Группа кос

Группа, чья работа представляет собой композицию из кос

Обычная коса из пяти прядей. Каждая стрелка составляет еще два элемента . ${\displaystyle B_{5}}$

В математике группа кос на n нитях (обозначается ) , также известная как группа кос Артина ^[1] — это группа, элементами которой являются классы эквивалентности n -кос (например, при изотопии окружающего пространства ), а групповая операция — композиция кос (см. § Введение). Примеры применения групп кос включают теорию узлов , где любой узел может быть представлен как замыкание некоторых кос (результат, известный как теорема Александера ); в математической физике , где каноническое представление Артина группы кос соответствует уравнению Янга–Бакстера (см. § Основные свойства); и в инвариантах монодромии алгебраической геометрии . ^[2] ${\displaystyle B_{n}}$

Введение

В этом введении пусть n = 4 ; обобщение на другие значения n будет простым. Рассмотрим два набора из четырех предметов, лежащих на столе, причем предметы в каждом наборе расположены в вертикальную линию, и так, что один набор находится рядом с другим. (На рисунках ниже это черные точки.) Используя четыре нити, каждый предмет первого набора соединяется с предметом второго набора так, что получается соответствие один к одному. Такое соединение называется косой . Часто некоторые нити должны проходить над или под другими, и это имеет решающее значение: следующие два соединения являются разными косами:

С другой стороны, два таких соединения, которые можно сделать одинаковыми, «потянув за пряди», считаются одной и той же косой:

Все пряди должны двигаться слева направо; такие узлы не считаются косичками:

Любые две косы можно составить, нарисовав первую рядом со второй, обозначив четыре элемента в середине и соединив соответствующие пряди:

Другой пример:

Композиция кос σ и τ записывается как στ .

Набор всех кос на четырех прядях обозначается как . Вышеуказанная композиция кос действительно является групповой операцией. Элементом идентичности является коса, состоящая из четырех параллельных горизонтальных прядей, а инверсия косы состоит из той косы, которая «отменяет» все, что сделала первая коса, что получается путем переворачивания диаграммы, такой как те, что выше, по вертикальной линии, проходящей через ее центр. (Первые два примера кос выше являются инверсиями друг друга.) ${\displaystyle B_{4}}$

Приложения

Теория кос недавно была применена к механике жидкости , в частности, к области хаотического смешивания в потоках жидкости. Сплетение (2 + 1)-мерных пространственно-временных траекторий, образованных движением физических стержней, периодических орбит или «стержней-призраков» и почти инвариантных множеств, использовалось для оценки топологической энтропии нескольких спроектированных и встречающихся в природе систем жидкостей с помощью классификации Нильсена–Терстона . ^{[3] [4] [5]}

Другая область интенсивного исследования, включающая группы кос и связанные с ними топологические концепции в контексте квантовой физики, находится в теории и (предполагаемой) экспериментальной реализации предлагаемых частиц анионов . Они вполне могут в конечном итоге сформировать основу для квантовых вычислений с коррекцией ошибок , и поэтому их абстрактное изучение в настоящее время имеет фундаментальное значение в квантовой информации .

Формальное обращение

Чтобы поставить вышеприведенное неформальное обсуждение групп кос на твердую почву, нужно использовать гомотопическую концепцию алгебраической топологии , определяющую группы кос как фундаментальные группы конфигурационного пространства . В качестве альтернативы можно определить группу кос чисто алгебраически через соотношения кос, имея в виду только рисунки, чтобы направлять интуицию.

Чтобы объяснить, как свести группу кос в смысле Артина к фундаментальной группе, рассмотрим связное многообразие размерности не менее 2. Симметричное произведение копий означает частное от деления , -кратного декартова произведения на действие перестановки симметрической группы на нитях, работающее на индексах координат. То есть упорядоченный -кортеж находится на той же орбите , что и любой другой, являющийся его переупорядоченной версией. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Путь в -кратном симметричном произведении - это абстрактный способ обсуждения точек , рассматриваемых как неупорядоченный -кортеж, независимо вычерчивающий строки. Поскольку мы должны потребовать, чтобы строки никогда не проходили друг через друга, необходимо, чтобы мы перешли к подпространству симметричного произведения, орбит -кортежей различных точек. То есть, мы удаляем все подпространства из , определенные условиями для всех . Это инвариантно относительно симметричной группы и является фактором по симметричной группе неисключенных -кортежей. При условии размерности будет связным. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$

С этим определением мы можем назвать группу кос с нитями ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ фундаментальной группой (для любого выбора базовой точки – это хорошо определено с точностью до изоморфизма). Случай, когда – евклидова плоскость, является исходным случаем Артина. В некоторых случаях можно показать, что высшие гомотопические группы тривиальны . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Закрытые косы

Когда X — плоскость, коса может быть замкнута , т. е. соответствующие концы могут быть соединены попарно, чтобы образовать связь , т. е. возможно переплетенное объединение возможно завязанных петель в трех измерениях. Количество компонентов связи может быть любым от 1 до n , в зависимости от перестановки нитей, определяемой связью. Теорема Дж. В. Александера показывает, что каждая связь может быть получена таким образом как «замыкание» косы. Сравните со связями струн .

Различные косы могут порождать одну и ту же связь, так же как различные диаграммы пересечения могут порождать один и тот же узел . В 1935 году Андрей Марков-младший описал два хода на диаграммах кос, которые приводят к эквивалентности в соответствующих замкнутых косах. ^[6] Одноходовая версия теоремы Маркова была опубликована в 1997 году. ^[7]

Вон Джонс первоначально определил свой многочлен как инвариант косы, а затем показал, что он зависит только от класса замкнутой косы.

Теорема Маркова дает необходимые и достаточные условия, при которых замыкания двух кос являются эквивалентными звеньями. ^[8]

Индекс косы

«Индекс косы» — это наименьшее количество нитей, необходимое для создания замкнутого представления косы связи. Он равен наименьшему количеству кругов Зейферта в любой проекции узла. ^[9]

История

Группы кос были явно введены Эмилем Артином в 1925 году, хотя (как указал Вильгельм Магнус в 1974 году ^[10] ) они уже подразумевались в работе Адольфа Гурвица по монодромии 1891 года.

Группы кос могут быть описаны явными представлениями , как это было показано Эмилем Артином в 1947 году. ^[11] Группы кос также понимаются посредством более глубокой математической интерпретации: как фундаментальная группа определенных конфигурационных пространств . ^[11]

Как говорит Магнус, Гурвиц дал интерпретацию группы кос как фундаментальной группы конфигурационного пространства (ср. теорию кос ), интерпретацию, которая была утеряна из виду, пока она не была заново открыта Ральфом Фоксом и Ли Нойвиртом в 1962 году. ^[12]

Основные свойства

Генераторы и отношения

Рассмотрим следующие три косы:

Каждая коса в может быть записана как композиция некоторого количества этих кос и их инверсий. Другими словами, эти три косы порождают группу . Чтобы увидеть это, произвольная коса сканируется слева направо на предмет пересечений; начиная сверху, всякий раз, когда встречается пересечение прядей и , или записывается, в зависимости от того, движется ли прядь под или над прядью . Достигнув правого конца, коса была записана как произведение ' и их инверсий. ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \sigma }$

Ясно, что

(я) , ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$

в то время как следующие два соотношения не столь очевидны:

(iiа) , ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$

(iib) ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

(Эти соотношения лучше всего оценить , нарисовав косу на листе бумаги). Можно показать, что все остальные соотношения между косами и уже следуют из этих соотношений и аксиом группы. ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{3}}$

Обобщая этот пример до нитей, группу можно абстрактно определить с помощью следующего представления : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

где в первой группе соотношений и во второй группе соотношений . ^{[13] [14]} Это представление приводит к обобщениям групп кос, называемых группами Артина . Кубические соотношения, известные как соотношения кос , играют важную роль в теории уравнений Янга–Бакстера . ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$ ${\displaystyle |i-j|\geq 2}$

Дополнительные свойства

• Группа кос тривиальна , является бесконечной циклической группой и изоморфна группе узлов трилистника — в частности, она является бесконечной неабелевой группой . ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B_{3}}$
• Группа кос из n -нитей встраивается как подгруппа в группу кос из -нитей путем добавления дополнительной нити, которая не пересекает ни одну из первых n нитей. Возрастающее объединение групп кос со всеми является бесконечной группой кос . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$
• Все нетождественные элементы имеют бесконечный порядок , т. е. не имеют кручения . ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• На существует левоинвариантный линейный порядок , называемый порядком Дехорноя . ${\displaystyle B_{n}}$
• Для содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими. ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Существует гомоморфизм , определяемый соотношением σ _i ↦ 1 . Так, например, коса σ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃ отображается в 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3 . Это отображение соответствует абелианизации группы кос. Поскольку σ _i ^k ↦ k , то σ _i ^k является тождеством тогда и только тогда, когда . Это доказывает, что генераторы имеют бесконечный порядок. ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0}$

Взаимодействия

Связь с симметрической группой и группой чистых кос

Забывая, как пряди скручиваются и пересекаются, каждая коса из n прядей определяет перестановку из n элементов. Это назначение является и совместимым с композицией, и, следовательно, становится сюръективным групповым гомоморфизмом B _n → S _n из группы кос на симметрическую группу . Образ косы σ _i ∈ B _n есть транспозиция s _i = ( i , i +1) ∈ S _n . Эти транспозиции порождают симметрическую группу, удовлетворяют соотношениям группы кос и имеют порядок 2. Это преобразует представление Артина группы кос в представление Кокстера симметрической группы:

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

Ядро гомоморфизма B _n → S _n — это подгруппа B _{n ,} называемая группой чистых кос на n нитях и обозначаемая P _n . Ее можно рассматривать как фундаментальную группу пространства n -кортежей различных точек евклидовой плоскости. В чистой косе начало и конец каждой нити находятся в одном и том же положении. Группы чистых кос укладываются в короткую точную последовательность

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

Эта последовательность расщепляется, и поэтому группы чистых кос реализуются как итерированные полупрямые произведения свободных групп.

Связь между B3и модульная группа

${\displaystyle B_{3}}$является универсальным центральным расширением модульной группы.

Группа кос является универсальным центральным расширением модулярной группы , при этом они располагаются как решетки внутри (топологической) универсальной накрывающей группы. ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$.

Более того, модулярная группа имеет тривиальный центр, и, таким образом , модулярная группа изоморфна фактор- группе по модулю ее центра и , что эквивалентно, группе внутренних автоморфизмов . ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle Z(B_{3}),}$ ${\displaystyle B_{3}}$

Вот конструкция этого изоморфизма . Определим

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$.

Из соотношений кос следует, что . Обозначая это последнее произведение как , можно проверить из соотношений кос, что ${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

подразумевая, что находится в центре . Обозначим подгруппу из , порожденную c , поскольку C  ⊂  Z ( B ₃ ) , это нормальная подгруппа и можно взять факторгруппу B ₃ / C . Мы утверждаем, что B ₃ / C ≅ PSL(2, Z ) ; этому изоморфизму можно придать явный вид. Смежные классы σ ₁ C и σ ₂ C отображаются в ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

где L и R — стандартные левые и правые ходы на дереве Штерна–Броко ; хорошо известно, что эти ходы порождают модулярную группу.

В качестве альтернативы, одно общее представление для модульной группы:

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

где

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

Отображение a в v и b в p дает сюръективный групповой гомоморфизм B ₃ → PSL(2, Z ) .

Центр B3 равен C , что является следствием того, что _c находится в центре, модулярная группа имеет тривиальный центр, а указанный выше сюръективный гомоморфизм имеет ядро ​​C.

Связь с группой классов картирования и классификация кос

Группа кос B _n может быть показана как изоморфная группе классов отображений проколотого диска с n проколами. Это проще всего визуализировать, представив, что каждый прокол соединен струной с границей диска; каждый гомоморфизм отображения, который переставляет два прокола, может тогда рассматриваться как гомотопия струн, то есть плетение этих струн.

С помощью этой интерпретации кос как группы классов отображений каждая коса может быть классифицирована как периодическая, приводимая или псевдоаносовская .

Связь с теорией узлов

Если дана коса и первый левый элемент соединяется с первым правым элементом с помощью новой нити, второй левый элемент со вторым правым элементом и т. д. (не создавая никаких кос в новых нитях), то получается ссылка , а иногда и узел . Теорема Александра в теории кос утверждает, что обратное также верно: каждый узел и каждое звено возникают таким образом из по крайней мере одной косы; такую ​​косу можно получить, разрезав ссылку. Поскольку косы можно конкретно задать как слова в генераторах σ _i , это часто является предпочтительным методом ввода узлов в компьютерные программы.

Вычислительные аспекты

Проблема со словами для соотношений кос эффективно разрешима, и существует нормальная форма для элементов B _n в терминах генераторов σ ₁ , ..., σ _{n −1} . (По сути, вычисление нормальной формы косы является алгебраическим аналогом «вытягивания нитей», как показано на нашем втором наборе изображений выше.) Бесплатная система компьютерной алгебры GAP может выполнять вычисления в B _n , если элементы заданы в терминах этих генераторов. Существует также пакет CHEVIE для GAP3 со специальной поддержкой групп кос. Проблема со словами также эффективно решается с помощью представления Лоуренса–Краммера .

В дополнение к проблеме со словами, существует несколько известных сложных вычислительных задач, которые могли бы реализовать группы кос, были предложены приложения в криптографии . ^[15]

Действия

По аналогии с действием симметрической группы перестановками, в различных математических условиях существует естественное действие группы кос на n -кортежи объектов или на n -сложенное тензорное произведение , которое включает некоторые "повороты". Рассмотрим произвольную группу G и пусть X будет множеством всех n -кортежей элементов G, произведение которых является единичным элементом G . Тогда B _n действует на X следующим образом:

${\displaystyle \sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).}$

Таким образом, элементы x _i и x _{i +1} меняются местами, и, кроме того, x _i скручивается внутренним автоморфизмом, соответствующим x _{i +1} – это гарантирует, что произведение компонентов x остается единичным элементом. Можно проверить, что соотношения группы кос выполняются, и эта формула действительно определяет групповое действие B _n на X . В качестве другого примера, сплетенная моноидальная категория является моноидальной категорией с действием группы кос. Такие структуры играют важную роль в современной математической физике и приводят к инвариантам квантовых узлов .

Представления

Элементы группы кос B _n могут быть представлены более конкретно матрицами. Одним из классических таких представлений является представление Бурау , где элементы матрицы являются полиномами Лорана с одной переменной . Это был давний вопрос, является ли представление Бурау точным , но ответ оказался отрицательным для n  ≥ 5. В более общем смысле, это была крупная открытая проблема, являются ли группы кос линейными . В 1990 году Рут Лоуренс описала семейство более общих «представлений Лоуренса», зависящих от нескольких параметров. В 1996 году Четан Наяк и Фрэнк Вильчек предположили, что по аналогии с проективными представлениями SO(3) проективные представления группы кос имеют физический смысл для определенных квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла . ^[16] Около 2001 года Стивен Бигелоу и Даан Краммер независимо доказали, что все группы кос линейны. В их работе использовалось представление Лоуренса–Краммера размерности, зависящее от переменных q и t . Соответствующим образом специализируя эти переменные, группа кос может быть реализована как подгруппа общей линейной группы над комплексными числами . ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle B_{n}}$

Бесконечно генерируемые группы кос

Существует много способов обобщить это понятие на бесконечное число нитей. Самый простой способ — взять прямой предел групп кос, где прикрепляющие отображения отправляют генераторы к первым генераторам (т.е., присоединяя тривиальную нить). Эта группа, однако, не допускает метризуемой топологии, оставаясь непрерывной. ${\displaystyle f\colon B_{n}\to B_{n+1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle B_{n+1}}$

Пол Фабель показал, что существуют две топологии , которые можно наложить на полученную группу, каждая из которых в результате дает другую группу. ^[17] Первая — очень простая группа, изоморфная группе классов отображений бесконечно проколотого диска — дискретному набору проколов, ограничивающемуся границей диска .

Вторую группу можно рассматривать так же, как и конечные группы кос. Поместите нить в каждую из точек , и множество всех кос — где коса определяется как набор путей от точек к точкам так, что функция дает перестановку на конечных точках — будет изоморфно этой группе Уайлдера. Интересным фактом является то, что группа чистых кос в этой группе изоморфна как обратному пределу конечных групп чистых кос , так и фундаментальной группе куба Гильберта за вычетом множества ${\displaystyle (0,1/n)}$ ${\displaystyle (0,1/n,0)}$ ${\displaystyle (0,1/n,1)}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \{(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.}$

Когомологии

Когомологии группы определяются как когомологии соответствующего классифицирующего пространства Эйленберга–Маклейна , , которое является комплексом CW, однозначно определенным с точностью до гомотопии. Классифицирующее пространство для группы кос — это n- ^е неупорядоченное конфигурационное пространство , то есть пространство всех множеств различных неупорядоченных точек на плоскости: ^[18] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})=\{\{u_{1},...,u_{n}\}:u_{i}\in \mathbb {R} ^{2},u_{i}\neq u_{j}{\text{ for }}i\neq j\}}$.

Итак, по определению

Расчеты коэффициентов можно найти в работе Фукса (1970). ^[19] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Аналогично, классифицирующее пространство для группы чистых кос — это , n- ^е упорядоченное конфигурационное пространство . В 1968 году Владимир Арнольд показал, что интегральные когомологии группы чистых кос являются фактором внешней алгебры , порожденной набором классов степени один , подчиняющихся соотношениям ^[20] ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle \omega _{ij}\;\;1\leq i<j\leq n}$

${\displaystyle \omega _{k,\ell }\omega _{\ell ,m}+\omega _{\ell ,m}\omega _{m,k}+\omega _{m,k}\omega _{k,\ell }=0.}$

Смотрите также

• Группа Артин–Титс
• Плетеная моноидная категория
• Сплетенное векторное пространство
• Сплетенная алгебра Хопфа
• Теория узлов
• Некоммутативная криптография
• Сферическая группа кос

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик. «Группа кос». Wolfram Mathworld .
2. Коэн, Даниэль; Сучиу, Александр (1997). «Брэйд-монодромия плоских алгебраических кривых и гиперплоских конфигураций». Commentarii Mathematici Helvetici . 72 (2): 285–315. arXiv : alg-geom/9608001 . doi :10.1007/s000140050017. S2CID  14502859.
3. Boyland, Philip L.; Aref, Hassan; Stremler, Mark A. (2000), "Topological fluid mechanics of stiring" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 403 (1): 277–304, Bibcode :2000JFM...403..277B, doi :10.1017/S0022112099007107, MR  1742169, S2CID  47710742, архивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2011 г.
4. Гуйяр, Эммануэль; Тиффо, Жан-Люк; Финн, Мэтью Д. (2006), «Топологическое смешивание с призрачными стержнями», Physical Review E , 73 (3): 036311, arXiv : nlin/0510075 , Bibcode : 2006PhRvE..73c6311G, doi : 10.1103/PhysRevE.73.036311, MR  2231368, PMID  16605655, S2CID  7142834
5. Стремлер, Марк А.; Росс, Шейн Д.; Гровер, Пиюш; Кумар, Панкадж (2011), «Топологический хаос и периодическое плетение почти циклических множеств», Physical Review Letters , 106 (11): 114101, Bibcode : 2011PhRvL.106k4101S, doi : 10.1103/PhysRevLett.106.114101 , hdl : 10919/24513 , PMID  21469863
6. Марков, Андрей (1935), «Über die freeie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe», Recueil Mathématique de la Société Mathématique de Moscou (на немецком и русском языках), 1 : 73–78
7. Ламбропулу, София; Рурк, Колин П. (1997), «Теорема Маркова в 3-многообразиях», Топология и ее приложения , 78 (1–2): 95–122, arXiv : math/0405498 , doi :10.1016/S0166-8641(96)00151-4, MR  1465027, S2CID  14494095
8. Бирман, Джоан С. (1974), Косы, связи и группы классов отображения , Annals of Mathematics Studies, т. 82, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08149-6, МР  0375281
9. Weisstein, Eric W. (август 2014 г.). «Braid Index». MathWorld – A Wolfram Web Resource . Получено 6 августа 2014 г.
10. Магнус, Вильгельм (1974). "Группы кос: обзор". Труды Второй международной конференции по теории групп . Заметки лекций по математике. Т. 372. Springer. С. 463–487. doi :10.1007/BFb0065203. ISBN 978-3-540-06845-7.
11. Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Annals of Mathematics . 48 (1): 101–126. doi :10.2307/1969218. JSTOR  1969218.
12. Фокс, Ральф ; Нойвирт, Ли (1962). «Группы кос». Mathematica Scandinavica . 10 : 119–126. doi : 10.7146/math.scand.a-10518 . MR  0150755.
13. Бирман, Джоан; Брендл, Тара. «КОСЫ: ОПРОС». arxiv.org . п. 1.2.
14. Либер, Джошуа. «Введение в группы кос» (PDF) . math.uchicago.edu . стр. 4.1.
15. Гарбер, Дэвид (2009). «Криптография группы Braid». arXiv : 0711.3941v2 [cs.CR].
16. Nayak, Chetan; Wilczek, Frank (1996), " 2 n квазидырочных состояний реализуют 2 ^{n -1} -мерную статистику спинорных переплетений в парных квантовых холловских состояниях", Nuclear Physics B , 479 (3): 529–553, arXiv : cond-mat/9605145 , Bibcode : 1996NuPhB.479..529N, doi : 10.1016/0550-3213(96)00430-0, S2CID  18726223 Некоторые из предложений Вильчека-Наяк тонко нарушают известную физику; см. обсуждение Read, N. (2003), "Nonabelian braid statistics versus projective permutation statistics", Journal of Mathematical Physics , 44 (2): 558–563, arXiv : hep-th/0201240 , Bibcode : 2003JMP....44..558R, doi : 10.1063/1.1530369, S2CID  119388336
17. • Фабель, Пол (2005), «Завершение группы кос Артина на бесконечном числе нитей», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 14 (8): 979–991, arXiv : math/0201303 , doi :10.1142/S0218216505004196, MR  2196643, S2CID  16998867
    • Фабель, Пол (2006), «Группа классов отображения диска с бесконечным числом отверстий», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 15 (1): 21–29, arXiv : math/0303042 , doi :10.1142/S0218216506004324, MR  2204494, S2CID  13892069
18. Грист, Роберт (1 декабря 2009 г.). «Пространства конфигураций, косы и робототехника». Косы . Серия заметок лекций, Институт математических наук, Национальный университет Сингапура. Том 19. World Scientific . С. 263–304. doi :10.1142/9789814291415_0004. ISBN 9789814291408.
19. Фукс, Дмитрий Б. (1970). «Когомологии группы кос mod 2». Функциональный анализ и его приложения . 4 (2): 143–151. doi :10.1007/BF01094491. MR  0274463. S2CID  123442457.
20. Арнольд, Владимир (1969). "Кольцо когомологий группы крашеных кос" (PDF) . Матем. Заметки . 5 : 227–231. MR  0242196.

Дальнейшее чтение

• Бирман, Джоан ; Брендл, Тара Э. (26 февраля 2005 г.), Braids: A Survey , arXiv : math.GT/0409205. В Менаско и Тислтуэйт 2005 г.
• Карлуччи, Лоренцо; Дехорной, Патрик ; Вайерманн, Андреас (2011), «Результаты недоказуемости, связанные с косами», Труды Лондонского математического общества , 3, 102 (1): 159–192, arXiv : 0711.3785 , doi : 10.1112/plms/pdq016, MR  2747726, S2CID  16467487
• Чернавский, А.В. (2001) [1994], "Теория кос", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Делинь, Пьер (1972), «Les immeubles des groupes de tresses généralisés», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D, doi : 10.1007/BF01406236, ISSN  0020-9910, МР  0422673, S2CID  123680847
• Фокс, Ральф ; Нойвирт, Ли (1962), «Группы кос», Mathematica Scandinavica , 10 : 119–126, doi : 10.7146/math.scand.a-10518 , MR  0150755
• Кассель, Кристиан; Тураев, Владимир (2008), Braid Groups, Springer, ISBN 978-0-387-33841-5
• Менаско, Уильям ; Тистлтуэйт, Морвен , ред. (2005), Справочник по теории узлов , Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3

Внешние ссылки

• "Группа кос". PlanetMath .
• CRAG: Библиотека вычислений криптографии и групп от Центра алгебраической криптографии Университета Стивенса
• Маколей, М. Лекция 1.3: Группы в науке, искусстве и математике. Визуальная теория групп . Университет Клемсона.
• Бигелоу, Стивен . "Исследование апплета B5 Java". Архивировано из оригинала 4 июня 2013 г. Получено 1 ноября 2007 г.
• Липмаа, Хельгер, Страница «Криптография и группы кос», архивировано с оригинала 3 августа 2009 г.
• Далвит, Эстер (2015). Косы – фильм.
• Шерих, Нэнси. Представления групп кос. Танцуй свою докторскую диссертацию .более подробно в книге «За кулисами математики «Dance Your PhD», часть 1: Группы кос».