Распространитель

Функция в квантовой теории поля, показывающая амплитуды вероятности движущихся частиц

В квантовой механике и квантовой теории поля пропагатор — это функция, которая определяет амплитуду вероятности перемещения частицы из одного места в другое за заданный период времени или перемещения с определенной энергией и импульсом. В диаграммах Фейнмана , которые служат для расчета скорости столкновений в квантовой теории поля , виртуальные частицы вносят свой вклад в скорость события рассеяния , описываемого соответствующей диаграммой. Пропагаторы также можно рассматривать как обратную волновому оператору, соответствующему частице, и поэтому их часто называют (каузальными) функциями Грина (называемыми « каузальными », чтобы отличить их от эллиптической лапласовой функции Грина). ^{[1] [2]}

Нерелятивистские пропагаторы

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор дает амплитуду вероятности перемещения частицы из одной пространственной точки (x') в один момент времени (t') в другую пространственную точку (x) в более поздний момент времени (t).

Рассмотрим систему с гамильтонианом H . Функция Грина G ( фундаментальное решение ) уравнения Шрёдингера — это функция

${\displaystyle G(x,t;x',t')={\frac {1}{i\hbar }}\Theta (t-t')K(x,t;x',t')}$

удовлетворяющий

${\displaystyle \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-H_{x}\right)G(x,t;x',t')=\delta (x-x')\delta (t-t'),}$

где H _x обозначает гамильтониан, записанный в координатах x , δ ( x ) обозначает дельта-функцию Дирака , Θ( t ) — ступенчатая функция Хевисайда и K ( x , t  ; x′ , t′ ) – ядро приведенного выше дифференциального оператора Шредингера в больших скобках. Термин «пропагатор» иногда используется в этом контексте для обозначения G , а иногда и K. В этой статье этот термин будет использоваться для обозначения К (см. принцип Дюамеля ).

Этот пропагатор также можно записать как амплитуду перехода

${\displaystyle K(x,t;x',t')={\big \langle }x{\big |}{\hat {U}}(t,t'){\big |}x'{\big \rangle },}$

где Û ( t , t ) — унитарный оператор эволюции во времени для системы, переводящей состояния в момент времени t в состояния в момент времени t . Обратите внимание на начальное условие, обеспечиваемое . ${\displaystyle \lim _{t\to t'}K(x,t;x',t')=\delta (x-x')}$

Квантово-механический пропагатор также можно найти с помощью интеграла по путям :

${\displaystyle K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t'}^{t}L({\dot {q}},q,t)\,dt\right]D[q(t)],}$

где граничные условия интеграла по путям включают q ( t ) = x , q ( t' ) = x' . Здесь L обозначает лагранжиан системы. Пути, которые суммируются, движутся только вперед во времени и интегрируются с дифференциалом, следующим по пути во времени. ${\displaystyle D[q(t)]}$

В нерелятивистской квантовой механике пропагатор позволяет найти волновую функцию системы по заданной начальной волновой функции и временному интервалу. Новая волновая функция задается уравнением

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')\,dx'.}$

Если K ( x , t ; x ′, t ′) зависит только от разности x − x ′ , это свертка исходной волновой функции и пропагатора.

Основные примеры: распространитель свободных частиц и гармонический осциллятор.

Для трансляционно-инвариантной системы пропагатор зависит только от разницы во времени t - t ′ , поэтому его можно переписать как

$${\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t').}$$

Пропагатор одномерной свободной частицы , полученный, например, из интеграла по траектории , тогда равен

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-{\frac {i\hbar k^{2}t}{2m}}}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {m(x-x')^{2}}{2i\hbar t}}}.}$

Аналогично, пропагатором одномерного квантового гармонического осциллятора является ядро ​​Мелера , ^{[3] [4]}

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {m\omega {\big (}(x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx'{\big )}}{2i\hbar \sin \omega t}}\right).}$

Последнее можно получить из предыдущего результата о свободных частицах, воспользовавшись тождеством группы Ли SU(1,1) Ван Кортрика ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left(-{\frac {it}{\hbar }}\left({\frac {1}{2m}}{\mathsf {p}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\mathsf {x}}^{2}\right)\right)\\&=\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right)\exp \left(-{\frac {i}{2m\omega \hbar }}{\mathsf {p}}^{2}\sin(\omega t)\right)\exp \left(-{\frac {im\omega }{2\hbar }}{\mathsf {x}}^{2}\tan {\frac {\omega t}{2}}\right),\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\mathsf {x}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathsf {x}},{\mathsf {p}}]=i\hbar }$

Для N -мерного случая пропагатор можно просто получить произведением

$${\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t).}$$

Релятивистские пропагаторы

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля пропагаторы лоренц-инвариантны . Они задают амплитуду перемещения частицы между двумя пространственно-временными событиями.

Скалярный пропагатор

В квантовой теории поля теория свободного (или невзаимодействующего) скалярного поля является полезным и простым примером, который служит для иллюстрации концепций, необходимых для более сложных теорий. Он описывает частицы со спином -ноль. Существует ряд возможных распространителей теории свободного скалярного поля. Сейчас мы опишем наиболее распространенные из них.

Позиционное пространство

Пропагаторы позиционного пространства являются функциями Грина для уравнения Клейна – Гордона . Это означает, что это функции G ( x , y ), удовлетворяющие

$${\displaystyle \left(\square _{x}+m^{2}\right)G(x,y)=-\delta (x-y),}$$

• x, y — две точки в пространстве-времени Минковского ,
• ${\displaystyle \square _{x}={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}$– оператор Даламбера , действующий на координаты x ,
• δ ( x − y ) — дельта-функция Дирака .

(Как обычно в расчетах по релятивистской квантовой теории поля, мы используем единицы, в которых скорость света c и приведенная постоянная Планка ħ равны единице.)

Мы ограничимся рассмотрением 4-мерного пространства-времени Минковского . Мы можем выполнить преобразование Фурье уравнения для пропагатора, получив

$${\displaystyle \left(-p^{2}+m^{2}\right)G(p)=-1.}$$

Это уравнение можно обратить в смысле распределений , заметив, что уравнение xf ( x ) = 1 имеет решение (см. теорему Сохоцкого–Племеля )

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}={\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$$

ε

Решение

${\displaystyle G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\varepsilon }},}$

где

$${\displaystyle p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}$$

4-векторный

Различные варианты деформации контура интегрирования в приведенном выше выражении приводят к различным формам пропагатора. Выбор контура обычно формулируется в терминах интеграла. ${\displaystyle p_{0}}$

Тогда подынтегральная функция имеет два полюса

$${\displaystyle p_{0}=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}},}$$

Причинные распространители

Запаздывающий пропагатор

Контур, идущий по часовой стрелке по обоим полюсам, дает причинный запаздывающий пропагатор . Это ноль, если xy пространственноподобен или y относится к будущему x , поэтому он равен нулю, если x ⁰< y ⁰ .

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела

$${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x^{0}-y^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x^{0}-y^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Здесь

$${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$$

ступенчатая функция Хевисайда

$${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$$

собственным временемxyфункцией Бесселя первого родаy причинно предшествует x ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle y\prec x}$

${\displaystyle y^{0}\leq x^{0}}$и ${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0~.}$

Это выражение можно связать с вакуумным математическим ожиданием коммутатора оператора свободного скалярного поля:

$${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})}$$

$${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}$$

коммутатором

Расширенный распространитель

Контур, идущий против часовой стрелки под обоими полюсами, дает каузальный продвинутый пропагатор . Это ноль, если xy пространственноподобен или если y находится в прошлом x , поэтому он равен нулю, если x ⁰> y ⁰ .

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела ^[6]

$${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y^{0}-x^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y^{0}-x^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

Это выражение также можно выразить через вакуумное математическое ожидание коммутатора свободного скалярного поля . В этом случае,

$${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.}$$

Фейнмановский пропагатор

Контур, проходящий под левым полюсом и над правым полюсом, дает пропагатор Фейнмана , введенный Ричардом Фейнманом в 1948 году ^{. [7]}

Такой выбор контура эквивалентен вычислению предела ^[8]

$${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {m}{8\pi \tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(m\tau _{xy})&\tau _{xy}^{2}\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}})&\tau _{xy}^{2}<0.\end{cases}}}$$

Здесь H ₁ ⁽¹⁾ — функция Ганкеля , а K ₁ — модифицированная функция Бесселя .

Это выражение может быть получено непосредственно из теории поля как вакуумное математическое ожидание упорядоченного по времени произведения свободного скалярного поля, то есть произведения, всегда взятого таким, что временной порядок точек пространства-времени одинаков,

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Это выражение является лоренц-инвариантом , пока операторы поля коммутируют друг с другом, когда точки x и y разделены пространственноподобным интервалом .

Обычный вывод состоит в том, чтобы вставить полный набор одночастичных состояний импульса между полями с ковариантной нормализацией Лоренца, а затем показать, что Θ- функции, обеспечивающие причинное временное упорядочение, могут быть получены с помощью контурного интеграла вдоль оси энергии, если Подынтегральная функция такая же, как указано выше (отсюда и бесконечно малая мнимая часть), для перемещения полюса от действительной линии.

Пропагатор также может быть получен с использованием формулировки квантового интеграла по путям.

Пропагатор Дирака

Представлен Полем Дираком в 1938 году. ^{[9] [10]}

Пропагатор пространства импульса

Преобразование Фурье пропагаторов позиционного пространства можно рассматривать как пропагаторы в импульсном пространстве . Они принимают гораздо более простую форму, чем распространители позиционного пространства.

Их часто пишут с явным выражением ε , хотя это понимается как напоминание о том, какой контур интегрирования подходит (см. Выше). Этот член ε включен для включения граничных условий и причинности (см. Ниже).

Для 4-импульса p причинные и фейнмановские пропагаторы в пространстве импульсов таковы:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{ret}}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\text{adv}}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Для целей расчета диаграмм Фейнмана обычно удобно записывать их с дополнительным общим коэффициентом i (соглашения могут различаться).

Быстрее света?

У пропагатора Фейнмана есть некоторые свойства, которые на первый взгляд кажутся непонятными. В частности, в отличие от коммутатора, пропагатор отличен от нуля вне светового конуса , хотя и быстро спадает на пространственноподобных интервалах. Интерпретируемый как амплитуда движения частицы, это означает, что виртуальная частица движется быстрее света. Не совсем очевидно, как это можно совместить с причинно-следственной связью: можем ли мы использовать виртуальные частицы со скоростью, превышающей скорость света, для отправки сообщений со скоростью, превышающей скорость света?

Ответ — нет: хотя в классической механике интервалы, по которым могут перемещаться частицы и причинные эффекты, одинаковы, в квантовой теории поля это уже не так, где именно коммутаторы определяют, какие операторы могут влиять друг на друга.

Так что же представляет собой пространственноподобная часть пропагатора? В QFT вакуум является активным участником, а количество частиц и значения поля связаны принципом неопределенности ; Значения поля неопределенны даже для частиц с нулевым номером . Существует ненулевая амплитуда вероятности обнаружить значительное колебание вакуумного значения поля Φ( x ) , если измерить его локально (или, точнее, если измерить оператор, полученный усреднением поля по небольшой области) . Более того, динамика полей имеет тенденцию в некоторой степени благоприятствовать пространственно коррелированным флуктуациям. Ненулевое упорядоченное по времени произведение для пространственно-подобных полей затем просто измеряет амплитуду нелокальной корреляции в этих вакуумных флуктуациях, аналогичной корреляции ЭПР . Действительно, пропагатор часто называют двухточечной корреляционной функцией свободного поля .

Поскольку согласно постулатам квантовой теории поля все наблюдаемые операторы коммутируют друг с другом на расстоянии, подобном пространству, сообщения не могут быть отправлены через эти корреляции, как и через любые другие корреляции ЭПР; корреляции находятся в случайных величинах.

Что касается виртуальных частиц, пропагатор при пространственном разделении можно рассматривать как средство расчета амплитуды для создания виртуальной пары частица- античастица , которая в конечном итоге исчезает в вакууме, или для обнаружения виртуальной пары, выходящей из вакуума. На языке Фейнмана такие процессы рождения и уничтожения эквивалентны виртуальной частице, блуждающей вперед и назад во времени, которая может вывести ее за пределы светового конуса. Однако передача сигналов назад во времени не допускается.

Объяснение с использованием ограничений

Это можно прояснить, записав пропагатор для безмассовой частицы в следующем виде:

$${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.}$$

Это обычное определение, но нормализованное с коэффициентом . Тогда правило таково: предел берется только в конце расчета. ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

Это видно

$${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {1}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}$$

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.}$$

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$$

Пропагаторы в диаграммах Фейнмана

Чаще всего пропагатор используется для расчета амплитуд вероятностей взаимодействий частиц с использованием диаграмм Фейнмана . Эти расчеты обычно выполняются в импульсном пространстве. В общем, амплитуда получает коэффициент пропагатора для каждой внутренней линии , то есть каждой линии, которая не представляет входящую или исходящую частицу в начальном или конечном состоянии. Он также получит коэффициент, пропорциональный и аналогичный по форме члену взаимодействия в лагранжиане теории для каждой внутренней вершины, где пересекаются линии. Эти предписания известны как правила Фейнмана .

Внутренние линии соответствуют виртуальным частицам. Поскольку пропагатор не исчезает для комбинаций энергии и импульса, запрещенных классическими уравнениями движения, мы говорим, что виртуальным частицам разрешено находиться вне оболочки . Фактически, поскольку пропагатор получается обращением волнового уравнения, он, вообще говоря, будет иметь особенности на оболочке.

Энергия, переносимая частицей в пропагаторе, может быть даже отрицательной . Это можно интерпретировать просто как случай, когда вместо частицы, движущейся в одну сторону, ее античастица движется в другую сторону и, следовательно, несет противоположный поток положительной энергии. Пропагатор охватывает обе возможности. Это означает, что нужно быть осторожным со знаками минус в случае фермионов , чьи пропагаторы даже не являются функциями энергии и импульса (см. ниже).

Виртуальные частицы сохраняют энергию и импульс. Однако, поскольку они могут находиться вне оболочки, везде, где диаграмма содержит замкнутый контур , энергии и импульсы виртуальных частиц, участвующих в контуре, будут частично неограниченными, поскольку изменение количества одной частицы в контуре может быть уравновешено равное и противоположное изменение в другом. Следовательно, каждая петля диаграммы Фейнмана требует интеграла по континууму возможных энергий и импульсов. В общем, эти интегралы от произведений пропагаторов могут расходиться, и эту ситуацию необходимо разрешить с помощью процесса перенормировки .

Другие теории

Вращение 1 ⁄ 2

Если частица обладает спином, то ее пропагатор, как правило, несколько сложнее, поскольку он будет включать в себя спин частицы или индексы поляризации. Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет пропагатор для частицы со спином 1/2 , имеет вид ^[11]

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),}$

где I ₄ — единичная матрица в четырех измерениях, с использованием обозначения косой черты Фейнмана . Это уравнение Дирака для источника дельта-функции в пространстве-времени. Используя представление импульса,

$${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

где в правой части используется интегральное представление четырехмерной дельта-функции. Таким образом

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}$

Умножив слева на

$${\displaystyle (\not p+m)}$$

гамма-матриц

$${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$$

Обнаружено , что пропагатор в импульсном пространстве, используемый в диаграммах Фейнмана для поля Дирака , представляющий электрон в квантовой электродинамике, имеет форму

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

iε внизу — это рецепт того _, как обращаться с полюсами в комплексной плоскости p0 . Он автоматически дает фейнмановский контур интегрирования путем соответствующего смещения полюсов. Иногда пишут

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

для краткости. Следует помнить, что это выражение является всего лишь сокращенным обозначением для ( γ _µ p ^µ − m ) ⁻¹ . В противном случае «Один над матрицей» бессмысленно. В позиционном пространстве есть

$${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$$

Это связано с пропагатором Фейнмана соотношением

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

где . ${\displaystyle \not \partial :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

Вращение 1

Пропагатор калибровочного бозона в калибровочной теории зависит от выбора соглашения для фиксации калибровки. Для калибра, используемого Фейнманом и Штюкельбергом , пропагатор фотона равен

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.}$

Общий вид с калибровочным параметром λ с точностью до полного знака и коэффициента имеет вид ${\displaystyle i}$

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.}$

Пропагатор для массивного векторного поля можно получить из лагранжиана Штюкельберга. Общий вид с калибровочным параметром λ с точностью до полного знака и коэффициента имеет вид ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.}$

С помощью этих общих форм можно получить пропагаторы в унитарной калибровке для λ = 0 , пропагатор в калибровке Фейнмана или т Хофта для λ = 1 и в калибровке Ландау или Лоренца для λ = ∞ . Существуют также другие обозначения, в которых калибровочный параметр является обратным к λ , обычно обозначаемому ξ (см. R _ξ калибровки ). Однако имя распространителя относится к его окончательной форме, а не обязательно к значению калибровочного параметра.

Унитарный калибр:

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Калибр Фейнмана (т Хофта):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Калибр Ландау (Лоренца):

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

Гравитонный пропагатор

Гравитонный пропагатор для пространства Минковского в общей теории относительности ^[12]

$${\displaystyle G_{\alpha \beta ~\mu \nu }={\frac {{\mathcal {P}}_{\alpha \beta ~\mu \nu }^{2}}{k^{2}}}-{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}{}_{\alpha \beta ~\mu \nu }}{2k^{2}}}={\frac {g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }+g_{\beta \mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {2}{D-2}}g_{\mu \nu }g_{\alpha \beta }}{k^{2}}},}$$

оператор проекции спина 2мультиплет(Анти)деситтеровского пространства ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{s}^{0}}$

$${\displaystyle G={\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{2H^{2}-\Box }}+{\frac {{\mathcal {P}}_{s}^{0}}{2(\Box +4H^{2})}},}$$

постоянная^[13] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to 0}$ ${\displaystyle \Box \to -k^{2}}$

Связанные сингулярные функции

Скалярные пропагаторы представляют собой функции Грина для уравнения Клейна – Гордона. Существуют родственные сингулярные функции, которые важны в квантовой теории поля . Мы следуем обозначениям Бьоркена и Дрелла. ^[14] См. также Боголюбов и Ширков (Приложение А). ^[15] Эти функции наиболее просто определяются через вакуумное математическое ожидание произведений операторов поля.

Решения уравнения Клейна–Гордона

Функция Паули – Жордана

Коммутатор двух операторов скалярного поля определяет функцию Паули – Жордана формулой ^{[16] [14]} ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

с

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{ret}}(x-y)-G_{\text{adv}}(x-y)}$

Это удовлетворяет

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

и равен нулю, если . ${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$

Части положительной и отрицательной частоты (разрезанные пропагаторы)

Мы можем определить положительную и отрицательную частотные части , иногда называемые обрезанными пропагаторами, релятивистски-инвариантным способом. ${\displaystyle \Delta (x-y)}$

Это позволяет нам определить положительную частотную часть:

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,}$

и часть отрицательной частоты:

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .}$

Они удовлетворяют ^[14]

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

и

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

Вспомогательная функция

Антикоммутатор двух операторов скалярного поля определяет функцию следующим образом: ${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

с

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

Это удовлетворяет ${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$

Функции Грина для уравнения Клейна–Гордона

Определенные выше запаздывающие, опережающие и фейнмановские пропагаторы являются функциями Грина для уравнения Клейна – Гордона.

Они связаны с сингулярными функциями соотношением ^[14]

${\displaystyle G_{\text{ret}}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (x^{0}-y^{0})}$

${\displaystyle G_{\text{adv}}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (y^{0}-x^{0})}$

${\displaystyle 2G_{F}(x-y)=-i\,\Delta _{1}(x-y)+\varepsilon (x^{0}-y^{0})\,\Delta (x-y)}$

где знак . ${\displaystyle \varepsilon (x^{0}-y^{0})}$ ${\displaystyle x^{0}-y^{0}}$

Смотрите также

• Исходное поле
• Формула сокращения LSZ

Примечания

1. Математика PDE и волновое уравнение, стр. 32, Майкл П. Ламуре, Университет Калгари, Летняя школа сейсмических изображений, 7–11 августа 2006 г., Калгари.
2. Гл.: 9 функций Грина, стр. 6., Дж. Пикок, АНАЛИЗ ФУРЬЕ КУРС ЛЕКЦИЙ: ЛЕКЦИЯ 15.
3. ЕС Кондон, «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Proc. Натл. акад. наук. США 23 , (1937) 158–164.
4. Вольфганг Паули , Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Dover Books on Physics, 2000) ISBN  0486414620 . Раздел 44.
5. Кольсруд, М. (1956). Точные квантово-динамические решения для осцилляторных систем, Physical Review 104 (4), 1186.
6. Шарф, Гюнтер (13 ноября 2012 г.). Конечная квантовая электродинамика, причинный подход . Спрингер. п. 89. ИСБН 978-3-642-63345-4.
7. Фейнман, Р.П. (2005), «Пространственно-временной подход к нерелятивистской квантовой механике», Диссертация Фейнмана - Новый подход к квантовой теории , WORLD SCIENTIFIC, стр. 71–109, Бибкод : 2005ftna.book...71F, дои : 10.1142/9789812567635_0002, ISBN 978-981-256-366-8, получено 17 августа 2022 г.
8. Хуанг, Керсон (1998). Квантовая теория поля: от операторов к интегралам по траекториям . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. п. 30. ISBN 0-471-14120-8.
9. «Классическая теория излучающих электронов». Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 167 (929): 148–169. 05.08.1938. дои : 10.1098/rspa.1938.0124. ISSN  0080-4630. S2CID  122020006.
10. «Пропагатор Дирака в nLab». ncatlab.org . Проверено 8 ноября 2023 г.
11. Грейнер и Рейнхардт, 2008, глава 2.
12. Квантовая теория гравитации Library.uu.nl
13. «Пропагаторы гравитона и калибровочного бозона в AdSd+1» (PDF) .
14. Бьоркен, Джеймс Д.; Дрелл, Сидни Дэвид (1964). «Приложение С». Релятивистская квантовая механика . Международная серия по чистой и прикладной физике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN 9780070054936.
15. Боголюбов, Н .; Ширков, Д.В. (1959). "Приложение". Введение в теорию квантованных полей . Уайли-Интерсайенс . ISBN 0-470-08613-0.
16. Паули, Вольфганг; Джордан, Паскуаль (1928). «Zur Quantenelektrodynamic ladungsfreier Felder». Zeitschrift für Physik . 47 (3–4): 151–173. Бибкод : 1928ZPhy...47..151J. дои : 10.1007/BF02055793. S2CID  120536476.

Рекомендации

• Бьоркен, Дж. ; Дрелл, С. (1965). Релятивистские квантовые поля . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . ISBN 0-07-005494-0.(Приложение С.)
• Боголюбов Н. ; Ширков, Д. В. (1959). Введение в теорию квантованных полей . Уайли-Интерсайенс . ISBN 0-470-08613-0.(Особенно стр. 136–156 и Приложение А)
• ДеВитт-Моретт, К .; ДеВитт, Б. (ред.). Относительность, группы и топология . Глазго: Блэки и сын . ISBN 0-444-86858-5.(раздел «Динамическая теория групп и полей», особенно стр. 615–624)
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (2008). Квантовая электродинамика (4-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN 9783540875604.
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля . Спрингер Верлаг. ISBN 9783540591795.
• Гриффитс, диджей (1987). Введение в элементарные частицы . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-60386-4.
• Гриффитс, диджей (2004). Введение в квантовую механику . Река Аппер-Седл: Прентис-Холл . ISBN 0-131-11892-7.
• Холливелл, Джей-Джей; Орвиц, М. (1993), «Происхождение композиционных законов релятивистской квантовой механики и квантовой космологии путем суммирования по историям», Physical Review D , 48 (2): 748–768, arXiv : gr-qc/9211004 , Bibcode :1993PhRvD..48..748H, doi :10.1103/PhysRevD.48.748, PMID  10016304, S2CID  16381314
• Хуанг, Керсон (1998). Квантовая теория поля: от операторов к интегралам по траекториям . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-14120-8.
• Ицыксон, К. ; Зубер, Дж.Б. (1980). Квантовая теория поля . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-032071-3.
• Покорский, С. (1987). Теории калибровочного поля . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36846-4. (Сзади имеются полезные приложения с правилами диаграмм Фейнмана, включая пропагаторы.)
• Шульман, Л.С. (1981). Методы и приложения интеграции путей . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-76450-7.
• Шарф, Г. (1995). Конечная квантовая электродинамика, причинный подход. Спрингер. ISBN 978-3-642-63345-4 . 

Внешние ссылки

• Три метода вычисления пропагатора Фейнмана