Изометрия

Математическое преобразование, сохраняющее расстояние

Композиция двух противоположных изометрий — это прямая изометрия. Отражение относительно прямой — это противоположная изометрия, как R 1 _или R 2 _на изображении. Трансляция T — это прямая изометрия: жесткое движение . ^[1]

В математике изометрия (или конгруэнтность , или конгруэнтное преобразование ) — это сохраняющее расстояние преобразование между метрическими пространствами , обычно предполагаемое биективным . [ ^a] Слово изометрия происходит от древнегреческого : ἴσος isos — «равный», и μέτρον metron — «мера». Если преобразование происходит из метрического пространства в себя, то это вид геометрического преобразования, известного как движение .

Введение

Если задано метрическое пространство (в более широком смысле — множество и схема для задания расстояний между элементами множества), изометрия — это преобразование , которое отображает элементы в то же самое или другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двумерном или трехмерном евклидовом пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны , если они связаны изометрией; ^[b] изометрия, которая их связывает, является либо жестким движением (переносом или вращением), либо композицией жесткого движения и отражения .

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство вкладывается в другое. Например, завершение метрического пространства включает изометрию из в фактор-множество пространства последовательностей Коши по Исходное пространство , таким образом, изометрически изоморфно подпространству полного метрического пространства и обычно отождествляется с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого нормированного векторного пространства и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого банахова пространства . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M',}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle M}$

Изометрический сюръективный линейный оператор в гильбертовом пространстве называется унитарным оператором .

Определение

Пусть и — метрические пространства с метриками (например, расстояниями) и Отображение называется изометрическим или сохраняющим расстояния отображением, если для любого , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle d_{X}}$ ${\textstyle d_{Y}.}$ ${\textstyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle a,b\in X}$

${\displaystyle d_{X}(a,b)=d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right).}$^{[4] [с]}

Изометрия автоматически инъективна ; ^[a] в противном случае две различные точки, a и b , могли бы быть отображены в одну и ту же точку, тем самым противореча аксиоме совпадения метрики d , т.е. тогда и только тогда, когда . Это доказательство похоже на доказательство того, что упорядоченное вложение между частично упорядоченными множествами инъективно. Очевидно, что каждая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением . ${\displaystyle d(a,b)=0}$ ${\displaystyle a=b}$

Глобальная изометрия , изометрический изоморфизм или отображение конгруэнтности — это биективная изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет функцию, обратную . Обратная функция глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства X и Y называются изометрическими, если существует биективная изометрия из X в Y. Множество биективных изометрий из метрического пространства в себя образует группу относительно композиции функций , называемую группой изометрий .

Существует также более слабое понятие изометрии пути или дуговой изометрии :

Изометрия пути или дуговая изометрия — это отображение, сохраняющее длины кривых ; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращается до просто изометрии , поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип подразумевается.

Примеры

• Любое отражение , перенос и вращение является глобальной изометрией на евклидовых пространствах . См. также Евклидова группа и евклидово пространство § Изометрии .
• Карта в является изометрией пути , но не (общей) изометрией. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, эта изометрия пути не обязательно должна быть инъективной. ${\displaystyle x\mapsto |x|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение : ^[5] Средняя точка двух элементов x и y в векторном пространстве — это вектор ⁠1/2⁠ ( х + у ) .

Теорема ^{[5] [6]}  —  Пусть A  : X → Y — сюръективная изометрия между нормированными пространствами , которая отображает 0 в 0 ( Стефан Банах называл такие отображения поворотами ), где следует отметить, что A не считается линейной изометрией . Тогда A отображает средние точки в средние точки и является линейным как отображение над действительными числами . Если X и Y — комплексные векторные пространства, то A может не быть линейным как отображение над . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Линейная изометрия

Даны два нормированных векторных пространства и линейная изометрия, есть линейное отображение , сохраняющее нормы: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle A:V\to W}$

${\displaystyle \|Av\|_{W}=\|v\|_{V}}$

для всех ^[7] Линейные изометрии являются отображениями, сохраняющими расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективны . ${\displaystyle v\in V.}$

В пространстве внутренних произведений приведенное выше определение сводится к

${\displaystyle \langle v,v\rangle _{V}=\langle Av,Av\rangle _{W}}$

для всех , что эквивалентно утверждению, что Это также подразумевает, что изометрии сохраняют внутренние произведения, как ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle A^{\dagger }A=\operatorname {Id} _{V}.}$

${\displaystyle \langle Au,Av\rangle _{W}=\langle u,A^{\dagger }Av\rangle _{V}=\langle u,v\rangle _{V}}$.

Однако линейные изометрии не всегда являются унитарными операторами , поскольку для них дополнительно требуется, чтобы и (т.е. область определения и кодомен совпадают и определяют коизометрию ). ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle AA^{\dagger }=\operatorname {Id} _{V}}$ ${\displaystyle A}$

По теореме Мазура–Улама любая изометрия нормированных векторных пространств над является аффинной . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Линейная изометрия также обязательно сохраняет углы, поэтому преобразование линейной изометрии является конформным линейным преобразованием .

Примеры

• Линейное отображение из в себя является изометрией (для скалярного произведения ) тогда и только тогда, когда его матрица унитарна . ^{[8] [9] [10] [11]} ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Коллектор

Изометрия многообразия — это любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрики на многообразии; многообразие с (положительно-определенной) метрикой является римановым многообразием , многообразие с неопределенной метрикой является псевдоримановым многообразием . Таким образом, изометрии изучаются в римановой геометрии .

Локальная изометрия из одного ( псевдо ) риманова многообразия в другое — это отображение, которое возвращает метрический тензор на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такое отображение также является диффеоморфизмом , такое отображение называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ) и обеспечивает понятие изоморфизма («одинаковости») в категории Rm римановых многообразий.

Определение

Пусть и — два (псевдо)римановых многообразия, и пусть — диффеоморфизм. Тогда называется изометрией (или изометрическим изоморфизмом ), если ${\displaystyle R=(M,g)}$ ${\displaystyle R'=(M',g')}$ ${\displaystyle f:R\to R'}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle g=f^{*}g',}$

где обозначает обратный путь метрического тензора ранга (0, 2) через . Эквивалентно, в терминах прямого пути мы имеем, что для любых двух векторных полей на (т.е. сечений касательного расслоения ), ${\displaystyle f^{*}g'}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*},}$ ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} M}$

${\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).}$

Если — локальный диффеоморфизм такой, что то называется локальной изометрией . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{*}g',}$ ${\displaystyle f}$

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группу изометрий . Когда группа является непрерывной группой , бесконечно малые генераторы группы являются векторными полями Киллинга .

Теорема Майерса–Стинрода утверждает, что каждая изометрия между двумя связанными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является группой Ли .

Римановы многообразия , изометрии которых определены в каждой точке, называются симметричными пространствами .

Обобщения

• Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или почти изометрия (также называемая приближением Хаусдорфа ) представляет собой отображение между метрическими пространствами, такое что ${\displaystyle f\colon X\to Y}$
  1. для одного есть и ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle |d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon ,}$
  2. для любой точки существует точка с ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon }$

То есть, ε -изометрия сохраняет расстояния в пределах ε и не оставляет ни одного элемента области значений, который бы находился дальше ε от образа элемента области. Обратите внимание, что ε -изометрии не предполагаются непрерывными .

• Свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
• Квазиизометрия — еще одно полезное обобщение.
• Можно также определить элемент в абстрактной унитальной C*-алгебре как изометрию:

  ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$является изометрией тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a^{*}\cdot a=1.}$

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, поскольку в общем случае не существует такого, что левый обратный элемент является правым обратным элементом.

• На псевдоевклидовом пространстве термин изометрия означает линейную биекцию, сохраняющую величину. См. также Квадратичные пространства .

Смотрите также

• Теорема Бекмана–Куорлза
• Конформное отображение  – математическая функция, сохраняющая углы.
• Второе сопряженное пространство банаха как изометрический изоморфизм
• Изометрия евклидовой плоскости
• Плоский (геометрия)
• Группа гомеоморфизма
• Инволюция
• Группа изометрии
• Движение (геометрия)
• Теорема Майерса–Стинрода
• 3D-изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным
• Частичная изометрия
• Масштабирование (геометрия)
• Полуопределенное вложение
• Космическая группа
• Симметрия в математике

Сноски

1. «Мы найдем удобным использовать слово преобразование в специальном смысле взаимно однозначного соответствия между всеми точками на плоскости (или в пространстве), то есть правила для связывания пар точек, с пониманием того, что каждая пара имеет первый член P и второй член P' и что каждая точка появляется как первый член только одной пары, а также как второй член только одной пары... ${\displaystyle P\to P'}$
   В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование», или «конгруэнтность») — это преобразование, которое сохраняет длину...» — Коксетер (1969) стр. 29 ^[2]

2. 3.11 Любые два равных треугольника связаны единственной изометрией. — Коксетер (1969) стр. 39 ^[3]

3. Пусть T — преобразование (возможно, многозначное) ( ) в себя. Пусть — расстояние между точками p и q , и пусть Tp , Tq — любые образы p и q , соответственно. Если существует длина a > 0 такая, что всякий раз , то T — евклидово преобразование на себя. ^[4]
   ${\displaystyle E^{n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\infty }$
   ${\displaystyle d(p,q)}$ ${\displaystyle E^{n}}$
   ${\displaystyle d(Tp,Tq)=a}$ ${\displaystyle d(p,q)=a}$ ${\displaystyle E^{n}}$

Ссылки

1. Коксетер 1969, стр. 46

   3.51 Любая прямая изометрия есть либо перенос, либо вращение. Любая обратная изометрия есть либо отражение, либо скользящее отражение.

2. Коксетер 1969, стр. 29
3. Коксетер 1969, стр. 39
4. Beckman, FS; Quarles, DA Jr. (1953). "Об изометриях евклидовых пространств" (PDF) . Труды Американского математического общества . 4 (5): 810–815. doi : 10.2307/2032415 . JSTOR  2032415. MR  0058193.
5. Narici & Beckenstein 2011, стр. 275–339.
6. Вилански 2013, стр. 21–26.
7. Томсен, Джеспер Фанч (2017). Линейная алгебра [ Линейная алгебра ]. Кафедра математики (на датском языке). Орхус: Орхусский университет. п. 125.
8. Roweis, ST; Saul, LK (2000). «Нелинейное снижение размерности путем локально линейного вложения». Science . 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313 . doi :10.1126/science.290.5500.2323. PMID  11125150. 
9. Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (июнь 2003 г.). «Думай глобально, подгоняй локально: неконтролируемое обучение нелинейных многообразий». Журнал исследований машинного обучения . 4 (июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация (стр. 135) такая, что ${\displaystyle \mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)}$ ${\displaystyle \mathbf {M} \equiv YY^{\top }}$
10. Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунъюань (2004). «Главные многообразия и нелинейное уменьшение размерности посредством локального выравнивания касательного пространства». Журнал SIAM по научным вычислениям . 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957 . doi :10.1137/s1064827502419154. 
11. Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: Модифицированное локально линейное вложение с использованием нескольких весов». В Schölkopf, B.; Platt, J.; Hoffman, T. (ред.). Достижения в области нейронных систем обработки информации . NIPS 2006. NeurIPS Proceedings. Том 19. С. 1593–1600. ISBN 9781622760381. Он может получить идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического многообразия.

Библиография

• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
• Коксетер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию, второе издание . Wiley . ISBN 9780471504580.
• Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.