Закон сохранения

В физике закон сохранения гласит, что конкретное измеримое свойство изолированной физической системы не изменяется по мере развития системы с течением времени. Точные законы сохранения включают сохранение массы-энергии , сохранение импульса , сохранение момента импульса и сохранение электрического заряда . Существует также много приближенных законов сохранения, которые применяются к таким величинам, как масса , четность , лептонное число , барионное число , странность , гиперзаряд и т. д. Эти величины сохраняются в определенных классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение непрерывности , частное дифференциальное уравнение , которое дает связь между количеством количества и «переносом» этого количества. Он утверждает, что количество сохраняющегося количества в точке или внутри объема может изменяться только на количество количества, которое втекает или вытекает из объема.

Из теоремы Нётер следует , что каждая дифференцируемая симметрия приводит к закону сохранения. ^[1]^[2]^[3] Могут существовать и другие сохраняющиеся величины.

Законы сохранения как фундаментальные законы природы

Законы сохранения имеют основополагающее значение для нашего понимания физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не изменяется, хотя может изменять форму. В общем, общее количество свойства, регулируемого этим законом, остается неизменным в ходе физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), линейного импульса, углового момента и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, кроме как парами, где одна является обычной, а другая является античастицей. Что касается принципов симметрии и инвариантности, были описаны три специальных закона сохранения, связанных с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, имеющими широкое применение в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и инженерия.

Большинство законов сохранения являются точными или абсолютными в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения являются частичными, в том смысле, что они справедливы для некоторых процессов, но не для других.

Одним из особенно важных результатов, касающихся законов сохранения, является теорема Нётер , которая утверждает, что существует взаимно-однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемой симметрией Вселенной . Например, сохранение энергии следует из однородности времени , а сохранение момента импульса возникает из изотропии пространства , ^[4]^[5]^{[6] т.е. потому, что нет выделенного направления}пространства . Примечательно, что не существует закона сохранения, связанного с обращением времени , хотя известны более сложные законы сохранения , объединяющие обращение времени с другими симметриями .

Точные законы

Частичный список физических уравнений сохранения, обусловленных симметрией , которые считаются точными законами , или, точнее, никогда не было доказано, что они нарушаются:

Другая точная симметрия — это CPT-симметрия , одновременная инверсия пространственных и временных координат, вместе с заменой всех частиц их античастицами; однако, будучи дискретной симметрией, теорема Нётер к ней неприменима. Соответственно, сохраняющаяся величина, CPT-чётность, обычно не может быть осмысленно рассчитана или определена.

Приблизительные законы

Существуют также приближенные законы сохранения. Они приблизительно верны в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные масштабы или определенные взаимодействия.

Сохранение механической энергии
Сохранение массы (приблизительно справедливо для нерелятивистских скоростей )
Сохранение барионного числа (см. хиральную аномалию и сфалерон )
Сохранение лептонного числа (в Стандартной модели )
Сохранение вкуса (нарушается слабым взаимодействием )
Сохранение странности (нарушается слабым взаимодействием )
Сохранение пространственной четности (нарушается слабым взаимодействием )
Сохранение зарядовой четности (нарушается слабым взаимодействием )
Сохранение временной четности (нарушается слабым взаимодействием )
Сохранение CP-четности (нарушаемое слабым взаимодействием ); в Стандартной модели это эквивалентно сохранению временной четности .

Глобальные и местные законы охраны природы

Общее количество некоторой сохраняющейся величины во Вселенной может остаться неизменным, если равное количество появится в одной точке A и одновременно исчезнет из другой отдельной точки B. Например, некоторое количество энергии может появиться на Земле, не изменив общего количества во Вселенной, если такое же количество энергии исчезнет из какой-то другой области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, поскольку она не является инвариантной относительно Лоренца , поэтому явления, подобные вышеприведенным, не встречаются в природе. ^[7]^[8] Согласно специальной теории относительности , если появление энергии в точке A и исчезновение энергии в точке B происходят одновременно в одной инерциальной системе отсчета , они не будут происходить одновременно в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. В движущейся системе отсчета одно произойдет раньше другого; либо энергия в точке A появится до или после исчезновения энергии в точке B. В обоих случаях в течение интервала энергия не будет сохраняться.

Более сильная форма закона сохранения требует, чтобы для изменения величины сохраняющейся величины в точке должен быть поток или поток величины в точку или из нее. Например, величина электрического заряда в точке никогда не изменяется без электрического тока в точку или из нее, который переносит разницу в заряде. Поскольку он включает только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является инвариантным относительно Лоренца ; величина, сохраняющаяся в одной системе отсчета, сохраняется во всех движущихся системах отсчета. ^[7]^[8] Это называется локальным законом сохранения. ^[7]^[8] Локальное сохранение также подразумевает глобальное сохранение; что общая величина сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянной. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения математически выражается уравнением непрерывности , которое гласит, что изменение величины в объеме равно общему чистому «потоку» величины через поверхность объема. В следующих разделах обсуждаются уравнения непрерывности в целом.

Дифференциальные формы

В механике сплошных сред наиболее общая форма точного закона сохранения задается уравнением непрерывности . Например, сохранение электрического заряда $q$ имеет вид , где $\nabla\cdot$ — оператор дивергенции , $ρ$ — плотность $q$ (количество на единицу объема), $j$ — поток $q$ (количество, пересекающее единичную площадь за единицу времени), а $t$ — время. ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \,$

Если предположить, что движение заряда u является непрерывной функцией положения и времени, то ${\begin{aligned}\mathbf {j} &=\rho \mathbf {u} \\{\frac {\partial \rho }{\partial t}} &=-\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\,.\end{aligned}}$

В одном пространственном измерении это можно представить в виде однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка : ^[9]^{: 43} где зависимая переменная $y$ называется плотностью сохраняющейся величины , а $A$ $($ $y$ $)$ называется текущим якобианом , и для частных производных были использованы нижние индексные обозначения. Более общий неоднородный случай: не является уравнением сохранения, а представляет собой общий вид уравнения баланса, описывающего диссипативную систему . Зависимая переменная $y$ называется несохраняющейся величиной , а неоднородный член $s$ $($ $y$ $,$ $x$ $,$ $t$ $)$ является источником , или диссипацией . Например, уравнения баланса такого рода являются уравнениями импульса и энергии Навье-Стокса или балансом энтропии для общей изолированной системы . ${\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = 0}$ ${\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = s}$

В одномерном пространстве уравнение сохранения представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка , которое можно представить в адвективной форме: где зависимая переменная $y$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ называется плотностью сохраняющейся (скалярной) величины, а $a$ $($ $y$ $)$ называется текущим коэффициентом , обычно соответствующим частной производной по сохраняющейся величине от текущей плотности сохраняющейся величины $j$ $($ $y$ $)$ : ^[9]^{: 43} $y_{t}+a(y)y_{x}=0$ $a(y)=j_{y}(y)$

В этом случае, поскольку применяется цепное правило , уравнение сохранения можно представить в виде плотности тока: $j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}$ $y_{t}+j_{x}(y)=0$

В пространстве с более чем одним измерением предыдущее определение можно расширить до уравнения, которое можно представить в виде: $y_{t}+\mathbf {a} (y)\cdot \nabla y=0$

где сохраняющаяся величина равна $y (r, t)$ , $\cdot$ обозначает скалярное произведение , $\nabla$ — оператор набла , здесь указывающий градиент , а $a (y)$ — вектор коэффициентов тока, аналогично соответствующий дивергенции векторной плотности тока, связанной с сохраняющейся величиной $j (y)$ : $y_{t}+\nabla \cdot \mathbf {j} (y)=0$

Это касается уравнения непрерывности : $\rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u})=0$

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью $ρ (r, t)$ и плотностью тока $ρu,$ идентичной плотности импульса , тогда как $u (r, t)$ — скорость потока .

В общем случае уравнение сохранения может быть также системой такого рода уравнений ( векторное уравнение ) в виде: ^[9]^{: 43} где $y$ называется сохраняющейся ( векторной ) величиной, $\nabla$ $y$ — ее градиентом , $0$ — нулевым вектором , а $A$ $($ $y$ $)$ называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в предыдущем скалярном случае, также и в векторном случае A ( y ) обычно соответствует якобиану матрицы плотности тока $J$ $($ $y$ $)$ : и уравнение сохранения можно представить в виде: $\mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}$ $\mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )$ $\mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}$

Например, это касается уравнений Эйлера (гидродинамика). В простом несжимаемом случае они имеют вид: $\nabla \cdot \mathbf {u} =0\,,\qquad {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s=\mathbf {0} ,$

где:

$u$ —вектор скорости потока с компонентами в N-мерном пространстве $u$ $1$ $,$ $u$ $2$ $, ...,$ $u$ $N$ ,
$s$ — удельное давление (давление на единицу плотности ), дающее источник ,

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и матрица плотности тока для этих уравнений равны соответственно:

${\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad$

где обозначает внешнее произведение . $\otimes$

Целостные и слабые формы

Уравнения сохранения обычно также могут быть выражены в интегральной форме: преимущество последней по существу состоит в том, что она требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме , расширяя класс допустимых решений, включая разрывные решения. ^[9]^{: 62–63} Интегрируя в любой пространственно-временной области форму плотности тока в одномерном пространстве: и используя теорему Грина , интегральная форма имеет вид: $y_{t}+j_{x}(y)=0$ $\int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0$

Аналогичным образом, для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет вид: где интегрирование по линии выполняется вдоль границы области против часовой стрелки. ^[9]^{: 62–63} $\oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0$

Более того, определив тестовую функцию φ ( r , t ), непрерывно дифференцируемую как во времени, так и в пространстве с компактным носителем, слабую форму можно получить, поворачивая начальное условие . В одномерном пространстве это: $\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx$

В слабой форме все частные производные плотности и плотности тока были переданы тестовой функции, которая при первой гипотезе является достаточно гладкой, чтобы допустить эти производные. ^[9]^{: 62–63}

Смотрите также

Инвариант (физика)
Импульс
- Уравнение импульса Коши
Энергия
- Сохранение энергии и Первый закон термодинамики
Консервативная система
Сохраняемое количество
- Некоторые виды спиральности сохраняются в бездиссипативном пределе: гидродинамическая спиральность , магнитная спиральность , перекрестная спиральность.
Принцип изменчивости
Закон сохранения тензора энергии- напряжения
инвариант Римана
Философия физики
Принцип тоталитаризма
Уравнение конвекции-диффузии
Однородность природы

Примеры и приложения

Примечания

^ Ибрагимов, Н. Х. CRC HANDBOOK OF LIE GROUP ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS VOLUME 1 -SYMMETRIES EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS. (CRC Press, 2023)
^ Косманн-Шварцбах, Ю. в Философия и физика теорем Нётер: Столетие Том 4-24 (Издательство Кембриджского университета, 2022)
^ Рао, АК, Трипати, А., Чаухан, Б. и Малик, Р. П. Теорема Нётер и свойство нильпотентности (анти-)BRST-зарядов в формализме BRST: краткий обзор. Вселенная 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
^ Ибрагимов, Н. Х. CRC HANDBOOK OF LIE GROUP ANALYSIS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS VOLUME 1 -SIMMETRIES EXACT SOLUTIONS AND CONSERVATION LAWS. (CRC Press, 2023).
^ Косманн-Шварцбах, Ю. в книге «Философия и физика теорем Нётер: столетие», том 4–24 (Издательство Кембриджского университета, 2022).
^ Рао, АК, Трипати, А., Чаухан, Б. и Малик, Р. П. Теорема Нётер и свойство нильпотентности (анти-)BRST-зарядов в формализме BRST: краткий обзор. Вселенная 8 (2022). https://doi.org/10.3390/universe8110566
^ abc Aitchison, Ian JR; Hey, Anthony JG (2012). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: практическое введение: от релятивистской квантовой механики к QED, четвертое издание, том 1. CRC Press. стр. 43. ISBN 978-1466512993. Архивировано из оригинала 2018-05-04.
^ abc Уилл, Клиффорд М. (1993). Теория и эксперимент в гравитационной физике. Cambridge Univ. Press. стр. 105. ISBN 978-0521439732. Архивировано из оригинала 2017-02-20.
^ abcdef Toro, EF (1999). "Глава 2. Понятия о гиперболических уравнениях в частных производных". Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.

Ссылки

Филипсон, Шустер, Моделирование с помощью нелинейных дифференциальных уравнений: диссипативные и консервативные процессы , World Scientific Publishing Company 2009.
Виктор Дж. Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Буффало, Нью-Йорк: Prometheus Books. Глава 12 — это мягкое введение в симметрию, инвариантность и законы сохранения.
Э. Годлевский и П.А. Равиарт, Гиперболические системы законов сохранения, Эллипсы, 1991.

Внешние ссылки

Медиа, связанные с законами об охране природы на Wikimedia Commons
Законы сохранения – Гл. 11–15 в онлайн-учебнике