Распределение Максвелла – Больцмана

Конкретная функция распределения вероятностей, важная в физике

В физике (в частности, в статистической механике ) распределение Максвелла-Больцмана , или распределение Максвелла (иан) — это особое распределение вероятностей , названное в честь Джеймса Клерка Максвелла и Людвига Больцмана .

Впервые он был определен и использован для описания скоростей частиц в идеализированных газах , где частицы свободно движутся внутри неподвижного контейнера, не взаимодействуя друг с другом, за исключением очень кратких столкновений , при которых они обмениваются энергией и импульсом друг с другом или со своей тепловой средой. Термин «частица» в этом контексте относится только к газообразным частицам ( атомам или молекулам ), и предполагается, что система частиц достигла термодинамического равновесия . ^[1] Энергии таких частиц соответствуют так называемой статистике Максвелла-Больцмана , а статистическое распределение скоростей получается путем приравнивания энергии частиц к кинетической энергии .

Математически распределение Максвелла-Больцмана представляет собой распределение хи с тремя степенями свободы (компоненты вектора скорости в евклидовом пространстве ), с масштабным параметром , измеряющим скорость в единицах, пропорциональных корню квадратному из (отношения температуры и массы частицы ). ^[2] ${\displaystyle T/m}$

Распределение Максвелла-Больцмана является результатом кинетической теории газов , которая дает упрощенное объяснение многих фундаментальных свойств газа, включая давление и диффузию . ^[3] Распределение Максвелла-Больцмана в основном применимо к скоростям частиц в трех измерениях, но оказывается, что оно зависит только от скорости (величины скорости ) частиц. Распределение вероятностей скоростей частиц указывает, какие скорости более вероятны: случайно выбранная частица будет иметь скорость, случайно выбранную из распределения, и с большей вероятностью будет находиться в одном диапазоне скоростей, чем в другом. Кинетическая теория газов применима к классическому идеальному газу , который представляет собой идеализацию реальных газов. В реальных газах существуют различные эффекты (например, взаимодействия Ван-дер-Ваальса , вихревой поток, релятивистские пределы скорости и квантовые обменные взаимодействия ), которые могут отличать их распределение скоростей от формы Максвелла-Больцмана. Однако разреженные газы при обычных температурах ведут себя очень близко к идеальному газу, и распределение скоростей Максвелла является отличным приближением для таких газов. Это справедливо и для идеальной плазмы , представляющей собой ионизированные газы достаточно малой плотности. ^[4]

Распределение было впервые получено Максвеллом в 1860 году на эвристических основаниях. ^[5] Больцман позже, в 1870-х годах, провел значительные исследования физических причин этого распределения. Распределение можно получить на том основании, что оно максимизирует энтропию системы. Список производных:

1. Распределение вероятности максимальной энтропии в фазовом пространстве с ограничением сохранения средней энергии ${\displaystyle \langle H\rangle =E;}$
2. Канонический ансамбль .

Функция распределения

Для системы, содержащей большое количество идентичных невзаимодействующих, нерелятивистских классических частиц, находящихся в термодинамическом равновесии, доля частиц внутри бесконечно малого элемента трехмерного пространства скоростей d ³ v , центрированного на векторе скорости величины v , дан кем-то

$${\displaystyle f(v)~d^{3}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)~d^{3}v,}$$

• m – масса частицы;
• k — постоянная Больцмана ;
• Т – термодинамическая температура ;
• f ( v ) — функция распределения вероятностей, правильно нормированная так, чтопо всем скоростям равна единице. ${\textstyle \int f(v)\,d^{3}v}$

Плотность вероятности скорости зависит от скоростей нескольких благородных газов при температуре 298,15 К (25 ° C). По оси Y указано значение в с/м, так что площадь под любым участком кривой (которая представляет вероятность нахождения скорости в этом диапазоне) безразмерна.

Элемент пространства скоростей можно записать как , для скоростей в стандартной декартовой системе координат, или как в стандартной сферической системе координат, где – элемент телесного угла и ${\displaystyle d^{3}v=dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}}$ ${\displaystyle d^{3}v=v^{2}\,dv\,d\Omega }$ ${\displaystyle d\Omega =sin(\phi )d\phi d\theta }$ ${\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

Функция распределения Максвелла для частиц, движущихся только в одном направлении, если это направление равно x , равна

$${\displaystyle f(v_{x})~dv_{x}={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\,\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)~dv_{x},}$$

v _yv _z

Признавая симметрию , можно проинтегрировать по телесному углу и записать вероятностное распределение скоростей в виде функции ^[6] ${\displaystyle f(v)}$

$${\displaystyle f(v)={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,4\pi v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).}$$

Эта функция плотности вероятности дает вероятность на единицу скорости найти частицу со скоростью, близкой к v . Это уравнение представляет собой просто распределение Максвелла-Больцмана (приведенное в информационном окне) с параметром распределения. Распределение Максвелла-Больцмана эквивалентно распределению хи с тремя степенями свободы и параметром масштаба. ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$ ${\textstyle a={\sqrt {kT/m}}\,.}$

Простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет распределение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=kTvf'(v)+f(v)(mv^{2}-2kT),\\[4pt]&f(1)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m}{2kT}}\right);\end{aligned}}}$$

или в безразмерном представлении:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&0=a^{2}xf'(x)+\left(x^{2}-2a^{2}\right)f(x),\\[4pt]&f(1)={\frac {1}{a^{3}}}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\exp \left(-{\frac {1}{2a^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

метода средних значений Дарвина-Фаулера

Моделирование двумерного газа, релаксирующего в направлении распределения скоростей Максвелла – Больцмана.

Релаксация к двумерному распределению Максвелла – Больцмана.

Для частиц, которые могут двигаться в плоскости, распределение скорости определяется выражением

$${\displaystyle P(s<|{\vec {v}}|<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp \left(-{\frac {ms^{2}}{2kT}}\right)ds}$$

Это распределение используется для описания систем, находящихся в равновесии. Однако большинство систем изначально не находятся в равновесном состоянии. Эволюция системы к равновесному состоянию определяется уравнением Больцмана . Уравнение предсказывает, что для короткодействующих взаимодействий равновесное распределение скоростей будет следовать распределению Максвелла – Больцмана. Справа показано моделирование молекулярной динамики (МД), в котором 900  частиц твердых сфер вынуждены двигаться по прямоугольнику. Они взаимодействуют посредством совершенно упругих столкновений . Система инициализируется вне равновесия, но распределение скоростей (синий цвет) быстро сходится к двумерному распределению Максвелла – Больцмана (оранжевый цвет).

Типичные скорости

Распределение Максвелла – Больцмана, соответствующее солнечной атмосфере. Массы частиц равны массе одного протона , m _p =1,67 × 10 ⁻²⁷  кг ≈1  Да , а температура— эффективная температура фотосферы Солнца , Т = 5800 К. ,, и Vrms обозначают наиболее вероятную, среднюю _и среднеквадратичную скорости соответственно. Их значения≈ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ ${\displaystyle {\bar {V}}}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}}$9,79 км/с , ≈ ${\displaystyle {\bar {V}}}$11,05 км/с и В _rms ≈12,00 км/с .

Средняя скорость , наиболее вероятная скорость ( режим ) v _p и среднеквадратическая скорость могут быть получены из свойств распределения Максвелла. ${\displaystyle \langle v\rangle }$ ${\textstyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$

Это хорошо работает для почти идеальных одноатомных газов , таких как гелий , но также и для молекулярных газов, таких как двухатомный кислород . Это связано с тем, что, несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) из-за большего числа степеней свободы , их поступательная кинетическая энергия (и, следовательно, их скорость) не меняется. ^[7]

• Наиболее вероятная скорость vp — это скорость, _{которой} с наибольшей вероятностью будет обладать любая молекула (той же массы m ) в системе, и она соответствует максимальному значению или моде f ( v ) . Чтобы найти его, мы вычисляем производную , приравниваем ее к нулю и находим v : ${\displaystyle {\tfrac {df}{dv}},}$
  $${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}=-8\pi {\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\,v\,\left[{\frac {mv^{2}}{2kT}}-1\right]\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)=0}$$
  с решением:
  $${\displaystyle {\frac {mv_{\text{p}}^{2}}{2kT}}=1;\quad v_{\text{p}}={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}={\sqrt {\frac {2RT}{M}}}}$$
  где:
  • R — газовая постоянная ;
  • M — молярная масса вещества, поэтому ее можно рассчитать как произведение массы частицы m на _{константу} Авогадро NA : ${\displaystyle M=mN_{\mathrm {A} }.}$

Для двухатомного азота ( N ₂ , основного компонента воздуха ) ^[8] при комнатной температуре (300 К ), это дает

$${\displaystyle v_{\text{p}}\approx {\sqrt {\frac {2\cdot 8.31\ {\text{J}}\cdot {\text{mol}}^{-1}{\text{K}}^{-1}\ 300\ {\text{K}}}{0.028\ {\text{kg}}\cdot {\text{mol}}^{-1}}}}\approx 422\ {\text{m/s}}.}$$

• Средняя скорость — это ожидаемое значение распределения скорости, устанавливающее : ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &=\int _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{3}e^{-bv^{2}}dv\\[2pt]&=4\pi \left[{\frac {b}{\pi }}\right]^{\frac {3}{2}}{\frac {1}{2b^{2}}}={\sqrt {\frac {4}{\pi b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi M}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}$$
• Среднеквадратическая скорость — это необработанный момент второго порядка распределения скорости. «Среднеквадратическая скорость» представляет собой квадратный корень из среднеквадратичной скорости, соответствующей скорости частицы со средней кинетической энергией , устанавливая : ${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$ ${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }}$ ${\textstyle b={\frac {1}{2a^{2}}}={\frac {m}{2kT}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {rms} }&={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}=\left[\int _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}e^{-bv^{2}}dv\right]^{\frac {1}{2}}\\[2pt]&=\left[4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}\left({\frac {\pi }{b^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {3}{2b}}}\\[2pt]&={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\text{p}}\end{aligned}}}$$

Таким образом, типичные скорости связаны следующим образом:

$${\displaystyle v_{\text{p}}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.}$$

Среднеквадратическая скорость напрямую связана со скоростью звука c в газе соотношением

$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{\text{p}},}$$

показатель адиабатыfстепеней свободывоздуху ${\textstyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$300 К^[9] ${\displaystyle f=5}$

$${\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{\text{p}}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,}$$

воздуха29 г/моль347 м/с300 Квлажность

Средняя относительная скорость

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}|\rangle &=\int \!d^{3}v_{1}\,d^{3}v_{2}\left|{\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}\right|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})\\[2pt]&={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle f({\vec {v}})\equiv \left[{\frac {2\pi kT}{m}}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{kT}}\right).}$$

Интеграл можно легко получить, перейдя к координатам и ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {U}}={\tfrac {{\vec {v}}_{1}\,+\,{\vec {v}}_{2}}{2}}.}$

Вывод и связанные с ним распределения

Статистика Максвелла – Больцмана

Первоначальный вывод Джеймса Клерка Максвелла , сделанный в 1860 году , был аргументом, основанным на молекулярных столкновениях кинетической теории газов, а также на определенных симметриях в функции распределения по скорости; Максвелл также выдвинул один из первых аргументов в пользу того, что эти молекулярные столкновения влекут за собой тенденцию к равновесию. ^{[5] [10]} Вслед за Максвеллом Людвиг Больцман в 1872 году ^[11] также получил распределение на механических основаниях и утверждал, что газы должны со временем стремиться к этому распределению из-за столкновений (см. H-теорему ). Позже (1877 г.) ^[12] он снова получил это распределение в рамках статистической термодинамики . Выводы в этом разделе аналогичны выводам Больцмана 1877 года, начиная с результата, известного как статистика Максвелла – Больцмана (из статистической термодинамики). Статистика Максвелла-Больцмана дает среднее количество частиц, находящихся в данном одночастичном микросостоянии . При некоторых предположениях логарифм доли частиц в данном микросостоянии линеен по отношению энергии этого состояния к температуре системы: существуют константы и такие, что для всех , ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {E_{i}}{T}}+C.}$$

^{[1] [13]}

Это соотношение можно записать в виде уравнения, введя нормирующий множитель:

где:

• Ni _— ожидаемое число частиц в одночастичном микросостоянии i ,
• N – общее количество частиц в системе,
• E _i — энергия микросостояния i ,
• сумма по индексу j учитывает все микросостояния,
• T – равновесная температура системы,
• k — постоянная Больцмана .

Знаменатель в уравнении ( 1 ) является нормирующим коэффициентом, так что сумма отношений равна единице — другими словами, это своего рода статистическая сумма (для одночастичной системы, а не обычная статистическая сумма всей системы). ${\displaystyle N_{i}:N}$

Поскольку скорость и скорость связаны с энергией, уравнение ( 1 ) можно использовать для вывода взаимосвязи между температурой и скоростями частиц газа. Все, что нужно, — это обнаружить плотность микросостояний по энергии, которая определяется разделением импульсного пространства на области одинакового размера.

Распределение вектора импульса

Потенциальная энергия принимается равной нулю, так что вся энергия находится в форме кинетической энергии. Связь между кинетической энергией и импульсом для массивных нерелятивистских частиц имеет вид

где p ² - квадрат вектора импульса p = [ p _x , p _y , p _z ] . Поэтому мы можем переписать уравнение ( 1 ) так:

где:

• Z — статистическая сумма , соответствующая знаменателю в уравнении ( 1 );
• m – молекулярная масса газа;
• Т – термодинамическая температура;
• k — постоянная Больцмана .

Это распределение N _i  : N пропорционально функции плотности вероятности f _p для нахождения молекулы с этими значениями компонентов импульса, поэтому :

Нормализующую константу можно определить, признав, что вероятность того, что молекула будет иметь некоторый импульс, должна быть равна 1. Интегрирование экспоненты в ( ₄ ) по всем p _x , py и p _z дает коэффициент

$${\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\Bigl [}{\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}}{\Bigr ]}^{3}}$$

Итак, нормированная функция распределения:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right)}$   ( 6 )

Распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , и , с дисперсией . Кроме того, можно видеть, что величина импульса будет распределяться как распределение Максвелла – Больцмана с . Распределение Максвелла-Больцмана для импульса (или, что равно, для скоростей) можно получить более фундаментально, используя H-теорему в состоянии равновесия в рамках кинетической теории газов . ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{y}}$ ${\displaystyle p_{z}}$ ${\displaystyle mkT}$ ${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$

Распределение энергии

Распределение энергии оказывается впечатляющим

где – бесконечно малый фазовый объем импульсов, соответствующий энергетическому интервалу dE . Используя сферическую симметрию дисперсионного уравнения энергии-импульса, это можно выразить через dE как ${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}}$ ${\displaystyle E={\tfrac {|{\textbf {p}}|^{2}}{2m}},}$

Используя тогда ( 8 ) в ( 7 ) и выражая все через энергию E , получаем

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{E}(E)dE&=\left[{\frac {1}{2\pi mkT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)4\pi m{\sqrt {2mE}}\ dE\\[2pt]&=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)\,dE\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f_{E}(E)=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\,\left[{\frac {1}{kT}}\right]^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}$   ( 9 )

Поскольку энергия пропорциональна сумме квадратов трех нормально распределенных компонентов импульса, это распределение энергии можно эквивалентно записать как гамма-распределение , используя параметр формы и параметр масштаба: ${\displaystyle k_{\text{shape}}=3/2}$ ${\displaystyle \theta _{\text{scale}}=kT.}$

Используя теорему о равнораспределении , учитывая, что энергия равномерно распределена между всеми тремя степенями свободы в равновесии, мы также можем разделить на набор распределений хи-квадрат , где энергия на степень свободы, ε , распределяется как хи-квадрат распределение с одной степенью свободы, ^[14] ${\displaystyle f_{E}(E)dE}$

$${\displaystyle f_{\varepsilon }(\varepsilon )\,d\varepsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \varepsilon kT}}}~\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)\,d\varepsilon }$$

В состоянии равновесия это распределение будет справедливым для любого числа степеней свободы. Например, если частицы представляют собой диполи жесткой массы с фиксированным дипольным моментом, они будут иметь три поступательные степени свободы и две дополнительные вращательные степени свободы. Энергия в каждой степени свободы будет описываться согласно вышеуказанному распределению хи-квадрат с одной степенью свободы, а полная энергия будет распределяться согласно распределению хи-квадрат с пятью степенями свободы. Это имеет значение в теории удельной теплоемкости газа.

Распределение вектора скорости

Учитывая, что плотность вероятности скорости f _v пропорциональна функции плотности вероятности импульса по формуле

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$$

и используя p = m v, мы получаем

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right)}$

что представляет собой распределение скорости Максвелла – Больцмана. Вероятность найти частицу со скоростью в бесконечно малом элементе [ dv _x , dv _y , dv _z ] относительно скорости v = [ v _x , v _y , v _z ] равна

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$$

Как и импульс, это распределение рассматривается как произведение трех независимых нормально распределенных переменных , , и , но с дисперсией . Также можно видеть, что распределение скорости Максвелла – Больцмана для векторной скорости [ v _x , v _y , v _z ] является продуктом распределений для каждого из трех направлений: ${\displaystyle v_{x}}$ ${\displaystyle v_{y}}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\textstyle {\frac {kT}{m}}}$

$${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$$

$${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{i}^{2}}{2kT}}\right).}$$

Каждый компонент вектора скорости имеет нормальное распределение со средним значением и стандартным отклонением , поэтому вектор имеет трехмерное нормальное распределение, особый вид многомерного нормального распределения , со средним значением и ковариацией , где — единичная матрица 3 × 3 . ${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$ ${\textstyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }=\mathbf {0} }$ ${\textstyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$ ${\displaystyle I}$

Распределение по скорости

Распределение скорости Максвелла – Больцмана сразу следует из распределения вектора скорости, приведенного выше. Обратите внимание, что скорость

$${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$$

элемент объемасферических координатах

$${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}\,dv\,d\Omega }$$

сферические координатныеИнтегрирование ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle 4\pi }$

${\displaystyle f(v)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\biggl [}{\frac {m}{kT}}{\biggr ]}^{\frac {3}{2}}v^{2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right).}$

В n -мерном пространстве

В n -мерном пространстве распределение Максвелла – Больцмана принимает вид:

$${\displaystyle f(v)~d^{n}v={\biggl [}{\frac {m}{2\pi kT}}{\biggr ]}^{\frac {n}{2}}\,\exp \left(-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}\right)~d^{n}v}$$

Распределение скорости становится:

$${\displaystyle f(v)~dv={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\times v^{n-1}~dv}$$

Полезен следующий интегральный результат:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}\,dx^{1/2}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{a/2}{\frac {x^{-1/2}}{2}}\,dx\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{\frac {a+1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)}{2}}\end{aligned}}}$$

функциямоментов ${\displaystyle \Gamma (z)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\end{aligned}}}$$

средней скоростью ${\textstyle v_{\mathrm {avg} }=\langle v\rangle ={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}\ {\frac {\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }v^{n-1}\exp \left(-{\tfrac {mv^{2}}{2kT}}\right)\,dv}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\[2pt]&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}}$$

${\textstyle v_{\rm {rms}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {nkT}{m}}}.}$

Производная функции распределения скорости:

$${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right){\biggl [}-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}{\biggr ]}=0}$$

Это дает наиболее вероятную скорость ( режим ) ${\textstyle v_{\rm {p}}={\sqrt {\frac {(n-1)kT}{m}}}.}$

Смотрите также

• Квантовое уравнение Больцмана
• Статистика Максвелла – Больцмана
• Распределение Максвелла – Юттнера
• Распределение Больцмана
• Распределение Рэлея
• Кинетическая теория газов

Рекомендации

1. Статистическая физика (2-е издание), Ф. Мандл, Манчестерская физика, John Wiley & Sons, 2008, ISBN  9780471915331
2. Университетская физика - с современной физикой (12-е издание), HD Young, RA Freedman (оригинальное издание), Addison-Wesley (Pearson International), 1-е издание: 1949, 12-е издание: 2008, ISBN 978-0-321-50130-1 
3. Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)  
4. Н. А. Кролл и А. В. Трайвелпис, Принципы физики плазмы, San Francisco Press, Inc., 1986, среди многих других текстов по основам физики плазмы.
5. См.:
   • Максвелл, Дж. К. (1860 г.): Иллюстрации динамической теории газов. Часть I. О движении и столкновениях идеально упругих сфер. Философский журнал и научный журнал Лондона, Эдинбурга и Дублина , 4-я серия, том 19, стр. 19–32. [1]
   • Максвелл, Дж. К. (1860 г.): Иллюстрации динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух и более видов движущихся частиц между собой. Философский журнал и научный журнал Лондона, Эдинбурга и Дублина , 4-я серия, том 20, стр. 21–37. [2]
6. HJW Мюллер-Кирстен (2013), Основы статистической физики , 2-е изд., World Scientific , ISBN 978-981-4449-53-3 , Глава 2. 
7. Раймонд А. Сервей; Джерри С. Фон и Крис Вуй (2011). Колледж физики, Том 1 (9-е изд.). п. 352. ИСБН 9780840068484.
8. На расчет не влияет двухатомный азот. Несмотря на большую теплоемкость (большую внутреннюю энергию при той же температуре) двухатомных газов по сравнению с одноатомными газами, из-за их большего числа степеней свободы все еще остается средняя поступательная кинетическая энергия . Двухатомность азота влияет только на значение молярной массы M = ${\displaystyle {{3RT} \over {M_{\text{m}}}}}$ 28 г/моль . См., например, К. Пракашан, Инженерная физика (2001), 2.278.
9. Азот при комнатной температуре считается «жестким» двухатомным газом с двумя вращательными степенями свободы в дополнение к трем поступательным, а колебательная степень свободы недоступна.
10. Гиенис, Балаж (2017). «Максвелл и нормальное распределение: цветная история вероятности, независимости и тенденции к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Бибкод : 2017ШПМП..57...53Г. doi :10.1016/j.shpsb.2017.01.001. S2CID  38272381.
11. Больцманн, Л., «Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe , 66 , 1872, стр. 275–370.
12. Больцманн, Л., «Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht». Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften в Вене, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe . ок. II, 76 , 1877, стр. 373–435. Перепечатано в Wissenschaftliche Abhandlungen , Vol. II, стр. 164–223, Лейпциг: Барт, 1909. Перевод доступен по адресу : http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf.
13. Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
14. Лорандо, Норманд М. (2005). Статистическая термодинамика: основы и приложения. Издательство Кембриджского университета. п. 434. ИСБН 0-521-84635-8., Приложение N, стр. 434

дальнейшее чтение

• Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П. А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008 г., ISBN 0-7167-8964-7 
• Термодинамика, от концепций к приложениям (2-е издание), А. Шавит, К. Гутфингер, CRC Press (Taylor and Francisco Group, США), 2009, ISBN 978-1-4200-7368-3 
• Химическая термодинамика , DJG Ives, Университет химии, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3 
• Элементы статистической термодинамики (2-е издание), Л.К. Нэш, Принципы химии, Аддисон-Уэсли, 1974, ISBN 0-201-05229-6 
• Уорд, К.А. и Фанг, Г. 1999, «Выражение для прогнозирования потока испарения жидкости: подход статистической теории скорости», Physical Review E , vol. 59, нет. 1, стр. 429–40.
• Рахими, П и Уорд, Калифорния, 2005, «Кинетика испарения: подход статистической теории скорости», Международный журнал термодинамики , том. 8, нет. 9, стр. 1–14.

Внешние ссылки

• «Распределение скорости Максвелла» из демонстрационного проекта Wolfram в Mathworld