiebach 2004, Последний абзац, раздел 12.6.
31. Эти факты можно найти в большинстве вводных текстов по математике и физике. См., например, Rossmann (2002), Hall (2015) и Tung (1985).
32. Холл (2015, теорема 4.34 и последующее обсуждение.)
33. Вигнер 1939
34. Холл 2015, Приложение D2.
35. Грейнер и Рейнхардт 1996
36. Вайнберг 2002, Раздел 2.6 и Глава 5.
37. Coleman 1989, стр. 30.
38. Lie 1888, 1890, 1893. Основной источник.
39. Коулман 1989, стр. 34.
40. Убийство 1888 г. Основной источник.
41. Rossmann 2002, Исторические подробности, разбросанные по тексту.
42. Картан 1913 Первоисточник.
43. Грин 1998, стр=76.
44. Брауэр и Вейль 1935 Основной источник.
45. Тунг 1985, Введение.
46. Weyl 1931 Основной источник.
47. Weyl 1939 Основной источник.
48. Лэнглендс 1985, стр. 203–205
49. Хариш-Чандра 1947 Первоисточник.
50. Тунг 1985, Введение
51. Вигнер 1939 Основной источник.
52. Клаудер 1999
53. Баргманн 1947 Первоисточник.
54. Баргманн также был математиком . Он работал ассистентом Альберта Эйнштейна в Институте перспективных исследований в Принстоне (Klauder (1999)).
55. Баргманн и Вигнер 1948 Основной источник.
56. Далитц и Пайерлс 1986
57. Дирак 1928 Первоисточник.
58. Вайнберг 2002, Уравнения 5.6.7–8.
59. Вайнберг 2002, Уравнения 5.6.9–11.
60. Hall 2003, Глава 6.
61. Кнапп 2001
62. Это приложение Rossmann 2002, раздел 6.3, предложение 10.
63. Knapp 2001, стр. 32.
64. Вайнберг 2002, Уравнения 5.6.16–17.
65. Вайнберг 2002, Раздел 5.6. Уравнения следуют из уравнений 5.6.7–8 и 5.6.14–15.
66. Тунг 1985
67. Ложь 1888
68. Россманн 2002, Раздел 2.5.
69. Холл 2015, Теорема 2.10.
70. Бурбаки 1998, стр. 424.
71. Вайнберг 2002, Раздел 2.7 стр.88.
72. Вайнберг 2002, Раздел 2.7.
73. Холл 2015, Приложение C.3.
74. Вигнер 1939, стр. 27.
75. Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963 Эта конструкция покрывающей группы рассматривается в параграфе 4, разделе 1, главе 1 в части II.
76. Россманн 2002, Раздел 2.1.
77. Холл 2015, Впервые уравнения показаны в разделе 4.6.
78. Холл 2015, Пример 4.10.
79. Knapp 2001, Глава 2.
80. Кнапп 2001 Уравнение 2.1.
81. Холл 2015, Уравнение 4.2.
82. Холл 2015, Уравнение до 4.5.
83. Кнапп 2001 Уравнение 2.4.
84. Кнапп 2001, Раздел 2.3.
85. Холл 2015, Теоремы 9.4–5.
86. Вайнберг 2002, Глава 5.
87. Холл 2015, Теорема 10.18.
88. Холл 2003, стр. 235.
89. См. любой текст по базовой теории групп.
90. Россманн 2002 Предложения 3 и 6 параграф 2.5.
91. Холл 2003 См. упражнение 1, Глава 6.
92. Бекарт и Буланже, 2006, стр.4.
93. Холл 2003 Предложение 1.20.
94. Ли 2003, Теорема 8.30.
95. Вайнберг 2002, Раздел 5.6, стр. 231.
96. Вайнберг 2002, Раздел 5.6.
97. Вайнберг 2002, стр. 231.
98. Вайнберг 2002, разделы 2.5, 5.7.
99. Тунг 1985, Раздел 10.5.
100. Вайнберг 2002 Это изложено (очень кратко) на странице 232, едва ли больше, чем сноска.
101. Холл 2003, Предложение 7.39.
102. Hall 2003, Теорема 7.40.
103. Холл 2003, Раздел 6.6.
104. Холл 2003, Второй пункт в предложении 4.5.
105. Холл 2003, стр. 219.
106. Россманн 2002, Упражнение 3 в параграфе 6.5.
107. Холл 2003 См. приложение D.3
108. Вайнберг 2002, Уравнение 5.4.8.
109. Weinberg 2002, Раздел 5.4.
110. Вайнберг 2002, стр. 215–216.
111. Вайнберг 2002, Уравнение 5.4.6.
112. Вайнберг 2002 Раздел 5.4.
113. Вайнберг 2002, Раздел 5.7, стр. 232–233.
114. Вайнберг 2002, Раздел 5.7, стр. 233.
115. Вайнберг 2002 Уравнение 2.6.5.
116. Вайнберг 2002 Уравнение после 2.6.6.
117. Вайнберг 2002, Раздел 2.6.
118. Для подробного обсуждения спина 0, ⁠1/2⁠ и 1 случай, см. Greiner & Reinhardt 1996.
119. Вайнберг 2002, Глава 3.
120. Россманн 2002 См. раздел 6.1 для получения дополнительных примеров, как конечномерных, так и бесконечномерных.
121. Гельфанд, Минлос и Шапиро 1963
122. Черчилль и Браун 2014, Глава 8, стр. 307–310.
123. Гонсалес, PA; Васкес, Y. (2014). "Квазинормальные моды Дирака новых типов черных дыр в новой массивной гравитации". Eur. Phys. J. C. 74:2969 (7): 3. arXiv : 1404.5371 . Bibcode : 2014EPJC...74.2969G. doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1. ISSN  1434-6044. S2CID  118725565.
124. Абрамовиц и Стиган 1965, Уравнение 15.6.5.
125. Симмонс 1972, разделы 30, 31.
126. Симмонс 1972, Раздел 30.
127. Симмонс 1972, Раздел 31.
128. Симмонс 1972, Уравнение 11 в приложении E, глава 5.
129. Лэнглендс 1985, стр. 205.
130. Варадараджан 1989, разделы 3.1. 4.1.
131. Лэнглендс 1985, стр. 203.
132. Варадараджан 1989, раздел 4.1.
133. Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро 1969.
134. Кнапп 2001, Глава II.
135. Тейлор 1986
136. Кнапп 2001 Глава 2. Уравнение 2.12.
137. Баргманн 1947
138. Гельфанд и Граев 1953
139. Гельфанд и Наймарк 1947
140. Такахаси 1963, стр. 343.
141. Кнапп 2001, Уравнение 2.24.
142. Фолланд 2015, Раздел 3.1.
143. Фолланд 2015, Теорема 5.2.
144. Тунг 1985, Раздел 10.3.3.
145. Хариш-Чандра 1947, сноска, стр. 374.
146. Тунг 1985, Уравнения 7.3–13, 7.3–14.
147. Хариш-Чандра 1947, Уравнение 8.
148. Холл 2015, Предложение C.7.
149. Холл 2015, Приложение C.2.
150. Тунг 1985, Шаг II, раздел 10.2.
151. Tung 1985, Уравнения 10.3–5. Обозначения Tung для коэффициентов Клебша–Гордана отличаются от используемых здесь.
152. Тунг 1985, Уравнение VII-3.
153. Тунг 1985, Уравнения 10.3–5, 7, 8.
154. Тунг 1985, Уравнение VII-9.
155. Тунг 1985, Уравнения VII-10, 11.
156. Тунг 1985, Уравнения VII-12.
157. Тунг 1985, Уравнения VII-13.
158. Вайнберг 2002, Уравнение 2.4.12.
159. Вайнберг 2002, Уравнения 2.4.18–2.4.20.
160. Вайнберг 2002, Уравнения 5.4.19, 5.4.20.
161. Цвибах 2004, раздел 12.8.
162. Bekaert & Boulanger 2006, стр. 48.
163. Цвибах 2004, раздел 18.8.

Свободно доступные онлайн-ссылки

• Бекарт, X.; Буланже, Н. (2006). "Унитарные представления группы Пуанкаре в любом пространственно-временном измерении". arXiv : hep-th/0611263 .Расширенная версия лекций, прочитанных на второй летней школе по математической физике в Модаве (Бельгия, август 2006 г.).
• Curtright, TL ; Fairlie, DB ; Zachos, CK (2014), "Компактная формула для вращений как спиновых матричных полиномов", SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode :2014SIGMA..10..084C, doi :10.3842/SIGMA.2014.084, S2CID  18776942Элементы группы SU(2) выражаются в замкнутой форме как конечные многочлены генераторов алгебры Ли для всех определенных спиновых представлений группы вращений.

Ссылки

• Абрамовиц, М.; Стиган , И.А. (1965). Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. Dover Books on Mathematics. Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0486612720.
• Баргманн, В. (1947), «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца», Ann. of Math. , 48 (3): 568–640, doi :10.2307/1969129, JSTOR  1969129(теория представлений SO(2,1) и SL(2,  R ); вторая часть о SO(3; 1) и SL(2,  C ), описанная во введении, никогда не публиковалась).
• Баргманн, В.; Вигнер, Э.П. (1948), "Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 34 (5): 211–23, Bibcode : 1948PNAS...34..211B, doi : 10.1073/pnas.34.5.211 , PMC  1079095 , PMID  16578292
• Бурбаки, Н. (1998). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 1-3. Springer. ISBN 978-3-540-64242-8.
• Брауэр, Р.; Вейль, Х. (1935), «Спиноры в n измерениях», Amer. J. Math. , 57 (2): 425–449, doi :10.2307/2371218, JSTOR  2371218
• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA (1990). A. van Groesen; EM de Jager (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том 1. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-88776-4.
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1– через ScienceDirect .
• Картан, Эли (1913), «Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane», Bull. Соц. Математика. о. (на французском языке), 41 : 53–96, doi : 10.24033/bsmf.916.
• Черчилль, Р. В.; Браун, Дж. В. (2014) [1948]. Комплексные переменные и их применение (9-е изд.). Нью-Йорк: McGraw–Hill. ISBN 978-0073-383-170.
• Коулмен, А. Дж. (1989). «Величайшая математическая работа всех времен». The Mathematical Intelligencer . 11 (3): 29–38. doi :10.1007/BF03025189. ISSN  0343-6993. S2CID  35487310.
• Далитц, Р. Х.; Пайерлс, Рудольф (1986). «Поль Адриен Морис Дирак. 8 августа 1902 г. – 20 октября 1984 г.». Biogr. Mem. Fellows R. Soc . 32 : 138–185. doi : 10.1098/rsbm.1986.0006 . S2CID  74547263.
• Delbourgo, R. ; Salam, A. ; Strathdee, J. (1967). «Гармонический анализ в терминах однородной группы Лоренца». Physics Letters B . 25 (3): 230–32. Bibcode :1967PhLB...25..230D. doi :10.1016/0370-2693(67)90050-0.
• Дирак, ПАМ (1928), «Квантовая теория электрона», Proc. R. Soc. A , 117 (778): 610–624, Bibcode : 1928RSPSA.117..610D, doi : 10.1098/rspa.1928.0023(свободный доступ)
• Дирак, ПАМ (1936), "Релятивистские волновые уравнения", Proc. R. Soc. A , 155 (886): 447–459, Bibcode :1936RSPSA.155..447D, doi : 10.1098/rspa.1936.0111
• Дирак, ПАМ (1945), "Унитарные представления группы Лоренца", Proc. R. Soc. A , 183 (994): 284–295, Bibcode : 1945RSPSA.183..284D, doi : 10.1098/rspa.1945.0003 , S2CID  202575171
• Диксмье, Дж .; Маллиавин, П. (1978), «Факторизация функций и векторов неопределенных дифференциалов», Bull. наук. Математика. (на французском языке), 102 : 305–330.
• Фирц, М. (1939), «Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin», Helv. Физ. Acta (на немецком языке), 12 (1): 3–37, Bibcode : 1939AcHPh..12....3F, doi : 10.5169/seals-110930 (доступна загрузка в формате PDF){{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Фирц, М.; Паули , В. (1939), «О релятивистских волновых уравнениях для частиц произвольного спина в электромагнитном поле», Proc. R. Soc. A , 173 (953): 211–232, Bibcode : 1939RSPSA.173..211F, doi : 10.1098/rspa.1939.0140
• Фолланд, Г. (2015). Курс абстрактного гармонического анализа (2-е изд.). CRC Press . ISBN 978-1498727136.
• Фултон, У .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249.
• Гельфанд, И.М.; Граев, М.И. (1953), "Об одном общем методе разложения регулярного представления группы Ли на неприводимые представления", Доклады АН СССР , 92 : 221–224
• Гельфанд, ИМ; Граев, МИ; Виленкин, Н. Я. (1966), "Гармонический анализ на группе комплексных унимодулярных матриц в двух измерениях", Обобщенные функции. Т. 5: Интегральная геометрия и теория представлений , перевод Юджина Салетана, Academic Press, стр. 202–267, ISBN 978-1-4832-2975-1
• Гельфанд, ИМ; Граев, М.И.; Пятецкий-Шапиро, И.И. (1969), Теория представлений и автоморфные функции , Academic Press, ISBN 978-0-12-279506-0
• Гельфанд, И.М.; Минлос , Р.А .; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press
• Гельфанд, ИМ ; Наймарк, М.А. (1947), "Унитарные представления группы Лоренца" (PDF) , Известия Акад. Наук СССР. Сер. Мат. (на русском языке), 11 (5): 411–504 , получено 15 декабря 2014 г. (PDF с сайта Math.net.ru){{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Грин, Дж. А. (1998). «Ричард Дагоберт Брауэр» (PDF) . Биографические мемуары . Том. 75. Национальная Академия Пресс. стр. 70–95. ISBN 978-0309062954.
• Greiner, W.; Müller, B. (1994). Квантовая механика: Симметрии (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3540580805.
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer, ISBN 978-3-540-59179-5
• Хариш-Чандра (1947), «Бесконечные неприводимые представления группы Лоренца», Proc. R. Soc. A , 189 (1018): 372–401, Bibcode : 1947RSPSA.189..372H, doi : 10.1098/rspa.1947.0047 , S2CID  124917518
• Harish-Chandra (1951), "Plancherel formula for complex semi-simple Lie groups", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 37 (12): 813–818, Bibcode:1951PNAS...37..813H, doi:10.1073/pnas.37.12.813, PMC 1063477, PMID 16589034
• Hall, Brian C. (2003), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (1st ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, doi:10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
• Helgason, S. (1968), Lie groups and symmetric spaces, Battelle Rencontres, Benjamin, pp. 1–71 (a general introduction for physicists)
• Helgason, S. (2000), Groups and geometric analysis. Integral geometry, invariant differential operators, and spherical functions (corrected reprint of the 1984 original), Mathematical Surveys and Monographs, vol. 83, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2673-7
• Jorgenson, J.; Lang, S. (2008), The heat kernel and theta inversion on SL(2,C), Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-38031-5
• Killing, Wilhelm (1888), "Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen", Mathematische Annalen (in German), 31 (2 (June)): 252–290, doi:10.1007/bf01211904, S2CID 120501356
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
• Klauder, J. R. (1999). "Valentine Bargmann" (PDF). Biographical Memoirs. Vol. 76. National Academy Press. pp. 37–50. ISBN 978-0-309-06434-7.
• Knapp, Anthony W. (2001), Representation theory of semisimple groups. An overview based on examples., Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4 (elementary treatment for SL(2,C))
• Langlands, R. P. (1985). "Harish-Chandra". Biogr. Mem. Fellows R. Soc. 31: 198–225. doi:10.1098/rsbm.1985.0008. S2CID 61332822.
• Lee, J. M. (2003), Introduction to Smooth manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, ISBN 978-0-387-95448-6
• Lie, Sophus (1888), Theorie der Transformationsgruppen I(1888), II(1890), III(1893) (in German)
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Naimark, M.A. (1964), Linear representations of the Lorentz group (translated from the Russian original by Ann Swinfen and O. J. Marstrand), Macmillan
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Rühl, W. (1970), The Lorentz group and harmonic analysis, Benjamin (a detailed account for physicists)
• Simmons, G. F. (1972). Differential Equations with Applications and historical Notes (T M H ed.). New Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd. ISBN 978-0-07-099572-7.
• Stein, Elias M. (1970), "Analytic continuation of group representations", Advances in Mathematics, 4 (2): 172–207, doi:10.1016/0001-8708(70)90022-8 (James K. Whittemore Lectures in Mathematics given at Yale University, 1967)
• Takahashi, R. (1963), "Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés", Bull. Soc. Math. France (in French), 91: 289–433, doi:10.24033/bsmf.1598
• Taylor, M. E. (1986), Noncommutative harmonic analysis, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 22, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1523-6, Chapter 9, SL(2, C) and more general Lorentz groups
• Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics (1st ed.). New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
• Varadarajan, V. S. (1989). An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups. Cambridge University Press. ISBN 978-0521663625.
• Weinberg, S. (2002) [1995], Foundations, The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Weinberg, S. (2000). Supersymmetry. The Quantum Theory of Fields. Vol. 3 (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521670555.
• Weyl, H. (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255
• Weyl, H. (1931), The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover, ISBN 978-0-486-60269-1
• Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456, S2CID 121773411.
• Zwiebach, B. (2004). A First Course in String Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83143-1.