Поскольку сферические гармоники образуют полный набор ортогональных функций и, таким образом, ортонормированный базис , каждая функция, определенная на поверхности сферы, может быть записана как сумма этих сферических гармоник. Это похоже на периодические функции, определенные на окружности, которые могут быть выражены как сумма круговых функций (синусов и косинусов) через ряды Фурье . Подобно синусам и косинусам в рядах Фурье, сферические гармоники могут быть организованы по (пространственной) угловой частоте , как показано в рядах функций на иллюстрации справа. Кроме того, сферические гармоники являются базисными функциями для неприводимых представлений SO (3) , группы вращений в трех измерениях, и, таким образом, играют центральную роль в групповом теоретико-групповом обсуждении SO(3).
Сферические гармоники возникают из решения уравнения Лапласа в сферических областях. Функции, которые являются решениями уравнения Лапласа, называются гармониками . Несмотря на свое название, сферические гармоники принимают свою простейшую форму в декартовых координатах , где их можно определить как однородные многочлены степени в , которые подчиняются уравнению Лапласа. Связь со сферическими координатами возникает немедленно, если использовать однородность для извлечения фактора радиальной зависимости из вышеупомянутого многочлена степени ; оставшийся фактор можно рассматривать как функцию только сферических угловых координат или , что эквивалентно, единичного вектора ориентации, заданного этими углами. В этой обстановке их можно рассматривать как угловую часть набора решений уравнения Лапласа в трех измерениях, и эта точка зрения часто принимается в качестве альтернативного определения. Однако следует отметить, что сферические гармоники не являются функциями на сфере, которые являются гармоническими относительно оператора Лапласа-Бельтрами для стандартной круглой метрики на сфере: единственными гармоническими функциями в этом смысле на сфере являются константы, поскольку гармонические функции удовлетворяют принципу максимума . Сферические гармоники, как функции на сфере, являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами (см. Высшие размерности).
Определенный набор сферических гармоник, обозначаемый или , известен как сферические гармоники Лапласа, поскольку они были впервые введены Пьером Симоном де Лапласом в 1782 году. [1] Эти функции образуют ортогональную систему и, таким образом, являются основой для разложения общей функции на сфере, как упоминалось выше.
Каждый член в приведенном выше суммировании представляет собой индивидуальный ньютоновский потенциал для точечной массы. Незадолго до этого Адриен-Мари Лежандр исследовал разложение ньютоновского потенциала по степеням r = | x | и r 1 = | x 1 | . Он обнаружил, что если r ≤ r 1 , то
где γ — угол между векторами x и x 1 . Функции — это полиномы Лежандра , и их можно вывести как частный случай сферических гармоник. Впоследствии в своих мемуарах 1782 года Лаплас исследовал эти коэффициенты, используя сферические координаты для представления угла γ между x 1 и x . (См. Полиномы Лежандра § Приложения для более подробной информации.)
В 1867 году Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тейт ввели сплошные сферические гармоники в своем «Трактате о натуральной философии» , а также впервые ввели название «сферические гармоники» для этих функций. Сплошные гармоники были однородными полиномиальными решениями уравнения Лапласа
. Исследуя уравнение Лапласа в сферических координатах, Томсон и Тейт восстановили сферические гармоники Лапласа. (См. Гармоническое полиномиальное представление.) Термин «коэффициенты Лапласа» был использован Уильямом Уэвеллом для описания конкретной системы решений, введенных в соответствии с этими линиями, в то время как другие зарезервировали это обозначение для зональных сферических гармоник , которые были надлежащим образом введены Лапласом и Лежандром.
Развитие рядов Фурье в 19 веке сделало возможным решение широкого спектра физических задач в прямоугольных областях, таких как решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения . Этого можно было достичь путем разложения функций в ряды тригонометрических функций . В то время как тригонометрические функции в рядах Фурье представляют основные моды колебаний в струне , сферические гармоники представляют основные моды колебаний сферы во многом таким же образом. Многие аспекты теории рядов Фурье можно было обобщить, взяв разложения по сферическим гармоникам, а не по тригонометрическим функциям. Более того, аналогично тому, как тригонометрические функции могут быть эквивалентно записаны в виде комплексных экспонент , сферические гармоники также обладали эквивалентной формой в виде комплекснозначных функций. Это было благом для задач, обладающих сферической симметрией , таких как задачи небесной механики, первоначально изученные Лапласом и Лежандром.
Уравнение Лапласа предполагает, что лапласиан скалярного поля f равен нулю. (Здесь скалярное поле понимается как комплексное, т.е. соответствующее (гладкой) функции .) В сферических координатах это: [2]
Рассмотрим задачу поиска решений вида f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Разделением переменных получаются два дифференциальных уравнения путем наложения уравнения Лапласа:
Второе уравнение можно упростить, предположив, что Y имеет вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Повторное применение разделения переменных ко второму уравнению дает пару дифференциальных уравнений
для некоторого числа m . Априори m является комплексной константой, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой без остатка делит 2 π , m обязательно является целым числом, а Φ является линейной комбинацией комплексных экспонент e ± imφ . Функция решения Y ( θ , φ ) является регулярной на полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой регулярности на решение Θ второго уравнения в граничных точках области является задачей Штурма–Лиувилля , которая заставляет параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | m | ; это также объясняется ниже в терминах орбитального углового момента . Более того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого является кратным связанному полиному Лежандра Pм л(cos θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = Ar ℓ + B r − ℓ − 1 ; требуя, чтобы решение было регулярным на протяжении R 3 сил B = 0 . [3]
Здесь предполагалось, что решение имеет специальную форму Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Для заданного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этой формы, по одному для каждого целого числа m с − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения являются произведением тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных полиномов Лежандра:
которые выполняют
Здесь называется сферической гармонической функцией степени ℓ и порядка m , является ассоциированным полиномом Лежандра , N является константой нормировки, [4] а θ и φ представляют кошироту и долготу соответственно. В частности, коширота θ , или полярный угол, изменяется от 0 на Северном полюсе до π /2 на экваторе и до π на Южном полюсе, а долгота φ , или азимут , может принимать все значения с 0 ≤ φ < 2 π . Для фиксированного целого числа ℓ каждое решение Y ( θ , φ ) , , задачи на собственные значения
является линейной комбинацией . Фактически, для любого такого решения r ℓ Y ( θ , φ ) представляет собой выражение в сферических координатах однородного многочлена , который является гармоническим (см. ниже), и поэтому подсчет размерностей показывает, что существует 2 ℓ + 1 линейно независимых таких многочленов.
Общее решение уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций, умноженных на соответствующий масштабный коэффициент r ℓ ,
где константы и факторы r ℓ Y ℓ m известны как ( регулярные ) сплошные гармоники . Такое расширение справедливо в шаре
Для вместо этого выбираются сплошные гармоники с отрицательными степенями ( нерегулярные сплошные гармоники ). В этом случае необходимо разложить решение известных областей в ряд Лорана (около ), вместо ряда Тейлора (около ), использованного выше, чтобы сопоставить члены и найти коэффициенты разложения ряда .
Орбитальный угловой момент
В квантовой механике сферические гармоники Лапласа понимаются в терминах орбитального момента импульса [5] В квантовой механике
ħ является общепринятым; удобно работать в единицах, в которых ħ = 1. Сферические гармоники являются собственными функциями квадрата орбитального момента импульса
Сферические гармоники Лапласа являются совместными собственными функциями квадрата орбитального момента импульса и генератора вращений вокруг азимутальной оси:
Если Y является совместной собственной функцией L 2 и L z , то по определению
для некоторых действительных чисел m и λ . Здесь m должно быть фактически целым числом, так как Y должна быть периодической по координате φ с периодом числом, которое нацело делит 2 π . Кроме того, поскольку
и каждая из L x , L y , L z являются самосопряженными, то отсюда следует, что λ ≥ m 2 .
Обозначим это совместное собственное пространство через E λ , m , и определим повышающий и понижающий операторы через
Тогда L + и L − коммутируют с L 2 , и алгебра Ли, порожденная L + , L − , L z , является специальной линейной алгеброй Ли порядка 2, , с коммутационными соотношениями
Таким образом, L + : E λ , m → E λ , m +1 (это «повышающий оператор») и L − : E λ , m → E λ , m −1 (это «понижающий оператор»). В частности, Lк + : E λ , m → E λ , m + k должно быть равно нулю для достаточно большого k , поскольку неравенство λ ≥ m 2 должно выполняться в каждом из нетривиальных совместных собственных подпространств. Пусть Y ∈ E λ , m — ненулевая совместная собственная функция, и пусть k — наименьшее целое число, такое что
Тогда, поскольку
следует, что
Таким образом , λ = ℓ ( ℓ + 1) для положительного целого числа ℓ = m + k .
Все вышеизложенное было разработано в сферическом координатном представлении, но может быть выражено более абстрактно в полном ортонормированном сферическом кет-базисе .
Гармоническое полиномиальное представление
Сферические гармоники можно выразить как ограничение на единичную сферу некоторых полиномиальных функций . В частности, мы говорим, что (комплекснозначная) полиномиальная функция однородна степени , если для
всех действительных чисел и всех . Мы говорим, что она гармонична , если
где — лапласиан . Тогда для каждого мы определяем
Например, когда , это всего лишь 3-мерное пространство всех линейных функций , поскольку любая такая функция автоматически является гармонической. Между тем, когда , мы имеем 5-мерное пространство:
Для любого пространство сферических гармоник степени является просто пространством ограничений сферы элементов . [6] Как предполагается во введении, эта точка зрения, по-видимому, является источником термина «сферическая гармоника» (т. е. ограничение сферы гармонической функции ).
Например, для любого формула
определяет однородный многочлен степени с областью определения и областью определения , которая не зависит от . Легко видеть, что этот многочлен является гармоническим. Если мы запишем в сферических координатах , а затем ограничимся , получим
, что можно переписать как
После использования формулы для соответствующего многочлена Лежандра , мы можем распознать ее как формулу для сферической гармоники [7] (см. Особые случаи.)
Конвенции
Ортогональность и нормализация
Для сферических гармонических функций Лапласа обычно используются несколько различных нормализаций . На протяжении всего раздела мы используем стандартное соглашение, что для (см. ассоциированные полиномы Лежандра )
, что является естественной нормализацией, заданной формулой Родригеса.
В акустике [8] сферические гармоники Лапласа обычно определяются как (это соглашение используется в этой статье), тогда
как в квантовой механике : [9] [10]
где — ассоциированные полиномы Лежандра без фазы Кондона–Шортли (чтобы избежать двойного учета фазы).
В обоих определениях сферические гармоники ортонормальны
, где δ ij — дельта Кронекера , а d Ω = sin( θ ) dφ dθ . Эта нормализация используется в квантовой механике, поскольку она обеспечивает нормализацию вероятности, т.е.
Дисциплины геодезии [11] и спектрального анализа используют
которые обладают единичной мощностью
Сообщество магнетиков [11] , напротив , использует полунормализованные гармоники Шмидта
которые имеют нормализацию
В квантовой механике эта нормализация также иногда используется и называется нормализацией Рака в честь Джулио Рака .
Можно показать, что все вышеперечисленные нормализованные сферические гармонические функции удовлетворяют
где верхний индекс * обозначает комплексное сопряжение. Альтернативно, это уравнение следует из связи сферических гармонических функций с D-матрицей Вигнера .
Фаза Кондона–Шортли
Один из источников путаницы с определением сферических гармонических функций касается фазового множителя , обычно называемого фазой Кондона – Шортли в квантово-механической литературе. В сообществе квантовой механики общепринятой практикой является либо включение этого фазового множителя в определение связанных полиномов Лежандра , либо добавление его к определению сферических гармонических функций. Нет необходимости использовать фазу Кондона – Шортли в определении сферических гармонических функций, но включение ее может упростить некоторые квантово-механические операции, особенно применение повышающих и понижающих операторов . Сообщества геодезии [12] и магнетизма никогда не включают фазовый множитель Кондона – Шортли в свои определения сферических гармонических функций или в определения связанных полиномов Лежандра. [13]
Действительная форма
Действительный базис сферических гармоник может быть определен в терминах их комплексных аналогов , установив
Фазовое соглашение Кондона–Шортли используется здесь для согласованности. Соответствующие обратные уравнения, определяющие комплексные сферические гармоники в терминах действительных сферических гармоник, следующие:
Действительные сферические гармоники иногда называют тессеральными сферическими гармониками . [14] Эти функции обладают теми же свойствами ортонормальности, что и комплексные функции, указанные выше. Действительные сферические гармоники с m > 0 называются косинусными, а те, что с m < 0, — синусными. Причину этого можно увидеть, записав функции в терминах полиномов Лежандра как
Те же синусные и косинусные множители можно увидеть и в следующем подразделе, посвященном декартову представлению.
Здесь представлен список действительных сферических гармоник до , включая , которые, как можно видеть, согласуются с выводом уравнений выше.
Использование в квантовой химии
Как известно из аналитических решений для атома водорода, собственные функции угловой части волновой функции являются сферическими гармониками. Однако решения нерелятивистского уравнения Шредингера без магнитных членов можно сделать действительными. Вот почему действительные формы широко используются в базисных функциях для квантовой химии, поскольку тогда программам не нужно использовать комплексную алгебру. Здесь действительные функции охватывают то же пространство, что и комплексные.
Например, как видно из таблицы сферических гармоник , обычные функции p ( ) являются сложными и смешивают направления осей, но реальные версии по сути представляют собой просто x , y и z .
Сферические гармоники в декартовой форме
Комплексные сферические гармоники порождают телесные гармоники , расширяясь от до всех из как однородная функция степени , т.е. устанавливая
Оказывается, что является базисом пространства гармонических и однородных полиномов степени . Более конкретно, это (единственный с точностью до нормализации) базис Гельфанда-Цетлина этого представления группы вращения , и из этого факта может быть выведена явная формула для в декартовых координатах.
Производящая функция Герглотца
Если для принято квантово-механическое соглашение , то
здесь — вектор с компонентами , , а — вектор с комплексными координатами:
Существенным свойством является то, что оно равно нулю:
Достаточно взять и в качестве действительных параметров. Называя эту производящую функцию в честь Герглотца , мы следуем Куранту и Гильберту 1962, §VII.7, которые приписывают ее открытие неопубликованным заметкам Герглотца.
По существу, все свойства сферических гармоник могут быть выведены из этой производящей функции. [15] Непосредственное преимущество этого определения состоит в том, что если вектор заменить квантово-механическим оператором спинового вектора , таким образом, что является операторным аналогом твердотельной гармоники , [16] можно получить производящую функцию для стандартизированного набора сферических тензорных операторов :
Параллелизм двух определений гарантирует, что ' преобразуются при вращениях (см. ниже) таким же образом, как ', что в свою очередь гарантирует, что они являются сферическими тензорными операторами, , причем и , подчиняясь всем свойствам таких операторов, таким как теорема композиции Клебша-Гордана и теорема Вигнера-Эккарта . Более того, они являются стандартизированным набором с фиксированным масштабом или нормализацией.
Разделенная декартова форма
Определение Герглотца дает многочлены, которые при желании можно далее разложить на многочлен от и еще один от и , следующим образом (фаза Кондона–Шортли):
и для m = 0 :
Здесь
и
Для это сводится к
Фактор по сути является ассоциированным полиномом Лежандра , а факторы по сути являются .
Примеры
Используя выражения для , и , перечисленные явно выше, получаем:
Можно убедиться, что это согласуется с функцией, перечисленной здесь и здесь .
Реальные формы
Используя приведенные выше уравнения для формирования действительных сферических гармоник, видно, что для включены только члены (косинусы), а для включены только члены (синусы):
Когда , или проще говоря в декартовых координатах,
На северном полюсе, где , и не определено, все сферические гармоники, за исключением тех, у которых обращаются в нуль:
Свойства симметрии
Сферические гармоники обладают глубокими и существенными свойствами при операциях пространственной инверсии (четности) и вращения.
Паритет
Сферические гармоники имеют определенную четность. То есть, они либо четные, либо нечетные относительно инверсии относительно начала координат. Инверсия представлена оператором . Тогда, как можно видеть многими способами (возможно, проще всего из производящей функции Герглотца), при этом являясь единичным вектором,
В терминах сферических углов четность преобразует точку с координатами в . Тогда утверждение о четности сферических гармоник выглядит
следующим образом (Это можно увидеть следующим образом: ассоциированные полиномы Лежандра дают (−1) ℓ + m , а из показательной функции мы имеем (−1) m , что вместе дает для сферических гармоник четность (−1) ℓ .)
Четность продолжает сохраняться для действительных сферических гармоник, а также для сферических гармоник в более высоких измерениях: применение точечного отражения к сферической гармонике степени ℓ изменяет знак на коэффициент (−1) ℓ .
Вращения
Рассмотрим вращение вокруг начала координат, которое направляет единичный вектор в . При этой операции сферическая гармоника степени и порядка преобразуется в линейную комбинацию сферических гармоник той же степени. То есть,
где — матрица порядка , которая зависит от вращения . Однако это не стандартный способ выражения этого свойства. В стандартном способе записывается,
где - комплексно сопряженный элемент матрицы Вигнера D. В частности, когда - поворот азимута, мы получаем тождество,
Вращательное поведение сферических гармоник, возможно, является их квинтэссенцией с точки зрения теории групп. 's степени обеспечивают базисный набор функций для неприводимого представления группы SO(3) размерности . Многие факты о сферических гармониках (такие как теорема сложения), которые кропотливо доказываются с использованием методов анализа, приобретают более простые доказательства и более глубокое значение с использованием методов симметрии.
Сферическое гармоническое расширение
Сферические гармоники Лапласа образуют полный набор ортонормированных функций и, таким образом, образуют ортонормированный базис гильбертова пространства квадратично -интегрируемых функций . На единичной сфере любая квадратично-интегрируемая функция может быть, таким образом, разложена в линейную комбинацию этих:
Это расширение справедливо в смысле среднеквадратичной сходимости — сходимости в L 2 сферы — то есть
Коэффициенты разложения являются аналогами коэффициентов Фурье и могут быть получены путем умножения приведенного выше уравнения на комплексно сопряженную сферическую гармонику, интегрирования по телесному углу Ω и использования приведенных выше соотношений ортогональности. Это строго обосновано базовой теорией гильбертова пространства. Для случая ортонормированных гармоник это дает:
Квадратично-интегрируемую функцию можно также разложить по действительным гармоникам выше в виде суммы
Сходимость ряда сохраняется в том же смысле, а именно, действительные сферические гармоники образуют полный набор ортонормированных функций и, таким образом, образуют ортонормированный базис гильбертова пространства квадратично - интегрируемых функций . Преимущество разложения по действительным гармоническим функциям заключается в том, что для действительных функций коэффициенты разложения гарантированно являются действительными, тогда как их коэффициенты в их разложении по (рассматривая их как функции ) не обладают этим свойством.
Спектральный анализ
Спектр мощности при обработке сигналов
Полная мощность функции f определяется в литературе по обработке сигналов как интеграл квадрата функции, деленный на площадь ее области определения. Используя свойства ортонормированности действительных сферических гармонических функций единичной мощности, легко проверить, что полная мощность функции, определенной на единичной сфере, связана с ее спектральными коэффициентами посредством обобщения теоремы Парсеваля (здесь теорема сформулирована для полунормализованных гармоник Шмидта, для ортонормированных гармоник связь немного иная):
где
определяется как угловой спектр мощности (для полунормализованных гармоник Шмидта). Аналогичным образом можно определить перекрестную мощность двух функций как
где
определяется как кросс-спектр мощности. Если функции f и g имеют нулевое среднее (т.е. спектральные коэффициенты f 00 и g 00 равны нулю), то S ff ( ℓ ) и S fg ( ℓ ) представляют вклады в дисперсию и ковариацию функции для степени ℓ , соответственно. Обычно (кросс-)спектр мощности хорошо аппроксимируется степенным законом вида
Когда β = 0 , спектр «белый», так как каждая степень обладает одинаковой мощностью. Когда β < 0 , спектр называется «красным», так как на низких степенях с большими длинами волн мощности больше, чем на более высоких степенях. Наконец, когда β > 0 , спектр называется «синим». Условие на порядок роста S ff ( ℓ ) связано с порядком дифференцируемости f в следующем разделе.
Общая техника заключается в использовании теории пространств Соболева . Утверждения, связывающие рост S ff ( ℓ ) с дифференцируемостью, тогда подобны аналогичным результатам о росте коэффициентов рядов Фурье . В частности, если
то f принадлежит пространству Соболева H s ( S 2 ) . В частности, теорема вложения Соболева подразумевает, что f бесконечно дифференцируема при условии, что
для всех s .
Алгебраические свойства
Теорема сложения
Математический результат, представляющий значительный интерес и применение, называется теоремой сложения для сферических гармоник. Если заданы два вектора r и r′ со сферическими координатами и , соответственно, угол между ними задается соотношением
, в котором роль тригонометрических функций, стоящих в правой части, играют сферические гармоники, а роль тригонометрических функций, стоящих в левой части, играют полиномы Лежандра .
Теорема сложения утверждает [17]
где P ℓ — полином Лежандра степени ℓ . Это выражение справедливо как для действительных, так и для комплексных гармоник. [18] Результат можно доказать аналитически, используя свойства ядра Пуассона в единичном шаре, или геометрически, применив вращение к вектору y так, чтобы он указывал вдоль оси z , а затем напрямую вычислив правую часть. [19]
В частности, когда x = y , это дает теорему Унзёльда [20]
, которая обобщает тождество cos 2 θ + sin 2 θ = 1 на два измерения.
В разложении ( 1 ) левая часть является постоянным кратным степени ℓ зональной сферической гармоники . С этой точки зрения, имеет место следующее обобщение на более высокие размерности. Пусть Y j будет произвольным ортонормированным базисом пространства H ℓ степени ℓ сферических гармоник на n -сфере. Тогда степень ℓ зональной гармоники, соответствующая единичному вектору x , разлагается как [21]
Более того, зональная гармоника задается как постоянное кратное соответствующего полинома Гегенбауэра :
Объединение ( 2 ) и ( 3 ) дает ( 1 ) в размерности n = 2 , когда x и y представлены в сферических координатах. Наконец, оценка при x = y дает функциональное тождество
, где ω n −1 — объем ( n −1)-сферы.
Правило сокращения
Другое полезное тождество выражает произведение двух сферических гармоник как сумму по сферическим гармоникам [22]
Многие члены в этой сумме тривиально равны нулю. Значения и , которые приводят к ненулевым членам в этой сумме, определяются правилами выбора для 3j-символов .
Коэффициенты Клебша–Гордана
Коэффициенты Клебша–Гордана — это коэффициенты, появляющиеся в разложении произведения двух сферических гармоник в терминах самих сферических гармоник. Существует множество методов для выполнения по сути того же вычисления, включая символ Вигнера 3-jm , коэффициенты Рака и интегралы Слейтера . Абстрактно, коэффициенты Клебша–Гордана выражают тензорное произведение двух неприводимых представлений группы вращения как сумму неприводимых представлений: при соответствующей нормализации коэффициенты затем становятся кратностями.
Визуализация сферических гармоник
Сферические гармоники Лапласа можно визуализировать, рассмотрев их « узловые линии », то есть множество точек на сфере, где , или, альтернативно, где . Узловые линии состоят из ℓ окружностей: есть | m | окружностей вдоль долгот и ℓ −| m | окружностей вдоль широт. Можно определить количество узловых линий каждого типа, подсчитав количество нулей в направлениях и соответственно. Рассматривая как функцию , действительные и мнимые компоненты связанных полиномов Лежандра обладают каждая ℓ −| m | нулями, каждая из которых порождает узловую «линию широты». С другой стороны, рассматривая как функцию , тригонометрические функции sin и cos обладают 2| m | нулями, каждая из которых порождает узловую «линию долготы».
Когда сферический гармонический порядок m равен нулю (вверху слева на рисунке), сферические гармонические функции не зависят от долготы и называются зональными . Такие сферические гармоники являются частным случаем зональных сферических функций . Когда ℓ = | m | (внизу справа на рисунке), нулевых пересечений по широте нет, и функции называются секторными . Для других случаев функции проверяют сферу, и они называются тессеральными .
Более общие сферические гармоники степени ℓ не обязательно являются гармониками базиса Лапласа , и их узловые множества могут быть довольно общего вида. [23]
Список сферических гармоник
Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных сферических гармоник Лапласа , использующие соглашение о фазах Кондона–Шортли:
Более высокие измерения
Классические сферические гармоники определяются как комплекснозначные функции на единичной сфере внутри трехмерного евклидова пространства . Сферические гармоники могут быть обобщены на многомерное евклидово пространство следующим образом, что приводит к функциям . [24] Пусть P ℓ обозначает пространство комплекснозначных однородных многочленов степени ℓ от n действительных переменных, рассматриваемых здесь как функции . То есть, многочлен p принадлежит P ℓ при условии, что для любого действительного , выполняется
Пусть A ℓ обозначает подпространство P ℓ, состоящее из всех гармонических многочленов :
Это (регулярные) сплошные сферические гармоники . Пусть H ℓ обозначает пространство функций на единичной сфере,
полученное ограничением из A ℓ
Имеются следующие свойства:
Сумма пространств H ℓ плотна в множестве непрерывных функций на относительно равномерной топологии по теореме Стоуна–Вейерштрасса . В результате сумма этих пространств также плотна в пространстве L 2 ( S n −1 ) квадратично-интегрируемых функций на сфере. Таким образом, каждая квадратично-интегрируемая функция на сфере однозначно разлагается в ряд сферических гармоник, где ряд сходится в смысле L 2 .
Для всех f ∈ H ℓ , имеем где Δ S n −1 — оператор Лапласа–Бельтрами на S n −1 . Этот оператор является аналогом угловой части лапласиана в трех измерениях; а именно, лапласиан в n измерениях разлагается как
Из теоремы Стокса и предыдущего свойства следует , что пространства H ℓ ортогональны относительно скалярного произведения из L 2 ( S n −1 ) . То есть для f ∈ H ℓ и g ∈ H k при k ≠ ℓ .
Наоборот, пространства H ℓ являются в точности собственными пространствами Δ S n −1 . В частности, применение спектральной теоремы к потенциалу Рисса дает еще одно доказательство того, что пространства H ℓ попарно ортогональны и полны в L 2 ( S n −1 ) .
Каждый однородный многочлен p ∈ P ℓ может быть однозначно записан в виде [25] где p j ∈ A j . В частности,
Ортогональный базис сферических гармоник в высших размерностях может быть построен индуктивно методом разделения переменных , путем решения задачи Штурма-Лиувилля для сферического лапласиана,
где φ — осевая координата в сферической системе координат на S n −1 . Конечным результатом такой процедуры является [26]
, где индексы удовлетворяют | ℓ 1 | ≤ ℓ 2 ≤ ⋯ ≤ ℓ n −1 , а собственное значение равно − ℓ n −1 ( ℓ n −1 + n −2) . Функции в произведении определяются в терминах функции Лежандра
Связь с теорией представлений
Пространство H ℓ сферических гармоник степени ℓ является представлением группы симметрии вращений вокруг точки ( SO(3) ) и ее двойного покрытия SU(2) . Действительно, вращения действуют на двумерную сферу , и, таким образом, также на H ℓ посредством композиции функций
для ψ сферической гармоники и ρ вращения. Представление H ℓ является неприводимым представлением SO(3). [27]
Элементы H ℓ возникают как ограничения на сферу элементов A ℓ : гармонические многочлены, однородные степени ℓ на трехмерном евклидовом пространстве R 3 . В силу поляризации ψ ∈ A ℓ существуют коэффициенты, симметричные по индексам, однозначно определяемые требованием
Условие гармоничности ψ эквивалентно утверждению, что тензор должен быть бесследовым на каждой паре индексов. Таким образом, как неприводимое представление SO (3) , H ℓ изоморфно пространству бесследовых симметричных тензоров степени ℓ .
В более общем смысле аналогичные утверждения справедливы и в более высоких размерностях: пространство H ℓ сферических гармоник на n -сфере является неприводимым представлением SO( n +1), соответствующим бесследовым симметричным ℓ -тензорам. Однако, в то время как каждое неприводимое тензорное представление SO(2) и SO(3) имеет такой вид, специальные ортогональные группы в более высоких размерностях имеют дополнительные неприводимые представления, которые не возникают таким образом.
Специальные ортогональные группы имеют дополнительные спиновые представления , которые не являются тензорными представлениями и, как правило, не являются сферическими гармониками. Исключением является спиновое представление SO(3): строго говоря, это представления двойного покрытия SU(2) SO(3). В свою очередь, SU(2) отождествляется с группой единичных кватернионов и, таким образом, совпадает с 3-сферой . Пространства сферических гармоник на 3-сфере являются определенными спиновыми представлениями SO(3) относительно действия кватернионного умножения.
Связь с полусферическими гармониками
Сферические гармоники можно разделить на два набора функций. [28] Один из них — полусферические функции (HSH), ортогональные и полные на полусфере. Другой — дополнительные полусферические гармоники (CHSH).
В более общем смысле гипергеометрические ряды можно обобщить для описания симметрий любого симметричного пространства ; в частности, гипергеометрические ряды можно разработать для любой группы Ли . [29] [30] [31] [32]
Смотрите также
На Викискладе есть медиафайлы по теме Сферические гармоники .
Кубическая гармоника (часто используется вместо сферической гармоники в вычислениях)
^ Исторический обзор различных подходов к сферическим гармоникам в трех измерениях можно найти в главе IV MacRobert 1967. Термин «сферические гармоники Лапласа» широко используется; см. Courant & Hilbert 1962 и Meijer & Bauer 2004.
^ Подход к сферическим гармоникам, используемый здесь, можно найти в (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
^ Физические приложения часто принимают решение, которое исчезает на бесконечности, делая A = 0. Это не влияет на угловую часть сферических гармоник.
^ Weisstein, Eric W. "Сферическая гармоника". mathworld.wolfram.com . Получено 10 мая 2023 г.
^ Эдмондс 1957, §2.5
^ Холл 2013 Раздел 17.6
^ Холл 2013 Лемма 17.16
^ Уильямс, Эрл Г. (1999). Акустика Фурье: звуковое излучение и акустическая голография ближнего поля . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN0080506909. OCLC 181010993.
^ Мессия, Альберт (1999). Квантовая механика: два тома, объединенные в один (Два тома, объединенные в один, несокращенное переиздание). Минеола, Нью-Йорк: Довер. ISBN9780486409245.
^ Клод Коэн-Таннуджи; Бернар Диу; Франк Лалоэ (1996). Квантовая механика . Перевод Сьюзен Рид Хемли; и др. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN9780471569527.
^ ab Blakely, Richard (1995). Теория потенциала в гравитационных и магнитных приложениях . Cambridge England New York: Cambridge University Press. стр. 113. ISBN978-0521415088.
^ Хейсканен и Мориц, Физическая геодезия, 1967, ур. 1-62
^ Weisstein, Eric W. "Фаза Кондона-Шортли". mathworld.wolfram.com . Получено 2022-11-02 .
↑ Уиттекер и Уотсон 1927, стр. 392.
^ См., например, Приложение А к книге Гарга А. «Классическая электродинамика в двух словах» (Издательство Принстонского университета, 2012).
^ Эдмондс, AR (1996). Угловой момент в квантовой механике . Princeton University Press. стр. 63.
^ Это справедливо для любого ортонормированного базиса сферических гармоник степени ℓ . Для гармоник единичной мощности необходимо удалить множитель 4 π .
^ Уиттекер и Уотсон 1927, стр. 395
^ Унзельд 1927
^ Штейн и Вайс 1971, §IV.2
^ Бринк, Д.М.; Сэтчлер, Г.Р. Угловой момент . Oxford University Press. стр. 146.
^ Ерёменко, Якобсон и Надирашвили, 2007 г.
^ Соломенцев 2001; Штейн и Вайс 1971, §Iv.2
^ См. Следствие 1.8 из Axler, Sheldon; Ramey, Wade (1995), Гармонические многочлены и задачи типа Дирихле.
^ Хигучи, Ацуши (1987). «Симметричные тензорные сферические гармоники на N-сфере и их применение к группе де Ситтера SO(N,1)». Журнал математической физики . 28 (7): 1553–1566. Bibcode : 1987JMP....28.1553H. doi : 10.1063/1.527513.
^ Холл 2013 Следствие 17.17
^ Zheng Y, Wei K, Liang B, Li Y, Chu X (2019-12-23). «Функции типа Цернике на сферической крышке: принцип и применение в подгонке оптических поверхностей и графическом рендеринге». Optics Express . 27 (26): 37180–37195. Bibcode : 2019OExpr..2737180Z. doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087. PMID 31878503.
↑ Н. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп , Am. Math. Soc. Transl., т. 22, (1968).
^ JD Talman, Специальные функции, групповой теоретический подход (на основе лекций EP Wigner), WA Benjamin, Нью-Йорк (1968).
^ У. Миллер, Симметрия и разделение переменных, Эддисон-Уэсли, Рединг (1977).
^ А. Вавжинчик, Представления групп и специальные функции , Польское научное издательство. Варшава (1984).
Эдмондс, AR (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9
Еременко, Александр; Якобсон, Дмитрий; Надирашвили, Николай (2007), «Об узловых множествах и узловых областях на S² и R²», Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345–2360, doi : 10.5802/aif.2335 , ISSN 0373-0956, MR 2394544
Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
МакРоберт, Т.М. (1967), Сферические гармоники: Элементарный трактат о гармонических функциях с приложениями , Pergamon Press.
Мейер, Пол Герман Эрнст; Бауэр, Эдмонд (2004), Теория групп: применение к квантовой механике , Довер, ISBN 978-0-486-43798-9.
Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
Унсёльд, Альбрехт (1927), «Beiträge zur Quantenmechanik der Atome», Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, Бибкод : 1927AnP...387..355U, doi :10.1002/andp.19273870304.
Альберт Мессия, Квантовая механика , том II. (2000) Дувр. ISBN 0-486-40924-4 .
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 6.7. Сферические гармоники», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский Квантовая теория углового момента , (1988) World Scientific Publishing Co., Сингапур, ISBN 9971-5-0107-4