Деление на ноль

Класс математического выражения

Обратная функция y = ⁠1/х⁠ . Когда x приближается к нулю справа, y стремится к положительной бесконечности. Когда x приближается к нулю слева, y стремится к отрицательной бесконечности.

В математике деление на ноль , деление , где делитель (знаменатель) равен нулю , является уникальным и проблематичным частным случаем. Используя запись дробей , общий пример можно записать как , где — делимое (числитель). ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle a}$

Обычное определение частного в элементарной арифметике — это число, которое дает делимое при умножении на делитель. То есть эквивалентно Согласно этому определению частное бессмысленно, так как произведение всегда равно , а не некоторому другому числу Следование обычным правилам элементарной алгебры, допуская деление на ноль, может создать математическую ошибку , тонкую ошибку, ведущую к абсурдным результатам. Чтобы предотвратить это, арифметика действительных чисел и более общих числовых структур, называемых полями, оставляет деление на ноль неопределенным , и ситуации, в которых может произойти деление на ноль, должны рассматриваться с осторожностью. Поскольку любое число, умноженное на ноль, равно нулю, выражение также не определено. ${\displaystyle c={\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c\cdot b=a.}$ ${\displaystyle q={\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle q\cdot 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

Исчисление изучает поведение функций в пределе , когда их входные данные стремятся к некоторому значению. Когда действительная функция может быть выражена как дробь, знаменатель которой стремится к нулю, выход функции становится произвольно большим, и говорят, что она « стремится к бесконечности », тип математической сингулярности . Например, обратная функция , стремится к бесконечности, когда стремится к Когда и числитель, и знаменатель стремятся к нулю при одном и том же входном значении, говорят, что выражение принимает неопределенный вид , поскольку результирующий предел зависит от конкретных функций, образующих дробь, и не может быть определен из их отдельных пределов. ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0.}$

В качестве альтернативы общепринятому соглашению о работе с полями, такими как действительные числа, и оставлении деления на ноль неопределенным, можно определить результат деления на ноль другими способами, что приведет к различным системам счисления. Например, частное может быть определено как равное нулю; оно может быть определено как равное новой явной точке на бесконечности , иногда обозначаемой символом бесконечности ; или оно может быть определено как результат знаковой бесконечности, с положительным или отрицательным знаком в зависимости от знака делимого. В этих системах счисления деление на ноль больше не является особым исключением как таковым, но точка или точки на бесконечности подразумевают свои собственные новые типы исключительного поведения. ${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ ${\displaystyle \infty }$

В вычислениях ошибка может возникнуть из-за попытки деления на ноль. В зависимости от контекста и типа числа, деление на ноль может привести к положительной или отрицательной бесконечности , вернуть особое нечисловое значение или вызвать сбой программы, среди прочих возможностей.

Элементарная арифметика

Значение деления

Концептуально это разделение можно интерпретировать несколькими способами. ^[1] ${\displaystyle N/D=Q}$

В дробном делении делимое представляется разделенным на части размером (делитель), а частное — это количество полученных частей. Например, представьте, что десять ломтиков хлеба нужно превратить в сэндвичи, на каждый из которых требуется два ломтика хлеба. Всего можно приготовить пять сэндвичей ( ). Теперь представьте, что на один сэндвич требуется ноль ломтиков хлеба (возможно, салатная обертка ). Из десяти ломтиков хлеба можно приготовить произвольное количество таких сэндвичей, поскольку хлеб не имеет значения. ^[2] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

Цитатная концепция деления допускает вычисления с помощью повторного вычитания : деление подразумевает подсчет того, сколько раз делитель может быть вычтен до того, как закончится делимое. Поскольку никакое конечное число вычитаний нуля никогда не исчерпает ненулевое делимое, вычисление деления на ноль таким образом никогда не заканчивается . ^[3] Такой бесконечный алгоритм деления на ноль физически демонстрируется некоторыми механическими калькуляторами . ^[4]

При партитивном делении делимое представляется разделенным на части, а частное — это результирующий размер каждой части. Например, представьте, что десять печений нужно разделить между двумя друзьями. Каждый друг получит пять печений ( ). Теперь представьте, что десять печений нужно разделить между нулём друзей. Сколько печений получит каждый друг? Поскольку друзей нет, это абсурд. ^[5] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$

Наклон прямой в плоскости — это отношение разностей вертикальных и горизонтальных координат. Для вертикальной прямой это 1 : 0 , своего рода деление на ноль.

В другой интерпретации частное представляет собой соотношение ^[6] Например, рецепт торта может потребовать десять чашек муки и две чашки сахара, соотношение или, пропорционально, Чтобы масштабировать этот рецепт для большего или меньшего количества торта, соотношение муки и сахара, пропорциональное можно было бы сохранить, например, один стакан муки и одну пятую стакана сахара, или пятьдесят чашек муки и десять чашек сахара. ^[7] Теперь представьте, что рецепт торта без сахара требует десять чашек муки и ноль чашек сахара. Соотношение или, пропорционально , совершенно разумно: ^[8] оно просто означает, что в торте нет сахара. Однако вопрос «Сколько частей муки на каждую часть сахара?» по-прежнему не имеет осмысленного числового ответа. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N:D.}$ ${\displaystyle 10:2}$ ${\displaystyle 5:1.}$ ${\displaystyle 5:1}$ ${\displaystyle 10:0,}$ ${\displaystyle 1:0,}$

Геометрическим проявлением интерпретации деления как отношения является наклон прямой линии в декартовой плоскости . ^[9] Наклон определяется как «подъем» (изменение вертикальной координаты), деленный на «пробег» (изменение горизонтальной координаты) вдоль линии. Когда это записано с использованием симметричной записи отношения, горизонтальная линия имеет наклон , а вертикальная линия имеет наклон. Однако, если наклон принять за одно действительное число , то горизонтальная линия имеет наклон , а вертикальная линия имеет неопределенный наклон, поскольку в арифметике действительных чисел частное не определено. ^[10] Действительный наклон линии, проходящей через начало координат, является вертикальной координатой пересечения между линией и вертикальной линией в горизонтальной координате, обозначенной черным пунктиром на рисунке. Вертикальные красная и черная пунктирная линии параллельны , поэтому они не пересекаются в плоскости. Иногда говорят, что они пересекаются в точке на бесконечности , и отношение представлено новым числом ; ^[11] см. § Проективно продолженная действительная линия ниже. Иногда говорят, что вертикальные линии имеют «бесконечно крутой» наклон. ${\displaystyle 0:1}$ ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 1:0}$ ${\displaystyle \infty }$

Обратное действие умножения

Деление является обратной операцией умножения , то есть умножение и последующее деление на ту же ненулевую величину или наоборот оставляет исходную величину неизменной; например . ^[12] Таким образом, задача деления, такая как , может быть решена путем переписывания ее в виде эквивалентного уравнения, включающего умножение, где представляет ту же неизвестную величину, а затем нахождения значения, для которого утверждение является истинным; в этом случае неизвестная величина равна , потому что поэтому , следовательно ^[13] ${\displaystyle (5\times 3)/3={}}$ ${\displaystyle (5/3)\times 3=5}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$ ${\displaystyle {?}\times 3=6,}$ ${\displaystyle {?}}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2\times 3=6,}$ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2.}$

Аналогичная задача, включающая деление на ноль, требует определения неизвестной величины, удовлетворяющей Однако любое число, умноженное на ноль, равно нулю, а не шести, поэтому не существует числа, которое можно заменить, чтобы сделать истинное утверждение. ^[14] ${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=6.}$ ${\displaystyle {?}}$

Если задачу изменить на эквивалентное мультипликативное утверждение , то в этом случае любое значение можно заменить на неизвестную величину, чтобы получить истинное утверждение, поэтому нет единого числа, которое можно было бы назначить в качестве частного. ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?},}$ ${\displaystyle {?}\times 0=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$

Из-за этих трудностей частные, где делитель равен нулю, традиционно считаются неопределенными , и деление на ноль не допускается. ^{[15] [16]}

Заблуждения

Весомой причиной запрета деления на ноль является то, что его разрешение приводит к заблуждениям .

При работе с числами легко определить неправильное деление на ноль. Например:

Из и получаем Отбрасывая 0 с обеих сторон , получаем ложное утверждение. ${\displaystyle 0\times 1=0}$ ${\displaystyle 0\times 2=0}$ ${\displaystyle 0\times 1=0\times 2.}$ ${\displaystyle 1=2}$

Заблуждение здесь возникает из-за предположения, что можно законно отменять 0, как и любое другое число, тогда как на самом деле это является формой деления на 0 .

Используя алгебру , можно замаскировать деление на ноль ^[17], чтобы получить неверное доказательство . Например: ^[18]

Пусть x = 1. Умножим обе стороны на x, чтобы получить . Вычтем 1 из каждой стороны, чтобы получить Правую сторону можно разложить на множители. Разделив обе стороны на x − 1 , получим Подстановка x = 1 дает ${\displaystyle x=x^{2}}$ $${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$ $${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$ $${\displaystyle 1=x+1.}$$ $${\displaystyle 1=2.}$$

По сути, это то же самое ошибочное вычисление, что и предыдущая числовая версия, но деление на ноль было запутано, поскольку мы записали 0 как x − 1 .

Ранние попытки

«Брахмаспхутасиддханта» Брахмагупты ( ок . 598–668) является самым ранним текстом, в котором ноль рассматривается как число само по себе и определяются операции с участием нуля. ^[17] Согласно Брахмагупте,

Положительное или отрицательное число при делении на ноль дает дробь с нулем в знаменателе. Ноль, деленный на отрицательное или положительное число, дает либо ноль, либо дробь с нулем в числителе и конечной величиной в знаменателе. Ноль, деленный на ноль, дает ноль.

В 830 году Махавира безуспешно пытался исправить ошибку Брахмагупты, допущенную в его книге «Ганита Сара Самграха» : «Число остается неизменным при делении на ноль». ^[17]

В произведении Бхаскары II «Лилавати » (XII век) предполагалось, что деление на ноль даёт бесконечное количество ^[19].

Количество, деленное на ноль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эта дробь называется бесконечной величиной. В этой величине, состоящей из того, что имеет ноль своим делителем, нет никаких изменений, хотя многие могут быть вставлены или извлечены; как не происходит никаких изменений в бесконечном и неизменном Боге, когда миры создаются или уничтожаются, хотя многочисленные порядки существ поглощаются или выдвигаются.

Исторически одно из самых ранних зафиксированных упоминаний о математической невозможности присвоить значение содержится в критике исчисления бесконечно малых, высказанной англо-ирландским философом Джорджем Беркли в 1734 году в его труде «Аналитик» («призраки ушедших величин»). ^[20] ${\textstyle {\tfrac {a}{0}}}$

Исчисление

Исчисление изучает поведение функций, используя концепцию предела , значения, к которому стремится выход функции, когда ее вход стремится к некоторому определенному значению. Обозначение означает, что значение функции может быть сделано произвольно близким к путем выбора достаточно близкого к ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c.}$

В случае, когда предел действительной функции неограниченно возрастает, стремясь к , функция не определена в типе математической сингулярности . Вместо этого говорят, что функция « стремится к бесконечности », обозначается и ее график имеет линию в качестве вертикальной асимптоты . Хотя такая функция формально не определена для и символ бесконечности в этом случае не представляет никакого конкретного действительного числа , такие пределы неформально говорят, что они «равны бесконечности». Если значение функции неограниченно убывает, говорят, что функция «стремится к отрицательной бесконечности», В некоторых случаях функция стремится к двум различным значениям, когда стремится к сверху ( ) и снизу ( ) ; такая функция имеет два различных односторонних предела . ^[21] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x=c,}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x\to c^{+}}$ ${\displaystyle x\to c^{-}}$

Простейшим примером бесконечной сингулярности является обратная функция , которая стремится к положительной или отрицательной бесконечности, когда стремится к : ${\displaystyle f(x)=1/x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$$

В большинстве случаев предел частного функций равен частному пределов каждой функции в отдельности,

$${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.}$$

Однако, когда функция строится путем деления двух функций, чьи отдельные пределы оба равны, то предел результата не может быть определен из отдельных пределов, поэтому говорят, что она принимает неопределенную форму , неформально записанную (Другая неопределенная форма, получается путем деления двух функций, чьи пределы оба стремятся к бесконечности.) Такой предел может равняться любому действительному значению, может стремиться к бесконечности или может вообще не сходиться, в зависимости от конкретных функций. Например, в ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }},}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},}$$

отдельные пределы числителя и знаменателя равны , поэтому мы имеем неопределенную форму , но упрощение частного сначала показывает, что предел существует: ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.}$$

Альтернативные системы счисления

Расширенная действительная линия

Аффинно расширенные действительные числа получаются из действительных чисел путем добавления двух новых чисел и читаются как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно, и представляют точки на бесконечности . С добавлением концепции «предела на бесконечности» может работать как конечный предел. При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение обычно остается неопределенным. Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто удобно определить . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty ,}$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle 1/0}$ ${\displaystyle 1/0=+\infty }$

Проективно расширенная вещественная прямая

Множество представляет собой проективно расширенную вещественную прямую , которая является одноточечной компактификацией вещественной прямой. Здесь означает беззнаковую бесконечность или точку на бесконечности , бесконечную величину, которая не является ни положительной, ни отрицательной. Эта величина удовлетворяет , что необходимо в этом контексте. В этой структуре может быть определено для ненулевого a , и когда a не является . Это естественный способ просмотреть область действия функции тангенса и котангенса тригонометрии : tan( x ) стремится к единственной точке на бесконечности, когда x стремится либо к + ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty =\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0}$ ${\displaystyle \infty }$π/2⁠ или − ⁠π/2⁠ с любого направления.

Это определение приводит ко многим интересным результатам. Однако полученная алгебраическая структура не является полем и не должна вести себя как поле. Например, не определено в этом расширении действительной линии. ${\displaystyle \infty +\infty }$

сфера Римана

Предмет комплексного анализа применяет концепции исчисления в комплексных числах . Основное значение в этом предмете имеют расширенные комплексные числа — множество комплексных чисел с одним дополнительным числом, присоединенным обычно обозначаемым символом бесконечности и представляющим собой точку на бесконечности , которая определяется как содержащаяся в каждой внешней области , делая их ее топологическими окрестностями . ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle \infty }$

Это можно интуитивно представить как сворачивание бесконечных рёбер комплексной плоскости и скрепление их вместе в одной точке одноточечной компактификацией , делая расширенные комплексные числа топологически эквивалентными сфере . Эту эквивалентность можно расширить до метрической эквивалентности, сопоставив каждое комплексное число с точкой на сфере с помощью обратной стереографической проекции , при этом полученное сферическое расстояние можно применить в качестве нового определения расстояния между комплексными числами; и в целом геометрию сферы можно изучать с помощью комплексной арифметики, и наоборот, комплексную арифметику можно интерпретировать в терминах сферической геометрии. Как следствие, множество расширенных комплексных чисел часто называют сферой Римана . Множество обычно обозначается символом для комплексных чисел, украшенным звёздочкой, чертой сверху, тильдой или циркумфлексом, например ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

В расширенных комплексных числах для любого ненулевого комплексного числа обычная комплексная арифметика расширена дополнительными правилами. Однако , , и остаются неопределенными. ${\displaystyle z,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0,}$ ${\displaystyle \infty +0=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty +z=\infty ,}$ ${\displaystyle \infty \cdot z=\infty .}$ ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$ ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Высшая математика

Четыре основные операции — сложение, вычитание, умножение и деление — применяемые к целым числам (положительным целым числам), с некоторыми ограничениями, в элементарной арифметике используются в качестве основы для поддержки расширения области чисел, к которой они применяются. Например, чтобы сделать возможным вычитание любого целого числа из другого, область чисел должна быть расширена до всего набора целых чисел, чтобы включить отрицательные целые числа. Аналогично, чтобы поддерживать деление любого целого числа на любое другое, область чисел должна расширяться до рациональных чисел . Во время этого постепенного расширения числовой системы уделяется внимание тому, чтобы «расширенные операции», применяемые к старым числам, не давали разных результатов. Грубо говоря, поскольку деление на ноль не имеет смысла (не определено ) в настройке целых чисел, это остается верным, когда настройка расширяется до действительных или даже комплексных чисел . ^[22]

По мере расширения области чисел, к которым могут применяться эти операции, также происходят изменения в том, как рассматриваются эти операции. Например, в области целых чисел вычитание больше не считается базовой операцией, поскольку его можно заменить сложением знаковых чисел. ^[23] Аналогично, когда область чисел расширяется и включает рациональные числа, деление заменяется умножением на определенные рациональные числа. В соответствии с этим изменением точки зрения вопрос «Почему мы не можем делить на ноль?» становится «Почему рациональное число не может иметь нулевой знаменатель?». Чтобы точно ответить на этот пересмотренный вопрос, требуется внимательно изучить определение рациональных чисел.

В современном подходе к построению поля действительных чисел рациональные числа появляются как промежуточный шаг в развитии, которое основано на теории множеств. Сначала натуральные числа (включая ноль) устанавливаются на аксиоматической основе, такой как система аксиом Пеано , а затем это расширяется до кольца целых чисел . Следующий шаг — определить рациональные числа, имея в виду, что это должно быть сделано с использованием только множеств и операций, которые уже были установлены, а именно, сложения, умножения и целых чисел. Начиная с множества упорядоченных пар целых чисел, {( a , b )} с b ≠ 0 , определяем бинарное отношение на этом множестве как ( a , b ) ≃ ( c , d ) тогда и только тогда, когда ad = bc . Показано, что это отношение является отношением эквивалентности , и его классы эквивалентности затем определяются как рациональные числа. Именно в формальном доказательстве того, что это отношение является отношением эквивалентности, необходимо требование, чтобы вторая координата не была равна нулю (для проверки транзитивности ). ^{[24] [25] [26]}

Хотя деление на ноль невозможно разумно определить с помощью действительных и целых чисел, его или подобные операции можно последовательно определить в других математических структурах.

Нестандартный анализ

В гиперреальных числах деление на ноль по-прежнему невозможно, но деление на ненулевые бесконечно малые числа возможно. ^[27] То же самое справедливо и для сюрреальных чисел . ^[28]

Теория распределения

В теории распределений можно расширить функцию до распределения на всем пространстве действительных чисел (фактически, используя главные значения Коши ). Однако не имеет смысла спрашивать о «значении» этого распределения при x  = 0; сложный ответ относится к сингулярному носителю распределения. ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$

Линейная алгебра

В матричной алгебре квадратные или прямоугольные блоки чисел обрабатываются так, как будто они сами являются числами: матрицы можно складывать и умножать , а в некоторых случаях также существует версия деления. Деление на матрицу означает, точнее, умножение на ее обратную . Не все матрицы имеют обратные. ^[29] Например, матрица, содержащая только нули , необратима.

Можно определить псевдоделение, установив a / b  =  ab ⁺ , в котором b ⁺ представляет псевдообратное значение b . Можно доказать, что если существует b ⁻¹ , то b ⁺ = b ⁻¹ . Если b равно 0, то b ⁺ = 0.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре целые числа, рациональные числа, действительные числа и комплексные числа могут быть абстрагированы до более общих алгебраических структур, таких как коммутативное кольцо , которое является математической структурой, где сложение, вычитание и умножение ведут себя так же, как и в более привычных числовых системах, но деление может быть не определено. Присоединение мультипликативного обратного к коммутативному кольцу называется локализацией . Однако локализация каждого коммутативного кольца в нуле — это тривиальное кольцо , где , поэтому нетривиальные коммутативные кольца не имеют обратных в нуле, и, таким образом, деление на ноль не определено для нетривиальных коммутативных колец. ${\displaystyle 0=1}$

Тем не менее, любая числовая система, которая образует коммутативное кольцо , может быть расширена до структуры, называемой колесом , в которой деление на ноль всегда возможно. ^[30] Однако полученная математическая структура больше не является коммутативным кольцом, поскольку умножение больше не распределяется по сложению. Более того, в колесе деление элемента на себя больше не приводит к мультипликативному тождественному элементу , и если исходная система была областью целостности , умножение в колесе больше не приводит к сокращаемой полугруппе . ${\displaystyle 1}$

Концепции, применяемые к стандартной арифметике, аналогичны концепциям в более общих алгебраических структурах, таких как кольца и поля . В поле каждый ненулевой элемент обратим при умножении; как и выше, деление создает проблемы только при попытке деления на ноль. Это также верно в косом поле (которое по этой причине называется кольцом деления ). Однако в других кольцах деление на ненулевые элементы также может создавать проблемы. Например, кольцо Z /6 Z целых чисел mod 6. Значение выражения должно быть решением x уравнения . Но в кольце Z /6 Z 2 является делителем нуля . Это уравнение имеет два различных решения, x = 1 и x = 4 , поэтому выражение не определено . ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$ ${\displaystyle 2x=2}$ ${\textstyle {\frac {2}{2}}}$

В теории поля это выражение является лишь сокращением для формального выражения ab ⁻¹ , где b ⁻¹ — мультипликативная обратная величина для b . Поскольку аксиомы поля гарантируют существование таких обратных величин только для ненулевых элементов, это выражение не имеет смысла, когда b равно нулю. Современные тексты, определяющие поля как особый тип колец, включают аксиому 0 ≠ 1 для полей (или ее эквивалент), так что нулевое кольцо исключается из того, чтобы быть полем. В нулевом кольце возможно деление на ноль, что показывает, что других аксиом поля недостаточно для исключения деления на ноль в поле. ${\textstyle {\frac {a}{b}}}$

Компьютерная арифметика

Арифметика с плавающей точкой

В вычислительной технике большинство числовых вычислений выполняется с помощью арифметики с плавающей точкой , которая с 1980-х годов была стандартизирована спецификацией IEEE 754. В арифметике с плавающей точкой IEEE числа представляются с использованием знака (положительного или отрицательного), мантиссы фиксированной точности и целочисленного показателя степени . Числа, показатель степени которых слишком велик для представления, вместо этого «переполняются» до положительной или отрицательной бесконечности (+∞ или −∞), в то время как числа, показатель степени которых слишком мал для представления, вместо этого « переполняются » до положительного или отрицательного нуля (+0 или −0). Значение NaN (не число) представляет неопределенные результаты.

В арифметике IEEE деление 0/0 или ∞/∞ приводит к NaN, но в противном случае деление всегда дает четко определенный результат. Деление любого ненулевого числа на положительный ноль (+0) приводит к бесконечности того же знака, что и делимое. Деление любого ненулевого числа на отрицательный ноль (−0) приводит к бесконечности противоположного знака, как делимое. Это определение сохраняет знак результата в случае арифметического переполнения . ^[31]

Например, при использовании арифметики IEEE с одинарной точностью, если x = −2 ⁻¹⁴⁹ , то x /2 теряет значимость до −0, и деление 1 на этот результат дает 1 / ( x /2) = −∞. Точный результат −2 ¹⁵⁰ слишком велик для представления в виде числа с одинарной точностью, поэтому вместо него для указания на переполнение используется бесконечность того же знака.

Целочисленная арифметика

Карманные калькуляторы, такие как TI-86 , обычно останавливаются и выводят сообщение об ошибке после попытки деления на ноль.

Целочисленное деление на ноль обычно обрабатывается иначе, чем с плавающей точкой, поскольку для результата нет целочисленного представления. Процессоры различаются по поведению: например, процессоры x86 вызывают аппаратное исключение , в то время как процессоры PowerPC молча генерируют неверный результат для деления и продолжают, а процессоры ARM могут либо вызвать аппаратное исключение, либо вернуть ноль. ^[32] Из-за этого несоответствия между платформами языки программирования C и C++ считают результат деления на ноль неопределенным поведением . ^[33] В типичных языках программирования более высокого уровня , таких как Python , ^{[34] при попытке деления на ноль} возникает исключение , которое может быть обработано в другой части программы.

В корректуре помощники

Многие помощники доказательства , такие как Coq и Lean , определяют 1/0 = 0. Это связано с требованием, чтобы все функции были полными . Такое определение не создает противоречий, поскольку дальнейшие манипуляции (например, сокращение ) по-прежнему требуют, чтобы делитель был ненулевым. ^{[35] [36]}

Исторические происшествия

• 21 сентября 1997 года ошибка деления на ноль в «Удаленном менеджере базы данных» на борту USS Yorktown (CG-48) вывела из строя все машины в сети, что привело к отказу двигательной системы корабля. ^{[37] [38]}

Смотрите также

• Делитель нуля
• Ноль в степени ноль
• Правило Лопиталя

Примечания

1. Чэн 2023, стр. 75–83.
2. Зазкис и Лильедал 2009, стр. 52–53.
3. Зазкис и Лильедал 2009, стр. 55–56.
4. Кохенбургер, Ральф Дж.; Турсио, Кэролин Дж. (1974), Компьютеры в современном обществе, Санта-Барбара: Гамильтон, Некоторые другие операции, включая деление, также могут быть выполнены настольным калькулятором (но не пытайтесь делить на ноль; калькулятор никогда не прекратит попытки деления, пока не будет остановлен вручную).
   Для видеодемонстрации см.: Что происходит при делении на ноль на механическом калькуляторе?, 7 марта 2021 г. , получено 06.01.2024 г. – через YouTube
5. Zazkis & Liljedahl 2009, стр. 53–54, приводят пример того, как наследники короля поровну делят свое наследство из 12 алмазов, и спрашивают, что произойдет в случае, если все наследники умрут до того, как завещание короля будет исполнено.
6. В Китае, Тайване и Японии школьные учебники обычно различают отношение и значение отношения. В отличие от этого в учебниках США они обычно рассматриваются как два обозначения одного и того же явления. ${\displaystyle N:D}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{D}}.}$
   Ло, Джейн-Джейн; Ватанабэ, Тэд; Кай, Джинфа (2004), «Развитие концепций пропорций: азиатская перспектива», Преподавание математики в средней школе , 9 (7): 362–367, doi :10.5951/MTMS.9.7.0362, JSTOR  41181943
7. Ченгиз, Несрин; Ратхоуз, Маргарет (2018), «Осмысление эквивалентных соотношений», Преподавание математики в средней школе , 24 (3): 148–155, doi :10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148, JSTOR  10.5951/mathteacmiddscho.24.3.0148, S2CID  188092067
8. Кларк, Мэтью Р.; Беренсон, Сара Б.; Кейви, Лори О. (2003), «Сравнение отношений и дробей и их роли как инструментов в пропорциональном рассуждении», Журнал математического поведения , 22 (3): 297–317, doi :10.1016/S0732-3123(03)00023-3
9. Ченг, Иван (2010), «Дроби: новый взгляд на наклон», Преподавание математики в средней школе , 16 (1): 34–41, doi :10.5951/MTMS.16.1.0034, JSTOR  41183440
10. Cavey, Laurie O.; Mahavier, W. Ted (2010), «Видеть потенциал в вопросах студентов», The Mathematics Teacher , 104 (2): 133–137, doi :10.5951/MT.104.2.0133, JSTOR  20876802
11. Вегман, Эдвард Дж.; Саид, Ясмин Х. (2010), «Естественные однородные координаты», Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics , 2 (6): 678–685, doi :10.1002/wics.122, S2CID  121947341
12. Робинсон, К. М.; Лефевр, Дж. А. (2012), «Обратная связь между умножением и делением: концепции, процедуры и когнитивная структура», Educational Studies in Mathematics , 79 (3): 409–428, doi :10.1007/s10649-011-9330-5, JSTOR  41413121
13. Ченг 2023, с. 78; Зазкис и Лильедал 2009, с. 55
14. Зазкис и Лильедал 2009, стр. 55.
15. Чэн 2023, стр. 82–83.
16. Банч 1982, стр. 14
17. Каплан, Роберт (1999), Ничто, что есть: естественная история нуля , Нью-Йорк: Oxford University Press, стр. 68–75, ISBN 978-0-19-514237-2
18. Банч 1982, стр. 15
19. Рой, Рахул (январь 2003 г.), «Теорема вавилонского Пифагора, ранняя история нуля и полемика об изучении истории науки», Resonance , 8 (1): 30–40, doi :10.1007/BF02834448
20. Каджори, Флориан (1929), «Нелепости, вызванные делением на ноль: историческая заметка», Учитель математики , 22 (6): 366–368, doi :10.5951/MT.22.6.0366, JSTOR  27951153.
21. Герман, Эдвин; Стрэнг, Гилберт ; и др. (2023), «2.2 Предел функции», Calculus , т. 1, Хьюстон: OpenStax, стр. 454, ISBN 978-1-947172-13-5, OCLC  1022848630
22. Кляйн 1925, стр. 63
23. Кляйн 1925, стр. 26
24. Шумахер 1996, стр. 149
25. Гамильтон 1982, стр. 19
26. Хенкин и др. 2012, стр. 292
27. Кейслер, Х. Джером (2023) [1986], Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым, Prindle, Weber & Schmidt, стр. 29–30
28. Конвей, Джон Х. (2000) [1976], О числах и играх (2-е изд.), CRC Press, стр. 20, ISBN 9781568811277
29. Gbur, Greg (2011), Математические методы оптической физики и техники , Cambridge University Press, стр. 88–93, Bibcode : 2011mmop.book.....G, ISBN 978-0-521-51610-5
30. Карлстрём, Йеспер (2004), «Колеса: о делении на ноль», Математические структуры в информатике , 14 (1): 143–184, doi :10.1017/S0960129503004110 (неактивен 5 сентября 2024 г.){{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
31. Cody, WJ (март 1981), "Analysis of Proposals for the Floating-Point Standard", Computer , 14 (3): 65, doi :10.1109/CM.1981.220379, S2CID  9923085, При соответствующем уходе, чтобы быть уверенным, что алгебраические знаки не определяются ошибкой округления, аффинный режим сохраняет отношения порядка, исправляя переполнение. Таким образом, например, обратная величина отрицательного числа, которая теряет значимость, все еще отрицательна.
32. "Divide instructions", ARMv7-M Architecture Reference Manual (Version D ed.), Arm Limited, 2010 , получено 2024-06-12
33. Ван, Си; Чэнь, Хаоган; Чунг, Элвин; Цзя, Чжихао; Зельдович, Николай; Каашук, М. Франс, «Неопределенное поведение: что случилось с моим кодом?», APSYS '12: Труды Азиатско-Тихоокеанского семинара по системам , APSYS '12, Сеул, 23–24 июля 2012 г., Нью-Йорк: Ассоциация вычислительной техники, doi : 10.1145/2349896.2349905 , hdl : 1721.1/86949, ISBN  978-1-4503-1669-9{{cite conference}}: CS1 maint: overridden setting (link)
34. "Built-in Exceptions", Python 3 Library Reference , Python Software Foundation, § "Concrete exceptions – exception " , получено 22.01.2024ZeroDivisionError
35. Тантер, Эрик; Табаро, Николя (2015), «Постепенное сертифицированное программирование в coq», DLS 2015: Труды 11-го симпозиума по динамическим языкам , Ассоциация вычислительной техники, arXiv : 1506.04205 , doi : 10.1145/2816707.2816710, Стандартная функция деления натуральных чисел в Coq, div, является полной и чистой, но неверной: когда делитель равен 0, результат равен 0.{{cite conference}}: CS1 maint: overridden setting (link)
36. Баззард, Кевин (5 июля 2020 г.), «Деление на ноль в теории типов: часто задаваемые вопросы», Xena Project (блог) , получено 21 января 2024 г.
37. Штутц, Майкл (24 июля 1998 г.), «Потоплен Windows NT» , Wired News , архивировано из оригинала 29 апреля 1999 г.
38. Уильям Кахан (14 октября 2011 г.), Отчаянно необходимые средства для устранения отладочной способности больших вычислений с плавающей точкой в ​​науке и технике (PDF)

Источники

• Банч, Брайан (1982), Математические заблуждения и парадоксы , Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5(Переиздание Дувра, 1997 г.)
• Ченг, Евгения (2023), Реальна ли математика? Как простые вопросы ведут нас к глубочайшим истинам математики , Basic Books, ISBN 978-1-541-60182-6
• Клейн, Феликс (1925), Элементарная математика с продвинутой точки зрения / Арифметика, алгебра, анализ , перевод Хедрика, Э.Р.; Нобл, Калифорния (3-е изд.), Дувр
• Гамильтон, AG (1982), Числа, множества и аксиомы , Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• Хенкин, Леон; Смит, Норман; Варино, Верн Дж.; Уолш, Майкл Дж. (2012), Повторение элементарной математики , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Шумахер, Кэрол (1996), Глава нулевая: основные понятия абстрактной математики , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Зацкис, Рина; Лильедаль, Питер (2009), «Истории, которые объясняют», Обучение математике как повествование , Sense Publishers, стр. 51–65, doi :10.1163/9789087907358_008, ISBN 978-90-8790-734-1

Дальнейшее чтение

• Нортроп, Юджин П. (1944), Загадки в математике: Книга парадоксов , Нью-Йорк: Д. Ван Ностранд, Гл. 5 «Не дели на ноль», стр. 77–96
• Сейф, Чарльз (2000), Zero: Биография опасной идеи , Нью-Йорк: Penguin, ISBN 0-14-029647-6
• Саппс, Патрик (1957), Введение в логику , Принстон: Д. Ван Ностранд, §8.5 «Проблема деления на ноль» и §8.7 «Пять подходов к делению на ноль»(Переиздание Дувра, 1999)
• Тарский, Альфред (1941), Введение в логику и методологию дедуктивных наук , Oxford University Press, §53 «Определения, определяемое значение которых содержит знак тождества»