Мозаика Пенроуза

Непериодическое замощение плоскости

Мозаика Пенроуза с ромбами, обладающими пятикратной симметрией

Плитка Пенроуза является примером апериодической плитки . Здесь плитка — это покрытие плоскости неперекрывающимися многоугольниками или другими фигурами, и плитка является апериодической , если она не содержит произвольно больших периодических областей или участков. Однако, несмотря на отсутствие трансляционной симметрии , плитки Пенроуза могут иметь как симметрию отражения , так и пятикратную вращательную симметрию . Плитки Пенроуза названы в честь математика и физика Роджера Пенроуза , который исследовал их в 1970-х годах.

Существует несколько вариантов мозаик Пенроуза с различными формами плиток. Первоначальная форма мозаики Пенроуза использовала плитки четырех различных форм, но позже это было сокращено только до двух форм: либо два различных ромба , либо два различных четырехугольника, называемых воздушными змеями и дротиками. Мозаики Пенроуза получаются путем ограничения способов, которыми эти формы могут совмещаться таким образом, чтобы избежать периодической мозаики. Это можно сделать несколькими различными способами, включая правила соответствия, подстановочную мозаику или правила конечного подразделения , схемы разрезания и проекции и покрытия. Даже ограниченная таким образом, каждая вариация дает бесконечно много различных мозаик Пенроуза.

Роджер Пенроуз в фойе Института фундаментальной физики и астрономии Митчелла Техасского университета A&M стоит на полу с плиткой Пенроуза.

Мозаики Пенроуза самоподобны : их можно преобразовать в эквивалентные мозаики Пенроуза с плитками разных размеров, используя процессы, называемые инфляцией и дефляцией . Узор, представленный каждым конечным участком плиток в мозаике Пенроуза, встречается бесконечно много раз по всей мозаике. Они являются квазикристаллами : реализованная в виде физической структуры мозаика Пенроуза будет создавать дифракционные картины с пиками Брэгга и пятикратной симметрией, выявляя повторяющиеся узоры и фиксированные ориентации ее плиток. ^[1] Изучение этих мозаик было важно для понимания физических материалов, которые также образуют квазикристаллы. ^[2] Мозаики Пенроуза также применялись в архитектуре и декорировании, как в показанной напольной плитке.

Предыстория и история

Периодические и апериодические мозаики

Рисунок 1. Часть периодической мозаики с двумя протоплитками

Покрытие плоской поверхности («плоскости») некоторым узором из геометрических фигур («плиток») без наложений или зазоров называется мозаикой . Наиболее известные мозаики, такие как покрытие пола квадратами, совпадающими ребром к краю, являются примерами периодических мозаик . Если квадратную мозаику сдвинуть на ширину плитки параллельно сторонам плитки, результатом будет тот же узор из плиток, что и до сдвига. Сдвиг (формально, перенос ) , который сохраняет мозаику таким образом, называется периодом мозаики. Мозаика называется периодической, когда у нее есть периоды, которые сдвигают мозаику в двух разных направлениях. ^[3]

Плитки в квадратной мозаике имеют только одну форму, и для других мозаик обычно иметь только конечное число форм. Эти формы называются протоплитками , и говорят, что набор протоплиток допускает мозаику или замощение плоскости , если существует мозаика плоскости, использующая только эти формы. То есть, каждая плитка в мозаике должна быть конгруэнтна одной из этих протоплиток. ^[4]

Мозаика, не имеющая периодов, является непериодической . Набор протоплиток называется апериодическим, если все его плитки непериодические, и в этом случае его плитки также называются апериодическими плитками . ^[5] Плитки Пенроуза являются одними из простейших известных примеров апериодических плиток плоскости конечными наборами протоплиток. ^[3]

Самые ранние апериодические мозаики

Апериодический набор домино Вана . ^[6]

Тема апериодических мозаик получила новый интерес в 1960-х годах, когда логик Хао Ван заметил связи между проблемами принятия решений и мозаиками. ^[7] В частности, он ввел мозаики из квадратных пластин с цветными краями, теперь известные как домино Вана или плитки , и сформулировал « задачу домино »: определить, может ли заданный набор домино Вана замостить плоскость с соответствующими цветами на соседних ребрах домино. Он заметил, что если бы эта проблема была неразрешимой , то должен был бы существовать апериодический набор домино Вана. В то время это казалось неправдоподобным, поэтому Ван предположил, что такого набора не может существовать.

Шесть протоплиток Робинсона

Студент Вана Роберт Бергер доказал, что проблема домино неразрешима (поэтому гипотеза Вана была неверной) в своей диссертации 1964 года ^[8] и получил апериодический набор из 20 426 домино Вана. ^[9] Он также описал сокращение до 104 таких протоплиток; последний не появился в его опубликованной монографии ^[10] , но в 1968 году Дональд Кнут подробно описал модификацию набора Бергера, требующую всего 92 домино. ^[11]

Соответствие цветов, необходимое при укладке плиток домино Вана, можно легко достичь, изменив края плиток, как кусочки головоломки, так, чтобы они могли совпадать друг с другом только так, как предписано раскраской краев. ^[12] Рафаэль Робинсон в статье 1971 года ^[13], которая упростила методы Бергера и доказательство неразрешимости, использовал эту технику для получения апериодического набора всего из шести прототипов плиток. ^[14]

Развитие мозаик Пенроуза

Рисунок 2. Пятиугольная мозаика Пенроуза (P1), нарисованная черным цветом на цветной ромбовидной мозаике (P3) с желтыми краями. ^[15]

Первая мозаика Пенроуза (мозаика P1 ниже) представляет собой апериодический набор из шести протоплиток, введенный Роджером Пенроузом в статье 1974 года ^[16] , основанный на пятиугольниках, а не квадратах. Любая попытка замостить плоскость правильными пятиугольниками обязательно оставляет пробелы, но Иоганн Кеплер показал в своей работе 1619 года Harmonices Mundi , что эти пробелы можно заполнить с помощью пентаграмм ( звездчатых многоугольников ), декагонов и связанных с ними фигур. ^[17] Кеплер расширил эту мозаику на пять многоугольников и не нашел периодических узоров, и уже предположил, что каждое расширение введет новую особенность ^[18], таким образом создав апериодическую мозаику. Следы этих идей можно также найти в работе Альбрехта Дюрера . ^[19] Признавая вдохновение от Кеплера, Пенроуз нашел правила соответствия для этих фигур, получив апериодический набор. Эти правила соответствия могут быть наложены путем украшения краев, как в случае с плитками Вана. Плитку Пенроуза можно рассматривать как завершение конечного шаблона Aa Кеплера . ^[20]

Непенроузовская мозаика из пятиугольников и тонких ромбов в паломнической церкви Святого Яна Непомуцкого в Зеленой горе, Чешская Республика, начало XVIII века

Пенроуз впоследствии сократил количество протоплиток до двух, открыв мозаику «змей и дротик» (мозаика P2 ниже) и мозаику «ромб» (мозаика P3 ниже). ^[21] Мозаика «ромб» была независимо открыта Робертом Амманном в 1976 году. ^[22] Пенроуз и Джон Х. Конвей исследовали свойства мозаик Пенроуза и обнаружили, что свойство подстановки объясняет их иерархическую природу; их выводы были опубликованы Мартином Гарднером в его колонке « Математические игры » в журнале Scientific American в январе 1977 года . ^[23]

В 1981 году Н. Г. де Брейн предложил два различных метода построения мозаик Пенроуза. «Многосеточный метод» де Брейна получает мозаики Пенроуза как двойственные графы расположений пяти семейств параллельных линий. В его «методе разрезания и проецирования» мозаики Пенроуза получаются как двумерные проекции из пятимерной кубической структуры . В этих подходах мозаика Пенроуза рассматривается как набор точек, ее вершин, в то время как плитки являются геометрическими фигурами, полученными путем соединения вершин с ребрами. ^[24] Конструкция 1990 года, разработанная Бааке, Крамером, Шлоттманном и Зейдлером, вывела мозаику Пенроуза и связанную с ней мозаику треугольников Тюбингена аналогичным образом из четырехмерных 5-клеточных сот . ^[25]

Мозаики Пенроуза

Мозаика P1 с использованием оригинального набора из шести прототипов Пенроуза

Плитки Пенроуза P1 с наложенными дугами окружностей и узлами для обеспечения соблюдения правил укладки

Три типа мозаики Пенроуза, P1–P3, описаны по отдельности ниже. ^[26] У них много общих черт: в каждом случае плитки построены из форм, связанных с пятиугольником (и, следовательно, с золотым сечением ), но основные формы плиток должны быть дополнены правилами соответствия , чтобы плитка была апериодической. Эти правила могут быть описаны с использованием помеченных вершин или ребер, или узоров на гранях плитки; в качестве альтернативы, профиль ребра может быть изменен (например, с помощью углублений и выступов), чтобы получить апериодический набор прототипов. ^{[9] [27]}

Оригинальная пятиугольная мозаика Пенроуза (P1)

Первая мозаика Пенроуза использует пятиугольники и три другие фигуры: пятиконечную «звезду» (пентаграмму), «лодку» (примерно 3/5 звезды) и «ромб» (тонкий ромб). ^[28] Чтобы гарантировать, что все мозаики непериодичны, естьПравила сопоставления , которые определяют, как плитки могут встречаться друг с другом, и есть три различных типа правил сопоставления для пятиугольных плиток. Рассмотрение этих трех типов как различных протоплиток дает набор из шести протоплиток в целом. Обычно три различных типа пятиугольных плиток обозначаются тремя различными цветами, как на рисунке выше справа.^[29]

Мозаика «Змей и дротики» (P2)

Часть плоскости, покрытая мозаикой Пенроуза типа P2 (змей и дротик). Создана путем применения нескольких дефляций, см. раздел ниже.

Вторая мозаика Пенроуза использует четырехугольники, называемые «воздушный змей» и «дротик», которые можно объединить, чтобы получить ромб. Однако правила сопоставления запрещают такую ​​комбинацию. ^[30] И «воздушный змей», и «дротик» состоят из двух треугольников, называемых треугольниками Робинсона , в честь заметок Робинсона 1975 года. ^[31]

Плитки воздушного змея и дротика (вверху) и семь возможных вершинных фигур в мозаике P2, каждая из которых имеет следующие названия – Первый ряд: звезда, туз, солнце. Второй ряд: король, валет, дама, двойка.

• Воздушный змей — это четырехугольник, четыре внутренних угла которого составляют 72, 72, 72 и 144 градуса. Воздушный змей может быть разделен пополам вдоль его оси симметрии, образуя пару острых треугольников Робинсона (с углами 36, 72 и 72 градуса).
• Дротик — это невыпуклый четырёхугольник, четыре внутренних угла которого равны 36, 72, 36 и 216 градусов. Дротик можно разрезать пополам вдоль его оси симметрии, чтобы образовать пару тупоугольных треугольников Робинсона (с углами 36, 36 и 108 градусов), которые меньше остроугольных треугольников .

Правила сопоставления можно описать несколькими способами. Один подход заключается в раскрашивании вершин (двумя цветами, например, черным и белым) и требовании, чтобы смежные плитки имели совпадающие вершины. ^[32] Другой подход заключается в использовании шаблона из дуг окружностей (как показано выше слева зеленым и красным) для ограничения размещения плиток: когда две плитки имеют общий край в мозаике, шаблоны должны совпадать на этих краях. ^[21]

Эти правила часто заставляют размещать определенные плитки: например, вогнутая вершина любого дротика обязательно заполнена двумя воздушными змеями. Соответствующая фигура (центр верхнего ряда на нижнем изображении слева) называется Конвеем «тузом»; хотя она выглядит как увеличенный воздушный змей, она не замощает тем же способом. ^[33] Аналогично вогнутая вершина, образованная при встрече двух воздушных змеев вдоль короткого края, обязательно заполнена двумя дротиками (внизу справа). Фактически, существует только семь возможных способов для плиток встретиться в вершине; две из этих фигур — а именно, «звезда» (вверху слева) и «солнце» (вверху справа) — имеют 5-кратную диэдральную симметрию (за счет вращений и отражений), в то время как остальные имеют одну ось отражения (вертикальную на изображении). ^[34] За исключением туза (вверху посередине) и солнца, все эти вершинные фигуры заставляют размещать дополнительные плитки. ^[35]

Укладка ромба (P3)

Правило соответствия для ромбов Пенроуза с использованием дуг окружностей или модификаций ребер для обеспечения соблюдения правил замощения

Правило соответствия для ромбов Пенроуза с использованием параболических ребер для обеспечения правил замощения

Плитка Пенроуза типа P3 с использованием ромбов Пенроуза с параболическими ребрами

Третья мозаика использует пару ромбов (часто называемых «ромбами» в этом контексте) с равными сторонами, но разными углами. ^[9] Обычные плитки в форме ромба можно использовать для периодического заполнения плоскости, поэтому необходимо наложить ограничения на то, как могут быть собраны плитки: никакие две плитки не могут образовывать параллелограмм, поскольку это позволило бы создать периодическую мозаику, но этого ограничения недостаточно для принудительной апериодичности, как показано на рисунке 1 выше.

Существует два вида плиток, оба из которых можно разложить на треугольники Робинсона. ^[31]

• Тонкий ромб t имеет четыре вершины с углами 36, 144, 36 и 144 градуса. Ромб t можно разрезать пополам по его короткой диагонали, чтобы образовать пару острых треугольников Робинсона.
• Толстый ромб T имеет углы 72, 108, 72 и 108 градусов. Ромб T можно разрезать пополам по его длинной диагонали, чтобы образовать пару тупоугольных треугольников Робинсона; в отличие от мозаики P2, они больше острых треугольников.

Правила сопоставления различают стороны плиток и подразумевают, что плитки могут быть сопоставлены определенными способами, но не другими. Два способа описания этих правил сопоставления показаны на изображении справа. В одном виде плитки должны быть собраны таким образом, чтобы изгибы на гранях совпадали по цвету и положению на краю. В другом виде плитки должны быть собраны таким образом, чтобы выступы на их краях совпадали. ^[9]

Существует 54 циклически упорядоченных комбинации таких углов, которые в сумме дают 360 градусов в вершине, но правила мозаики допускают появление только семи из этих комбинаций (хотя одна из них возникает двумя способами). ^[36]

Различные комбинации углов и кривизны лица позволяют строить произвольно сложные плитки, такие как куры Пенроуза . ^[37]

Особенности и конструкции

Золотое сечение и локальная пятиугольная симметрия

Несколько свойств и общих черт мозаик Пенроуза включают золотое сечение (приблизительно 1,618). ^{[31] [32]} Это отношение длин хорд к длинам сторон в правильном пятиугольнике , удовлетворяющее условию φ = 1 + 1/ φ . ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Пятиугольник с вписанным толстым ромбом (светлым), острыми треугольниками Робинсона (слегка затененными) и маленьким тупоугольным треугольником Робинсона (более темным). Пунктирные линии дают дополнительные грани для вписанных воздушных змеев и дротиков.

Следовательно, отношение длин длинных сторон к коротким сторонам в ( равнобедренных ) треугольниках Робинсона равно φ : 1. Из этого следует, что отношение длин длинных сторон к коротким в плитках воздушного змея и дротика также равно φ : 1, как и отношения длин сторон к короткой диагонали в тонком ромбе t и длинной диагонали к сторонам в толстом ромбе T. В плитках P2 и P3 отношение площади большего треугольника Робинсона к меньшему равно φ : 1, следовательно, таковы же отношения площадей воздушного змея к дротиковому и толстого ромба к тонкому ромбу. (В пятиугольнике слева можно найти как большие, так и меньшие тупоугольные треугольники Робинсона: большие треугольники наверху — половинки толстого ромба — имеют линейные размеры, увеличенные на φ по сравнению с маленьким заштрихованным треугольником у основания, поэтому отношение площадей равно φ ² : 1.)

Любая мозаика Пенроуза имеет локальную пятиугольную симметрию, в том смысле, что в мозаике есть точки, окруженные симметричной конфигурацией плиток: такие конфигурации имеют пятикратную вращательную симметрию относительно центральной точки, а также пять зеркальных линий симметрии отражения, проходящих через точку, группу диэдральной симметрии . ^[9] Эта симметрия, как правило, сохраняет только участок плиток вокруг центральной точки, но участок может быть очень большим: Конвей и Пенроуз доказали, что всякий раз, когда цветные кривые на мозаиках P2 или P3 замыкаются в петлю, область внутри петли имеет пятиугольную симметрию, и, кроме того, в любой мозаике существует не более двух таких кривых каждого цвета, которые не замыкаются. ^[38]

Может быть максимум одна центральная точка глобальной пятикратной симметрии: если бы их было больше одной, то вращение каждого вокруг другого дало бы два более близких центра пятикратной симметрии, что приводит к математическому противоречию. ^[39] Существует только две мозаики Пенроуза (каждого типа) с глобальной пятиугольной симметрией: для мозаики P2 с воздушными змеями и дротиками центральная точка является либо вершиной «солнца», либо вершиной «звезды». ^[40]

Инфляция и дефляция

Пятиугольник, разбитый на шесть меньших пятиугольников (половина додекаэдрической развертки) с зазорами

Многие из общих черт мозаик Пенроуза следуют из иерархической пятиугольной структуры, заданной правилами подстановки : это часто называют инфляцией и дефляцией , или композицией и декомпозицией мозаик или (коллекции) плиток. ^{[9] [23] [41]} Правила подстановки разлагают каждую плитку на более мелкие плитки той же формы, что и те, которые используются в мозаике (и, таким образом, позволяют «составлять» более крупные плитки из более мелких). Это показывает, что мозаика Пенроуза имеет масштабируемое самоподобие, и поэтому может рассматриваться как фрактал , использующий тот же процесс, что и пентафлак . ^[42]

Первоначально Пенроуз открыл мозаику P1 таким образом, разложив пятиугольник на шесть меньших пятиугольников (половину развертки додекаэдра ) и пять полуромбов; затем он заметил, что при повторении этого процесса промежутки между пятиугольниками могут быть заполнены звездами, алмазами, лодками и другими пятиугольниками. [ ^28] Повторяя этот процесс бесконечно, он получил одну из двух мозаик P1 с пентагональной симметрией. ^{[9] [20]}

Разложения треугольника Робинсона

Треугольники Робинсона и их разложения

Метод подстановки для мозаик P2 и P3 можно описать с помощью треугольников Робинсона разных размеров. Треугольники Робинсона, возникающие в мозаиках P2 (путем деления пополам воздушных змеев и дротиков), называются A-плитками, тогда как возникающие в мозаиках P3 (путем деления пополам ромбов) называются B-плитками. ^[31] Меньшая A-плитка, обозначаемая как A _S , является тупоугольным треугольником Робинсона, в то время как большая A-плитка, A _L , является остроугольной ; напротив, меньшая B-плитка, обозначаемая как B _S , является остроугольным треугольником Робинсона, в то время как большая B-плитка, B _L , является тупоугольной.

Конкретно, если A _S имеет длины сторон (1, 1, φ ), то A _L имеет длины сторон ( φ , φ , 1). B-плитки могут быть связаны с такими A-плитками двумя способами:

• Если B _S имеет тот же размер, что и A _L, то B _L является увеличенной версией φ A _S плитки A _S с длинами сторон ( φ , φ , φ ²  = 1 +  φ ) — это распадается на плитку A _L и плитку A _S , соединенные вдоль общей стороны длиной 1.
• Если вместо этого B _L отождествить с A _S , то B _S будет уменьшенной версией (1/ φ )A _L плитки A _L с длинами сторон (1/ φ ,1/ φ ,1) — соединение плитки B _S и плитки B _L вдоль общей стороны длины 1 затем дает (разложение) плитки A _L .

В этих разложениях, по-видимому, есть двусмысленность: треугольники Робинсона могут быть разложены двумя способами, которые являются зеркальными отражениями друг друга относительно (равнобедренной) оси симметрии треугольника. В мозаике Пенроуза этот выбор фиксируется правилами сопоставления. Более того, правила сопоставления также определяют, как меньшие треугольники в мозаике объединяются, чтобы дать большие. ^[31]

Частичное расширение звезды для получения ромбов и набора ромбов для получения туза.

Из этого следует, что мозаики P2 и P3 взаимно локально выводимы : мозаика из одного набора плиток может быть использована для генерации мозаики из другого. Например, мозаика из воздушных змеев и дротиков может быть подразделена на A-плитки, и они могут быть составлены каноническим образом для формирования B-плиток и, следовательно, ромбов. ^[15] Мозаики P2 и P3 также взаимно локально выводимы с мозаикой P1 (см. рисунок 2 выше). ^[43]

Разложение B-плиток на A-плитки можно записать следующим образом:

Б _С = А _Л , Б _Л = А _Л + А _С

(предполагая, что для B-плиток принят больший размер), что можно суммировать в уравнении матрицы подстановки : ^[44]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

Объединение этого с разложением увеличенных φ A-плиток на B-плитки дает замену

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,,}$

так что увеличенная плитка φ A _L распадается на две плитки A _L и одну плитку A _S. Правила сопоставления требуют определенной замены: две плитки A _L в плитке φ A _L должны образовывать воздушного змея, и, таким образом, воздушный змей распадается на два воздушных змея и два полудротика, а дротик распадается на воздушного змея и два полудротика. ^{[45] [46]} Увеличенные φ B-плитки распадаются на B-плитки аналогичным образом (через φ A-плитки).

Композицию и декомпозицию можно повторять, например, так:

${\displaystyle \varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

Количество воздушных змеев и дротиков в n- й итерации построения определяется n- й степенью матрицы подстановки:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}\,,}$

где F _n — n- е число Фибоначчи . Отношение числа воздушных змеев к числу дротиков в любой достаточно большой мозаике Пенроуза P2, таким образом, приближается к золотому сечению φ . ^[47] Аналогичный результат справедлив для отношения числа толстых ромбов к тонким ромбам в мозаике Пенроуза P3. ^[45]

Дефляция для мозаик P2 и P3

Последовательные дефляции вершины «солнце» в мозаике Пенроуза типа P2

Последовательные дефляции набора плиток в мозаике Пенроуза типа P3

8-я дефляция вершины «солнце» в мозаике Пенроуза типа P2

Начиная с набора плиток из заданной мозаики (которая может быть одной плиткой, мозаикой плоскости или любой другой коллекцией), дефляция продолжается с последовательностью шагов, называемых поколениями. В одном поколении дефляции каждая плитка заменяется двумя или более новыми плитками, которые являются уменьшенными версиями плиток, используемых в исходной мозаике. Правила замены гарантируют, что новые плитки будут расположены в соответствии с правилами сопоставления. ^[45] Повторные поколения дефляции создают мозаику исходной формы аксиомы с все меньшими и меньшими плитками.

Это правило деления плиток является правилом подразделения .

Приведенную выше таблицу следует использовать с осторожностью. Сдувание полукайтом и полудротиком полезно только в контексте сдувания более крупного рисунка, как показано в сдуваниях солнца и звезды. Они дают неверные результаты, если применяются к отдельным кайтам и дротикам.

Кроме того, простое правило подразделения создает отверстия около краев плитки, которые едва видны на верхней и нижней иллюстрациях справа. Дополнительные правила принуждения полезны.

Последствия и применение

Инфляция и дефляция дают метод построения мозаики «змей и дротик» (P2) или мозаики «ромб» (P3), известный как генерация «вверх-вниз» . ^{[33] [45] [46]}

Мозаики Пенроуза, будучи непериодическими, не имеют трансляционной симметрии — узор не может быть сдвинут так, чтобы соответствовать себе по всей плоскости. Однако любая ограниченная область, независимо от ее размера, будет повторяться бесконечное число раз внутри мозаики. Поэтому никакой конечный участок не может однозначно определить полную мозаику Пенроуза или даже определить, какая позиция внутри мозаики отображается. ^[48]

Это показывает, в частности, что число различных мозаик Пенроуза (любого типа) несчетно бесконечно . Генерация вверх-вниз дает один метод параметризации мозаик, но другие методы используют стержни Аммана, пентагриды или схемы разрезания и проецирования. ^[45]

Связанные плитки и темы

Декагональные покрытия и квазикристаллы

Декагон Гуммельта (слева) с разложением на воздушных змеев и дротики, обозначенным пунктирными линиями; более толстые темные линии ограничивают вписанный туз и толстый ромб; возможные наложения (справа) — один или два красных туза. ^[49]

В 1996 году немецкий математик Петра Гуммельт продемонстрировала, что покрытие (так его называют, чтобы отличить от неперекрывающейся мозаики), эквивалентное мозаике Пенроуза, может быть построено с использованием одной десятиугольной плитки, если допускаются два вида перекрывающихся областей. ^[50] Десятиугольная плитка украшена цветными пятнами, и правило покрытия допускает только те перекрытия, которые совместимы с раскраской. Подходящее разложение десятиугольной плитки на воздушных змеев и дротики преобразует такое покрытие в мозаику Пенроуза (P2). Аналогично, мозаику P3 можно получить, вписав толстый ромб в каждый десятиугольник; оставшееся пространство заполняется тонкими ромбами.

Эти покрытия рассматривались как реалистичная модель для роста квазикристаллов : перекрывающиеся декагоны являются «квазиэлементарными ячейками», аналогичными элементарным ячейкам, из которых построены кристаллы, а правила соответствия максимизируют плотность определенных атомных кластеров. ^{[49] [51]} Апериодическая природа покрытий может затруднить теоретические исследования физических свойств, таких как электронная структура, из-за отсутствия теоремы Блоха . Однако спектры квазикристаллов все еще можно вычислить с контролем ошибок. ^[52]

Связанные плитки

Мозаика Tie и Navette (красного цвета на фоне Пенроуза)

Три варианта мозаики Пенроуза взаимно локально выводимы. Выбор некоторых подмножеств из вершин мозаики P1 позволяет производить другие непериодические мозаики. Если углы одного пятиугольника в P1 помечены последовательно 1,3,5,2,4, то устанавливается однозначная маркировка во всех пятиугольниках, порядок которой может быть либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Точки с одинаковой меткой определяют мозаику треугольниками Робинсона, тогда как точки с числами 3 и 4 на них определяют вершины мозаики Tie-and-Navette. ^[53]

Вариант мозаики, которая не является квазикристаллом. Это не мозаика Пенроуза, поскольку она не соответствует правилам выравнивания плиток.

Существуют также другие связанные неэквивалентные мозаики, такие как мозаики гексагон-лодка-звезда и Микуллы–Рота. Например, если правила сопоставления для мозаики ромба сводятся к определенному ограничению на углы, разрешенные в каждой вершине, получается бинарная мозаика. ^[54] Ее базовая симметрия также пятикратная, но она не является квазикристаллом. Ее можно получить либо путем декорирования ромбов исходной мозаики меньшими, либо путем применения правил замены, но не методом разрезания и проецирования де Брейна. ^[55]

Искусство и архитектура

• 
  Пятиугольный и десятиугольный узор из плиток гирих на своде из святилища Дарб-и Имам , Исфахан , Иран (1453 г. н.э.)
• 
  Salesforce Transit Center в Сан-Франциско. Внешняя «кожа», сделанная из белого алюминия, перфорирована в виде плитки Пенроуза.
• 
  Плитка Пенроуза на полу в компьютерном центре 3 (CC-3), IIIT Аллахабад

Эстетическая ценность мозаики давно оценена и остается источником интереса к ней; поэтому визуальный вид (а не формальные определяющие свойства) мозаики Пенроуза привлек внимание. Было отмечено сходство с некоторыми декоративными узорами, используемыми в Северной Африке и на Ближнем Востоке; ^{[56] [57]} физики Питер Дж. Лу и Пол Стейнхардт представили доказательства того, что мозаика Пенроуза лежит в основе примеров средневековых исламских геометрических узоров , таких как мозаика гирих (обвязка полосами) в святилище Дарб-и Имам в Исфахане . ^[58]

Художник из Drop City Кларк Ричерт использовал ромбы Пенроуза в своих работах в 1970 году, полученных путем проецирования тени ромбического триаконтаэдра на плоскость, наблюдая за вложенными «толстыми» ромбами и «тощими» ромбами, которые накладываются друг на друга, создавая непериодическую мозаику. Историк искусства Мартин Кемп заметил, что Альбрехт Дюрер набросал похожие мотивы мозаики ромбов. ^[59]

В 1979 году Университет Майами использовал плитку Пенроуза, выполненную в технике терраццо, для украшения внутреннего двора бакалавриата на кафедре математики и статистики. ^[60]

В Индийском институте информационных технологий в Аллахабаде , начиная с первой фазы строительства в 2001 году, учебные здания были спроектированы на основе «геометрии Пенроуза», стилизованной под мозаики, разработанные Роджером Пенроузом. Во многих местах в этих зданиях пол имеет геометрические узоры, составленные из плиток Пенроуза. ^[61]

Пол атриума здания Бейлисса в Университете Западной Австралии выложен плиткой Пенроуза. ^[62]

Здание Эндрю Уайлса , где по состоянию на октябрь 2013 года располагался математический факультет Оксфордского университета , ^[63] включает в себя часть плитки Пенроуза в качестве мощения у входа. ^[64]

Пешеходная часть улицы Keskuskatu в центре Хельсинки вымощена плиткой Пенроуза. Работа была завершена в 2014 году. ^[65]

Центр транзитных перевозок Salesforce 2018 в Сан-Франциско имеет перфорацию на волнистой белой металлической обшивке фасада в узоре Пенроуза. ^[66]

Смотрите также

• плитка гирих
• Список апериодических наборов плиток
• Плитка «вертушка»
• Пятиугольная мозаика
• Квакваверсальная мозаика
• Тюбингенский треугольник

Примечания

1. Сенешаль 1996, стр. 241–244.
2. Радин 1996.
3. Общие ссылки для этой статьи включают Gardner 1997, стр. 1–30, Grünbaum & Shephard 1987, стр. 520–548 &, 558–579 и Senechal 1996, стр. 170–206.
4. Гарднер 1997, стр. 20, 23
5. Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 520
6. Кулик и Кари 1997
7. Ван 1961
8. Роберт Бергер в проекте «Генеалогия математики»
9. Остин 2005a
10. Бергер 1966
11. Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 584
12. Гарднер 1997, стр. 5
13. Робинсон 1971
14. Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 525
15. Сенечал 1996, стр. 173–174
16. Пенроуз 1974
17. Грюнбаум и Шепард 1987, раздел 2.5
18. Кеплер, Иоганнес (1997). Гармония мира. Американское философское общество. стр. 108. ISBN 0871692090.
19. Удача 2000
20. Senechal 1996, стр. 171
21. Gardner 1997, стр. 6
22. Гарднер 1997, стр. 19
23. Gardner 1997, глава 1
24. де Брейн 1981
25. Baake, M.; Kramer, P.; Schlottmann, M.; Zeidler, D. (декабрь 1990 г.). «ПЛОСКИЕ ОБРАЗЦЫ С ПЯТИКРАТНОЙ СИММЕТРИЕЙ КАК СЕЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР В 4-ПРОСТРАНСТВЕ». International Journal of Modern Physics B . 04 (15n16): 2217–2268. doi :10.1142/S0217979290001054.
26. Обозначения P1–P3 взяты из Grünbaum & Shephard 1987, раздел 10.3.
27. Грюнбаум и Шепард 1987, раздел 10.3
28. Penrose 1978, стр. 32
29. «Однако, как будет объяснено ниже, разноцветные пятиугольники будут считаться разными типами плиток». Остин 2005а; Грюнбаум и Шепард 1987, рисунок 10.3.1, показывает модификации рёбер, необходимые для получения апериодического набора прототипов плиток.
30. «Ромб, конечно, периодически замощен, но нам не разрешено соединять части таким образом». Гарднер 1997, стр. 6–7
31. Grünbaum & Shephard 1987, стр. 537–547
32. Senechal 1996, стр. 173
33. Gardner 1997, стр. 8
34. Гарднер 1997, стр. 10–11.
35. Гарднер 1997, стр. 12
36. Сенешаль 1996, стр. 178
37. "Плитки Пенроуза". Убийственная математика . Получено 20 января 2020 г.
38. Гарднер 1997, стр. 9
39. Гарднер 1997, стр. 27
40. Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 543
41. В Grünbaum & Shephard 1987 термин «инфляция» используется там, где другие авторы использовали бы «дефляцию» (с последующим масштабированием). Термины «композиция» и «декомпозиция», которые также используют многие авторы, менее двусмысленны.
42. Рамачандрарао, П. (2000). «О фрактальной природе мозаики Пенроуза» (PDF) . Current Science . 79 : 364.
43. Грюнбаум и Шепард 1987, стр. 546
44. Сенешаль 1996, стр. 157–158.
45. Остин 2005b
46. Senechal 1996, стр. 183
47. Гарднер 1997, стр. 7
48. "... любой конечный патч, который мы выбираем в мозаике, будет лежать внутри одной инфляционной плитки, если мы продолжим двигаться достаточно далеко вверх по инфляционной иерархии. Это означает, что где бы плитка ни встречалась на этом уровне иерархии, наша исходная заплатка также должна встречаться в исходной мозаике. Следовательно, заплатка будет встречаться бесконечно часто в исходной мозаике и, фактически, в любой другой мозаике". Остин 2005a
49. Лорд и Ранганатан 2001
50. Гуммельт 1996
51. Steinhardt & Jeong 1996; см. также Steinhardt, Paul J. «Новая парадигма структуры квазикристаллов».
52. Колбрук; Роман; Хансен (2019). «Как вычислять спектры с контролем ошибок». Physical Review Letters . 122 (25): 250201. Bibcode : 2019PhRvL.122y0201C. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201. PMID  31347861. S2CID  198463498.
53. Лак, Р. (1990). «Подрешетки Пенроуза». Журнал некристаллических твердых тел . 117–8 (90): 832–5. Bibcode : 1990JNCS..117..832L. doi : 10.1016/0022-3093(90)90657-8.
54. Лансон и Биллард 1988
55. Godrèche & Lançon 1992; см. также Dirk Frettlöh; F. Gähler & Edmund Harriss . "Binary". Tilings Encyclopedia . Кафедра математики, Университет Билефельда.
56. Заславский и др. 1988 год; Маковицкий 1992 г.
57. Prange, Sebastian R.; Peter J. Lu (1 сентября 2009 г.). «Плитки бесконечности». Saudi Aramco World . Aramco Services Company. стр. 24–31. Архивировано из оригинала 13 января 2010 г. Получено 22 февраля 2010 г.
58. Лу и Стейнхардт 2007
59. Кемп 2005
60. Мозаика Пенроуза в Университете Майами. Архивировано 14 августа 2017 г. на Wayback Machine Дэвидом Куллманом. Представлено на заседании секции Математической ассоциации Америки в Университете штата Шоуни , 24 октября 1997 г.
61. "Индийский институт информационных технологий, Аллахабад". ArchNet .
62. «Столетие: Университет Западной Австралии». www.treasures.uwa.edu.au .
63. "New Building Project". Архивировано из оригинала 22 ноября 2012 года . Получено 30 ноября 2013 года .
64. «Роджер Пенроуз объясняет математику мощения Пенроуза». Математический институт Оксфордского университета .
65. "Keskuskadun kävelykadusta voi tulla matemaattisen hämmästelyn kohde" . Хельсингин Саномат . 6 августа 2014 г.
66. Кучар, Салли (11 июля 2013 г.). «Ознакомьтесь с предлагаемым внешним видом Transbay Transit Center». Curbed .

Ссылки

Первичные источники

• Бергер, Р. (1966). Неразрешимость проблемы домино. Мемуары Американского математического общества. Т. 66. ISBN 9780821812662..
• де Брейн, Н.Г. (1981). «Алгебраическая теория непериодических разбиений Пенроуза плоскости I, II» (PDF) . Indagationes Mathematicae . 43 (1): 39–66. дои : 10.1016/1385-7258(81)90017-2 ..
• Гаммелт, Петра (1996). «Мозаики Пенроуза как покрытия конгруэнтных десятиугольников». Геометрии Дедиката . 62 (1): 1–17. дои : 10.1007/BF00239998. МР  1400977. Збл  0893.52011.
• Пенроуз, Роджер (1974). «Роль эстетики в чистых и прикладных математических исследованиях». Бюллетень Института математики и ее приложений . 10 : 266 и далее..
• US 4133152, Пенроуз, Роджер , «Набор плиток для покрытия поверхности», опубликовано 09.01.1979  .
• Робинсон, Р. М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность для разбиений плоскости». Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–190. Bibcode : 1971InMat..12..177R. doi : 10.1007/BF01418780. S2CID  14259496..
• Шехтман, Д.; Блех, И.; Гратиас, Д.; Кан, Дж. В. (1984). «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и отсутствием трансляционной симметрии». Physical Review Letters . 53 (20): 1951–1953. Bibcode :1984PhRvL..53.1951S. doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
• Ван, Х. (1961). «Доказательство теорем с помощью распознавания образов II». Bell System Technical Journal . 40 : 1–42. doi :10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x..

Вторичные источники

• Остин, Дэвид (2005a). «Плитки Пенроуза говорят через мили». Провиденс: Американское математическое общество..
• Остин, Дэвид (2005b). «Плитки Пенроуза, завязанные лентами». Провиденс: Американское математическое общество..
• Колбрук, Мэтью; Роман, Богдан; Хансен, Андерс (2019). «Как вычислять спектры с контролем ошибок». Physical Review Letters . 122 (25): 250201. Bibcode : 2019PhRvL.122y0201C. doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201. PMID  31347861. S2CID  198463498.
• Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997). "On aperiodic sets of Wang tiles". Основы компьютерной науки . Конспект лекций по компьютерной науке. Том 1337. С. 153–162. doi :10.1007/BFb0052084. ISBN 978-3-540-63746-2.
• Гарднер, Мартин (1997). От плиток Пенроуза до шифров с секретом . Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-521-8.. (Впервые опубликовано WH Freeman, Нью-Йорк (1989), ISBN 978-0-7167-1986-1 .)  
  • Глава 1 (стр. 1–18) представляет собой перепечатку Гарднера, Мартина (январь 1977 г.). «Экстраординарная непериодическая мозаика, которая обогащает теорию мозаик». Scientific American . Том 236, № 1. стр. 110–121. Bibcode : 1977SciAm.236a.110G. doi : 10.1038/scientificamerican0177-110..
• Godrèche, C; Lançon, F. (1992). "Простой пример не-Пизо мозаики с пятикратной симметрией". Journal de Physique I. 2 ( 2): 207–220. Bibcode : 1992JPhy1...2..207G. doi : 10.1051/jp1:1992134. S2CID  120168483..
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Tilings and Patterns . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3..
• Кемп, Мартин (2005). «Наука в культуре: трюк с плитками». Nature . 436 (7049): 332. Bibcode :2005Natur.436..332K. doi : 10.1038/436332a ..
• Lançon, Frédéric; Billard, Luc (1988). "Двумерная система с квазикристаллическим основным состоянием" (PDF) . Journal de Physique . 49 (2): 249–256. CiteSeerX  10.1.1.700.3611 . doi :10.1051/jphys:01988004902024900. Архивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2011 г. . Получено 28 ноября 2009 г. ..
• Lord, EA; Ranganathan, S. (2001). "The Gummelt decagon as a „quasi unit cell“" (PDF) . Acta Crystallographica . A57 (5): 531–539. CiteSeerX  10.1.1.614.3786 . doi :10.1107/S0108767301007504. PMID  11526302. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2011 г. . Получено 13 декабря 2009 г. .
• Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. (2007). «Декагональная и квазикристаллическая мозаика в средневековой исламской архитектуре» (PDF) . Science . 315 (5815): 1106–1110. Bibcode :2007Sci...315.1106L. doi :10.1126/science.1135491. PMID  17322056. S2CID  10374218..
• Лак, Р. (2000). «Дюрер-Кеплер-Пенроуз: развитие пятиугольных мозаик». Materials Science and Engineering . 294 (6): 263–267. doi :10.1016/S0921-5093(00)01302-2..
• Makovicky, E. (1992). "800-летняя пятиугольная мозаика из Мараги, Иран, и новые разновидности апериодической мозаики, которые она вдохновила". В I. Hargittai (ред.). Пятикратная симметрия . Сингапур–Лондон: World Scientific. стр. 67–86. ISBN 9789810206000..
• Пенроуз, Роджер (1978). «Пентаплексность» (PDF) . Эврика . Т. 39. С. 16–22.. (Номера страниц, указанные здесь, взяты из репродукции Penrose, R. (1979–80). «Пентаплексность: класс непериодических мозаик плоскости». The Mathematical Intelligencer . 2 : 32–37. doi :10.1007/BF03024384. S2CID  120305260..)
• Радин, Чарльз (апрель 1996 г.). «Обзор книги: Квазикристаллы и геометрия» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 43 (4): 416–421.
• Сенешаль, Марджори (1996). Квазикристаллы и геометрия . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57541-6..
• Steinhardt, Paul J.; Jeong, Hyeong-Chai (1996). «Более простой подход к мозаике Пенроуза с последствиями для формирования квазикристаллов». Nature . 382 (1 августа): 431–433. Bibcode :1996Natur.382..431S. doi :10.1038/382431a0. S2CID  4354819..
• Заславский, ГМ; Сагдеев, Роальд З.; Усиков, ДА; Черников, АА (1988). «Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры квазикристаллической симметрии». Успехи физических наук . 31 (10): 887–915. Bibcode : 1988SvPhU..31..887Z. doi : 10.1070/PU1988v031n10ABEH005632..

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Плитки Пенроуза». MathWorld .
• Джон Савард. "Penrose Tilings". quadibloc.com . Получено 28 ноября 2009 г. .
• Эрик Хванг. "Penrose Tiling". intentiono.net . Получено 28 ноября 2009 г. .
• F. Gähler; E. Harriss & D. Frettlöh. "Penrose Rhomb". Tilings Encyclopedia . Department of Mathematics, University of Bielefeld . Получено 28 ноября 2009 г.
• Кевин Браун. «О сетках и мозаиках де Брёйна». mathpages.com . Проверено 28 ноября 2009 г.
• Дэвид Эппштейн . "Плитки Пенроуза". Свалка геометрии . ics.uci.edu/~eppstein . Получено 28 ноября 2009 г.Здесь есть список дополнительных ресурсов.
• Уильям Чоу. "Плитка Пенроуза в архитектуре" . Получено 28 декабря 2009 г.
• «Просмотрщик плиток Пенроуза».