Тангенс

В математике прямая линия, касающаяся плоской кривой, не пересекая ее.

Касательная к кривой. Красная линия касается кривой в точке, отмеченной красной точкой.

Касательная плоскость к сфере

В геометрии касательная линия (или просто касательная ) к плоской кривой в данной точке интуитивно является прямой линией , которая «только касается» кривой в этой точке. Лейбниц определил ее как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой. ^{[1] [2]} Точнее, прямая линия касается кривой y = f ( x ) в точке x = c , если линия проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет наклон f ' ( c ) , где f ' — производная f . Аналогичное определение применимо к пространственным кривым и кривым в n -мерном евклидовом пространстве .

Точка, в которой касательная и кривая встречаются или пересекаются, называется точкой касания . Говорят, что касательная «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке. Касательную к точке на дифференцируемой кривой можно также рассматривать как приближение касательной , график аффинной функции, который наилучшим образом приближает исходную функцию в данной точке. ^[3]

Аналогично, касательная плоскость к поверхности в данной точке — это плоскость , которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной является одним из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии и было широко обобщено; см. Касательное пространство .

Слово «тангенс» происходит от латинского tangere — «касаться».

История

Евклид несколько раз ссылается на касательную ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) к окружности в книге III «Начал» ( ок. 300 г. до н. э.). ^[4] В работе Аполлония « Конические сечения» (ок. 225 г. до н. э.) он определяет касательную как линию, между которой и кривой не может быть никакой другой прямой линии . ^[5]

Архимед (ок. 287 – ок. 212 до н. э.) нашел касательную к архимедовой спирали , рассмотрев путь точки, движущейся вдоль кривой. ^[5]

В 1630-х годах Ферма разработал технику равенства для вычисления касательных и других задач анализа и использовал ее для вычисления касательных к параболе. Техника равенства похожа на взятие разности между и и деление на степень . Независимо от него Декарт использовал свой метод нормалей, основанный на наблюдении, что радиус окружности всегда нормален к самой окружности. ^[6] ${\displaystyle f(x+h)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle h}$

Эти методы привели к развитию дифференциального исчисления в 17 веке. Многие люди внесли свой вклад. Роберваль открыл общий метод построения касательных, рассматривая кривую, описываемую движущейся точкой, движение которой является результатом нескольких более простых движений. ^[7] Рене-Франсуа де Слюз и Иоганнес Худде нашли алгебраические алгоритмы для нахождения касательных. ^[8] Дальнейшие разработки включали разработки Джона Уоллиса и Исаака Барроу , что привело к теории Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница .

Определение касательной 1828 года было «прямая линия, которая касается кривой, но которая при проведении не пересекает ее». ^[9] Это старое определение не допускает наличия касательной у точек перегиба . Оно было отклонено, и современные определения эквивалентны определениям Лейбница , который определил касательную как линию, проходящую через пару бесконечно близких точек на кривой; в современной терминологии это выражается так: касательная к кривой в точке P на кривой является пределом линии, проходящей через две точки кривой, когда эти две точки стремятся к P.

Касательная к плоской кривой

Касательная, хорда и секущая к окружности

Интуитивное представление о том, что касательная линия «касается» кривой, можно сделать более явным, рассмотрев последовательность прямых линий ( секущих линий ), проходящих через две точки A и B , которые лежат на кривой функции. Касательная в точке A является пределом, когда точка B приближается или стремится к A. Существование и единственность касательной линии зависят от определенного типа математической гладкости, известной как «дифференцируемость». Например, если две дуги окружности встречаются в острой точке (вершине), то не существует однозначно определенной касательной в вершине, поскольку предел прогрессии секущих линий зависит от направления, в котором «точка B » приближается к вершине.

В большинстве точек касательная касается кривой, не пересекая ее (хотя при продолжении она может пересечь кривую в других местах вдали от точки касания). Точка, в которой касательная (в этой точке) пересекает кривую, называется точкой перегиба . Окружности , параболы , гиперболы и эллипсы не имеют точек перегиба, но более сложные кривые имеют, как график кубической функции , который имеет ровно одну точку перегиба, или синусоида, которая имеет две точки перегиба на каждый период синуса .

Наоборот, может случиться так, что кривая лежит полностью по одну сторону от прямой, проходящей через точку на ней, и тем не менее эта прямая не является касательной. Так обстоит дело, например, с прямой, проходящей через вершину треугольника и не пересекающей его иным образом — где касательная не существует по причинам, изложенным выше. В выпуклой геометрии такие линии называются опорными .

Аналитический подход

В каждой точке движущаяся линия всегда касается кривой . Ее наклон — это производная ; зеленый цвет обозначает положительную производную, красный — отрицательную, а черный — нулевую производную. Точка (x,y) = (0,1), где касательная пересекает кривую, не является максимумом или минимумом, а является точкой перегиба . (Примечание: на рисунке неправильно обозначено 0,0, хотя должно быть 0,1)

Геометрическая идея касательной как предела секущих линий служит мотивацией для аналитических методов, которые используются для явного нахождения касательных линий. Вопрос о нахождении касательной линии к графику, или проблема касательной линии, был одним из центральных вопросов, приведших к развитию исчисления в 17 веке. Во второй книге своей «Геометрии» Рене Декарт ^[10] сказал о задаче построения касательной к кривой: «И я осмелюсь сказать, что это не только самая полезная и самая общая задача в геометрии, которую я знаю, но даже ту, которую я когда-либо желал знать». ^[11]

Интуитивно понятное описание

Предположим , что кривая задана как график функции y = f ( x ) . Чтобы найти касательную в точке p = ( a , f ( a )), рассмотрим другую близлежащую точку q = ( a + h , f ( a + h )) на кривой. Наклон секущей, проходящей через p и q, равен разностному отношению

${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

По мере того, как точка q приближается к p , что соответствует уменьшению h , коэффициент разности должен приближаться к определенному предельному значению k , которое является наклоном касательной в точке p . Если k известно, уравнение касательной можно найти в форме точка-наклон:

${\displaystyle y-f(a)=k(x-a).\,}$

Более строгое описание

Чтобы сделать предыдущие рассуждения строгими, нужно объяснить, что подразумевается под разностным отношением, приближающимся к некоторому предельному значению k . Точная математическая формулировка была дана Коши в 19 веке и основана на понятии предела . Предположим, что график не имеет излома или острого края в точке p и он не является ни отвесным, ни слишком извилистым вблизи p . Тогда существует уникальное значение k такое, что по мере того, как h приближается к 0, разностное отношение становится все ближе и ближе к k , а расстояние между ними становится пренебрежимо малым по сравнению с размером h , если h достаточно мало. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела разностных отношений для функции f . Этот предел является производной функции f при x = a , обозначаемой f  ′( a ). Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a).\,}$

Исчисление обеспечивает правила вычисления производных функций, которые заданы формулами, такими как степенная функция , тригонометрические функции , показательная функция , логарифм и их различные комбинации. Таким образом, уравнения касательных к графикам всех этих функций, а также многих других, могут быть найдены методами исчисления.

Как метод может потерпеть неудачу

Исчисление также показывает, что существуют функции и точки на их графиках, для которых предел, определяющий наклон касательной, не существует. Для этих точек функция f недифференцируема . Существуют две возможные причины, по которым метод нахождения касательных на основе пределов и производных не срабатывает: либо геометрическая касательная существует, но это вертикальная линия, которая не может быть задана в форме точка-наклон, поскольку она не имеет наклона, либо график демонстрирует одно из трех поведений, которое исключает геометрическую касательную.

График y = x ^1/3 иллюстрирует первую возможность: здесь разностное отношение при a = 0 равно h ^1/3 / h = h ^−2/3 , которое становится очень большим по мере того, как h приближается к 0. Эта кривая имеет касательную линию в начале координат, которая является вертикальной.

График y = x ^2/3 иллюстрирует другую возможность: этот график имеет точку возврата в начале координат. Это означает, что когда h приближается к 0, разностное отношение при a = 0 приближается к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака x . Таким образом, обе ветви кривой близки к полувертикали, для которой y = 0, но ни одна из них не близка к отрицательной части этой линии. По сути, в этом случае нет касательной в начале координат, но в некотором контексте можно рассматривать эту линию как касательную, и даже, в алгебраической геометрии , как двойную касательную .

График y = | x | функции абсолютного значения состоит из двух прямых линий с разными наклонами, соединенных в начале координат. Когда точка q приближается к началу координат справа, секущая линия всегда имеет наклон 1. Когда точка q приближается к началу координат слева, секущая линия всегда имеет наклон −1. Следовательно, нет единственной касательной к графику в начале координат. Наличие двух разных (но конечных) наклонов называется углом .

Наконец, поскольку дифференцируемость подразумевает непрерывность, то контрапозитивные состояния разрывности подразумевают недифференцируемость. Любой такой скачок или точечный разрыв не будет иметь касательной линии. Это включает случаи, когда один наклон стремится к положительной бесконечности, а другой — к отрицательной бесконечности, что приводит к бесконечному скачку разрывности

Уравнения

Если кривая задана как y = f ( x ), то наклон касательной равен : по формуле точка-наклон уравнение касательной в точке ( X ,  Y ) имеет вид ${\displaystyle dy/dx,}$

${\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}$

где ( x ,  y ) — координаты любой точки на касательной, а производная вычисляется при . ^[12] ${\displaystyle x=X}$

Когда кривая задана как y = f ( x ), уравнение касательной также можно найти ^[13] , используя полиномиальное деление для деления на ; если остаток обозначить как , то уравнение касательной задается как ${\displaystyle f\,(x)}$ ${\displaystyle (x-X)^{2}}$ ${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

Когда уравнение кривой задано в виде f ( x ,  y ) = 0, то значение наклона можно найти путем неявного дифференцирования , что дает

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Уравнение касательной в точке ( X , Y ) такой, что f ( X , Y ) = 0, тогда имеет вид ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.}$

Это уравнение остается верным, если

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

в этом случае наклон касательной бесконечен. Если же, однако,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

касательная линия не определена, и точка ( X , Y ) называется особой .

Для алгебраических кривых вычисления можно несколько упростить, перейдя к однородным координатам . В частности, пусть однородное уравнение кривой будет g ( x ,  y ,  z ) = 0, где g — однородная функция степени n . Тогда, если ( X ,  Y ,  Z ) лежит на кривой, теорема Эйлера подразумевает , что однородное уравнение касательной имеет вид $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

Уравнение касательной в декартовых координатах можно найти, положив в этом уравнении z = 1. ^[14]

Чтобы применить это к алгебраическим кривым, запишем f ( x ,  y ) как

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

где каждый u _r является суммой всех членов степени r . Тогда однородное уравнение кривой имеет вид

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

Применяя уравнение выше и устанавливая z = 1, получаем

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

как уравнение касательной линии. ^[15] Уравнение в этой форме часто проще использовать на практике, поскольку после его применения не требуется дальнейшего упрощения. ^[14]

Если кривая задана параметрически

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

тогда наклон касательной равен

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

давая уравнение для касательной линии в точке ^[16] ${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

Если

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

касательная линия не определена. Однако может случиться, что касательная линия существует и может быть вычислена из неявного уравнения кривой.

Нормальная линия к кривой

Линия, перпендикулярная касательной к кривой в точке касания, называется нормальной линией к кривой в этой точке. Наклоны перпендикулярных линий имеют произведение −1, поэтому если уравнение кривой y = f ( x ), то наклон нормальной линии равен

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

и отсюда следует, что уравнение нормальной линии в точке (X, Y) имеет вид

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

Аналогично, если уравнение кривой имеет вид f ( x ,  y ) = 0, то уравнение нормальной линии задается выражением ^[17]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

Если кривая задана параметрически

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

тогда уравнение нормальной линии будет ^[16]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке их пересечения определяется как угол между их касательными линиями в этой точке. Более конкретно, две кривые называются касательными в точке, если они имеют одну и ту же касательную в точке, и ортогональными, если их касательные линии ортогональны. ^[18]

Несколько касательных в одной точке

Трисектриса улитки: кривая с двумя касательными в начале координат.

Формулы выше не работают, когда точка является особой точкой . В этом случае может быть две или более ветвей кривой, проходящих через точку, причем каждая ветвь имеет свою собственную касательную линию. Когда точка является началом координат, уравнения этих линий могут быть найдены для алгебраических кривых путем факторизации уравнения, образованного путем исключения всех членов, кроме членов самой низкой степени, из исходного уравнения. Поскольку любую точку можно сделать началом координат путем замены переменных (или путем переноса кривой), это дает метод нахождения касательных линий в любой особой точке.

Например, уравнение трисектрисы улитки, показанное справа, имеет вид

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

Расширяя это и исключая все, кроме членов степени 2, получаем

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

который, будучи разложенным на множители, становится

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

Итак, это уравнения двух касательных линий, проходящих через начало координат. ^[19]

Когда кривая не является самопересекающейся, касательная в опорной точке все еще может быть не определена однозначно, поскольку кривая не дифференцируема в этой точке, хотя она дифференцируема в других местах. В этом случае левая и правая производные определяются как пределы производной, когда точка, в которой она вычисляется, приближается к опорной точке соответственно слева (более низкие значения) или справа (более высокие значения). Например, кривая y = | x | не дифференцируема при x = 0: ее левая и правая производные имеют соответствующие наклоны −1 и 1; касательные в этой точке с такими наклонами называются левой и правой касательными. ^[20]

Иногда наклоны левой и правой касательных линий равны, так что касательные линии совпадают. Это верно, например, для кривой y = x ^2/3 , для которой обе левые и правые производные при x = 0 бесконечны; обе левые и правые касательные имеют уравнение x = 0.

Касательная линия к пространственной кривой

В математике касательный вектор — это вектор , который касается кривой или поверхности в заданной точке. Касательные векторы описываются в дифференциальной геометрии кривых в контексте кривых в R ⁿ . В более общем смысле, касательные векторы являются элементами касательного пространства дифференцируемого многообразия . Касательные векторы также могут быть описаны в терминах ростков . Формально касательный вектор в точке является линейным выводом алгебры, определяемой множеством ростков в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Касательные окружности

Две пары касающихся окружностей. Сверху внутренняя, снизу внешняя касательная

Две различные окружности, лежащие в одной плоскости, называются касательными , если они пересекаются ровно в одной точке.

Если точки на плоскости описываются с помощью декартовых координат , то две окружности с радиусами и центрами касаются друг друга всякий раз, когда ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}$

Две окружности называются внешне касающимися, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов,

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

или внутренне касательными , если расстояние между их центрами равно разнице между их радиусами: ^[21]

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

Касательная плоскость к поверхности

Касательная плоскость к поверхности в данной точке p определяется аналогично касательной линии в случае кривых. Это наилучшее приближение поверхности плоскостью в точке p , и может быть получено как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различные точки на поверхности, близкие к точке p , когда эти точки сходятся к точке p . Математически, если поверхность задана функцией , уравнение касательной плоскости в точке можно выразить как: ${\displaystyle z=f(x,y)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$.

Здесь и — частные производные функции по и соответственно, вычисленные в точке . По сути, касательная плоскость фиксирует локальное поведение поверхности в конкретной точке p . Это фундаментальное понятие, используемое в исчислении и дифференциальной геометрии, имеющее решающее значение для понимания того, как функции локально изменяются на поверхностях. ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Многообразия более высоких размерностей

В более общем случае в каждой точке k -мерного многообразия в n -мерном евклидовом пространстве имеется k -мерное касательное пространство .

Смотрите также

• Метод Ньютона
• Нормальный (геометрия)
• Соприкасающийся круг
• Оскулирующая кривая
• Соприкасающаяся плоскость
• Перпендикуляр
• Подкасательная
• Опорная линия
• Касательный конус
• Тангенциальный угол
• Тангенциальная составляющая
• Касательные линии к окружностям
• Касательный вектор
• Кратность (математика)#Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня
• Алгебраическая кривая#Касательная в точке

Ссылки

1. В « Nova Methodus pro Maximis et Minimis » ( Acta Eruditorum , октябрь 1684 г.) Лейбниц, кажется, с самого начала легко имеет представление о касательных линиях, но позже заявляет: «modo teneatur in Genere, Tangentem Invenire esse rectam ducere, quae duo Curvae Puncta Distanceiam Infinite Parvam Habentia Jungat, Seu Latus Productum Polygoni Infinitanguli, Quod Nobis Curvae Aequivalet», т.е. определяет метод проведения касательных через точки, бесконечно близкие друг к другу.
2. Томас Л. Хэнкинс (1985). Наука и Просвещение . Cambridge University Press. стр. 23. ISBN 9780521286190.
3. Дэн Слоутер (2000). "Лучшие аффинные приближения"
4. Евклид. "Euclid's Elements" . Получено 1 июня 2015 г. .
5. Шенк, Эл. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF) . стр. 2.8 . Получено 1 июня 2015 г. .
6. Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 510. ISBN 978-0321387004.
7. Вольфсон, Пол Р. (2001). «Кривое стало прямым: Роберваль и Ньютон о касательных». The American Mathematical Monthly . 108 (3): 206–216. doi :10.2307/2695381. JSTOR  2695381.
8. Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3-е изд.). Эддисон Уэсли. стр. 512–514. ISBN 978-0321387004.
9. Ноа Вебстер, Американский словарь английского языка (Нью-Йорк: S. Converse, 1828), т. 2, стр. 733, [1]
10. Декарт, Рене (1954) [1637]. Геометрия Рене Декарта. Перевод Смита, Дэвида Юджина ; Латам, Марсии Л. Открытый суд. стр. 95.
11. RE Langer (октябрь 1937 г.). «Рене Декарт». American Mathematical Monthly . 44 (8). Математическая ассоциация Америки: 495–512. doi :10.2307/2301226. JSTOR  2301226.
12. Эдвардс, статья 191
13. Стрикленд-Констебль, Чарльз, «Простой метод нахождения касательных к полиномиальным графикам», Mathematical Gazette , ноябрь 2005 г., 466–467.
14. Эдвардс, статья 192
15. Эдвардс, статья 193
16. Эдвардс Статья 196
17. Эдвардс, статья 194
18. Эдвардс, статья 195
19. Эдвардс, статья 197
20. Томас, Джордж Б. младший и Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия , Addison Wesley Publ. Co.: стр. 140.
21. «Круги для выпускного аттестата с отличием по математике» Томаса О'Салливана 1997 г.

Источники

• Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр. 143 и далее.

Внешние ссылки

• «Касательная линия», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Касательная линия». Математический мир .
• Касательная к окружности С интерактивной анимацией
• Тангенс и первая производная — интерактивное моделирование