Равносторонний треугольник

Форма с тремя равными сторонами

Равносторонний треугольник — это треугольник, в котором все три стороны имеют одинаковую длину, а три угла равны. Из-за этих свойств равносторонний треугольник является семейством правильных многоугольников , и его иногда называют правильным треугольником . Это особый случай равнобедренного треугольника по современному определению, создающий больше специальных свойств.

Равносторонний треугольник можно найти на рисунках в больших измерениях. Примеры можно найти в различных мозаиках , а многогранники, как в дельтаэдре и антипризме . Другие проявления в реальной жизни — это популярные культуры, архитектуры и изучение стереохимии, напоминающие молекулярную, известную как тригональная плоская молекулярная геометрия

Характеристики

Равносторонний треугольник — это треугольник, имеющий три равные стороны. Это частный случай равнобедренного треугольника в современном определении, утверждающем, что равнобедренный треугольник определяется как имеющий по крайней мере две равные стороны. ^[1] Исходя из современного определения, это приводит к равностороннему треугольнику, в котором одна из трех сторон может считаться его основанием. ^[2]

Последующее определение выше может привести к более точным свойствам. Например, поскольку периметр равнобедренного треугольника равен сумме его двух катетов и основания, равносторонний треугольник формулируется как утроенная его сторона. ^{[3] [4]} Внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°. ^[5] Из-за этих свойств равносторонние треугольники становятся известным семейством как правильные многоугольники . Чевианы равностороннего треугольника имеют одинаковую длину, в результате чего медиана и биссектриса угла имеют одинаковую длину, считая эти линии их высотой в зависимости от выбора основания. ^[5] Когда равносторонний треугольник переворачивается вокруг своей высоты и вращается вокруг своего центра на каждую треть полного угла, его внешний вид не меняется. Это приводит к тому, что равносторонний треугольник имеет симметрию двугранной группы шестого порядка. ^[6] Далее описываются другие. ${\displaystyle \mathrm {D} _{3}}$

Область

Прямоугольный треугольник с гипотенузой имеет высоту . Следовательно, высота равностороннего треугольника равна синусу 60°, . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$

Площадь равностороннего треугольника равна Формула может быть выведена из формулы равнобедренного треугольника по теореме Пифагора : высота треугольника равна квадратному корню из разности квадратов стороны и половины основания . ^[3] Поскольку основание и катеты равны, высота равна: ^[7] В общем случае площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Формула площади равностороннего треугольника может быть получена путем подстановки формулы высоты. ^[7] Другой способ доказать площадь равностороннего треугольника — использовать тригонометрическую функцию . Площадь треугольника формулируется как половина произведения основания на высоту и синус угла. Поскольку все углы равностороннего треугольника равны 60°, формула такая, как и требовалось. ^{[ необходима цитата ]} $${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$

Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с заданным периметром является равносторонним. То есть, для периметра и площади для равностороннего треугольника справедливо равенство: ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}$$

Связь с кругами

Радиус описанной окружности равен: а радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности: $${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}},}$$ $${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a.}$$

Теорема Эйлера утверждает, что расстояние между радиусом описанной окружности и вписанной окружности формулируется как . В результате получается неравенство треугольника, утверждающее, что равносторонний треугольник имеет наименьшее отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной окружности любого треугольника. То есть: ^[9] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle R\geq 2r.}$$

Теорема Помпейю утверждает, что если — произвольная точка на плоскости равностороннего треугольника , но не на его описанной окружности , то существует треугольник со сторонами длиной , , и . То есть, , , и удовлетворяют неравенству треугольника , что сумма любых двух из них больше третьей. Если — на описанной окружности, то сумма двух меньших равна наибольшей из них, и треугольник вырождается в линию, этот случай известен как теорема Ван Скутена . ^[10] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle PC}$ ${\displaystyle P}$

Задача упаковки требует упаковки кругов в наименьший возможный равносторонний треугольник . Оптимальные решения показывают , что можно упаковать в равносторонний треугольник, но открытые гипотезы расширяются до . ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n<13}$ ${\displaystyle n<28}$

Другие математические свойства

Наглядное доказательство теоремы Вивиани

Теорема Морли о трисекторах гласит, что в любом треугольнике три точки пересечения смежных угловых трисекторов образуют равносторонний треугольник.

Теорема Вивиани утверждает, что для любой внутренней точки равностороннего треугольника с расстояниями , , и от сторон и высоты , независимо от местоположения . ^[12] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle d+e+f=h,}$$ ${\displaystyle P}$

Равносторонний треугольник может иметь целочисленные стороны с тремя рациональными углами, измеряемыми в градусах, ^[13] известен как единственный остроугольный треугольник, который подобен своему ортому (с вершинами в основаниях высот ) , ^[14] и единственный треугольник, чей вэллипс Штейнера является окружностью (в частности, вписанная окружность). Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данную окружность является равносторонним, а треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данной окружности также является равносторонним. ^[15] Это единственный правильный многоугольник, помимо квадрата , который может быть вписан в любой другой правильный многоугольник.

Если задана точка внутри равностороннего треугольника, то отношение суммы ее расстояний от вершин к сумме ее расстояний от сторон больше или равно 2, причем равенство выполняется, когда является центроидом. Ни в каком другом треугольнике нет точки, для которой это отношение было бы меньше 2. ^[16] Это неравенство Эрдёша–Морделла ; более сильный его вариант — неравенство Барроу , которое заменяет перпендикулярные расстояния до сторон на расстояния от до точек, где биссектрисы углов , , и пересекают стороны ( , , и являются вершинами). Существует множество других неравенств треугольников , которые выполняются тогда и только тогда, когда треугольник является равносторонним. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \angle APB}$ ${\displaystyle \angle BPC}$ ${\displaystyle \angle CPA}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Строительство

Построение равностороннего треугольника с помощью циркуля и линейки

Равносторонний треугольник можно построить разными способами с помощью окружностей. Первое предложение в первой книге «Начал» Евклида . Начните с рисования окружности с определенным радиусом, поместите иглу циркуля на окружность и нарисуйте еще одну окружность с тем же радиусом; две окружности пересекутся в двух точках. Равносторонний треугольник можно построить, взяв два центра окружностей и точки пересечения. ^[17]

Альтернативный способ построения равностороннего треугольника — использование простого числа Ферма . Простое число Ферма — это простое число вида , где обозначает неотрицательное целое число , и существует пять известных простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители его сторон являются различными простыми числами Ферма. ^[18] Чтобы сделать это геометрически, нарисуйте прямую линию и поместите иглу циркуля на один конец линии, затем проведите дугу из этой точки в другую точку отрезка линии; повторите с другой стороной линии, которая соединяет точку пересечения двух дуг с каждым концом отрезка линии в дальнейшем. $${\displaystyle 2^{2^{k}}+1,}$$ ${\displaystyle k}$

При условии, что три равносторонних треугольника построены на сторонах произвольного треугольника. По теореме Наполеона , будь они все направлены наружу или внутрь, центры этих равносторонних треугольников сами образуют равносторонний треугольник.

Появления

В других связанных цифрах

Примечательно, что равносторонние треугольные плитки представляют собой двумерное пространство с шестью треугольниками, встречающимися в вершине, чья двойственная мозаика — это шестиугольная мозаика . Усеченная шестиугольная мозаика , ромботригексагональная мозаика , тригексагональная мозаика , плосконосый квадрат и плосконосый шестиугольная мозаика — все это полуправильные мозаики, построенные с помощью равносторонних треугольников. ^[19] Другие двумерные объекты можно найти в треугольнике Серпинского ( фрактальная форма , построенная из равностороннего треугольника путем рекурсивного деления на меньшие равносторонние треугольники) и треугольнике Рёло ( изогнутый треугольник с постоянной шириной , построенный из равностороннего треугольника путем округления каждой из его сторон). ^[20]

Правильный октаэдр — это дельтаэдр, а также семейство антипризм, имеющих равносторонние треугольные грани.

Равносторонние треугольники также могут образовывать многогранник в трех измерениях. Три из пяти многогранников Платоновых тел — это правильный тетраэдр , правильный октаэдр и правильный икосаэдр . Пять тел Джонсона — это треугольная бипирамида , пятиугольная бипирамида , плосконосый двуклиноид , триаугментированная треугольная призма и гироудлиненная квадратная бипирамида . Эти восемь выпуклых многогранников имеют равносторонний треугольник в качестве своих граней, известный как дельтаэдр . ^[21] В более общем смысле, все тела Джонсона имеют равносторонние треугольники, хотя есть и некоторые другие правильные многоугольники в качестве их граней. ^[22] Антипризма — это еще одно семейство многогранников, в котором все грани, кроме оснований, в основном состоят из чередующихся треугольников. Когда антипризма однородна , ее основания правильные, а все треугольные грани равносторонние. ^[23]

В качестве обобщения, равносторонний треугольник принадлежит к бесконечному семейству - симплексов , причем . ^[24] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

В качестве приложения

Использование равностороннего треугольника в качестве знака «уступи дорогу»

Равносторонние треугольники часто появлялись в искусственных сооружениях и популярных культурах. В архитектуре пример можно увидеть в поперечном сечении Gateway Arch и поверхности яйца Vegreville . ^{[25] [26]} В геральдике и флагах его применение включает флаг Никарагуа и флаг Филиппин . ^{[27] [28]} Это форма различных дорожных знаков , включая знак «Уступи дорогу» . ^[29]

Равносторонний треугольник появился при изучении стереохимии . Его можно описать как молекулярную геометрию , в которой один атом в центре соединяет три других атома в плоскости, известную как тригональная плоская молекулярная геометрия . ^[30]

В задаче Томсона , касающейся конфигурации заряженных частиц на сфере с минимальной энергией , и для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, минимальное решение, известное для, размещает точки в вершинах равностороннего треугольника, вписанного в сферу . Эта конфигурация доказана оптимальной для задачи Таммеса, но строгое решение для этого примера задачи Томсона неизвестно. ^[31] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$

Смотрите также

• Почти равносторонний геронов треугольник
• Круги Малфатти
• Тройной участок
• Трилинейные координаты

Ссылки

Примечания

1. Шталь (2003), стр. 37.
2. Ларднер (1840), стр. 46.
3. Harris & Stocker (1998), стр. 78.
4. Серин (2004), см. теорему 1.
5. Owen, Felix & Deirdre (2010), стр. 36, 39.
6. Карстенсен, Файн и Розенбергер (2011), стр. 156.
7. McMullin & Parkinson (1936), стр. 96.
8. Чакерян (1979).
9. Свртан и Вельян (2012).
10. Альсина и Нельсен (2010), с. 102–103.
11. Мелиссен и Шур (1995).
12. Посаментье и Салкинд (1996).
13. Конвей и Гай (1996), стр. 201, 228–229.
14. Банкофф и Гарфанкел (1973), стр. 19.
15. Дёрри (1965), стр. 379–380.
16. Ли (2001).
17. Кромвель (1997), стр. 62.
18. Кржижек, Лука и Сомер (2001), с. 1–2.
19. Грюнбаум и Шепард (1977).
20. Альсина и Нельсен (2010), с. 102–103.
21. Тригг (1978).
22. Берман (1971).
23. Хорияма и др. (2015), с. 124.
24. Коксетер (1948), стр. 120–121.
25. Пелконен и Альбрехт (2006), с. 160.
26. Альсина и Нельсен (2015), с. 22.
27. Уайт и Кальдерон (2008), с. 3.
28. Гильермо (2012), стр. 161.
29. Райли, Кохран и Баллард (1982).
30. Петруччи, Харвуд и Херринг (2002), стр. 413–414, см. Таблицу 11.1.
31. Уайт (1952).

Цитируемые работы

• Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки . ISBN 9780883853481.
• ———; ——— (2015). Математическая космическая одиссея: стереометрия в 21 веке . Том 50. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-1-61444-216-5.
• Банкофф, Леон; Гарфанкел, Джек (январь 1973). «Семиугольный треугольник». Mathematics Magazine . 46 (1): 7–19. doi :10.1080/0025570X.1973.11976267.
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
• Серин, Звонко (2004). «Треугольники вершина-середина-центроид» (PDF) . Forum Geometricorum . 4 : 97–109.
• Карстенсен, Селин; Файн, Селин; Розенбергер, Герхард (2011). Абстрактная алгебра: приложения к теории Галуа, алгебраической геометрии и криптографии. Де Грюйтер . стр. 156. ISBN 978-3-11-025009-1.
• Chakerian, GD (1979). "Глава 7: Искаженный взгляд на геометрию". В Honsberger, R. (ред.). Mathematical Plums . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 147.
• Конвей, Дж. Х.; Гай, Р. К. (1996). Книга чисел . Springer-Verlag.
• Коксетер, HSM Коксетер (1948). Правильные многогранники (1-е изд.). Лондон: Methuen & Co. LTD. OCLC  4766401. Збл  0031.06502.
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9.
• Дёрри, Генрих (1965). 100 великих задач элементарной математики . Dover Publications .
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Tilings by Regular Polygons» (PDF) . Mathematics Magazine . 50 (5). Taylor & Francis, Ltd.: 231–234. doi :10.2307/2689529. JSTOR  2689529. MR  1567647. S2CID  123776612. Zbl  0385.51006.
• Гильермо, Артемио Р. (2012). Исторический словарь Филиппин . Пугало Пресс. ISBN 978-0810872462.
• Харрис, Джон В.; Стокер, Хорст (1998). Справочник по математике и вычислительной науке . Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5317-4 (неактивен 2024-10-02). ISBN 0-387-94746-9. МР  1621531.{{cite book}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на октябрь 2024 г. ( ссылка )
• Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой Пирамиды . Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5.
• Хорияма, Такаяма; Ито, Дзин-ити; Като, Наои; Кобаяши, Юки; Нара, Чие (14–16 сентября 2015 г.). «Непрерывное складывание правильных додекаэдров». В Акияма, Дзин; Ито, Хиро; Сакаи, Тошинори; Уно, Юши (ред.). Дискретная и вычислительная геометрия и графы . Японская конференция по дискретной и вычислительной геометрии и графам. Киото. doi :10.1007/978-3-319-48532-4. ISBN 978-3-319-48532-4. ISSN  1611-3349.{{cite conference}}: CS1 maint: формат даты ( ссылка )
• Кржижек, Михал; Лука, Флориан; Сомер, Лоуренс (2001). 17 лекций по числам Ферма: от теории чисел к геометрии . CMS Books in Mathematics. Том 9. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-0-387-21850-2. ISBN 978-0-387-95332-8. МР  1866957.
• Ларднер, Дионисий (1840). Трактат о геометрии и ее применении в искусстве. Лондон: The Cabinet Cyclopædia.
• Ли, Ходжо (2001). «Еще одно доказательство теоремы Эрдёша–Морделла» (PDF) . Forum Geometricorum . 1 : 7–8.
• Макмаллин, Дэниел; Паркинсон, Альберт Чарльз (1936). Введение в инженерную математику . Том 1. Cambridge University Press .
• Melissen, JBM; Schuur, PC (1995). «Упаковка 16, 17 или 18 кругов в равносторонний треугольник». Дискретная математика . 145 (1–3): 333–342. doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C . MR  1356610.
• Оуэн, Байер; Феликс, Лазебник; Дейрдре, Смельцер (2010). Методы евклидовой геометрии . Материалы для занятий в классе. Том 37. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . doi :10.5860/choice.48-3331. ISBN 9780883857632. OCLC  501976971. S2CID  118179744.
• Пелконен, Эева-Лийза; Альбрехт, Дональд, ред. (2006). Ээро Сааринен: Формируя будущее . Издательство Йельского университета . стр. 160, 224, 226. ISBN. 978-0972488129.{{cite book}}: CS1 maint: ref дублирует по умолчанию ( ссылка )
• Петруччи, Р. Х.; Харвуд, В. С.; Херринг, Ф. Г. (2002). Общая химия: принципы и современные приложения (8-е изд.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-014329-7.
• Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1996). Сложные задачи по геометрии . Dover Publications .
• Райли, Майкл В.; Кокран, Дэвид Дж.; Баллард, Джон Л. (декабрь 1982 г.). «Исследование предпочтительных форм для предупреждающих надписей». Человеческие факторы: Журнал Общества человеческого фактора и эргономики . 24 (6): 737–742. doi :10.1177/001872088202400610. S2CID  109362577.
• Шталь, Саул (2003). Геометрия от Евклида до узлов . Prentice-Hall. ISBN 0-13-032927-4.
• Свртан, Драгутин; Велян, Дарко (2012). «Неевклидовы версии некоторых классических неравенств треугольника». Forum Geometricorum . 12 : 197–209.
• Тригг, Чарльз В. (1978). «Бесконечный класс дельтаэдров». Mathematics Magazine . 51 (1): 55–57. doi :10.1080/0025570X.1978.11976675. JSTOR  2689647. MR  1572246.
• Уайт, Стивен Ф.; Кальдерон, Эстела (2008). Культура и обычаи Никарагуа . Greenwood Press. ISBN 978-0313339943.
• Уайт, Л. Л. (1952). «Уникальные расположения точек на сфере». The American Mathematical Monthly . 59 (9): 606–611. doi :10.1080/00029890.1952.11988207. JSTOR  2306764. MR  0050303.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Равносторонний треугольник». MathWorld .