Спираль

Кривая, которая огибает центральную точку

Разрез раковины наутилуса , на котором видны камеры, расположенные примерно по логарифмической спирали.

В математике спираль — это кривая , которая исходит из точки и удаляется по мере вращения вокруг нее. ^{[1] [2] [3] [4]} Это подтип завитковых узоров, широкая группа, которая также включает концентрические объекты .

Спирали

Архимедова спираль (черная), винтовая линия (зеленая) и коническая спираль (красная)

Два основных определения слова «спираль» в словаре American Heritage Dictionary : ^[5]

1. кривая на плоскости, которая огибает фиксированную центральную точку на постоянно увеличивающемся или уменьшающемся расстоянии от этой точки.
2. трехмерная кривая, которая поворачивается вокруг оси на постоянном или непрерывно изменяющемся расстоянии, двигаясь параллельно оси; винтовая линия .

Первое определение описывает плоскую кривую, которая простирается в обоих перпендикулярных направлениях внутри ее плоскости; канавка на одной стороне граммофонной пластинки очень близка к плоской спирали (и именно из-за конечной ширины и глубины канавки, а не из-за большего расстояния между дорожками, чем внутри них, она не может считаться идеальным примером); обратите внимание, что последовательные петли различаются по диаметру. В другом примере «центральные линии» рукавов спиральной галактики вычерчивают логарифмические спирали .

Второе определение включает два вида трехмерных родственников спиралей:

• Коническая или спиральная пружина (включая пружину, используемую для удержания и контакта с отрицательными клеммами батареек типа AA или AAA в батарейном отсеке ), а также вихрь , который создается при сливе воды в раковине, часто описываются как спираль или как коническая винтовая линия .
• Совершенно очевидно, что определение 2 также включает цилиндрическую спиральную пружину и нить ДНК , обе из которых являются довольно спиральными, так что «спираль» является более полезным описанием, чем «спираль» для каждой из них; в целом, «спираль» редко применяется, если последовательные «петли» кривой имеют одинаковый диаметр. ^[5]

На боковой картинке черная кривая внизу — это архимедова спираль , а зеленая кривая — это спираль. Кривая, показанная красным, — это коническая спираль.

Двумерный

Двумерную , или плоскую, спираль проще всего описать с помощью полярных координат , где радиус является монотонной непрерывной функцией угла : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

• ${\displaystyle r=r(\varphi )\;.}$

Окружность можно рассматривать как вырожденный случай ( функция не является строго монотонной, а скорее постоянной ).

В - -координатах кривая имеет параметрическое представление: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \;.}$

Примеры

Некоторые из наиболее важных видов двумерных спиралей включают в себя:

• Архимедова спираль : ${\displaystyle r=a\varphi }$
• Гиперболическая спираль : ${\displaystyle r=a/\varphi }$
• Спираль Ферма : ${\displaystyle r=a\varphi ^{1/2}}$
• Литуус :​ ${\displaystyle r=a\varphi ^{-1/2}}$
• Логарифмическая спираль : ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$
• Спираль Корню или клотоида
• Спираль Фибоначчи и золотая спираль
• Спираль Феодора : приближение спирали Архимеда, состоящее из смежных прямоугольных треугольников.
• Эвольвента окружности​

• 
  Архимедова спираль
• 
  гиперболическая спираль
• 
  Спираль Ферма
• 
  литуус
• 
  логарифмическая спираль
• 
  спираль Корню
• 
  спираль Феодора
• 
  Спираль Фибоначчи (золотая спираль)
• 
  Эвольвента окружности (черная) не идентична архимедовой спирали (красная).

Гиперболическая спираль как центральная проекция винтовой линии

Например, при сворачивании ковра образуется архимедова спираль . ^[6]

Гиперболическая спираль выглядит как изображение спирали с особой центральной проекцией (см. диаграмму). Гиперболическую спираль иногда называют обратной спиралью, потому что она является изображением архимедовой спирали с инверсией окружности (см. ниже). ^[7]

Название логарифмическая спираль происходит от уравнения . Приближения к нему встречаются в природе. ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}$

Спирали, которые не вписываются в эту схему первых 5 примеров:

Спираль Корню имеет две асимптотические точки.
Спираль Феодора является многоугольником.
Спираль Фибоначчи состоит из последовательности дуг окружностей.
Развертка окружности выглядит как архимедова, но таковой не является: см. Involute#Examples .

Геометрические свойства

Следующие соображения касаются спиралей, которые можно описать полярным уравнением , особенно для случаев (архимедовой, гиперболической, спирали Ферма, спирали Литууса) и логарифмической спирали . ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )=a\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$

Определение сектора (светло-голубого) и угла наклона полюса ${\displaystyle \alpha }$

Угол наклона полюса

Угол между касательной спирали и соответствующей полярной окружностью (см. диаграмму) называется углом полярного наклона и полярным наклоном . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tan \alpha }$

Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}$

Следовательно, наклон спирали равен ${\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}$

В случае архимедовой спирали ( ) полярный наклон равен ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}$

В логарифмической спирали является постоянной. ${\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }$

Кривизна

Кривизна кривой с полярным уравнением равна ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}$

Для спирали с получаем ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}}$

• ${\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}$

В случае (архимедовой спирали) . Только для спирали есть точка перегиба . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}$
${\displaystyle -1<n<0}$

Кривизна логарифмической спирали равна ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}$

Секторная площадь

Площадь сектора кривой (см. диаграмму) с полярным уравнением равна ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}$

Для спирали с уравнением получаем ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{if}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{if}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}$

Формула для логарифмической спирали : ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}$

Длина дуги

Длина дуги кривой с полярным уравнением равна ${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}$

Для спирали длина равна ${\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}$

• ${\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}$

Не все эти интегралы можно решить с помощью подходящей таблицы. В случае спирали Ферма интеграл можно выразить только эллиптическими интегралами .

Длина дуги логарифмической спирали равна ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}$

Инверсия круга

Инверсия на единичной окружности имеет в полярных координатах простое описание: . ${\displaystyle \ (r,\varphi )\mapsto ({\tfrac {1}{r}},\varphi )\ }$

• Образ спирали при инверсии на единичной окружности — это спираль с полярным уравнением . Например: Обратной спирали Архимеда является гиперболическая спираль. ${\displaystyle \ r=a\varphi ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ r={\tfrac {1}{a}}\varphi ^{-n}\ }$

Логарифмическая спираль отображается на логарифмическую спираль ${\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}$ ${\displaystyle \;r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\;.}$

Ограниченные спирали

Ограниченные спирали: (слева), (справа)
${\displaystyle r=a\arctan(k\varphi )}$
${\displaystyle r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)}$

Функция спирали обычно строго монотонна, непрерывна и неограниченна . Для стандартных спиралей это либо степенная, либо экспоненциальная функция. Если выбрать ограниченную функцию , то спираль также будет ограниченной. Подходящей ограниченной функцией является функция arctan : ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$ ${\displaystyle r(\varphi )}$

Пример 1

Задание и выбор дают спираль, которая начинается в начале координат (подобно архимедовой спирали) и приближается к окружности с радиусом (диаграмма слева). ${\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}$ ${\displaystyle \;k=0.1,a=4,\;\varphi \geq 0\;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi /2\;}$

Пример 2

Для и получается спираль, которая приближается к началу координат (как гиперболическая спираль) и приближается к окружности с радиусом (диаграмма справа). ${\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}$ ${\displaystyle \;k=0.2,a=2,\;-\infty <\varphi <\infty \;}$ ${\displaystyle \;r=a\pi \;}$

Трёхмерный

Две хорошо известные спиральные пространственные кривые — это конические спирали и сферические спирали , определенные ниже. Другим примером спиралей пространства является тороидальная спираль . ^[8] Спираль, намотанная вокруг спирали, ^[9] также известная как двойная скрученная спираль , ^[10] представляет собой такие объекты, как скрученные спиральные нити .

Конические спирали

Коническая спираль с архимедовой спиралью в качестве плана этажа

Если в - -плоскости спираль с параметрическим представлением ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }$

, то можно добавить третью координату , так что теперь пространственная кривая лежит на конусе с уравнением : ${\displaystyle z(\varphi )}$ ${\displaystyle \;m(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ m>0\;}$

• ${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}$

Спирали, созданные по этой методике, называются коническими спиралями .

Пример

Начиная с архимедовой спирали, получаем коническую спираль (см. схему) ${\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}$

${\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}$

Сферические спирали

Кривая Клелии с ${\displaystyle c=8}$

Любую цилиндрическую картографическую проекцию можно использовать в качестве основы для сферической спирали : начертите прямую линию на карте и найдите ее обратную проекцию на сферу, своего рода сферическую кривую .

Одно из самых основных семейств сферических спиралей — это кривые Клелии , которые проецируются в прямые линии на равнопромежуточной проекции . Это кривые, для которых долгота и коширота находятся в линейной зависимости, аналогично архимедовым спиралям на плоскости; при азимутальной равнопромежуточной проекции кривая Клелии проецируется в плоскую архимедову спираль.

Если представить единичную сферу сферическими координатами

${\displaystyle x=\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad y=\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad z=\cos \theta ,}$

тогда установка линейной зависимости для угловых координат дает параметрическую кривую в терминах параметра ⁠ ⁠ , ^[11] ${\displaystyle \varphi =c\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\bigl (}\sin \theta \,\cos c\theta ,\,\sin \theta \,\sin c\theta ,\,\cos \theta \,{\bigr )}.}$

• 
  кривая Клелия
• 
  Локсодром

Другое семейство сферических спиралей — это румбы или локсодромии, которые проецируются в прямые линии на проекции Меркатора . Это траектории, прочерченные судном, движущимся с постоянным азимутом . Любая локсодромиа (за исключением меридианов и параллелей) бесконечно спиралевидно движется вокруг любого из полюсов, все ближе и ближе друг к другу, в отличие от кривой Клелии, которая сохраняет равномерное расстояние по кошироте. При стереографической проекции локсодромиа проецируется в логарифмическую спираль на плоскости.

В природе

Изучение спиралей в природе имеет долгую историю. Кристофер Рен заметил, что многие раковины образуют логарифмическую спираль ; Ян Сваммердам заметил общие математические характеристики широкого спектра раковин от Helix до Spirula ; а Генри Ноттидж Мосли описал математику одностворчатых раковин. В работе Д'Арси Вентворта Томпсона « О росте и форме» дается обширное рассмотрение этих спиралей. Он описывает, как раковины образуются путем вращения замкнутой кривой вокруг фиксированной оси: форма кривой остается фиксированной, но ее размер увеличивается в геометрической прогрессии . В некоторых раковинах, таких как наутилус и аммониты , образующая кривая вращается в плоскости, перпендикулярной оси, и раковина образует плоскую дискообразную форму. В других она следует косой траектории, образуя спирально - геликоидальный узор. Томпсон также изучал спирали, встречающиеся в рогах , зубах , когтях и растениях . ^[12]

Модель рисунка цветков в головке подсолнечника [ ^13] была предложена Х. Фогелем. Она имеет вид

${\displaystyle \theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}}$

где n — индекс цветка, а c — постоянный масштабный коэффициент, и является формой спирали Ферма . Угол 137,5° — это золотой угол , который связан с золотым сечением и дает плотную упаковку цветков. ^[14]

Спирали у растений и животных часто описываются как завитки . Это также название, данное спиралевидным отпечаткам пальцев .

• 
  Художественное представление спиральной галактики.
• 
  Головка подсолнечника с цветками, расположенными по спирали по 34 и 55 штук по внешней стороне.

Как символ

Спиральная форма была найдена в Мезине , Украина , как часть декоративного объекта, датируемого 10 000 г. до н. э. ^{[ требуется ссылка ]} Спиральные и тройные спиральные мотивы служили неолитическими символами в Европе ( мегалитические храмы Мальты ). Кельтская тройная спираль на самом деле является докельтским символом. ^[15] Она высечена на скале каменного ромба возле главного входа в доисторический памятник Ньюгрейндж в графстве Мит , Ирландия . Ньюгрейндж был построен около 3200 г. до н. э., до кельтов; тройные спирали были вырезаны по крайней мере за 2500 лет до того, как кельты достигли Ирландии, но уже давно стали частью кельтской культуры. ^[16] Символ трискелиона , состоящий из трех переплетенных спиралей или трех согнутых человеческих ног, встречается во многих ранних культурах: примерами служат микенские сосуды, монеты из Ликии , статеры Памфилии (в Аспендосе , 370–333 гг. до н. э.) и Писидии , а также геральдическая эмблема на щитах воинов, изображенная на греческой керамике. [ ^17]

Спирали часто встречаются в доколумбовом искусстве в Латинской и Центральной Америке. Более 1400 петроглифов (наскальных рисунков) в Лас-Пласуэлас, Гуанахуато, Мексика , датируемых 750-1200 гг. н. э., в основном изображают спирали, точечные фигуры и масштабные модели. ^[18] В Колумбии обезьяны, лягушки и ящероподобные фигуры, изображенные на петроглифах или в качестве золотых подношений, часто включают спирали, например, на ладонях рук. ^[19] В Нижней Центральной Америке спирали наряду с кругами, волнистыми линиями, крестами и точками являются универсальными символами петроглифов. ^[20] Спирали также появляются среди линий Наска в прибрежной пустыне Перу, датируемых периодом с 200 г. до н. э. по 500 г. н. э. Геоглифы исчисляются тысячами и изображают животных, растения и геометрические мотивы, включая спирали. ^[21]

Спиральные формы, включая свастику , трискеле и т. д., часто интерпретировались как солярные символы . ^{[ требуется ссылка ]} Черепица с этим символом, относящаяся к эпохе династии Тан, была найдена к западу от древнего города Чанъань (современный Сиань). ^{[ требуется ссылка ] [ требуется год ]}

Спирали также являются символом гипноза , происходящим от клише о людях и персонажах мультфильмов, загипнотизированных взглядом на вращающуюся спираль (одним из примеров является Каа в «Книге джунглей» Диснея ). Они также используются как символ головокружения , когда глаза персонажа мультфильма, особенно в аниме и манге , превращаются в спирали, чтобы показать, что он испытывает головокружение или ошеломление. Спираль также встречается в структурах, таких малых, как двойная спираль ДНК , и таких больших, как галактика . Из-за этого частого естественного явления спираль является официальным символом Всемирного движения пантеистов . ^[22] Спираль также является символом диалектического процесса и диалектического монизма .

Спираль часто используется как символ духовного очищения, как в христианстве , так и за его пределами (спираль рассматривается как неоплатонический символ молитвы и созерцания, вращающийся вокруг субъекта и одновременно восходящий, а также как буддийский символ постепенного процесса на Пути к Просветлению ) . [...] в то время как спираль повторяется, спираль расширяется и, таким образом, олицетворяет рост — концептуально до бесконечности . ^[23]

• 
  Спирали культуры Кукутень на чаше на подставке, сосуд на подставке и амфора, 4300-4000 гг. до н.э., керамика, Дворец культуры , Яссы , Румыния
• 
  Неолитические спирали на входной плите Ньюгрейнджа , неизвестный скульптор или архитектор, 3-е тысячелетие до н.э.
• 
  Микенские спирали на погребальной стеле, могильный круг A, ок. 1550 г. до н.э., камень, Национальный археологический музей , Афины , Греция
• 
  Мероитские спирали на баране аллеи храма Амона в Наке , неизвестный скульптор, I в. н.э., камень, in situ
• 
  Исламский спиральный дизайн Большой мечети Самарры , Самарра , Ирак , неизвестный архитектор, ок. 851 г.
• 
  Спиральная колокольня в стиле готического возрождения Maison des Compagnons du Tour de France, Нант , неизвестный архитектор, ок. 1910 год

В искусстве

Спираль вдохновляла художников на протяжении веков. Среди самых известных произведений искусства, вдохновленных спиралями, — земляная работа Роберта Смитсона « Спиральная пристань » на Большом Солёном озере в штате Юта. ^[24] Тема спирали также присутствует в «Поле резонанса Спирали» Дэвида Вуда в Музее воздушных шаров в Альбукерке, а также в получившем признание критиков концептуальном альбоме Nine Inch Nails 1994 года «The Downward Spiral» . Спираль также является важной темой в аниме «Гуррен-Лаганн» , где она представляет собой философию и образ жизни. Она также занимает центральное место в работах Марио Мерца и Энди Голдсуорси. Спираль является центральной темой хоррор-манги « Узумаки » Дзюндзи Ито , где небольшой прибрежный городок страдает от проклятия, связанного со спиралями. 2012 A Piece of Mind Уэйна А. Била также изображает большую спираль в этой книге снов и образов. ^{[25] [ необходима полная цитата ] [26] [ необходима проверка ]} Спираль является центральным образом в иконографии австралийской художницы Тани Старк « Пригородная готика» , которая включает спиральные элементы верхней поверхности электрической плиты как символы домашней алхимии и духовности. ^{[27] [28]}

Смотрите также

• Кельтский лабиринт (прямолинейная спираль)
• Концентрические окружности
• ДНК
• Число Фибоначчи
• Гипогей Хал-Сафлиени
• Мегалитические храмы Мальты
• Закономерности в природе
• Поверхность ракушки
• Спираль
• Спиральная овощерезка
• Винтовые лестницы
• Трискелион

Ссылки

1. "Спираль | математика". Encyclopedia Britannica . Получено 2020-10-08 .
2. "Определение спирали (Иллюстрированный математический словарь)". www.mathsisfun.com . Получено 08.10.2020 .
3. "spiral.htm". www.math.tamu.edu . Получено 2020-10-08 .
4. "Математические закономерности в природе". Институт Франклина . 2017-06-01 . Получено 2020-10-08 .
5. "Spiral, Американский словарь наследия английского языка , Houghton Mifflin Company, четвертое издание, 2009.
6. Вайсштейн, Эрик В. "Архимедова спираль". mathworld.wolfram.com . Получено 08.10.2020 .
7. Weisstein, Eric W. "Гиперболическая спираль". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-10-08 .
8. фон Зеггерн, DH (1994). Практическое руководство по проектированию и построению кривых. Тейлор и Фрэнсис. п. 241. ИСБН 978-0-8493-8916-0. Получено 2022-03-03 .
9. "Slinky -- from Wolfram MathWorld". Wolfram MathWorld . 2002-09-13 . Получено 2022-03-03 .
10. Угадзин, Р.; Ишимото, К.; Куроки, И.; Хирата, С.; Ватанабэ, С. (2001). «Статистический анализ многократно закрученной спирали». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 292 (1–4). Elsevier BV: 437–451. Bibcode : 2001PhyA..292..437U. doi : 10.1016/s0378-4371(00)00572-0. ISSN  0378-4371.
11. Куно Фладт: Analytische Geometry spezieller Flächen und Raumkurven , Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, S. 132 
12. Томпсон, Д'Арси (1942) [1917]. О росте и форме. Кембридж: University Press; Нью-Йорк: Macmillan. С. 748–933.
13. Бен Спаркс. «Geogebra: Подсолнухи иррационально красивы».
14. Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений. Springer-Verlag. С. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.
15. Энтони Мерфи и Ричард Мур, Остров заходящего солнца: в поисках древних астрономов Ирландии, 2-е изд., Дублин: The Liffey Press, 2008, стр. 168-169
16. "Ньюгрейндж, Ирландия - Мегалитическая проходная гробница - объект всемирного наследия". Knowth.com. 2007-12-21. Архивировано из оригинала 2013-07-26 . Получено 2013-08-16 .
17. Например, трислеле на круглом щите Ахилла на аттической гидрии конца шестого века в Бостонском музее изящных искусств , проиллюстрированное в книге Джона Бордмана, Джаспера Гриффина и Освина Мюррея « Греция и эллинистический мир» (Оксфордская история классического мира), т. I (1988), стр. 50.
18. "Rock Art Of Latin America & The Caribbean" (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006 г. стр. 5. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 г. . Получено 4 января 2014 г. .
19. "Rock Art Of Latin America & The Caribbean" (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006 г. стр. 99. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 г. . Получено 4 января 2014 г. .
20. "Rock Art Of Latin America & The Caribbean" (PDF) . Международный совет по памятникам и достопримечательностям. Июнь 2006 г. стр. 17. Архивировано (PDF) из оригинала 5 января 2014 г. . Получено 4 января 2014 г. .
21. Jarus, Owen (14 августа 2012 г.). "Nazca Lines: Mysterious Geoglyphs in Peru". LiveScience. Архивировано из оригинала 4 января 2014 г. Получено 4 января 2014 г.
22. Харрисон, Пол. "Пантеистическое искусство" (PDF) . Мировое пантеистическое движение . Получено 7 июня 2012 г.
23. Брун, Зиглинд (1997). «Обмен натурами и природа(ы) времени и тишины». Образы и идеи в современной французской фортепианной музыке: внемузыкальный подтекст в фортепианных произведениях Равеля, Дебюсси и Мессиана. Эстетика в музыке, ISSN 1062-404X, номер 6. Stuyvesant, Нью-Йорк: Pendragon Press. стр. 353. Получено 30 июня 2024 г.
24. Израиль, Нико (2015). Спирали: закрученный образ в литературе и искусстве двадцатого века . Издательство Нью-Йоркского Колумбийского университета. С. 161–186. ISBN 978-0-231-15302-7.
25. 2012 Часть разума Уэйна А. Била
26. http://www.blurb.com/distribution?id=573100/#/project/573100/project-details/edit (требуется подписка)
27. Старк, Таня (4 июля 2012 г.). «Путешествия по спирали: повороты и возвращения». tanjastark.com .
28. Старк, Таня. «Лекция: Спиральные подводные течения: архетипические символы боли, надежды и исцеления». Общество Юнга, Мельбурн .

Связанные публикации

• Кук, Т., 1903. Спирали в природе и искусстве . Nature 68 (1761), 296.
• Кук, Т., 1979. Кривые жизни . Довер, Нью-Йорк.
• Хабиб З., Сакаи М., 2005. Спиральные кривые перехода и их приложения . Scientiae Mathematicae Japonicae 61 (2), 195–206.
• Dimulyo, Sarpono; Habib, Zulfiqar; Sakai, Manabu (2009). «Честный кубический переход между двумя окружностями, одна из которых находится внутри или касается другой». Numerical Algorithms . 51 (4): 461–476. Bibcode :2009NuAlg..51..461D. doi :10.1007/s11075-008-9252-1. S2CID  22532724.
• Harary, G., Tal, A., 2011. Естественная трехмерная спираль . Computer Graphics Forum 30 (2), 237 – 246 [1] Архивировано 22 ноября 2015 г. на Wayback Machine .
• Xu, L., Mould, D., 2009. Магнитные кривые: эстетические кривые, контролируемые кривизной, с использованием магнитных полей . В: Deussen, O., Hall, P. (ред.), Computational Aesthetics in Graphics, Visualization, and Imaging. Ассоциация Eurographics [2].
• Ван, Юлин; Чжао, Бинъянь; Чжан, Лузоу; Сюй, Цзячуань; Ван, Канчан; Ван, Шучунь (2004). «Проектирование плавных кривых с использованием частей монотонной кривизны». Компьютерное геометрическое проектирование . 21 (5): 515–527. дои : 10.1016/j.cagd.2004.04.001.
• Курносенко, А. (2010). «Применение инверсии для построения плоских рациональных спиралей, удовлетворяющих двухточечным данным G2 Эрмита». Computer Aided Geometric Design . 27 (3): 262–280. arXiv : 0902.4834 . doi : 10.1016/j.cagd.2009.12.004. S2CID  14476206.
• А. Курносенко. Двухточечная интерполяция G2 Эрмита со спиралями путем обращения гиперболы . Computer Aided Geometric Design, 27(6), 474–481, 2010.
• Миура, КТ, 2006. Общее уравнение эстетических кривых и его самосродство . Computer-Aided Design and Applications 3 (1–4), 457–464 [3] Архивировано 28.06.2013 на Wayback Machine .
• Miura, K., Sone, J., Yamashita, A., Kaneko, T., 2005. Вывод общей формулы эстетических кривых . В: 8-я Международная конференция по людям и компьютерам (HC2005). Айдзу-Вакамуцу, Япония, стр. 166 – 171 [4] Архивировано 28 июня 2013 г. на Wayback Machine .
• Мик, Д.С.; Уолтон, Д.Дж. (1989). «Использование спиралей Корню при построении плоских кривых контролируемой кривизны». Журнал вычислительной и прикладной математики . 25 : 69–78. doi : 10.1016/0377-0427(89)90076-9 .
• Томас, Сунил (2017). «Сульфат калия образует спиральную структуру при растворении в растворе». Журнал физической химии Б. 11 ( 1): 195–198. Bibcode :2017RJPCB..11..195T. doi :10.1134/S1990793117010328. S2CID  99162341.
• Фарин, Джеральд (2006). «Кривые Безье класса a». Computer Aided Geometric Design . 23 (7): 573–581. doi :10.1016/j.cagd.2006.03.004.
• Фаруки, РТ, 1997. Пифагорейско-годографические кривые перехода пятой степени монотонной кривизны . Computer-Aided Design 29 (9), 601–606.
• Ёсида, Н., Сайто, Т., 2006. Интерактивные эстетические кривые сегменты . Визуальный компьютер 22 (9), 896–905 [5] Архивировано 04.03.2016 в Wayback Machine .
• Yoshida, N., Saito, T., 2007. Квазиэстетические кривые в рациональных кубических формах Безье . Computer-Aided Design and Applications 4 (9–10), 477–486 [6] Архивировано 2016-03-03 на Wayback Machine .
• Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Аналитические параметрические уравнения логарифмически-эстетических кривых в терминах неполных гамма-функций . Computer Aided Geometric Design 29 (2), 129—140 [7].
• Зиатдинов, Р., Йошида, Н., Ким, Т., 2012. Подгонка многоспиральной переходной кривой G2, соединяющей две прямые линии , Computer-Aided Design 44(6), 591—596 [8].
• Зиатдинов, Р., 2012. Семейство суперспиралей с полностью монотонной кривизной, заданной в терминах гипергеометрической функции Гаусса . Computer Aided Geometric Design 29(7): 510–518, 2012 [9].
• Зиатдинов, Р., Миура КТ, 2012. О разнообразии плоских спиралей и их применении в автоматизированном проектировании . European Researcher 27(8–2), 1227—1232 [10].

Внешние ссылки

• [11] Архивировано 2021-07-02 в Wayback Machine
• Спираль Архимеда превращается в спираль Галилея. Михаил Гайченков, ОЭИС