Скорость убегания

В небесной механике скорость убегания или скорость побега — это минимальная скорость, необходимая объекту для выхода из контакта с первичным телом или выхода с его орбиты , при условии:

Баллистическая траектория — на объект не действуют никакие другие силы, включая силу тяги и трения.
Никаких других объектов, создающих гравитацию, не существует.

Хотя термин «скорость убегания» является общепринятым, его точнее описать как скорость , чем как скорость , поскольку он не зависит от направления. Поскольку гравитационная сила между двумя объектами зависит от их совокупной массы, то и скорость убегания также зависит от массы. Для искусственных спутников и небольших естественных объектов масса объекта вносит незначительный вклад в совокупную массу, и поэтому часто игнорируется.

Скорость убегания меняется в зависимости от расстояния от центра первичного тела, как и скорость объекта, движущегося под гравитационным воздействием первичного тела. Если объект находится на круговой или эллиптической орбите, его скорость всегда меньше скорости убегания на текущем расстоянии. Напротив, если он находится на гиперболической траектории, его скорость всегда будет выше скорости убегания на текущем расстоянии. (Он будет замедляться по мере увеличения расстояния, но делать это асимптотически приближаясь к положительной скорости.) Объект на параболической траектории всегда будет двигаться точно со скоростью убегания на текущем расстоянии. Он имеет точно сбалансированную положительную кинетическую энергию и отрицательную гравитационную потенциальную энергию ; ^[a] он всегда будет замедляться, асимптотически приближаясь к нулевой скорости, но никогда не остановится. ^[1]

Расчеты скорости убегания обычно используются для определения того, останется ли объект в сфере гравитационного влияния данного тела. Например, при исследовании солнечной системы полезно знать, продолжит ли зонд вращаться вокруг Земли или выйдет на гелиоцентрическую орбиту . Также полезно знать, насколько зонду нужно замедлиться, чтобы быть гравитационно захваченным своим телом назначения. Ракеты не обязательно достигают скорости убегания за один маневр, и объекты также могут использовать гравитационную помощь, чтобы откачивать кинетическую энергию от крупных тел.

Точные расчеты траектории требуют учета малых сил, таких как сопротивление атмосферы , давление излучения и солнечный ветер . Ракета с непрерывной или прерывистой тягой (или объект, поднимающийся на космическом лифте ) может достичь побега на любой ненулевой скорости, но минимальное количество энергии, необходимое для этого, всегда одинаково.

Расчет

Скорость убегания на расстоянии d от центра сферически симметричного первичного тела (например, звезды или планеты) с массой M определяется формулой ^[2]^[3]

v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}={\sqrt {2gd}}

где:

G — универсальная гравитационная постоянная ( G ≈ 6,67×10−11 ^м3 · ^кг − ¹ ·с ⁻² )
g = GM/d ² — локальное ускорение свободного падения (или ускорение силы тяжести на поверхности , когда d = r ).

Значение GM называется стандартным гравитационным параметром , или μ , и часто известно точнее, чем G или M по отдельности.

При задании начальной скорости, превышающей скорость убегания, объект будет асимптотически приближаться к гиперболической избыточной скорости, удовлетворяющей уравнению: ^[4] $V$ $v_{e},$ $v_{\infty },$

{v_{\infty }}^{2}=V^{2}-{v_{e}}^{2}.

Например, при значении стандартной гравитации 9,80665 м/с ² (32,1740 фут/с ² ) ^[5] скорость убегания составляет 11,186 км/с (40 270 км/ч; 25 020 миль/ч; 36 700 фут/с). ^[6]

Требуемая энергия

Для объекта массы энергия, необходимая для выхода из гравитационного поля Земли, равна GMm/r , что является функцией массы объекта (где r — радиус Земли , номинально 6371 километр (3959 миль), G — гравитационная постоянная , а M — масса Земли , M = 5,9736 × 10 ²⁴ кг ). Связанной величиной является удельная орбитальная энергия , которая по сути является суммой кинетической и потенциальной энергии, деленной на массу. Объект достигает скорости выхода, когда удельная орбитальная энергия больше или равна нулю. $m$

Сохранение энергии

Существование скорости убегания можно рассматривать как следствие сохранения энергии и энергетического поля конечной глубины. Для объекта с заданной полной энергией, который движется под действием консервативных сил (таких как статическое гравитационное поле), для объекта возможно достичь только комбинаций местоположений и скоростей, которые имеют эту полную энергию; места, которые имеют более высокую потенциальную энергию, чем эта, вообще не могут быть достигнуты. Добавление скорости (кинетической энергии) к объекту расширяет область местоположений, которых он может достичь, пока при достаточной энергии не станет доступным все до бесконечности.

Формула для скорости убегания может быть выведена из принципа сохранения энергии. Для простоты, если не указано иное, мы предполагаем, что объект будет убегать из гравитационного поля однородной сферической планеты, удаляясь от нее, и что единственной значительной силой, действующей на движущийся объект, является гравитация планеты. Представьте себе, что космический корабль массой m изначально находится на расстоянии r от центра масс планеты, масса которой равна M , и его начальная скорость равна его скорости убегания, . В конечном состоянии он будет находиться на бесконечном расстоянии от планеты, и его скорость будет пренебрежимо мала. Кинетическая энергия K и гравитационная потенциальная энергия U _g являются единственными типами энергии, с которыми мы будем иметь дело (мы будем игнорировать сопротивление атмосферы), поэтому по закону сохранения энергии, $v_{e}$

(K+U_{g})_{\text{initial}}=(K+U_{g})_{\text{final}}

Мы можем установить K _final = 0, поскольку конечная скорость произвольно мала, и U _g _final = 0, поскольку конечная потенциальная энергия гравитации определяется как равная нулю на большом расстоянии от планеты, поэтому

{\begin{aligned}\Rightarrow {}&{\frac {1}{2}}mv_{e}^{2}+{\frac {-GMm}{r}}=0+0\\[3pt]\Rightarrow {}&v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}

Релятивистский

Тот же результат получается при релятивистском расчете, в этом случае переменная r представляет собой радиальную координату или приведенную окружность метрики Шварцшильда . ^[8]^[9]

Сценарии

С поверхности тела

Альтернативное выражение для скорости убегания, особенно полезное на поверхности тела, выглядит следующим образом: $v_{e}$

v_{e}={\sqrt {2gr\,}}

где r — расстояние между центром тела и точкой, в которой вычисляется вторая космическая скорость, а g — ускорение свободного падения на этом расстоянии (т. е. поверхностная гравитация ). ^[10]

Для тела со сферически симметричным распределением массы скорость вылета с поверхности пропорциональна радиусу при условии постоянной плотности и пропорциональна квадратному корню из средней плотности ρ. $v_{e}$

v_{e}=Kr{\sqrt {\rho }}

где ${\textstyle K={\sqrt {{\frac {8}{3}}\pi G}}\approx 2.364\times 10^{-5}{\text{ m}}^{1.5}{\text{ kg}}^{-0.5}{\text{ s}}^{-1}}$

Эта скорость убегания определяется относительно невращающейся системы отсчета, а не относительно движущейся поверхности планеты или луны, как поясняется ниже.

От вращающегося тела

Скорость убегания относительно поверхности вращающегося тела зависит от направления, в котором движется убегающее тело. Например, поскольку скорость вращения Земли составляет 465 м/с на экваторе , ракете, запущенной по касательной с экватора Земли на восток, требуется начальная скорость около 10,735 км/с относительно движущейся поверхности в точке запуска, чтобы убежать, тогда как ракете, запущенной по касательной с экватора Земли на запад, требуется начальная скорость около 11,665 км/с относительно этой движущейся поверхности . Скорость поверхности уменьшается пропорционально косинусу географической широты, поэтому космические стартовые комплексы часто располагаются как можно ближе к экватору, например, американский мыс Канаверал (широта 28°28′ с.ш.) и космический центр во Французской Гвиане (широта 5°14′ с.ш.).

Практические соображения

В большинстве ситуаций непрактично достигать скорости убегания почти мгновенно из-за подразумеваемого ускорения, а также потому, что при наличии атмосферы задействованные гиперзвуковые скорости (на Земле скорость 11,2 км/с или 40 320 км/ч) приведут к тому, что большинство объектов сгорят из-за аэродинамического нагрева или будут разорваны на части атмосферным сопротивлением . Для фактической орбиты убегания космический корабль будет неуклонно ускоряться вне атмосферы, пока не достигнет скорости убегания, соответствующей его высоте (которая будет меньше, чем на поверхности). Во многих случаях космический корабль может быть сначала помещен на парковочную орбиту (например, низкую околоземную орбиту на высоте 160–2000 км), а затем ускорен до скорости убегания на этой высоте, которая будет немного ниже (около 11,0 км/с на низкой околоземной орбите в 200 км). Однако необходимое дополнительное изменение скорости гораздо меньше, поскольку космический корабль уже имеет значительную орбитальную скорость (на низкой околоземной орбите скорость составляет приблизительно 7,8 км/с, или 28 080 км/ч).

От вращающегося тела

Скорость убегания на данной высоте равна скорости на круговой орбите на той же высоте (сравните это с уравнением скорости на круговой орбите ). Это соответствует тому факту, что потенциальная энергия относительно бесконечности объекта на такой орбите равна минус двум его кинетической энергии, в то время как для убегания сумма потенциальной и кинетической энергии должна быть по крайней мере равна нулю. Скорость, соответствующая круговой орбите, иногда называют первой космической скоростью , тогда как в этом контексте скорость убегания называется второй космической скоростью . ^[11]^[12]^[13] ${\sqrt {2}}$

Для тела на эллиптической орбите, желающего ускориться до орбиты побега, требуемая скорость будет меняться и будет наибольшей в перицентре , когда тело находится ближе всего к центральному телу. Однако орбитальная скорость тела также будет наибольшей в этой точке, а требуемое изменение скорости будет наименьшим, как объясняется эффектом Оберта .

Барицентрическая скорость убегания

Скорость убегания может быть измерена либо относительно другого, центрального тела, либо относительно центра масс или барицентра системы тел. Таким образом, для систем из двух тел термин « скорость убегания» может быть неоднозначным, но обычно он подразумевает барицентрическую скорость убегания менее массивного тела. Скорость убегания обычно относится к скорости убегания пробных частиц нулевой массы . Для пробных частиц нулевой массы мы имеем, что «относительно другого» и «барицентрическая» скорости убегания одинаковы, а именно . Но когда мы не можем пренебречь меньшей массой (скажем ), мы приходим к немного другим формулам. Поскольку система должна подчиняться закону сохранения импульса, мы видим, что как большая, так и меньшая масса должны ускоряться в гравитационном поле. Относительно центра масс скорость большей массы ( , для планеты) может быть выражена через скорость меньшей массы ( , для ракеты). Мы получаем . «Барицентрическая» скорость убегания теперь становится: в то время как «относительная другая» скорость убегания становится: . $v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$
$m$
$v_{p}$ $v_{r}$ $v_{p}=-{\frac {m}{M}}v_{r}$
$v_{r}={\sqrt {\frac {2GM^{2}}{d(M+m)}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$ $v_{r}-v_{p}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{d}}}\approx {\sqrt {\frac {2GM}{d}}}$

Высота траекторий с меньшей скоростью

Игнорируя все факторы, кроме силы тяготения между телом и объектом, объект, выброшенный вертикально со скоростью с поверхности сферического тела со скоростью убегания и радиусом, достигнет максимальной высоты, удовлетворяющей уравнению ^[14] $v$ $v_{e}$ $R$ $h$

v=v_{e}{\sqrt {\frac {h}{R+h}}}\ ,

что, решая для h, приводит к

h={\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}\ R\ ,

где - отношение начальной скорости к скорости убегания ${\textstyle x=v/v_{e}}$ $v$ $v_{e}.$

В отличие от второй космической скорости, для достижения максимальной высоты важно направление (вертикально вверх).

Траектория

Если объект достигает точно скорости убегания, но не направлен прямо от планеты, то он будет следовать по криволинейной траектории. Хотя эта траектория не образует замкнутую форму, ее можно назвать орбитой. Предполагая, что гравитация является единственной значимой силой в системе, скорость этого объекта в любой точке траектории будет равна скорости убегания в этой точке из-за сохранения энергии, его полная энергия всегда должна быть равна 0, что подразумевает, что он всегда имеет скорость убегания; см. вывод выше. Форма траектории будет параболой , фокус которой расположен в центре масс планеты. Фактический убег требует курса с траекторией, которая не пересекается с планетой или ее атмосферой, поскольку это привело бы к падению объекта. При удалении от источника этот путь называется орбитой убегания . Орбиты убегания известны как орбиты C3 = 0. C3 — характеристическая энергия , = − GM /2 a , где a — большая полуось , которая для параболических траекторий бесконечна.

Если тело имеет скорость, превышающую скорость убегания, то его путь будет образовывать гиперболическую траекторию , и оно будет иметь избыточную гиперболическую скорость, эквивалентную дополнительной энергии, которой обладает тело. Относительно небольшая дополнительная дельта- v сверх той, которая необходима для ускорения до скорости убегания, может привести к относительно большой скорости на бесконечности. Некоторые орбитальные маневры используют этот факт. Например, в месте, где скорость убегания составляет 11,2 км/с, добавление 0,4 км/с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км/с:

v_{\infty }={\sqrt {V^{2}-{v_{e}}^{2}}}={\sqrt {(11.6{\text{ km/s}})^{2}-(11.2{\text{ km/s}})^{2}}}\approx 3.02{\text{ km/s}}.

Если тело на круговой орбите (или в перицентре эллиптической орбиты) ускоряется вдоль своего направления движения до скорости убегания, точка ускорения сформирует перицентр траектории убегания. Конечное направление движения будет под углом 90 градусов к направлению в точке ускорения. Если тело ускоряется до скорости, превышающей скорость убегания, конечное направление движения будет под меньшим углом и будет указано одной из асимптот гиперболической траектории, по которой оно сейчас движется. Это означает, что время ускорения имеет решающее значение, если намерение состоит в том, чтобы убежать в определенном направлении.

Если скорость в перицентре равна $v$ , то эксцентриситет траектории определяется по формуле:

e=2(v/v_{e})^{2}-1

Это справедливо для эллиптических, параболических и гиперболических траекторий. Если траектория гиперболическая или параболическая, она будет асимптотически приближаться к углу от направления в перицентре, с $\theta$

\sin \theta =1/e.

Скорость будет асимптотически приближаться

{\sqrt {v^{2}-v_{e}^{2}}}.

Список скоростей убегания

В этой таблице левая половина дает скорость убегания от видимой поверхности (которая может быть газообразной, как, например, у Юпитера) относительно центра планеты или луны (то есть, не относительно ее движущейся поверхности). В правой половине V _e относится к скорости относительно центрального тела (например, солнца), тогда как V _te — это скорость (на видимой поверхности меньшего тела) относительно меньшего тела (планеты или луны).

Последние два столбца будут зависеть от того, на какой именно орбите достигается вторая космическая скорость, поскольку орбиты не являются строго круговыми (особенно орбиты Меркурия и Плутона).

Выведение скорости убегания с помощью исчисления

Пусть G — гравитационная постоянная , M — масса Земли (или другого гравитирующего тела), m — масса вылетающего тела или снаряда. На расстоянии r от центра гравитации тело испытывает силу притяжения

F=G{\frac {Mm}{r^{2}}}.

Работа, необходимая для перемещения тела на небольшое расстояние dr против этой силы, определяется выражением

dW=F\,dr=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr.

Тогда полная работа, необходимая для перемещения тела от поверхности r ₀ гравитирующего тела до бесконечности, равна ^[19]

W=\int _{r_{0}}^{\infty }G{\frac {Mm}{r^{2}}}\,dr=G{\frac {Mm}{r_{0}}}=mgr_{0}.

Для того чтобы выполнить эту работу и достичь бесконечности, минимальная кинетическая энергия тела при старте должна соответствовать этой работе, поэтому скорость выхода v ₀ удовлетворяет условию

{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}},

что приводит к

v_{0}={\sqrt {\frac {2GM}{r_{0}}}}={\sqrt {2gr_{0}}}.

Смотрите также

Черная дыра – объект, у которого скорость выхода превышает скорость света.
Характерная энергия (C ₃ )
Бюджет Delta-v – скорость, необходимая для выполнения маневров.
Гравитационная рогатка – метод изменения траектории
Гравитационный колодец
Список искусственных объектов на гелиоцентрической орбите
Список искусственных объектов, покидающих Солнечную систему
Пушечное ядро Ньютона
Эффект Оберта – сжигание топлива глубоко в гравитационном поле приводит к большему изменению кинетической энергии
Задача двух тел

Примечания

^ Гравитационная потенциальная энергия определяется как равная нулю на бесконечном расстоянии.

Ссылки

^ Джанколи, Дуглас К. (2008). Физика для ученых и инженеров с современной физикой. Addison-Wesley . стр. 199. ISBN 978-0-13-149508-1.
^ Джим Брейтхаупт (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня (иллюстрированное издание). Нельсон Торнс. стр. 231. ISBN 978-0-7487-4314-8.Выдержка из страницы 231
^ Кэтрин Бланделл (2015). Черные дыры: Очень краткое введение (иллюстрированное издание). Oxford University Press. стр. 4. ISBN 978-0-19-960266-7.Выдержка из страницы 4
^ Бейт, Роджер Р.; Мюллер, Дональд Д.; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики (иллюстрированное издание). Courier Corporation . стр. 39. ISBN 978-0-486-60061-1.
^ Международное бюро мер и веса (1901). «Декларация относительно единства масс и определения веса; valeur Conventionnelle de $g$ $n$ ». Comptes Rendus des Séances de la Troisième Conférence· Générale des Poids et Mesures (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 68. Имя, принятое в Международной службе мер и веса для оценки нормального ускорения человека, составляет 980 665 см/сек², но это санкционировано в соответствии с некоторыми законодательными актами. Декларация относительно единства массы и определения веса; valeur Conventionnelle de $G$ $N.$
^ Лай, Шу Т. (2011). Основы зарядки космических аппаратов: взаимодействие космических аппаратов с космической плазмой. Princeton University Press . стр. 240. ISBN 978-1-4008-3909-4.
^ "NASA – NSSDC – Spacecraft – Details". Архивировано из оригинала 2 июня 2019 года . Получено 21 августа 2019 года .
^ Тейлор, Эдвин Ф.; Уилер, Джон Арчибальд; Берчингер, Эдмунд (2010). Исследование черных дыр: Введение в общую теорию относительности (2-е пересмотренное издание). Эддисон-Уэсли. С. 2–22. ISBN 978-0-321-51286-4.Пример главы, страницы 2-22 Архивировано 21 июля 2017 г. на Wayback Machine
^ Choquet-Bruhat, Yvonne (2015). Введение в общую теорию относительности, черные дыры и космологию (иллюстрированное издание). Oxford University Press . С. 116–117. ISBN 978-0-19-966646-1.
^ Бейт, Мюллер и Уайт, стр. 35
^ Теодореску, ПП (2007). Механические системы, классические модели. Springer, Япония. стр. 580. ISBN 978-1-4020-5441-9., Раздел 2.2.2, стр. 580
^ SJ Bauer (2012). Физика планетарных ионосфер (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 28. ISBN 978-3-642-65555-5.Выдержка из страницы 28
^ Осаму Морита (2022). Классическая механика в геофизической гидродинамике (2-е, иллюстрированное издание). CRC Press. стр. 195. ISBN 978-1-000-80250-4.Выдержка из страницы 195
^ Bajaj, NK (2015). Complete Physics: JEE Main. McGraw-Hill Education . стр. 6.12. ISBN 978-93-392-2032-7.Пример 21, страница 6.12
^ ab Для планет: «Планеты и Плутон: Физические характеристики». NASA . Получено 18 января 2017 г.
^ ab "To the Voyagers and escaping from the Sun". Инициатива по межзвездным исследованиям. 25 февраля 2015 г. Получено 3 февраля 2023 г.
^ Смит, Мартин К.; Ручти, ГР; Хелми, А.; Вайс, РФГ (2007). «Обзор RAVE: ограничение скорости локального галактического побега». Труды Международного астрономического союза . 2 (S235): 755–772. arXiv : astro-ph/0611671 . Bibcode : 2007IAUS..235..137S. doi : 10.1017/S1743921306005692. S2CID 125255461.
^ Kafle, PR; Sharma, S.; Lewis, GF; Bland-Hawthorn, J. (2014). «На плечах гигантов: свойства звездного гало и распределение масс Млечного Пути». The Astrophysical Journal . 794 (1): 17. arXiv : 1408.1787 . Bibcode :2014ApJ...794...59K. doi :10.1088/0004-637X/794/1/59. S2CID 119040135.
^ Манкастер, Роджер (1993). Физика уровня A (иллюстрированное издание). Нельсон Торнес. стр. 103. ISBN 978-0-7487-1584-8.Выдержка из страницы 103

Внешние ссылки

Калькулятор скорости убегания
Веб-калькулятор численной скорости убегания