Дисперсия (оптика)

Зависимость фазовой скорости от частоты

В дисперсионной призме дисперсия материала ( показатель преломления , зависящий от длины волны ) заставляет разные цвета преломляться под разными углами, разделяя белый свет на спектр .

Компактная люминесцентная лампа , вид через призму Амичи.

В оптике и распространении волн вообще дисперсией называется явление, при котором фазовая скорость волны зависит от ее частоты; ^[1] иногда термин хроматическая дисперсия используется для специфики, в частности, оптики. Среду, обладающую этим общим свойством, можно назвать дисперсионной средой (множественная дисперсионная среда ).

Хотя этот термин используется в области оптики для описания света и других электромагнитных волн , дисперсия в том же смысле может применяться к любому виду волнового движения, например акустической дисперсии в случае звуковых и сейсмических волн, а также гравитационных волн (океанских волн). волны). В оптике дисперсия — это свойство телекоммуникационных сигналов вдоль линий передачи (например, микроволн в коаксиальном кабеле ) или импульсов света в оптическом волокне .

В оптике одним из важных и известных последствий дисперсии является изменение угла преломления света разных цветов ^[2] , что видно по спектру, создаваемому дисперсионной призмой , и по хроматической аберрации линз. При разработке составных ахроматических линз , в которых хроматическая аберрация в значительной степени устранена, используется количественная оценка дисперсии стекла, определяемая его числом Аббе V , где более низкие числа Аббе соответствуют большей дисперсии в видимом спектре . В некоторых приложениях, таких как телекоммуникации, абсолютная фаза волны часто не важна, а только распространение волновых пакетов или «импульсов»; в этом случае нас интересуют только изменения групповой скорости с частотой, так называемая дисперсия групповой скорости.

Все распространенные среды передачи также различаются по затуханию (нормированному на длину передачи) в зависимости от частоты, что приводит к искажению затухания ; это не дисперсия, хотя иногда отражения от близко расположенных границ импеданса (например, обжатых сегментов кабеля) могут привести к искажению сигнала, которое еще больше усугубляет непостоянство времени прохождения, наблюдаемое во всей полосе пропускания сигнала.

Примеры

Самым известным примером дисперсии, вероятно, является радуга , в которой дисперсия вызывает пространственное разделение белого света на компоненты разной длины волны (разные цвета ). Однако дисперсия также оказывает влияние и во многих других обстоятельствах: например, дисперсия групповой скорости приводит к распространению импульсов в оптических волокнах , ухудшая качество сигналов на больших расстояниях; кроме того, сокращение дисперсии групповой скорости и нелинейных эффектов приводит к солитонным волнам.

Дисперсия материала и волновода

Чаще всего под хроматической дисперсией понимают дисперсию объемного материала, то есть изменение показателя преломления с оптической частотой. Однако в волноводе существует также явление волноводной дисперсии , когда фазовая скорость волны в структуре зависит от ее частоты просто из-за геометрии структуры. В более общем смысле, «волноводная» дисперсия может возникать для волн, распространяющихся через любую неоднородную структуру (например, фотонный кристалл ), независимо от того, ограничены ли волны некоторой областью. ^{[ сомнительно ]} В волноводе обычно присутствуют оба типа дисперсии, хотя они не являются строго аддитивными. ^{[ нужна цитата ]} Например, в волоконной оптике дисперсия материала и волновода может эффективно компенсировать друг друга, создавая длину волны с нулевой дисперсией , что важно для быстрой оптоволоконной связи .

Дисперсия материалов в оптике

Изменение показателя преломления в зависимости от длины волны в вакууме для различных стекол. Длины волн видимого света заштрихованы серым цветом.

Влияние добавок выбранных компонентов стекла на среднюю дисперсию конкретного основного стекла ( n _F действительно для λ  = 486 нм (синий), n _C действительно для λ  = 656 нм (красный)) ^[3]

Дисперсия материала может быть желательным или нежелательным эффектом в оптических приложениях. Дисперсия света стеклянными призмами используется для создания спектрометров и спектрорадиометров . Однако в линзах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию — нежелательный эффект, который может ухудшить изображение в микроскопах, телескопах и фотографических объективах.

Фазовая скорость v волны в данной однородной среде определяется выражением

${\displaystyle v={\frac {c}{n}},}$

где c — скорость света в вакууме, а n — показатель преломления среды.

В общем, показатель преломления является некоторой функцией частоты f света, таким образом, n  =  n ( f ) или, альтернативно, относительно длины волны n  =  n ( λ ). Зависимость показателя преломления материала от длины волны обычно выражается количественно с помощью его числа Аббе или его коэффициентов в эмпирической формуле, такой как уравнения Коши или Селлмейера .

Из-за соотношений Крамерса-Кронига зависимость действительной части показателя преломления от длины волны связана с поглощением материала , описываемым мнимой частью показателя преломления (также называемой коэффициентом экстинкции ). В частности, для немагнитных материалов ( µ  =  µ 0 ) восприимчивость χ , фигурирующая в соотношениях Крамерса–Кронига, представляет собой электрическую восприимчивость χ _e  =  n ²  − 1.

Наиболее часто наблюдаемым последствием дисперсии в оптике является разделение белого света на цветовой спектр призмой . Из закона Снелла видно, что угол преломления света в призме зависит от показателя преломления материала призмы. Поскольку этот показатель преломления зависит от длины волны, отсюда следует, что угол, под которым преломляется свет, также будет меняться в зависимости от длины волны, вызывая угловое разделение цветов, известное как угловая дисперсия .

Для видимого света показатели преломления n большинства прозрачных материалов (например, воздуха, стекол) уменьшаются с увеличением длины волны λ :

${\displaystyle 1<n(\lambda _{\text{red}})<n(\lambda _{\text{yellow}})<n(\lambda _{\text{blue}}),}$

или вообще,

${\displaystyle {\frac {dn}{d\lambda }}<0.}$

В этом случае говорят, что среда имеет нормальную дисперсию . Принимая во внимание, что если индекс увеличивается с увеличением длины волны (что обычно имеет место в ультрафиолете ^[4] ), говорят, что среда имеет аномальную дисперсию .

На границе такого материала с воздухом или вакуумом (индекс ~1) закон Снелла предсказывает, что свет, падающий под углом θ к нормали , будет преломляться под углом arcsin(грех θ/н). Таким образом, синий свет с более высоким показателем преломления будет преломляться сильнее, чем красный, что приведет к появлению хорошо известного радужного рисунка.

Дисперсия групповой скорости

Временная эволюция короткого импульса в гипотетической дисперсионной среде ( k  =  ω ² ), показывающая, что более длинноволновые компоненты движутся быстрее, чем коротковолновые компоненты (положительная ДГД), что приводит к чирпуированию и уширению импульса.

Помимо простого описания изменения фазовой скорости в зависимости от длины волны, более серьезное последствие дисперсии во многих приложениях называется дисперсией групповой скорости (ДГС). Хотя фазовая скорость v определяется как v = c / n , она описывает только одну частотную составляющую. Когда комбинируются различные частотные компоненты, например, при рассмотрении сигнала или импульса, часто больше интересует групповая скорость , которая описывает скорость, с которой распространяется импульс или информация, наложенная на волну (модуляция). На сопровождающей анимации видно, что сама волна (оранжево-коричневая) движется с фазовой скоростью, намного превышающей скорость огибающей ( черная), что соответствует групповой скорости. Этот импульс может быть, например, сигналом связи, и его информация распространяется только со скоростью групповой скорости, хотя он состоит из волновых фронтов, движущихся с более высокой скоростью (фазовая скорость).

Групповую скорость можно вычислить по кривой показателя преломления n ( ω ) или более непосредственно по волновому числу k = ωn / c , где ω — радианная частота ω  = 2 πf . В то время как одно из выражений для фазовой скорости имеет вид _vp =  ω  / k , групповую скорость можно выразить с помощью производной : vg  =  _dω / dk . Или через фазовую скорость v _p ,

${\displaystyle v_{\text{g}}={\frac {v_{\text{p}}}{1-{\dfrac {\omega }{v_{\text{p}}}}{\dfrac {dv_{\text{p}}}{d\omega }}}}.}$

При наличии дисперсии групповая скорость не только не равна фазовой скорости, но и вообще сама меняется в зависимости от длины волны. Это известно как дисперсия групповой скорости и приводит к расширению короткого светового импульса, поскольку компоненты разной частоты внутри импульса движутся с разными скоростями. Дисперсия групповой скорости определяется количественно как производная обратной величины групповой скорости по угловой частоте , что приводит к дисперсии групповой скорости  =  d ² k / dω ² .

Если световой импульс распространяется через материал с положительной дисперсией групповой скорости, то более коротковолновые компоненты распространяются медленнее, чем длинноволновые компоненты. Таким образом, импульс становится положительно чиркающим или повышающимся , частота которого со временем увеличивается. С другой стороны, если импульс проходит через материал с отрицательной дисперсией групповой скорости, компоненты с более короткой длиной волны распространяются быстрее, чем более длинные, и импульс становится отрицательно чирпированным или понижающим чирпирование , уменьшаясь по частоте со временем.

Повседневным примером отрицательного чиркающего сигнала в акустической области является случай, когда приближающийся поезд сталкивается с деформациями на сварном пути. Звук, издаваемый самим поездом, импульсивен и распространяется по металлическим путям гораздо быстрее, чем по воздуху, поэтому поезд можно услышать задолго до его прибытия. Однако издалека это не слышно как вызывающее импульсы, а приводит к характерному нисходящему стрекотанию на фоне реверберации, вызванной сложностью вибрационных режимов трека. Дисперсия групповой скорости проявляется в том, что громкость звуков остается слышимой на удивление долго, до нескольких секунд.

Параметр дисперсии групповой скорости

${\displaystyle D={\frac {1}{c}}\,{\frac {dn}{d\lambda }}}$

часто используется для количественной оценки GVD, которая пропорциональна D через отрицательный коэффициент:

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}\,{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}.}$

По мнению некоторых авторов ^[5] говорят, что среда имеет нормальную / аномальную дисперсию для определенной длины волны вакуума λ ₀ , если вторая производная показателя преломления, рассчитанная по λ ₀ , положительна/отрицательна или, что то же самое, если D ( λ ₀ ) является отрицательным/положительным. Это определение касается дисперсии групповой скорости, и его не следует путать с определением, данным в предыдущем разделе. Эти два определения в целом не совпадают, поэтому читателю приходится понимать контекст.

Контроль дисперсии

Результатом ДГС, будь то отрицательным или положительным, в конечном итоге является временное расширение пульса. Это делает управление дисперсией чрезвычайно важным в системах оптической связи на основе оптического волокна, поскольку, если дисперсия слишком велика, группа импульсов, представляющая битовый поток, будет распространяться во времени и сливаться, делая битовый поток неразборчивым. Это ограничивает длину волокна, по которому сигнал может передаваться без регенерации. Одним из возможных ответов на эту проблему является передача сигналов по оптическому волокну на длине волны, где ДГС равна нулю (например, около 1,3–1,5 мкм в кварцевых волокнах ), поэтому импульсы на этой длине волны страдают от минимального распространения из-за дисперсии. Однако на практике этот подход вызывает больше проблем, чем решает, поскольку нулевая ДГС неприемлемо усиливает другие нелинейные эффекты (такие как четырехволновое смешивание ). Другой возможный вариант — использовать солитонные импульсы в режиме отрицательной дисперсии — форму оптического импульса, которая использует нелинейный оптический эффект для самоподдержания своей формы. Однако у солитонов есть практическая проблема: им требуется поддерживать определенный уровень мощности в импульсе, чтобы нелинейный эффект имел правильную силу. Вместо этого решение, которое в настоящее время используется на практике, заключается в выполнении компенсации дисперсии, обычно путем сопоставления волокна с другим волокном с дисперсией противоположного знака, чтобы эффекты дисперсии нивелировались; такая компенсация в конечном итоге ограничивается нелинейными эффектами, такими как фазовая самомодуляция , которые взаимодействуют с дисперсией, поэтому ее очень трудно отменить.

Контроль дисперсии также важен в лазерах , генерирующих короткие импульсы . Общая дисперсия оптического резонатора является основным фактором, определяющим длительность импульсов, излучаемых лазером. Пара призм может быть расположена для создания чистой отрицательной дисперсии, которую можно использовать для балансировки обычно положительной дисперсии лазерной среды. Дифракционные решетки также можно использовать для создания дисперсионных эффектов; они часто используются в системах мощных лазерных усилителей. Недавно была разработана альтернатива призмам и решеткам: чирпирующие зеркала . Эти диэлектрические зеркала имеют такое покрытие, что разные длины волн имеют разную длину проникновения и, следовательно, разные групповые задержки. Слои покрытия могут быть адаптированы для достижения чистой отрицательной дисперсии.

В волноводах

Волноводы обладают высокой дисперсией из-за своей геометрии (а не только из-за состава материала). Оптические волокна — это своего рода волновод для оптических частот (света), широко используемый в современных телекоммуникационных системах. Скорость, с которой данные могут передаваться по одному волокну, ограничена расширением импульса из-за хроматической дисперсии, среди других явлений.

В общем случае для волноводной моды с угловой частотой ω ( β ) при постоянной распространения β ⁽ так что электромагнитные поля в направлении распространения z колеблются пропорционально ei ^{( βz − ωt )} ) параметр дисперсии групповой скорости D определяется как ^[6]

${\displaystyle D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}{\frac {d^{2}\beta }{d\omega ^{2}}}={\frac {2\pi c}{v_{g}^{2}\lambda ^{2}}}{\frac {dv_{g}}{d\omega }},}$

где λ  = 2 π c / ω — длина волны в вакууме, а v _g  =  dω / dβ — групповая скорость. Эта формула обобщает формулу предыдущего раздела для однородных сред и включает как волноводную дисперсию, так и дисперсию материала. Причиной такого определения дисперсии является то, что | Д | - это (асимптотическое) временное расширение импульса Δ t на единицу полосы пропускания Δ λ на единицу пройденного расстояния, обычно измеряемое в пс /( нм ⋅ км ) для оптических волокон.

В случае многомодовых оптических волокон так называемая модовая дисперсия также приводит к уширению импульса. Даже в одномодовых волокнах уширение импульса может происходить в результате дисперсии мод поляризации (поскольку мод поляризации все равно две). Это не примеры хроматической дисперсии, поскольку они не зависят от длины волны или полосы пропускания распространяемых импульсов.

Дисперсия высшего порядка в широкой полосе пропускания

Когда в одном волновом пакете присутствует широкий диапазон частот (широкая полоса пропускания), например, в ультракоротком импульсе или чирпированном импульсе или в других формах передачи с расширенным спектром , может быть неточным аппроксимировать дисперсию константой по Полная полоса пропускания, и для расчета таких эффектов, как расширение импульса, требуются более сложные вычисления.

В частности, определенный выше параметр дисперсии D получается только из одной производной групповой скорости. Высшие производные известны как дисперсия высшего порядка . ^{[7] [8]} Эти члены представляют собой просто разложение в ряд Тейлора дисперсионного соотношения β ( ω ) среды или волновода вокруг некоторой конкретной частоты. Их эффекты могут быть вычислены посредством численной оценки преобразований Фурье формы сигнала, посредством интегрирования медленно меняющихся аппроксимаций огибающей более высокого порядка , с помощью метода разделенных шагов (который может использовать точное дисперсионное соотношение, а не ряд Тейлора) или прямым моделирование полных уравнений Максвелла , а не приближенного уравнения огибающей.

Обобщенная формулировка высших порядков дисперсии – оптика Ла-Лагера.

Описание хроматической дисперсии пертурбативным способом с помощью коэффициентов Тейлора полезно для задач оптимизации, где необходимо сбалансировать дисперсию нескольких различных систем. Например, в лазерных усилителях с чирп-импульсами импульсы сначала растягиваются во времени с помощью стретчера, чтобы избежать оптических повреждений. Затем в процессе усиления импульсы неизбежно накапливают линейную и нелинейную фазы, проходя через материалы. И наконец, импульсы сжимаются в компрессорах различного типа. Чтобы отменить любые оставшиеся более высокие заказы на этапе накопления, обычно отдельные заказы измеряются и балансируются. Однако для однородных систем такое пертурбативное описание часто не требуется (т.е. распространение в волноводах). Порядки дисперсии были обобщены удобным для вычислений способом в форме преобразований типа Ла-Лагерра. ^{[9] [10]}

Порядки дисперсии определяются разложением Тейлора фазы или волнового вектора. ${\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} =\varphi \left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}\varphi }{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\ldots \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} =k\left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial k}{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}k}{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\ldots \end{array}}}$

Дисперсионные соотношения для волнового вектора и фазы можно выразить как: ${\displaystyle k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$ ${\displaystyle \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }$

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\ \end{array}}}$, ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\end{array}}(1)}$

Производные любой дифференцируемой функции по длине волны или частотному пространству задаются посредством преобразования Лаха как: ${\displaystyle f\mathrm {(} \omega \mathrm {|} \lambda \mathrm {)} }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}(2)}$

Матричными элементами преобразования являются коэффициенты Лаха: ${\displaystyle {\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {1)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {1)!} }}}$

Написанное для GDD приведенное выше выражение утверждает, что константа с длиной волны GGD будет иметь ноль высших порядков. Высшие порядки, оцениваемые по GDD:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}GDD\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}GDD\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$

Подстановка уравнения (2), выраженного для показателя преломления или оптического пути, в уравнение (1) приводит к выражениям в замкнутой форме для порядков дисперсии. В общем, POD дисперсии порядка представляет собой преобразование типа Лагерра второго отрицательного порядка: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle OP}$ ${\displaystyle p^{th}}$

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}\varphi (\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}OP(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}}$ ${\displaystyle ,}$

Первые десять порядков дисперсии плавленого кварца (р=2 - ГДД, р=3 - ТОД, р=4 - ФОД, р=5 - ФиОД, р=6 - SiOD, р=7 - СеОД, р=8 - ЭОД, р=9 - НОД, р=10 - ТеОД)

${\displaystyle POD={\frac {d^{p}k(\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}n(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}}$

Матричные элементы преобразований представляют собой беззнаковые коэффициенты Лагерра порядка минус 2 и имеют вид: ${\displaystyle {\mathcal {B}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {2)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {2)!} }}}$

Первые десять порядков дисперсии, явно записанные для волнового вектора, таковы: ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GD}}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} -\lambda {\frac {\partial n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}\right)=v_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }\end{array}}}$

Групповой показатель преломления определяется как: . ${\displaystyle n_{g}}$ ${\displaystyle n_{g}=cv_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GDD}}}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {2} {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}+\omega {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)\left({\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TOD}}}={\frac {{\partial }^{3}}{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {3} {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }{\Bigl (}\mathrm {3} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FOD}}}={\frac {{\partial }^{4}}{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {4} {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }{\Bigl (}\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {8} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FiOD}}}={\frac {{\partial }^{5}}{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {5} {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {15} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SiOD}}}={\frac {{\partial }^{6}}{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {6} {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {360} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {480} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {180} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {24} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+{\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SeOD}}}={\frac {{\partial }^{7}}{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {7} {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {6} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {2100} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {420} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {35} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {EOD}}}={\frac {{\partial }^{8}}{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {8} {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {20160} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {25200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {6720} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {840} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {48} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {NOD}}}={\frac {{\partial }^{9}}{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {9} {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {181440} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {423360} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {317520} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {105840} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {17640} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {1512} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {63} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TeOD}}}={\frac {{\partial }^{10}}{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {10} {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {1814400} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4838400} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4233600} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{1693440}{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\\+\mathrm {352800} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {80} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$

Явно записанные для фазы первые десять порядков дисперсии могут быть выражены как функция длины волны с использованием преобразований Лаха (уравнение (2)) как: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}={-}\left({\frac {\mathrm {2} \pi c}{{\omega }^{\mathrm {2} }}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \lambda }}={-}\left({\frac {{\lambda }^{\mathrm {2} }}{\mathrm {2} \pi c}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }\left(\mathrm {2} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+{\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }\left(\mathrm {6} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {6} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}\right)\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {24} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {36} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{\mathrm {5} }\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {120} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {240} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {20} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {720} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1800} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {300} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {30} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}\mathrm {\ +} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {5040} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {15120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12600} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {630} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {42} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {40320} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {58800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {11760} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {1176} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {56} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\\+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {\partial ^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {362880} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1451520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1693440} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {846720} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {211680} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {28224} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {2016} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {72} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {\partial ^{\mathrm {9} }\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$ ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {10} }{\Bigl (}\mathrm {3628800} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {16329600} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {21772800} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {12700800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {3810240} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {635040} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {60480} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {3240} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {90} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}}$

Пространственная дисперсия

В электромагнетике и оптике термин « дисперсия» обычно относится к вышеупомянутой временной или частотной дисперсии. Пространственная дисперсия относится к нелокальной реакции среды на пространство; это можно переформулировать как зависимость диэлектрической проницаемости от волнового вектора. Для примерной анизотропной среды пространственная связь между электрическим полем и полем электрического смещения может быть выражена в виде свертки : ^[11]

${\displaystyle D_{i}(t,r)=E_{i}(t,r)+\int _{0}^{\infty }\int f_{ik}(\tau ;r,r')E_{k}(t-\tau ,r')\,dV'\,d\tau ,}$

где ядро ​​– диэлектрический отклик (восприимчивость); его индексы делают его вообще тензором , учитывающим анизотропию среды. Пространственная дисперсия незначительна в большинстве макроскопических случаев, когда масштаб изменения много больше атомных размеров, поскольку диэлектрическое ядро ​​затухает на макроскопических расстояниях. Тем не менее, это может привести к значительным макроскопическим эффектам, особенно в проводящих средах, таких как металлы , электролиты и плазма . Пространственная дисперсия также играет роль в оптической активности и доплеровском уширении ^[11] , а также в теории метаматериалов . ^[12] ${\displaystyle f_{ik}}$ ${\displaystyle E_{k}(t-\tau ,r')}$

В геммологии

В технической терминологии геммологии дисперсия — это разница в показателе преломления материала на  длинах волн Фраунгофера B и G (686,7 нм и 430,8 нм) или C и F (656,3 нм и 486,1 нм) , и она предназначена для выражения степень, в которой призма, вырезанная из драгоценного камня , демонстрирует «огонь». Огонь — это разговорный термин, используемый геммологами для описания дисперсионной природы драгоценного камня или ее отсутствия. Дисперсия – это свойство материала. Количество огня, демонстрируемое данным драгоценным камнем, зависит от углов граней драгоценного камня, качества полировки, условий освещения, показателя преломления материала, насыщенности цвета и ориентации зрителя относительно драгоценного камня. ^{[13] [14]}

В изображениях

В фотографических и микроскопических объективах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию , из-за которой разные цвета изображения не перекрываются должным образом. Для противодействия этому были разработаны различные методы, такие как использование ахроматов , многоэлементных линз со стеклами различной дисперсии. Они построены таким образом, что хроматические аберрации различных частей компенсируются.

Выбросы пульсаров

Пульсары — это вращающиеся нейтронные звезды, которые излучают импульсы с очень регулярными интервалами от миллисекунд до секунд. Астрономы полагают, что импульсы излучаются одновременно в широком диапазоне частот. Однако, как наблюдается на Земле, компоненты каждого импульса, излучаемого на более высоких радиочастотах, достигаются раньше, чем компоненты, излучаемые на более низких частотах. Эта дисперсия возникает из-за ионизированной компоненты межзвездной среды , главным образом свободных электронов, которые делают групповую скорость зависимой от частоты. Дополнительная задержка, добавленная на частоте ν, равна

${\displaystyle t=k_{\text{DM}}\cdot \left({\frac {\text{DM}}{\nu ^{2}}}\right),}$

где дисперсионная константа k _DM определяется выражением ^[15]

${\displaystyle k_{\text{DM}}={\frac {e^{2}}{2\pi m_{\text{e}}c}}\approx 4.149~{\text{GHz}}^{2}\,{\text{pc}}^{-1}\,{\text{cm}}^{3}\,{\text{ms}},}$

а мера дисперсии (DM) представляет собой столбчатую плотность свободных электронов ( общее электронное содержание ) – т.е. плотность числа электронов n _e , интегрированную вдоль пути, пройденного фотоном от пульсара до Земли – и определяется выражением

${\displaystyle {\text{DM}}=\int _{0}^{d}n_{e}\,dl}$

с единицами парсек на кубический сантиметр (1 шт/см ³ = 30,857 × 10²¹  м ^-2 ). ^[16]

Обычно для астрономических наблюдений эту задержку нельзя измерить напрямую, поскольку время излучения неизвестно. Что можно измерить, так это разницу во времени прибытия на двух разных частотах. Задержка Δt между высокочастотной ν _hi и низкочастотной ν _lo составляющей импульса будет равна

${\displaystyle \Delta t=k_{\text{DM}}\cdot {\text{DM}}\cdot \left({\frac {1}{\nu _{\text{lo}}^{2}}}-{\frac {1}{\nu _{\text{hi}}^{2}}}\right).}$

Переписав приведенное выше уравнение в терминах Δt, можно определить DM путем измерения времени прихода импульсов на нескольких частотах. Это, в свою очередь, может быть использовано для изучения межзвездной среды, а также позволит объединить наблюдения пульсаров на разных частотах.

Смотрите также

• Число Аббе
• Расчет свойств стекла вкл. дисперсия
• Уравнение Коши
• Дисперсионное соотношение
• Быстрый радиовсплеск (астрономия)
• Теорема о флуктуациях
• Отношения Грина-Кубо
• Групповая задержка
• Внутримодальная дисперсия
• Отношения Крамерса – Кронига
• Функция линейного отклика
• Теория многопризменной дисперсии
• Уравнение Селлмейера
• Ультракороткий импульс
• Фазированная решетка с виртуальным изображением

Рекомендации

1. Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (октябрь 1999 г.). Принципы оптики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 14–24. ISBN 0-521-64222-1.
2. Компенсация дисперсии. Проверено 25 августа 2015 г.
3. Расчет средней дисперсии стекол.
4. Борн, М. и Вольф, Э. (1980) « Принципы оптики », 6-е изд., стр. 93. Пергамон Пресс.
5. Салех, BEA и Тейх, MC «Основы фотоники» (2-е изд.), Wiley, 2007.
6. Рамасвами, Раджив и Сивараджан, Кумар Н. (1998) Оптические сети: практическая перспектива . Академическая пресса: Лондон.
7. Хроматическая дисперсия, Энциклопедия лазерной физики и технологий (Wiley, 2008).
8. Май, Вендинг; Кэмпбелл, Сойер Д.; Уайтинг, Эрик Б.; Канг, Лей; Вернер, Пинцзюань Л.; Чен, Ифань; Вернер, Дуглас Х. (01 октября 2020 г.). «Призматический разрывный метод Галеркина во временной области с интегрированной обобщенной дисперсионной моделью для эффективного оптического анализа метаповерхности». Оптические материалы Экспресс . 10 (10): 2542–2559. Бибкод : 2020OMExp..10.2542M. дои : 10.1364/OME.399414 . ISSN  2159-3930.
9. Попминчев, Димитар; Ван, Сиянг; Сяоши, Чжан; Стоев, Венцислав; Попминчев, Тенио (24 октября 2022 г.). «Аналитический оптический формализм Ла-Лагерра для пертурбативной хроматической дисперсии». Оптика Экспресс . 30 (22): 40779–40808. Бибкод : 2022OExpr..3040779P. дои : 10.1364/OE.457139 . ПМИД  36299007.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
10. Попминчев, Димитар; Ван, Сиянг; Сяоши, Чжан; Стоев, Венцислав; Попминчев, Тенио (30 августа 2020 г.). «Возвращение к теории хроматической дисперсии». arXiv : 2011.00066 [физика.оптика].
11. Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. ; Питаевский, Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред . Том. 8 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2634-7.
12. Деметриаду, А.; Пендри, Дж. Б. (1 июля 2008 г.). «Укрощение пространственной дисперсии в проволочном метаматериале». Физический журнал: конденсированное вещество . 20 (29): 295222. Бибкод : 2008JPCM...20C5222D. дои : 10.1088/0953-8984/20/29/295222. S2CID  120249447.
13. Шуман, Уолтер (2009). Драгоценные камни мира (4-е новое исправленное и расширенное изд.). Стерлинг Издательская компания. стр. 41–42. ISBN 978-1-4027-6829-3. Проверено 31 декабря 2011 г.
14. «Что такое дисперсия драгоценных камней?». Международное общество драгоценных камней (GemSociety.org) . Проверено 9 марта 2015 г.
15. «Однозеркальная радиоастрономия: методы и приложения», Материалы конференции ASP, том. 278. Под редакцией Снежаны Станимирович, Дэниела Альтшулера , Пола Голдсмита и Криса Солтера. ISBN 1-58381-120-6 . Сан-Франциско: Тихоокеанское астрономическое общество, 2002, стр. 251–269. 
16. Лоример, Д.Р., и Крамер, М., Справочник по пульсарной астрономии , том. 4 Кембриджского справочника по наблюдениям для астрономов-исследователей ( Издательство Кембриджского университета , Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк, США, 2005 г.), 1-е издание.

Внешние ссылки

• Dispersive Wiki. Архивировано 23 июля 2017 г. на Wayback Machine . Обсуждаются математические аспекты дисперсии.
• Дисперсия - Энциклопедия лазерной физики и технологий
• Анимации, демонстрирующие оптическую дисперсию с помощью QED
• Интерактивная веб-демонстрация хроматической дисперсии Института телекоммуникаций Штутгартского университета