Деформация (математика)

В математике теория деформации — это изучение бесконечно малых условий, связанных с изменением решения P задачи до слегка отличающихся решений P _ε , где ε — малое число или вектор малых величин. Бесконечно малые условия являются результатом применения подхода дифференциального исчисления к решению задачи с ограничениями . Название является аналогией нежестких структур, которые слегка деформируются для компенсации внешних сил.

Некоторые характерные явления: вывод уравнений первого порядка путем рассмотрения величин ε как имеющих пренебрежимо малые квадраты; возможность изолированных решений , в которых изменение решения может быть невозможным или не привносит ничего нового; и вопрос о том, действительно ли бесконечно малые ограничения «интегрируются», так что их решение действительно обеспечивает небольшие изменения. В некоторой форме эти соображения имеют многовековую историю в математике, но также в физике и технике . Например, в геометрии чисел был признан класс результатов, называемых теоремами изоляции , с топологической интерпретацией открытой орбиты ( группового действия ) вокруг данного решения. Теория возмущений также рассматривает деформации, в общем случае операторов .

Деформации комплексных многообразий

Наиболее выдающейся теорией деформации в математике была теория комплексных многообразий и алгебраических многообразий . Она была поставлена на прочную основу основополагающими работами Кунихико Кодаиры и Дональда К. Спенсера , после того как методы деформации получили значительное более осторожное применение в итальянской школе алгебраической геометрии . Интуитивно можно ожидать, что теория деформации первого порядка должна приравнять касательное пространство Зарисского к пространству модулей . Однако в общем случае эти явления оказываются довольно тонкими.

В случае римановых поверхностей можно объяснить, что комплексная структура на сфере Римана изолирована (нет модулей). Для рода 1 эллиптическая кривая имеет однопараметрическое семейство комплексных структур, как показано в теории эллиптических функций . Общая теория Кодаиры–Спенсера определяет в качестве ключа к теории деформации группу когомологий пучка

H^{1}(\Theta)\,

где Θ — (пучок ростков сечений) голоморфного касательного расслоения . В H ² того же пучка имеется препятствие ; которое всегда равно нулю в случае кривой по общим причинам размерности. В случае рода 0 H ¹ также обращается в нуль. Для рода 1 размерность равна числу Ходжа h ^{1,0 ,} которое, следовательно, равно 1. Известно, что все кривые рода один имеют уравнения вида y ² = x ³ + ax + b . Они, очевидно, зависят от двух параметров, a и b, тогда как классы изоморфизма таких кривых имеют только один параметр. Следовательно, должно быть уравнение, связывающее те a и b, которые описывают изоморфные эллиптические кривые. Оказывается, что кривые, для которых b ²a ⁻³ имеет одно и то же значение, описывают изоморфные кривые. То есть, варьирование a и b является одним из способов деформации структуры кривой y ² = x ³ + ax + b , но не все вариации a,b фактически изменяют класс изоморфизма кривой.

Можно пойти дальше в случае рода g > 1, используя двойственность Серра, чтобы связать H ¹ с

H^{0}(\Omega ^{[2]})

где Ω — голоморфное кокасательное расслоение , а обозначение Ω ^[2] означает квадрат тензора ( а не вторую внешнюю степень ). Другими словами, деформации регулируются голоморфными квадратичными дифференциалами на римановой поверхности, что опять же известно из классики. Размерность пространства модулей, называемого в этом случае пространством Тейхмюллера , вычисляется как 3 g − 3 по теореме Римана–Роха .

Эти примеры являются началом теории, применяемой к голоморфным семействам комплексных многообразий любой размерности. Дальнейшие разработки включали: расширение Спенсером методов на другие структуры дифференциальной геометрии ; ассимиляцию теории Кодаиры–Спенсера в абстрактную алгебраическую геометрию Гротендика с последующим существенным разъяснением более ранних работ; и теорию деформации других структур, таких как алгебры.

Деформации и плоские карты

Наиболее общая форма деформации — это плоское отображение комплексно-аналитических пространств, схем или ростков функций на пространстве. Гротендик ^[1] был первым, кто нашел это далеко идущее обобщение для деформаций и разработал теорию в этом контексте. Общая идея заключается в том, что должно существовать универсальное семейство , такое, что любая деформация может быть найдена как уникальный квадрат обратного протягивания $f:X\to S$ ${\mathfrak {X}}\to B$

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &B\end{matrix}}$

Во многих случаях это универсальное семейство является либо схемой Гильберта , либо схемой Квота , либо частным одной из них. Например, при построении модулей кривых оно строится как частное гладких кривых в схеме Гильберта. Если квадрат пула не является единственным, то семейство является только версальным .

Деформации ростков аналитических алгебр

Одна из полезных и легко вычисляемых областей теории деформаций исходит из теории деформаций ростков комплексных пространств, таких как многообразия Штейна , комплексные многообразия или комплексные аналитические многообразия . ^[1] Обратите внимание, что эта теория может быть глобализирована на комплексные многообразия и комплексные аналитические пространства путем рассмотрения пучков ростков голоморфных функций, касательных пространств и т. д. Такие алгебры имеют вид

$A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{I}}$

где — кольцо сходящихся степенных рядов, а — идеал. Например, многие авторы изучают ростки функций особенности, такие как алгебра $\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}$ $I$

$A\cong {\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(y^{2}-x^{n})}}$

представляющая сингулярность плоской кривой. Росток аналитических алгебр является тогда объектом в противоположной категории таких алгебр. Тогда деформация ростка аналитических алгебр задается плоским отображением ростков аналитических алгебр , где имеет выделенную точку, такую, что вписывается в квадрат обратного протягивания $X_{0}$ $f:X\to S$ $S$ $0$ $X_{0}$

${\begin{matrix}X_{0}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\*&{\xrightarrow[{0}]{}}&S\end{matrix}}$

Эти деформации имеют отношение эквивалентности, заданное коммутативными квадратами

${\begin{matrix}X'&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}$

где горизонтальные стрелки — изоморфизмы. Например, существует деформация особенности плоской кривой, заданная противоположной диаграммой коммутативной диаграммы аналитических алгебр

${\begin{matrix}{\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})}}&\leftarrow &{\frac {\mathbb {C} \{x,y,s\}}{(y^{2}-x^{n}+s)}}\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} &\leftarrow &\mathbb {C} \{s\}\end{matrix}}$

На самом деле Милнор изучал такие деформации, где сингулярность деформируется константой, поэтому волокно над ненулевым значением называется волокном Милнора . $s$

Когомологическая интерпретация деформаций

Должно быть ясно, что может быть много деформаций одного ростка аналитических функций. Из-за этого существуют некоторые бухгалтерские устройства, необходимые для организации всей этой информации. Эти организационные устройства строятся с использованием касательных когомологий. ^[1] Это формируется с помощью резолюции Кошуля–Тейта и потенциального ее изменения путем добавления дополнительных генераторов для нерегулярных алгебр . В случае аналитических алгебр эти резолюции называются резолюцией Тюриной по имени математика, который первым изучал такие объекты, Галины Тюриной . Это градуированно-коммутативная дифференциальная градуированная алгебра, такая что является сюръективным отображением аналитических алгебр, и это отображение вписывается в точную последовательность $A$ $(R_{\bullet },s)$ $R_{0}\to A$

$\cdots \xrightarrow {s} R_{-2}\xrightarrow {s} R_{-1}\xrightarrow {s} R_{0}\xrightarrow {p} A\to 0$

Затем, взяв дифференциальный градуированный модуль дериваций , его когомологии образуют касательные когомологии ростка аналитических алгебр . Эти группы когомологий обозначаются . Содержит информацию обо всех деформациях и может быть легко вычислена с использованием точной последовательности $({\text{Der}}(R_{\bullet }),d)$ $A$ $T^{k}(A)$ $T^{1}(A)$ $A$

$0\to T^{0}(A)\to {\text{Der}}(R_{0})\xrightarrow {d} {\text{Hom}}_{R_{0}}(I,A)\to T^{1}(A)\to 0$

Если изоморфна алгебре $A$

${\frac {\mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}}{(f_{1},\ldots ,f_{m})}}$

тогда его деформации равны

$T^{1}(A)\cong {\frac {A^{m}}{df\cdot A^{n}}}$

где — якобианская матрица . Например, деформации гиперповерхности, заданные как , имеют деформации $df$ $f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}$ $f$

$T^{1}(A)\cong {\frac {A^{n}}{\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n}}}\right)}}$

Для сингулярности это модуль $y^{2}-x^{3}$

${\frac {A^{2}}{(y,x^{2})}}$

следовательно, единственные деформации задаются путем добавления констант или линейных факторов, поэтому общая деформация равна где — параметры деформации. $f(x,y)=y^{2}-x^{3}$ $F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x$ $a_{i}$

Функториальное описание

Другим методом формализации теории деформации является использование функторов на категории локальных алгебр Артина над полем. Функтор предварительной деформации определяется как функтор ${\text{Art}}_{k}$

F:{\text{Art}}_{k}\to {\text{Sets}}

такой, что является точкой. Идея состоит в том, что мы хотим изучить бесконечно малую структуру некоторого пространства модулей вокруг точки, где выше этой точки находится интересующее нас пространство. Обычно бывает так, что проще описать функтор для задачи о модулях, чем найти фактическое пространство. Например, если мы хотим рассмотреть пространство модулей гиперповерхностей степени в , то мы могли бы рассмотреть функтор $F(k)$ $d$ $\mathbb {P} ^{n}$

F:{\text{Sch}}\to {\text{Sets}}

где

F(S)=\left\{{\begin{matrix}X\\\downarrow \\S\end{matrix}}:{\text{ each fiber is a degree }}d{\text{ hypersurface in }}\mathbb {P} ^{n}\right\}

Хотя в общем случае удобнее/требуется работать с функторами группоидов, а не множеств. Это справедливо для модулей кривых.

Технические замечания о бесконечно малых величинах

Бесконечно малые давно используются математиками для нестрогих аргументов в исчислении. Идея заключается в том, что если мы рассматриваем многочлены с бесконечно малым , то только члены первого порядка действительно имеют значение; то есть, мы можем рассматривать $F(x,\varepsilon )$ $\varepsilon$

F(x,\varepsilon )\equiv f(x)+\varepsilon g(x)+O(\varepsilon ^{2})

Простым применением этого является то, что мы можем находить производные одночленов, используя бесконечно малые величины:

(x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +O(\varepsilon ^{2})

термин содержит производную монома, демонстрируя его использование в исчислении. Мы также могли бы интерпретировать это уравнение как первые два члена разложения Тейлора монома. Бесконечно малые могут быть сделаны строгими с помощью нильпотентных элементов в локальных алгебрах Артина. В кольце мы видим, что аргументы с бесконечно малыми могут работать. Это мотивирует обозначение , которое называется кольцом дуальных чисел . $\varepsilon$ $k[y]/(y^{2})$ $k[\varepsilon ]=k[y]/(y^{2})$

Более того, если мы хотим рассмотреть члены более высокого порядка приближения Тейлора, то мы могли бы рассмотреть алгебры Артина . Для нашего монома, предположим, мы хотим записать разложение второго порядка, тогда $k[y]/(y^{k})$

(x+\varepsilon )^{3}=x^{3}+3x^{2}\varepsilon +3x\varepsilon ^{2}+\varepsilon ^{3}

Напомним, что разложение Тейлора (в нуле) можно записать как

f(x)=f(0)+{\frac {f^{(1)}(0)}{1!}}x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots

следовательно, предыдущие два уравнения показывают, что вторая производная равна . $x^{3}$ $6x$

В общем случае, поскольку мы хотим рассмотреть произвольные разложения Тейлора по любому числу переменных, мы рассмотрим категорию всех локальных алгебр Артина над полем.

Мотивация

Чтобы мотивировать определение функтора предварительной деформации, рассмотрим проективную гиперповерхность над полем

{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)\end{matrix}}

Если мы хотим рассмотреть бесконечно малую деформацию этого пространства, то мы могли бы записать декартов квадрат

{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}][\varepsilon ]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+\varepsilon x_{0}^{a_{0}}x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])\end{matrix}}

где . Тогда пространство в правом углу является одним из примеров бесконечно малой деформации: дополнительная схема теоретической структуры нильпотентных элементов в (которая топологически является точкой) позволяет нам организовать эти бесконечно малые данные. Поскольку мы хотим рассмотреть все возможные расширения, мы позволим нашему функтору предварительной деформации быть определенным на объектах как $a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4$ $\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ])$

F(A)=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {Proj} \left({\dfrac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{4}+x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4})}}\right)&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}\right\}

где — локальная Артиновская -алгебра. $A$ $k$

Гладкие функторы предварительной деформации

Функтор предварительной деформации называется гладким, если для любой сюръекции, такой что квадрат любого элемента в ядре равен нулю, существует сюръекция $A'\to A$

F(A')\to F(A)

Это мотивировано следующим вопросом: учитывая деформацию

{\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)\end{matrix}}

существует ли расширение этой декартовой диаграммы до декартовых диаграмм

{\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}&\to &{\mathfrak {X}}'\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (k)&\to &\operatorname {Spec} (A)&\to &\operatorname {Spec} (A')\end{matrix}}

название «гладкий» происходит от критерия подъема гладкого морфизма схем.

Касательное пространство

Напомним, что касательное пространство схемы можно описать как -множество $X$ $\operatorname {Hom}$

TX:=\operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/k}(\operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]),X)

где источником является кольцо дуальных чисел . Поскольку мы рассматриваем касательное пространство точки некоторого пространства модулей, мы можем определить касательное пространство нашего функтора (пред-)деформации как

T_{F}:=F(k[\varepsilon ]).

Приложения теории деформации

Размерность модулей кривых

Одно из первых свойств модулей алгебраических кривых может быть выведено с помощью элементарной теории деформации. Его размерность может быть вычислена как ${\mathcal {M}}_{g}$

$\dim({\mathcal {M}}_{g})=\dim H^{1}(C,T_{C})$

для произвольной гладкой кривой рода , поскольку пространство деформации является касательным пространством пространства модулей. Используя двойственность Серра, касательное пространство изоморфно $g$

${\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,T_{C}^{*}\otimes \omega _{C})^{\vee }\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\end{aligned}}$

Следовательно, теорема Римана–Роха дает

${\begin{aligned}h^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})-h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})&=2(2g-2)-g+1\\&=3g-3\end{aligned}}$

Для кривых рода потому что $g\geq 2$ $h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0$

$h^{1}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=h^{0}(C,(\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})$

степень это

${\begin{aligned}{\text{deg}}((\omega _{C}^{\otimes 2})^{\vee }\otimes \omega _{C})&=4-4g+2g-2\\&=2-2g\end{aligned}}$

и для линейных расслоений отрицательной степени. Поэтому размерность пространства модулей равна . $h^{0}(L)=0$ $3g-3$

Сгибать и ломать

Теория деформаций была знаменито применена в бирациональной геометрии Сигефуми Мори для изучения существования рациональных кривых на многообразиях . ^[2] Для многообразия Фано положительной размерности Мори показал, что существует рациональная кривая, проходящая через каждую точку. Метод доказательства позже стал известен как метод сгибания и разрыва Мори . Грубая идея состоит в том, чтобы начать с некоторой кривой C, проходящей через выбранную точку, и продолжать деформировать ее до тех пор, пока она не разобьется на несколько компонентов . Замена C на один из компонентов имеет эффект уменьшения либо рода , либо степени C. Таким образом, после нескольких повторений процедуры, в конечном итоге мы получим кривую рода 0, т. е . рациональную кривую. Существование и свойства деформаций C требуют аргументов из теории деформаций и редукции к положительной характеристике .

Арифметические деформации

Одно из основных приложений теории деформации — арифметика. Ее можно использовать для ответа на следующий вопрос: если у нас есть многообразие , каковы возможные расширения ? Если наше многообразие — кривая, то исчезновение подразумевает, что каждая деформация индуцирует многообразие над ; то есть, если у нас есть гладкая кривая $X/\mathbb {F} _{p}$ ${\mathfrak {X}}/\mathbb {Z} _{p}$ $H^{2}$ $\mathbb {Z} _{p}$

{\begin{matrix}X\\\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})\end{matrix}}

и деформация

{\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))\end{matrix}}

то мы всегда можем расширить его до диаграммы вида

{\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}_{2}&\to &{\mathfrak {X}}_{3}&\to \cdots \\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &\\\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{2}))&\to &\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} /(p^{3}))&\to \cdots \end{matrix}}

Это означает, что мы можем построить формальную схему, дающую кривую над . ${\mathfrak {X}}=\operatorname {Spet} ({\mathfrak {X}}_{\bullet })$ $\mathbb {Z} _{p}$

Деформации абелевых схем

Теорема Серра –Тейта утверждает, грубо говоря, что деформации абелевой схемы A контролируются деформациями p -делимой группы, состоящей из ее точек кручения p -степени. $A[p^{\infty }]$

Деформации Галуа

Другое применение теории деформаций — это деформации Галуа. Это позволяет нам ответить на вопрос: если у нас есть представление Галуа

G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} _{p})

как мы можем распространить это на представление

G\to \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} _{p}){\text{?}}

Связь с теорией струн

Так называемая гипотеза Делиня, возникшая в контексте алгебр (и когомологий Хохшильда ), стимулировала большой интерес к теории деформаций в связи с теорией струн (грубо говоря, формализовать идею о том, что теория струн может рассматриваться как деформация теории точечных частиц) ^{[ требуется ссылка ]} . Теперь это принято как доказанное, после некоторых заминок с ранними объявлениями. Максим Концевич входит в число тех, кто предложил общепринятое доказательство этого ^{[ требуется ссылка ]} .

Смотрите также

Примечания

^ abc Паламодов (1990). "Деформации комплексных пространств". Несколько комплексных переменных IV . Энциклопедия математических наук. Т. 10. С. 105–194. doi :10.1007/978-3-642-61263-3_3. ISBN 978-3-642-64766-6.
^ Дебарр, Оливье (2001). "3. Леммы изгиба и разрыва". Высокомерная алгебраическая геометрия . Universitext. Springer.

Источники

"деформация", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Gerstenhaber, Murray и Stasheff, James , ред. (1992). Теория деформации и квантовые группы с приложениями к математической физике , Американское математическое общество (Google eBook) ISBN 0821851411

Педагогический

Паламодов, В. П., III. Деформации комплексных пространств. Комплексные переменные IV (очень приземленное введение)
Курсовые заметки по теории деформации (Артин)
Изучение теории деформаций схем
Сернези, Эдуардо, Деформации алгебраических схем
Хартшорн, Робин, Теория деформации
Заметки из курса Хартшорна по теории деформации
MSRI – Теория деформации и модули в алгебраической геометрии

Обзорные статьи

Мазур, Барри (2004), «Возмущения, деформации и вариации (и «почти промахи» в геометрии, физике и теории чисел» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 41 (3): 307–336, doi : 10.1090/S0273-0979-04-01024-9 , MR 2058289
Анель, М., Почему деформации когомологичны (PDF)

Внешние ссылки

«Взгляд на теорию деформации» (PDF) ., конспект лекций Брайана Оссермана